PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN BAHASA R
SKRIPSI
NUR AINI SIBUEA 150803020
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2019
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN BAHASA R
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
NUR AINI SIBUEA 150803020
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2019
PERNYATAAN
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN BAHASA R
SKRIPSI
Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, juni 2019
Nur Aini Sibuea 150803020
PENGESAHAN SKRIPSI
Judul : Pendugaan Parameter Distribusi Binomial dengan Menggunakan Pemrograman Bahasa R
Kategori : Skripsi
Nama : Nur Aini Sibuea
Nomor Induk Mahasiswa : 150803020
Program Studi : Sarjana Matematika
Fakultas : MIPA-Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, juni 2019
Ketua Program Studi Pembimbing
Dr. Drs. Suyanto, M.Kom Dr. Elly Rosmaini, M.Si NIP. 195908131986011002 NIP. 196005201985032002
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN BAHASA R
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan nilai pendugaan parameter distribusi binomial dengan metode maximum likelihood dan metode moment. Untuk melihat perbandingan kedua metode dengan melalui simulasi menggunakan pemrograman bahasa R. Nilai pendugan parameter distribusi binomial dengan kedua metode tersebut adalah sama. Akan tetapi, untuk mecari nilai pendugaan parameter distribusi binomial lebih mudah dengan metode moment daripada metode maximum likehood dalam pengerjaannya. Berdasarkan hasil simulasi, didapat bahwa nilai bias dari metode maximum likelihood dan metode moment semakin kecil dengan ukuran sampel yang semakin besar. Dan Semakin besar ukuran sampel maka semakin kecil nilai pendugaan parameter.
Kata kunci: Distribusi Binomial, Metode Maximum likelihood, Metode Moment, Pemrograman Bahasa R, Pendugaan Parameter.
ESTIMATING PARAMETERS OF BINOMIAL DISTRIBUTION USING R LANGUAGE PROGRAMMING
ABSTRACT
The study aims to compare the estimated value paramters of binomial distribution with the maximum likelihood method and moment method. To see a comparison of the two methods through simulation using the R language programming. The value parameters estimation of binomial distribution with the two methods is the same.
However, to find the value parameters of binomial distribution, the moment method is easier than with the maximum likelihood method in the process. Based on the simulation results, it is known that the bias value of the maximum likelihood method and the moment method is getting smaller with an increasingly large sampel size.
And the large the sample size, the smaller the parameter estimation value.
Keyword: Binomial Distribution, Maximum Likelihood Method, Moment Method, R Language Programming, Estimation of the Parameters
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penyususnan skripsi ini yang berjudul “Pendugaan Parameter Distribusi Binomial dengan Menggunakan Pemrograman Bahasa R”.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku pembimbing yang telah memberikan waktu, ilmu, motivasi dan arahan selama penyusunan skripsi ini. Terima kasih kepada Ibu Dra. Laurentina Pangaribuan, MS dan Ibu Putri Khairiah Nasution, S.Si M.Si selaku dosen pembanding 1 dan pembanding 2 yang memberikan kritik dan saran yang membangun dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih kepada Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan, Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan FMIPA USU, seluruh staff dan dosen matematika FMIPA USU serta pegawai FMIPA USU. Terima kasih kepada kedua orangtua tercinta yaitu Ayahanda Andi Sibuea dan Ibunda Nilawati Limbong. Terima kasih kepada kakak tersayang yaitu Iffatul Jannah dan Maysandra Oktavianti. Terima kasih kepada “Sahabat Muslimah”
terutama Sri Ayuwinarti, Agus Sundari, Elvy Maritho Situmorang, Afni Fahtima, dan Mirdayani Zega. Terima kasih kepada keluarga Ukmi Al Falak dan Ukmi Ad Dakwah, teman-teman di Adzkia, teman-teman matematika 2015 FMIPA USU serta teman-teman kuliah lainnya yang telah membantu penulis menyelesaikan skripsi ini.
Semoga Allah SWT Yang Maha Esa akan membalasnya.
