162 yoyok adisetio laksono

Equation Chapter 1 Section 1Analisa Perbandingan Seismogram

Hasil Analitis dan Komputasi Menggunakan Misfit Waktu-Frekuensi

YOYOKADISETIOLAKSONO1)_{, KIRBANISRIBROTOPUSPITO}2,*)_{, WIWITSURYANTO}2)_{, WIDODO}3) 1)_{Jurusan Fisika Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang}

E-mail: yoyok.adisetio.fmipa@um.ac.id

2)_{Jurusan Fisika Universitas Gadjah Mada Yogyakarta.} 3)_{Jurusan Matematika Universitas Gadjah Mada Yogyakarta.}

ABSTRAK: Seismogram adalah jenis data serial yang nilainya gayut waktu. Akibat kompleksitasnya maka untuk menganalisa seismogram tidak cukup hanya menghitung besar misfit kumulatif, baik misfit absolut atau misfit akar rerata kuadrat. Analisa dengan menghitung misfit kumulatif tidak mampu mengenali penyebab dan lokasi terjadinya kesalahan. Agar bisa mengenali penyebab dan lokasi kesalahan maka cara terbaik adalah menghitung misfit berbasis waktu-frekuensi. Dalam makalah ini dibahas analisa perbandingan data seismogram misfit kumulatif dengan misfit waktu-frekuensi dengan berbagai skenario data. Skenario yang diujicoba adalah (1) kedua data hampir sama persis, dan (2) salah satu data memiliki beda fase dengan amplitudo yang sama. Semua skenario dihitung menggunakan metode misfit kumulatif dan misfit waktu-frekuensi. Hasil skenario pertama menunjukkan bahwa kedua metode misfit mampu membedakan dengan baik. Sementara pada skenario kedua misfit kumulatif nilainya ambigu, sementara misfit waktu-frekuensi mampu menunjukkan dengan tegas letak kesalahan dan penyebab kesalahannya. Dari hasil tersebut maka misfit waktu-frekeuensi adalah cara terbaik dan lengkap dalam menentukan analisa perbandingan seismogram.

Kata Kunci: perbandingan, seismogram, misfit waktu-frekuensi, misfit kumulatif.

PENDAHULUAN

Seismogram merupakan rekaman peristiwa kegempaan yang mencatat perpindahan permukaan tanah akibat adanya gelombang seismik. Catatannya berupa urut waktu (time serial) yang menggambarkan sejarah perpindahan permukaan tanah gayut waktu dimana seismograf berada. Seismogram yang dicatat jika dianalisa dengan tepat akan mampu menunjukkan struktur bawah permukaan. Salah satu cara analisa struktur bawah permukaan tanah adalah pemodelan ke depan (forward modelling). Pemodelan ke depan merupakan proses meniru peristiwa fisika dimulai dari waktu awal peristiwa. Hasil pemodelan ke depan untuk gelombang seismik berupa seismogram sintetik yang nantinya dibandingkan dengan seismogram hasil pencatatan seismograf. Umumnya pembandingan dua seismogram disebut misfit yang mencari besar perbedaan. Semakin kecil nilai misfit maka kedua data semakin cocok.

Metode misfit pada prinsipnya adalah menghitung perbedaan antara suatu data dengan data referensi. (Aoi and Fujiwara, 1999) mendefinisikan misfit dengan persamaan beda sebagai berikut.

( )

( )

_REF

( ),

D t



s t



s

t

(1)

( ) ( ) ( ) REF t REF t

s t s t D

s t









(2)

Rumusan misfit yang lain adalah menggunakan misfit RMS (Geller and Takeuchi, 1995) dengan persamaan sebagai berikut.

2 2

( )

( )

,

( )

REF t REF t

s t

s

t

RMS

s

t









(3)

Kelemahan dari misfit D dan RMS adalah tidak mampu menunjukkan penyebab dan lokasi kesalahan. Sebagai contoh jika ada dua sinyal dengan banyak pulsa berurutan dan jika salah satu sinyal tersebut memiliki fase sedemikian sehingga puncak pulsa berimpit dengan pulsa lain (beda fase 360 derajad) di tempat yang salah maka nilai RMS akan kecil yang berarti kedua sinyal dianggap sama. Untuk mampu mengetahui penyebab dan lokasi kesalahan maka penggunaannya harus digabung dengan serial waktu beda seperti di persamaan (1).

