A
T
INJAUAN
S
INGKAT
K
ALKULUS
Salah satu syarat yang diperlukan untuk mempelajari komputasi numerik adalah pengetahuan dasar tentang kalkulus, termasuk pengenalan bebe-rapa notasi dalam kalkulus, sifat-sifat bilangan riil dan kompleks, penger-tian kekontinyuan, limit, turunan, integral, barisan, dan deret. Hal ini mengingat bahwa beberapa metode numerik yang dipakai dalam kom-putasi numerik didasarkan pada hasil-hasil dalam kalkulus. Sebagai ru-jukan singkat bagi pembaca yang tidak menginginkan membuka kembali buku kalkulus, berikut disajikan beberapa pengertian dan teorema pen-ting dalam kalkulus.
A.1
Limit dan Kekontinuan Fungsi
DEFINISI A.1 (LIMIT FUNGSI).
Misalkan fungsi f(x) didefinisikan pada himpunan bilangan riilA. Fungsif dikatakan mempunyailimitLpadax=x
0, ditulis Pengertian limit fungsi
lim x!x 0
f(x)=L (A.1)
jika diberikan bilangan>0dapat ditemukan bilanganÆ>0sedemikian hingga
jf(x) Lj<; 8x2(x 0
Æ;x 0
+Æ)A:
Jika dimisalkanx=x 0
+h, maka persamaan (A.1) ekivalen dengan
lim h!0
f(x 0
+h)=L (A.2)
DEFINISI A.2 (FUNGSI KONTINYU).
Misalkan fungsif(x)didefinisikan pada himpunan bilangan riilAdan misalkan
A.2 Turunan Fungsi 483
pernyataan di bawah ini ekivalen:
1. Fungsif kontinu dix 0.
2. Jikalim n!1
x n
=x 0, maka
lim n!1
f(x n
)=f(x 0
).
TEOREMAA.2 (TEOREMA NILAIEKSTRIM UNTUKFUNGSIKONTINU). Jika fungsi f(x)kontinu pada interval[a; b℄, maka terdapat suatu batas bawah
M
1 dan suatu batas atas M
2 serta dua buah titik x
1 ; x
2
2 [a; b℄sedemikian hingga
M 1
=f(x 1
)f(x)f(x 2
)=M 2
; 8x2[a; b℄: (A.7)
Teorema A.2 mengatakan bahwa setiap fungsi yang kontinu pada suatu interval terbatas pada interval tersebut.M
1disebutnilai minimum danM
2disebutnilai maksimumfungsi
f(x)pada interval[a; b℄, dan ser-ing dituliskan
M 1
=f(x 1
)= min axb
ff(x)g; dan M 2
=f(x 2)= max axb
ff(x)g:
TEOREMAA.3 (TEOREMA NILAIANTARA).
Misalkanf(x)2C[a; b℄dan misalkan
m= min axb
ff(x)g; dan M = max axb
ff(x)g:
Maka untuk setiapLmemenuhimLleM, terdapatyang memenuhia<<
bsedemikian hinggaf()=L.
A.2
Turunan Fungsi
DEFINISI A.4.
Misalkan f(x) didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat x 0. Fungsif dikatakandiferensiabel(dapat diturunkan atau mempunyai turunan) di titikx
0jika terdapat bilangan
msedemikian hingga Pengertian fungsi
diferensiabel
lim x!x0
f(x) f(x 0
)
x x 0
=m: (A.8)
A.3 Integral 485
dapat titik,a<<b, sedemikian hinggaf (n)
()=0.