Medan, Juni 2019
Nur Aini Sibuea
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
ABSTRAK iii
ABSTRACT iv
PENGHARGAAN v
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR LAMPIRAN ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Batasan Masalah 2
1.4 Tujuan Penelitian 2
1.5 Manfaat Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Peubah Acak 4
2.1.1 Ruang Sampel Diskrit 4
2.1.2 Ruang Sampel Kontinu 4
2.2 Distribusi Peubah Acak 4
2.2.1 Distribusi Peubah Acak Diskrit 4 2.2.2 Distribusi Peubah Acak Kontinu 5
2.3 Nilai Harapan (Ekspektasi) 5
2.3.1 Sifat-Sifat Nilai Harapan (Ekspektasi) 5
2.4 Varians 6
2.4.1 Varians Diskrit 7
2.4.2 Varians Kontinu 7
2.4.3 Sifat-Sifat Varians 7
2.5 Momen 8
2.5.1 Momen Diskrit 8
2.5.2 Momen Kontinu 8
2.6 Distribusi Binomial 8
2.7 Pendugaan Parameter (Estimasi) 9
2.7.1 Estimasi Titik 10
2.7.2 Estimasi Interval 11
2.7.3 Sifat-Sifat Pendugaan 12
2.8 Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R 13 BAB 3 METODE PENELITIAN
Halaman
3.1 Metode Penelitian 15
3.2 Kerangka Penelitian 16
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Distribusi Binomial 17
4.1.1 Karakteristik Distribusi Binomial 17 4.2 Pendugaan Parameter pada Distribusi Binomial 22
4.2.1 Pendugaan Parameter dengan Metode
Maximum Likelihood pada Distribusi Binomial 22 4.2.2 Pendugaan Parameter dengan Metode Moment
pada Distribusi Binomial 26
4.3 Membandingkan Metode Maximum Likelihood dan Metode Moment Menggunakan Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R
27
4.3.1 Algoritma Simulasi 27
4.4 Analisis Hasil Kesimpulan 30
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 32
5.2 Saran 32
DAFTAR PUSTAKA 34
LAMPIRAN 35
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel JUDUL Halaman
4.1 Nilai Bias Pendugaan Parameter Distribusi Binomial 27
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar JUDUL Halaman
4.1 Histogram dengan n = 10 29
4.2 Kurva dengan n = 10 30
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Lampiran JUDUL Halaman
1 Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R 31
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pendugaan atau penarikan kesimpulan mengenai nilai sebenarnya dari parameter yang didasarkan pada sampel mengandung unsur ketidakpastian, artinya suatu dugaan atau kesimpulan bisa benar atau salah. Hal ini terjadi karena data yang digunakan adalah data pendugaan atau taksiran dari sampel yang mengandung kesalahan dalam penaksiran sampel.
Pendugaan dapat terjadi dalam kehidupan sosial, ekonomi, manajemen, keuangan, dan politik karena digunakan sebgai dasar sebuah perencanaan. Teori pendugaan adalah suatu proses dengan menggunakan statistik sample untuk menduga parameter populasi, sedangkan pengujian hipotesis adalah proses untuk memutuskan apakah hasil dugaan tersebut diterima atau ditolak (Purwanto S.K, 2016:48).
Teori estimasi terbagi dua yaitu estimasi titik dan estimasi interval. Estimasi titik merupakan pendugaan dari sebuah parameter populasi yang dinyatakan oleh bilanagn tunggal. Sedangkan estimasi interval merupakan pendugaan dari parameter populasi yang dinyatakan dengan dua buah bilangan diantara posisi parameternya diperkirrakan berbeda (Murray dan Larry, 1999).
Rodrigues et al. (2018) meneliti pendugaan parameter terhadap penggabungan dua distribusi yaitu poisson dan eksponential dengan beberapa metode estimasi titik.
Kemudian menguji parameter dengan sifat-sifat estimasi yaitu tidak bias dan membandingkan hasil dari beberapa metode dengan menggunakan simulasi.
Ridiani (2014) dalam jurnalnya menduga parameter pada distribusi beta dengan menggunakan metode momen dan likelihood dengan bantuan metode iterasi Newton-Raphson dan membandingan hasil dari kedua metode tersebut.
Menurut Muhammad Wiharto (2013) bahasa R adalah suatu software yang bergunakan untuk manipulasi data, simulasi, kalkulasi, dan peragaan grafik. Bahasa R memiliki kemmpuan menganalisis data dengan efektif dan dilengkapi dengan operator pengolahan array dan matriks (Sussolaikah, 2016).