Untuk itu Kristeková et al., (2006, 2009) mengajukan sebuah metode penghitungan bernama misfit waktu-frekuensi yang berguna untuk menghasilkan spektrum karakteristik kesalahan sehingga bisa digunakan untuk membantu mencari penyebab dan lokasi kesalahan. Cara kerjanya adalah dengan menggambarkan secara cek silang (cross check) antara parameter waktu dan frekuensi dengan karakteristik gelombang berupa amplitudo dan fase. Spektrum tersebut juga bisa digunakan untuk memperoleh nilai kecocokan (goodness-of-fit).

Didalam makalah ini akan dibahas ujicoba misfit waktu-frekuensi dengan menggunakan gelombang seismik hasil penghitungan analitis dan penghitungan pemodelan ke depan (forward modelling) dengan metode elemen spektral.

PERSAMAAN PEMBANGUN

Untuk membandingkan besaran kuantitativ berdasar kepada wakilan frekuensi-waktu (the time frequency representation=TFR) digunakan transformasi denganwavelet

malar Morlet. Dengan menggunakan TFR maka isi spektrum dari evolusi waktu dapat diambil. Dari definisi bedaenvelopefrekuensi-waktu lokal sebagai berikut

( , ) ( , ) ref( , )

E t f W t f W t f

   (4)

dan beda fase frekuensi-waktu lokal didefinisikan sebagai berikut

arg[

( , )] arg[

( , )]

( , )

ref

( , )

ref

W t f

W

t f

P t f

W

t f

π







(5)

dimana W t f( , ) dan W_ref( , )t f masing-masing adalah fungsi kompleks transform

wavelet malar numerik dan referensi yang memiliki bentuk sebagai berikut.

0 0

1

( , )

( )

2

2

t

t

W t f

s t

dt

f

f

ψ

ω π

ω π

 





















(6)

DimanaψadalahwaveletMorlet yang memiliki bentuk sebagai berikut.

1/ 4 2

0

( )t exp(i t) exp( t / 2)

ψ _π ω _{ (7)}

( , )

ref

W t f disebut juga sebagai TFR (transform frequency reference).

2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f t ref f t f t ref f t

E t f EM

W t f

P t f PM

W t f

   









(8)

dimana EM dan PM masing-masing adalah misfitenvelopedan fase.

Berdasar hasil beda envelope dan fase maka bisa diperoleh misfit envelope waktu-frekuensi TFEM (time frequency envelope misfit)

,

( , )

( , )

,

max

_{t f}

(

_REF

( , ) )

E t f

TFEM t f

W

t f





(9)

dan misfit fase waktu-frekuensi TFPM (time frequency phase misfit)

,

( , )

( , )

.

max

_{t f}

(

_REF

( , ) )

P t f

TFPM t f

W

t f





(10)

TFEM dan TFPM dinormalisai terhadap nilai tertinggi dari nilai absolute TFR.

Pada beberapa kasus, diinginkan agar perbedaan dilihat hanya berdasar fungsi waktu. Untuk itu didefinisikan TEM (time-dependent envelope misfit) dan TPM ( time-dependent phase misfit) dengan persamaan sebagai berikut.









( , )

( ) .

max ( , )

( , ) ( )

max ( , )

f

t REF _f

f

t REF _f

E t f TEM t

W t f P t f TPM t

W t f

    (11) dimana

1

( , )

_f

( , )

f f

t f

t f

N









(12)

denganΘmenggambarkanΔE,ΔP, danWREF.

Dengan cara yang sama, kadang diinginkan untuk melihat misfit berdasar ketergantungan frekuensi saja. Untuk itu didefinisikan FEM (frequency envelope misfit) dan FPM (frequency phase misfit) dengan persamaan sebagai berikut.









( , )

( )

.

max

( , )

( , )

( )

max

( , )

t f REF _t

t f REF _t

E t f

FEM f

W

t f

P t f

FPM f

W

t f









(13)

2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f t REF f t f t REF f t

E t f EM

W t f

P t f PM

W t f

   









(14)

EMdalam kasus ini nilainya sama dengan (3).EMdan PMdipakai sebagai penentuan kualitas misfit.