A.3
Integral
DEFINISI A.5 (INTEGRAL RIEMANN). Misalkanf 2 C[a; b℄, dana = x
0 < x
1
< ::: <x n
= badalah suatu partisi [a; b℄. Untuk setiap k = 1; 2; :::; n, misalkant
k 2 [x
k 1 ; x
k
℄dan x k
= x
k x
k 1. Maka jumlah
n X
k=1 f(t
k )x
k
; (A.12)
disebuthampiran jumlah Riemannuntuk integral tentuf(x)pada[a; b℄. Jika jumlah Riemann tersebut mempunyai limit untuknmenuju tak berhingga, maka limit itu disebutintegral Riemann, ditulis
Z b
a
f(x)dx= lim n!1
n X
k=1 f(t
k )x
k
: (A.13)
TEOREMAA.9 (TEOREMA DASARKALKULUS). Misalkanf kontinu pada[a; b℄.
1. Terdapat suatu fungsiF, sedemikian hingga
Z b
a
f(x)dx=F(b) F(a); (A.14)
denganF 0
(x)=f(x). FungsiF disebutantiderivatiffungsif.
2. Jikaa<x<b, maka
d
dx Z
x
a
f(t)dt=f(x): (A.15)
TEOREMAA.10 (NILAI RATA-RATA UNTUKINTEGRAL).
Jika fungsi f kontinu pada interval [a; b℄, maka terdapat titik , a < < b, sedemikian hingga
1
b a Z
a
Tbf(x)dx=f(): (A.16)
A.4 Barisan dan Deret 487
Misalkanx 0
2[a; b℄adalah suatu titik tetap. Deret
1
disebutderet Taylorfungsif di sekitarx
0, dan dapat dituliskan
f(x)=
Dengan memisalkanx=x 0
Demikian pula, jikax=x 0
[a; b℄(artinya,f mempunyai turunan ke-1, 2, ..., dan ke-n yang kontinu pada[a; b℄). Misalkanx
0
2[a; b℄adalah suatu titik tetap. Untuk setiapx2[a; b℄terdapat=(x),a<<b, sedemikian hingga
(x)disebutpolinomial Taylor berderajadn
1dan
R n
(x)disebutsuku sisa
1
P 1
(x)disebut polinomial Taylor linier,P 2
(x)disebut polinomial Taylor kuadratik,P 3
(x)
dise-but polinomial Taylor kubik, dst.
A.6 Menghitung Nilai Polinomial 489
konvergen ke nol, seperti terlihat pada relasi
O(h
untukhyang cukup kecil. NotasiO(h n
)memiliki sifat-sifat:
1. O(h
DEFINISI A.10.
Misalkan lim n!1
n=1 konvergen ke nol, yakni lim
n=1 dikatakan konvergen ke
x dengan orde ke-konvergenanO(r
n
)jika terdapat sebuah konstantaK >0sedemikian hingga
jx
untuknyang cukup besar. Hal ini sering dituliskan sebagai x n
!xdengan orde kekonvergenanO(r n
).
A.6
Menghitung Nilai Polinomial
MisalkanP n
(x)adalah suatu polinomial berderajadnberbentuk
P
Suatu metode untuk menghitung nilai P n
(x) dikenal dengan nama
metode Horneratau metodepembagian sintetik, yang didasarkan pada
A.6 Menghitung Nilai Polinomial 491
Hasil tersebut didasarkan pada perkalian sintetik (A.29). Dari
P n
(z)=(
b 2
z }| {
(:::( b
n z}|{
a n
z+a n 1
)
| {z }
bn 1
z+:::+a 2
)z+a 1
)
| {z }
b 1
z+a 0
| {z }
b 0
:
dapat didefinisikan
b n
= a n b
n 1
= b n
z+a n 1 b
n 2
= b n 1
z+a n 2 ..
.
b 1
= b 2
z+a 1 b
0
= b 1
z+a 0
;
(A.32)
yang menghasilkan
P n
(z)=b 0
:
Selanjutnya, jika didefinisikan polinomial (A.30) dengan koefisien-koefisienb
kdi atas, dapat diperoleh (A.31).
Hasil di atas bermanfaat untuk mencari akar polinomial dengan mereduksi derajadnya jika salah satu akarnya sudah diketahui. Per-hatikan, jika b
0
= 0, maka P n
(z) = 0, sehingga z merupakan akar per-samaanP
n
(x)=0.