Berdasarkan uraian jurnal dan latar belakang tersebut, penulis membuat penelitian pendugaan parameter dengan distribusi yang berbeda yaitu distribusi
2
binomial dengan menggunakan dua metode yaitu metode maximum likelihood dan metode moment. Hasil estimasi parameter diuji dengan sifat-sifat estimasi agar mendapatkan estimasi yang baik. Kemudian membandingkan hasil kedua metode menggunakan simulasi dengan pemrograman bahasa R. Oleh karena itu, penulis ingin menulis tentang “Pendugaan Parameter Distribusi Binomial dengan Menggunakan Pemrograman Bahasa R”.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang penelitian ini, permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana mencari nilai parameter dari distribusi binomial dengan metode maximum likelihood dan metode moment?.
2. Bagaimana perbandingan nilai parameter dari distribusi binomial antara metode maximum likelihood dan metode moment menggunakan simulasi dengan pemrograman bahasa R?.
1.3 Batasan Masalah
Adapun batasan masalah pada penelitian ini adalah:
1. Distribusi yang digunakan pada penelitian ini adalah distribusi binomial dengan dua parameter.
2. Pendugaan yang dipakai pada penelitian ini adalah pendugaan titik.
3. Metode yang digunakan untuk menduga parameter adalah metode maximum likelihood dan metode moment.
4. Simulasi dengan pemrograman bahasa R.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini sebagai berikut:
1. Menentukan pendugaan parameter dari distribusi binomial dengan metode maximum likelihood dan metode moment.
2. Menganalisis perbandingan metode maximum likelihood dan metode moment menggunakan pemrograman bahasa R.
3
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini dapat dimanfaatkan sebagai:
1. Bahan pembelajaran dan pengembangan pengetahuan bagi penulis dan mahasiswa yang ingin mengetahui lebih lanjut tentang pendugaan parameter dengan beberapa metode terhadap suatu distribusi.
2. Penulis dan pembaca lebih mengetahui dan memahami kegunaan pemrograman bahasa R.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Peubah Acak
Model peluang dari suatu percobaan dapat dispesifikasikan melalui ruang sampel (sample space) dari semua hasil kejadian sederhana atau kejadian dasar. Akan tetapi, kejadian dasar ini sering kali tidak berbentuk nilai yang terukur secara numerik (Waluyo, 2001:36).
Definisi 2.1
Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.
2.1.1 Ruang Sampel Diskrit Definisi 2.2
Bila suatu ruang sampel mengandung jumlah titik sampel yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah.
2.1.2 Ruang Sampel Kontinu Definisi 2.3
Bila suatu ruang contoh mengandung tak hingga banyaknya titik sampel yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah ruas garis (Walpole, 1997:114-116).
2.2 Distribusi Peubah Acak
2.2.1 Distribusi Peubah Acak Diskrit Definisi 2.4
Distribusi peubah acak diskrit adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random diskrit dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut.
Misalkan X adalah variabel random diskrit dari ruang sampel S. Suatu fungsi f dikatakan merupakan fungsi probabilitas atau distribusi dari variabel random diskrit jika memenuhi syarat:
5
1.
2.
3.
(Hasan, 2003:47).
2.2.2 Distribusi Peubah Acak Kontinu Definisi 2.5
Distribusi peubah acak kontinu adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random kontinu dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut.
Misalkan X adalah variabel random kontinu dari ruang sampel S. Suatu fungsi f dikatakan fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas variabel random kontinu X, jika memenuhi syarat:
1. untuk semua 2.
3.
(Hasan, 2003:49).
2.3 Nilai Harapan (Ekspektasi) Definisi 2.6
Nilai harapan (ekspektasi) adalah nilai rata-rata hitung tertimbang jangka panjang dari distribusi teoritis yang disimbolkan atau . Misalkan X adalah suatu variabel random dengan distribusi probailitas atau maka nilai harapannya atau rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut:
1. Untuk distribusi probabilitas diskrit 2. Untuk distribusi probabilitas kontinu
(Hasan, 2003:50).