Sebagai kebalikan dari misfit yang mencari besar selisih dua sinyal maka kadang diperlukan analisa tingkat kecocokan GOF (goodness-of-fit). Untuk GOF envelope

memiliki persamaan sebagai berikut.

















( , )

exp

( , )

,

( )

exp

( )

,

( )

exp

( )

,

exp

( , )

,

0,

0

k

k

k

k

TFEG t f

A

TFEM t f

TEG t

A

TEM t

FEG t

A

FEM f

EG

A

EM t f

A

k





















(15)

A menentukan nilai maksimum dari ranking kecocokan, jika A = 10 maka kecocokan sempurna adalah 10. Sedangkan k menentukan sensitifitas dari nilai GOF. Nilai k

secara normal adalah 1. Untuk GOF fase memiliki persamaan sebagai berikut.

















( , )

exp

( , )

,

( )

exp

( )

,

( )

exp

( )

,

exp

( , )

,

0,

0

k

k

k

k

TFPG t f

A

TFPM t f

TPG t

A

TPM t

FPG t

A

FPM f

PG

A

PM t f

A

k





















(16)

Anderson, (2004) telah membuat sebuah daftar verbal untuk menentukan kualitas perbandingan dua sinyal secara kualitatif dengan membuat daftar misfit dan GOF. Daftar tersebut dapat dilihat di Tabel 1.

METODE PENELITIAN

Untuk menguji coba maka dipilih permasalahan Lamb dalam 2 dimensi (Lamb, 1904) sebagai dasar pembangkitan seismogram. Untuk menghasilkan data hasil penghitungan analitis digunakan kode EX2DDR dari (Berg et al., 1994), sedang untuk metode elemen spektral menggunakan kode SPECFEM2D (Ampuero, 2016). Adapun untuk menganalisa misfit waktu-frekuensi menggunakan modul ObsPy (Beyreuther et al., 2010; Krischer et al., 2015; Megies et al., 2011).

Sumber gelombang adalah sebuah gaya tegak lurus (ke arah aksis Z) yang besarnya satu satuan menggunakan fungsi Ricker. Gambar 1 menunjukkan struktur domain komputasi untuk problem Lamb 2 dimensi.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Hasil analitis dan komputasi untuk semua skenario digrafikkan dalam satu kerangka untuk mengetahui kecocokannya. Hasil analitis dan komputasi digrafikkan masing-masing untuk komponen x dan z. Selanjutnya data diolah untuk memperoleh spektrum waktu-frekuensi. Data yang diolah untuk memperoleh nilai misfit diambil untuk komponen x saja sebagai wakil. Untuk menentukan tingkat kecocokan digunakan daftar verbal dari (Anderson, 2004) seperti ditunjukkan di Tabel 1.

Skenario 1

Hasil skenario 1 ditunjukkan di Gambar 2. Untuk komponenx di gambar 2.(a) dan komponen z di gambar 2.(b). Hasil analitis diwakili oleh grafik padat, sedang untuk hasil komputasi menggunakan garis putus. Dari Gambar 2 menunjukkan bahwa hasil komputasi sangat sesuai dengan hasil analitis.

Adapun hasil dari spektrum waktu-frekuensi dapat dilihat di Gambar 3 dimana nilai EM = 0,02 dan PM = 0,04. Sedang nilai kecocokannya EG = 9,77 dan PG = 9,60. Hasil simulasi komputasi memiliki misfit kecil dan kecocokannya adalah ekselen.

Skenario 2

Hasil skenario 2 ditunjukkan di Gambar 4. Untuk komponenx di gambar 4.(a) dan komponen z di gambar 4.(b). Hasil analitis diwakili oleh grafik padat, sedang untuk hasil komputasi menggunakan garis putus. Dari Gambar 4 menunjukkan bahwa hasil komputasi tidak sama dengan hasil analitis.

