Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 4, С. 12–14
УДК519.46
О МАКСИМАЛЬНЫХ ПОДГРУППАХ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Н. А. Джусоева, В. С. Дзигоева, В. А. Койбаев
Строится класс максимальных подгрупп полной линейной группыG = GL(n, k(x))степени n над полем рациональных функций Ω = k(x) с коэффициентами из поля k нечетной характеристики, содержащих нерасщепимый максимальный торT =T(ϕ), связанный с радикальным расширением K= Ω(√nϕ)степениnосновного поляΩ =k(x), гдеϕ— неприводимый многочлен вk[x].
Ключевые слова: промежуточные подгруппы, максимальные подгруппы, нерасщепимый макси-мальный тор, трансвекция.
Настоящая статья посвящена построению класса максимальных подгрупп полной ли-нейной группыG= GL(n, k(x))степениnнад полем рациональных функцийΩ =k(x), с коэффициентами из поляk нечетной характеристики, содержащих нерасщепимый мак-симальный торT =T(ϕ), связанный с радикальным расширениемK = Ω(√nϕ)степениn
основного поляΩ =k(x), гдеϕ— неприводимый многочлен в k[x].
Сформулируем основной результат работы. Элементы матриц тора T = T(ϕ) по-рождают некоторое подкольцо R(ϕ) поля k(x). Пусть Rϕ — подкольцо ϕ-целых дробей
рациональных функций (т. е. рациональных функций, у которых знаменатели свободны от ϕ). Тогда R(ϕ) ⊆ Rϕ. Через σϕ обозначим сеть, у которой выше главной
диагона-ли стоит идеал ϕRϕ, а на главной диагонали и ниже — Rϕ. Далее, G(σϕ) — сетевая
группа [1].
Теорема. Для произвольного неприводимого многочленаϕгруппаT G(σϕ)является
максимальной подгруппой полной линейной группы G = GL(n, k(x)), не содержащей
SL(n, k(x)).
С каждым вектором x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ωn\¯0 связана невырожденная
матри-ца C(x), элементы которой вычисляются по формулам
(C(x))ij = (
xi+1−j, j6i; ϕxn+i+1−j, j>i+ 1.
С каждой матрицей C = C(x) = (cij) связана обратная матрица C−1=C(y) = (c′ij), y = (y1, . . . , yn) ∈ Ωn, где yi = |CC(1xi)|, причем C1i — алгебраическое дополнение
элемен-таc1i матрицыC =C(x).
В работе рассматривается унитальное подкольцо R(ϕ) поляΩ, порожденное элемен-тамиxiyj,ϕxrys:
R(ϕ) =
xiyj, ϕxrys: i+j 6n+ 1, r+s > n+ 1, x∈Ωn\¯0 ®
ring,
c
О максимальных подгруппах полной линейной группы 13
tn−ϕ— неприводимый многочлен степениnнад полемΩ[2]. Тогдаei =θi−1,16i6n,
образует базис радикального расширения K = Ω(√nϕ), θ = √nϕ, поля K = Ω(θ) над Ω.
Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор T = T(ϕ), который является образом мультипликативной группы поля K = Ω(√nϕ) при регулярном вложении в G = GL(n, k). В выбранном базисе тор T = T(ϕ) определяется как матричная груп-па
T =T(ϕ) ={C(x) : x∈Ωn\¯0}.
С промежуточной подгруппой H, T 6 H 6 G, содержащей трансвекцию, связаны
модули трансвекций (i6=j)
Aij =Aij(H) ={α∈Ω : tij(α)∈H, i6=j}
и их кольца множителей
Rij =Rij(H) =Rij(Aij) ={λ∈Ω : λAij ⊆Aij}.
Очевидно, чтоAij являются подгруппами аддитивной группы Ω+ поля Ω (Rij-модули).
ПоложимAi =Ai1,26i6n. Тогда [3, лемма 2.7.1] справедлива формула
Aij = (
Ai+1−j, j < i; ϕAn+i+1−j, j>i+ 1.
ПоложимA1 =ϕAn и рассмотрим сеть σ = (σij) =σ(A1, A2, . . . , An), которую мы
назы-ваем сетью, ассоциированной с подгруппойH.
Элементы матриц тораT =T(ϕ)порождают подкольцоR(ϕ)поляΩ. ПустьR— про-межуточное подкольцо,R(ϕ) ⊆R ⊆Ω. ЧерезσR обозначим сеть, у которой на главной
диагонали и выше стоит идеалϕR, а ниже диагонали —R, а черезσR — сеть, у которой на главной диагонали и ниже стоитR, а выше —ϕR. Пусть, далее,E(σR)— подгруппа,
порожденная всеми трансвекциями из сетевой группыG(σR).
Доказательство нашей теоремы основано на следующей лемме.
Лемма [4, теорема 1]. ПустьH— подгруппа полной линейной группыG=GL(n,Ω), содержащая нерасщепимый максимальный тор T = T(ϕ). Предположим, что сеть σ, ассоциированная с подгруппой H, совпадает с сетью σR. Тогда произведение T E(σR)
является группой и справедливы включения
T E(σR)6H 6N(σR),
гдеN(σR) =NG(E(σR))— нормализатор элементарной подгруппыE(σR) в группеG= GL(n, k). Для нормализатораN(σR) справедливо равенство
N(σR) =T G(σR).
Литература
1. Боревич З. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап. науч. семинаров ЛОМИ РАН.—1976.—Т. 64.—C. 12–29.
2. Боревич З. И., Шафаревич И. Р.Теория чисел. 3-е изд.—М.: Наука, 1985.—503 c.
14 Джусоева Н. А., Дзигоева В. С., Койбаев В. А.
4. Койбаев В. А., Шилов А. В.О подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—2010.—Т. 375.—C. 130–139.
Статья поступила 14 октября 2010 г.
Джусоева Нонна Анатольевна
Северо-Осетинский государственный университет
им. К. Л. Хетагурова,ассистент каф. алгебры и геометрии РОССИЯ, 362040, Владикавказ, ул. Ватутина, 46
E-mail:[email protected]
Дзигоева Валентина Созрыкоевна
Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,доцент каф. алгебры и геометрии РОССИЯ, 362040, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail:[email protected]
Койбаев Владимир Амурханович
Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,зав. каф. алгебры и геометрии РОССИЯ, 362040, Владикавказ, ул. Ватутина, 46; Южный математический институт,вед. науч. сотр. РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail:[email protected]
ON MAXIMAL SUBGROUPS OF THE GENERAL LINEAR GROUP OVER RATIONAL FUNCTIONS FIELD
Dzhusoeva N. A., Dzigoeva V. S., Koibaev V. A.
We construct a class of the maximal subgroups of the general linear groupG= GL(n, k(x))of degreen over a field of the rational functions k(x) with coefficients in a fieldk of odd characteristic, containing non-split maximal torus associated with the radical extension of the basic fieldk(x).