2.3.1 Sifat-Sifat Nilai Harapan (Ekspektasi) I. Jika c adalah konstanta, maka .
6
Bukti:
II. Jika c adalah konstanta dan u(X) adalah fungsi dari X, maka:
Bukti:
III. Jika c1 dan c2 adalah dua buah konstanta dan u1(X) dan u2(X) adalah dua buah fungsi dari X, maka:
Bukti:
2.4 Varians
Misalkan X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Varians dari X didefinisikan sebagai:
atau
7
2.4.1 Varians Diskrit
Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka varians dari X didefinisikan sebagai:
2.4.2 Varians Kontinu
Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka varians dari X didefinisikan sebagai berikut:
2.4.3 Sifat-Sifat Varians
I. Jika c adalah sebuah konstanta, maka . Bukti:
II. Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka:
Bukti:
III. Jika a dan b adalah dua konstanta dan X adalah peubah acak, maka:
Bukti:
8
2.5 Momen
Jika X adalah peubah acak baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai:
2.5.1 Momen Diskrit
Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka momen ke-k didefinisikan sebagai:
2.5.2 Momen Kontinu
Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka momen ke-k didefinisikan sebagai:
(Herrhyanto dan Tuti, 2009:181-195).
2.6 Distribusi Binomial
Distribusi binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan percobaan Bernoulli. Jacob Bernoulli hidup pada tahun 1654-1705, selama 20 tahun mempelajari probabilitas dan hasil penemuannya diterbitkan dalam buku berjudul Ars Conjectandi.
Percobaan binomial adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri berikut:
1. Percobaannya terdiri atas n ulangan.
9
2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal.
3. Peluang berhasil, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah-ubah.
4. Ulangan-ulangan itu bersifat bebas atau satu sama lain (Walpole, 1997:154).
Definisi 2.7
Variabel acak X dalam distribusi binomial dengan parameter n dan p jika X adalah distribusi diskrit maka p.f nya adalah:
dan .
Rata-rata (Mean)
Variansi
Moment Generating Function
(Degroot dan Mark, 2012:277).
2.7 Pendugaan Parameter (Estimasi)
Satu aspek penting dalam statistika inferens adalah pendugaan parameter populasi atau parameter dari statistik sampel atau statistik yang bersangkutan (Spiegel, 1994:209). Teori pendugaan adalah suatu proses dengan menggunakan statistik sample untuk menduga parameter populasi, sedangkan pengujian hipotesis adalah proses untuk memutuskan apakah hasil dugaan tersebut diterima atau ditolak (Purwanto S.K, 2016:48).
10
2.7.1 Estimasi Titik
Pendugaan titik (estimasi titik) adalah suatu nilai (suatu titik) yang digunakan untuk menduga suatu parameter populasi (Purwanto S.K, 2016:52).
Definisi 2.8
Suatu estimator titik adalah sebarang fungsi dari sampel. Ini berarti sebarang statistik adalah estimator titik.
Suatu estimator adalah fungsi sampel sedangkan estimate adalah nilai terealisasi dari estimator yaitu bilangan yang didapat bila sampel bener-bener diambil. Bila sampel diambil, estimator adalah fungsi variabel random sedangkan estimate adalah fungsi dari nilai-nilai terealisasi (Subanar, 2013:29).
Macam-macam metode estimasi titik yaitu:
1. Metode Moment
Metode moment yang diciptakan oleh Karl Pearson tahun 1800 adalah metode tertua dalam menentukan estimator titik. Misalkan adalah sampel dari populasi dengan densitas . Estimator motode moment dengan menyamakan k moment sampel pertama pada k moment sampel populasi dan menyelesaikan sistem persamaan simultan yang dihasilkan.
Untuk didefinisikan
Moment populasi merupakan fungsi dapat ditulis . Estimator metode moment dari didapat dengan menyelesaikan sistem dalam bentuk
11
2. Metode Maxsimum Likelihood
Metode maxsimum likelihood adalah metode yang paling populer dalam menghasilkan estimator. Misalkan adalah sampel random dari populasi dengan densitas di mana merupakan parameter tak diketahui.
Fungsi kemungkinan (likelihood) didefinisikan sebagai berikut:
Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter tidak diketahui . Dalam aplikasi menunjukkan fungsi densitas probabilitas dari sampel random. Jika S ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum S maka persamaan yaitu:
Untuk menentukan nilai estimator dengan kemungkinan maksimum dapat menggunkan logaritma natural terhadap fungsi likelihood. Karena fungsi logaritma adalah fungsi naik. Sehingga logaritma likelihood sebagai berikut:
2.7.2 Estimasi Interval
Pendugaan interval adalah suatu interval yang menyatakan selang di mana suatu parameter populasi mungkin terjadi (Purwanto S.K, 2016:56).
Definisi 2.8
Estimator interval parameter adalah pasangan fungsi dan dari sampel yang memenuhi untuk semua . Bila
12
terobservasi, dibuat inferensi . Interval random disebut estimator interval.