Tabel 1. Hubungan verbal antara misfit dan GOF. (Anderson, 2004)

Misfit

Envelope PhaseMisfit Numeric valueGoodness of FitVerbal value

± 0,00 ± 0,0 10

excellent ± 0,11 ± 0,1 9

± 0,22 ± 0,2 8

good ± 0,36 ± 0,3 7

± 0,51 ± 0,4 6

fair ± 0,69 ± 0,5 5

± 0,92 ± 0,6 4

poor ± 1,20 ± 0,7 3

± 1,61 ± 0,8 2 ± 2,30 ± 0,9 1

± ± 1,0 0

(1500, 50)

(2200, 0)

Vp = 3200 m/s Vs = 1847,5 m/s

Adapun hasil dari spektrum waktu-frekuensi dapat dilihat di Gambar 5 dimana nilai EM = 0,45 dan PM = 0,64. Sedang nilai kecocokannya EG = 6,36 dan PG = 3,59. Kesalahan terletak di waktu antara 0,5 sampai 1 s dengan kesalahan terbesar di waktu sekitar 0,6 s. Hal ini wajar karena puncak gelombang terbesar ada di lokasi itu. Selain itu nilai fase kedua sinyal juga berbeda. Hasil simulasi komputasi memiliki misfit yang besar dan kecocokannya adalah sangat jelek.

(a)

(b)

(a)

(b)

Gambar 3. (a) Spektrum misfit waktu-frekuensi skenario 1. (b) Spektrum kecocokan skenario 1.

(a)

(b)

Gambar 3. (a) Spektrum misfit waktu-frekuensi skenario 1. (b) Spektrum kecocokan skenario 1.

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

Gambar 5. Spektrum misfit waktu-frekuensi skenario 2. (b) Spektrum kecocokan skenario 2.

KESIMPULAN

Dari hasil pembahasan maka misfit waktu-frekuensi mampu menunjukkan lokasi kesalahan dan penyebab kesalahan dari dua buah sinyal seismogram hasil analitis dan

(a)

(b)

Gambar 5. Spektrum misfit waktu-frekuensi skenario 2. (b) Spektrum kecocokan skenario 2.

KESIMPULAN

Dari hasil pembahasan maka misfit waktu-frekuensi mampu menunjukkan lokasi kesalahan dan penyebab kesalahan dari dua buah sinyal seismogram hasil analitis dan

(a)

(b)

Gambar 5. Spektrum misfit waktu-frekuensi skenario 2. (b) Spektrum kecocokan skenario 2.

KESIMPULAN

DAFTAR RUJUKAN

Ampuero, J.P., 2016. Jean Paul Ampuero Downloads [WWW Document]. URL http://web.gps.caltech.edu/~ampuero/software.html (accessed 7.8.16).

Anderson, J.G., 2004. Quantitative measure of the goodness-of-fit of synthetic seismograms. 13th World Conf. Earthq. Eng. Conf. Proc. Vancouver, Canada, Paper 243, on CD ROM.

Aoi, S., Fujiwara, H., 1999. 3D finite-difference method using discontinuous grids. Bull Seism Soc Am 89, 918 930.

Berg, P., If, F., Nielsen, P., Skovgaard, O., 1994. Analytical reference solutions. Model. Earth Oil Explor. 421 427.

Beyreuther, M., Barsch, R., Krischer, L., Megies, T., Behr, Y., Wassermann, J., 2010. ObsPy: A Python Toolbox for Seismology. Seismol. Res. Lett. 81, 530 533. doi:10.1785/gssrl.81.3.530

Geller, R.J., Takeuchi, N., 1995. A new method for computing highly accurate DSM synthetic seismograms. Geophys. J. Int. 123, 449 470. doi:10.1111/j.1365-246X.1995.tb06865.x

Krischer, L., Megies, T., Barsch, R., Beyreuther, M., Lecocq, T., Caudron, C., Joachim Wassermann, 2015. ObsPy: a bridge for seismology into the scientific Python ecosystem. Comput. Sci. Discov. 8, 14003. doi:10.1088/1749-4699/8/1/014003

Kristeková, M., Kristek, J., Moczo, P., 2009. Time-frequency misfit and goodness-of-fit criteria for quantitative comparison of time signals. Geophys. J. Int. 178, 813 825. doi:10.1111/j.1365-246X.2009.04177.x

Kristeková, M., Kristek, J., Moczo, P., Day, S.M., 2006. Misfit Criteria for Quantitative Comparison of Seismograms. Bull. Seismol. Soc. Am. 96, 1836 1850. doi:10.1785/0120060012

Lamb, H., 1904. On the Propagation of Tremors over the Surface of an Elastic Solid. Philos. Trans. R. Soc. Lond. Math. Phys. Eng. Sci. 203, 1 42. doi:10.1098/rsta.1904.0013