Sebagai contoh, bila , maka mempunyai selang satu sisi . Dengan cara yang sama dapat mengambil dan mempunyai interval satu sisi (Subanar,2013:101).
2.7.3 Sifat-Sifat Pendugaan
Penduga yang baik adalah pendugaan yang mendekati nilai parameter sebenarnya.
Ciri-ciri pendugaan yang baik antara lain:
1. Tidak Bias
Pendugaan titik dikatakan tidak bias jika di dalam sampel random yang berasal dari populasi, rata-rata atau nilai harapan dari statistik sampel sama dengan parameter populasi atau (Purwanto S.K, 2016:52).
Definisi 2.9
Statistik dikatakan penduga tak bias bagi parameter bila (Walpole, 1997:239). Nilai bias dari estimator adalah selisih dari nilai ekspektasi dan nilai parameter yang sebenarnya yaitu:
(Freund, 1992:357).
2. Efisien
Penduga yang efisien adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai varians yang paling kecil dari penduga lainnya. Jika ada dua penduga yang tidak bias, misalkan, dan di mana varian atau standar deviasi dari lebih kecil dari maka dapat disimpulkan bahwa penduga lebih baik dari penduga . Penduga dengan standar deviasi yang paling kecil adalah penduga yang efisien (Purwanto S.K, 2016:53).
13
Definisi 2.10
Di antara semua kemungkinan penduga tak bias bagi parameter , yang ragamnya terkecil adalah penduga paling efisien bagi (Walpole, 1997: 240).
Jika adalah tidak bias pada estimator dan
kemudian adalah varians terkecil tidak bias dari estimator (Freund, 1992:360).
3. Konsisten
Penduga yang konsisten adalah nilai dugaan yang semakin mendekati nilai yang sebenarnya dengan semakin bertambahnya jumlah sampel . Ukuran sampel yang semakin besar cenderung memberikan penduga yang konsisten dibandingkan dengan ukuran sampel yang kecil. merupakan penduga yang konsisten terhadap karena apabila n mendekati N, maka mendekati dan apabila n = N, maka (Purwanto S.K, 2016:54).
2.8 Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R
Menurut Muhammad Wiharto (2013) bahasa R adalah suatu software yang bergunakan untuk manipulasi data, simulasi, kalkulasi, dan peragaan grafik. Bahasa R memiliki kemmpuan menganalisis data dengan efektif dan dilengkapi dengan operator pengolahan array dan matriks.
Menurut Yudhisthira (2005) kelebihan dari pemrograman bahasa R adalah:
1. Bahasa R merupakan software open-source atau bersifat gratis.
2. Bahasa R bersifat multi-platform sehingga bisa berjalan pada berbagai sistem operasi.
3. Bahasa R memiliki sistem bantuan yang canggih.
4. Kemampuan bahasa R dalam membuat grafik cukup canggih.
5. Sintaxnya mudah dipelajari dengan banyak fungsi-fungsi statistik yang terpasang.
6. Pengguna dapat menciptakan fungsi-fungsi buatan pengguna sendiri sehingga akan mempeluas pemrograman bahasa R.
14
Sedangkan kelemahan pemrograman bahasa R adalah:
1. Grafik antar muka bahasa R terbatas.
2. Perintah-perintah dalam bahasa R berupa bahasa pemrograman, jadi harus mempelajari sintaxnya terlebih dahulu (Sussolaikah, 2016).
BAB 3
METODE PENELITIAN
3.1 Metode Penelitian
Adapun metode penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menyiapkan bahan
Mencari bahan-bahan yang menyangkut tentang pendugaan parameter dan distribusi binomial dari buku maupun jurnal yang dapat dijadikan sebagai landasan teori dari penelitian.
2. Melakukan pendugaan parameter pada distribusi binomial.
2.1 Metode Maximum likelihood
a. Menentukan fungsi likelihood pada distribusi binomial.
b. Membentuk fungsi likelihood pada distribusi binomial ke dalam logaritma natural (ln).
c. Memaksimumkan fungsi likelihood pada distribusi binomial.
d. Menentukan pendugaan parameter dari fungsi padat peluang distribusi binomial.
2.2 Metode Moment
a. Menentukan nilai moment pertama dan moment kedua dari sampel.
b. Menentukan nilai moment pertama dan moment kedua dari populasi pada distribusi binomial.
c. Menyamakan nilai moment pertama dari sampel dengan nilai moment pertama dari populasi dan nilai moment kedua dari sampel dengan nilai moment kedua dari populasi.
d. Menentukan pendugaan parameter dari fungsi padat peluang distribusi binomial.
3. Membandingkan metode maximum likelihood dan metode moment menggunakan simulasi dengan pemrograman bahasa R.
4. Menganalisis dan membuat kesimpulan.
16
3.2 Kerangka Penelitian
Studi Literatur
Menyiapkan bahan materi mengenai judul
Melakukan pendugaan parameter pada distribusi binomial
Estimasi titik dengan menggunakan metode maximum likelihood dan metode
moment
Membandingkan metode maximum likelihood dan metode moment menggunakan simulasi
dengan pemrograman bahasa R
Menganalisis hasil perbandingan pendugaan parameter dengan metode maximum likelihood
dan metode moment
Membuat kesimpulan
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Distribusi Binomial
Distribusi binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan percobaan Bernoulli. Jacob Bernoulli hidup pada tahun 1654-1705, selama 20 tahun mempelajari probabilitas dan hasil penemuannya diterbitkan dalam buku berjudul Ars Conjectandi.
Variabel acak X dalam distribusi binomial dengan parameter n dan p jika X adalah distribusi diskrit maka p.f nya adalah:
4.1.1 Karakteristik Distribusi Binomial Adapun karakteristik distribusi binomial adalah:
1. Fungsi Padat Peluang
Bukti:
(4.1)
2. Rata-rata (mean)
Bukti:
18
Misal:
dan
Dapat diperoleh:
Karena menurut definisi fungsi padat peluang,
Sehingga,
(4.2)
3. Variansi
Bukti:
(4.3)
(4.4)
19
Misal:
dan
Dapat diperoleh:
Karena menurut definisi fungsi padat peluang,
Sehingga,
(4.5)
Substitusi nilai persamaan (4.5) ke dalam persamaan (4.4)
(4.6)
Kemudian substitusi nilai persamaan (4.6) ke dalam persamaan (4.3)
(4.7)
4. Moment Generating Function
Bukti:
20
(4.8)
5. Kemencengan/Kemiringan (Skewness) Bukti:
(4.9)
(4.10)
Misal:
dan
Dapat diperoleh:
Karena menurut definisi fungsi padat peluang,
Sehingga,
(4.11)
21
Substitusi nilai persamaan (4.11) ke dalam persamaan (4.10)
(4.12)
(4.13)
Substitusi nilai persamaan (4.13) ke dalam persamaan (4.9)
(4.14)
22
4.2 Pendugaan Parameter pada Distribusi Binomial
Peneliti meneliti tentang penaksiran parameter pada distribusi binomial dengan menggunakan metode maximum lilkelihood dan metode moment. Pendugaan parameter mempunyai sifat-sifat yaitu tidak bias, efisien dan konsisten.
4.2.1 Pendugaan Parameter dengan Metode Maximum Likelihood pada Distribusi Binomial
Langkah-langkah pendugaan parameter dengan metode maximum likelihood:
1. Menentukan fungsi likelihood pada distribusi binomial.
Untuk menentukan fungsi likelihood maka telah diketahui fungsi probabilitas dari distribusi binomial yaitu:
Kemudian misalkan adalah sampel random berukuran n dan n bilangan bulat positif maka diperoleh:
(4.15) Sehingga fungsi likelihood pada distribusi binomial adalah
(4.16)
2. Membentuk fungsi likelihood pada distribusi binomial ke dalam logaritma natural (ln).
(4.17)
3. Memaksimumkan fungsi likelihood pada distribusi binomial.
a. Turunkan fungsi likelihood terhadap p, dapat diperoleh:
23
(4.18)
b. Turunkan fungsi likelihood terhadap n, dapat diperoleh:
(4.19)
(4.20) Diketahui:
Mencari nilai Misalkan:
24
Mencari nilai
(4.21)
Kemudian substitusi ke dalam persamaan (4.21)
(4.22)
Kemudian substitusi ke dalam (4.20)
Setelah itu, substitusi ke dalam (4.19)
(4.23)
25
4. Menentukan pendugaan parameter dari fungsi padat peluang distribusi binomial.
a. Setelah fungsi likelihood diturunkan terhadap p, kemudian persamaan tersebut disamakan dengan nol.
(4.24)
b. Setelah fungsi likelihood diturunkan terhadap n, kemudian persamaan tersebut disamakan dengan nol.
(4.25)
Jadi, pendugaan parameter dengan menggunakan metode maximum likelihood pada distribusi binomial dapat diperoleh
26
4.2.2 Pendugaan Parameter dengan Metode Moment pada Distribusi Binomial
Diketahui adalah sampel random berukuran n dan n bilangan bulat positif pada pendugaan parameter metode moment. Adapun langkah-langkah pendugaan parameter dengan metode moment:
1. Menentukan nilai moment pertama dan moment kedua dari sampel.
Nilai moment pertama dari sampel:
(4.26)
Nilai moment kedua dari sampel:
(4.27)
2. Menentukan nilai moment pertama dan moment kedua dari populasi pada distribusi binomial.
Nilai moment pertama dari populasi:
Nilai moment kedua dari populasi:
(4.28)
3. Menyamakan nilai moment pertama dari sampel dengan nilai moment pertama dari populasi dan nilai moment kedua dari sampel dengan nilai moment kedua dari populasi.
Nilai moment pertama dari sampel = nilai moment pertama dari populasi:
Nilai moment kedua dari sampel = nilai moment kedua dari populasi:
4. Menentukan pendugaan parameter dari fungsi padat peluang distribusi binomial.
27
Menentukan nilai parameter p:
(4.29)
Menentukan nilai parameter n:
(4.30)
Jadi, pendugaan parameter dengan menggunakan metode moment pada distribusi binomial dapat diperoleh .
4.3 Membandingkan Metode Maximum Likelihood dan Metode Moment Menggunakan Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R.
4.3.1 Algoritma Simulasi
Adapun algoritma simulasi dengan pemrograman Bahasa R adalah:
1. Membangkitkan bilangan acak yang berdistribusi binomial dengan ukuran sampelnya adalah n = 10, n = 20, n = 50, n = 75, n = 100.
28
2. Mencari nilai pendugaan parameter dengan metode maximum likelihood berdasarkan ukuran sampelnya. Karena pendugaan parameter distribusi binomial dengan metode maximum likelihood dan metode moment bernilai sama, maka cukup dicari salah satunya untuk mempersingkat program.
3. Setelah nilai estimator (pendugaan parameter) telah didapat, maka dilakukan evaluasi nilai estimator dengan melihat salah satu sifat pendugaan yaitu nilai biasnya. Untuk mencari nilai bias, maka harus ada peluang yang sebenarnya.
Penulis mengambil sampel peluangnya adalah p = 0,2, p = 0,4, p = 0,6, p = 0,8, p
= 0,95.
4. Menampilkan histogram dan kurva dari distribusi binomial. Kemudian mencari nilai kemiringannya. Misalnya menampilkan histogram dan kurva dari distribusi binomial dengan banyak sampelnya 10 dan peluangnya 0,2. Hal ini dilakukan untuk banyak sampel 20, 50, 75, dan 100.
5. Hasil dari simulasi.
Tabel 4.1 Nilai Bias Pendugaan Parameter Distribusi Binomial
N p
Nilai Pendugaan
Parameter Nilai Bias
10
0,2
0,11 0,11
-0,09 -0,09
0,4 -0,29 -0,29
0,6 -0,49 -0,49
0,8 -0,69 -0,69
0,95 -0,84 -0,84
20 0,2
0,0575 0,0575
-0,1425 -0,1425
0,4 -0,3425 -0,3425
0,6 -0,5425 -0,5425
0,8 -0,7425 -0,7425
0,95 -0,8925 -0,8925
50
0,2
0,0212 0,0212
-0,1788 -0,1788
0,4 -0,3788 -0,3788
0,6 -0,5788 -0,5788
0,8 -0,7788 -0,7788
0,95 -0,9288 -0,9288
75
0,2
0,01351 0,01351
-0,18649 -0,18649
0,4 -0,38649 -0,38649
0,6 -0,58649 -0,58649
0,8 -0,78649 -0,78649
29
0,95 -0,98649 -0,98649
100 0,2
0,0104 0,0104
-0,1896 -0,1896
0,4 -0,3896 -0,3896
0,6 -0,5896 -0,5896
0,8 -0,7896 -0,7896
0,95 -0,9896 -0,9896
6. Gambar dari histogram dan kurva dari distribusi binomial dengan banyak sampelnya (n=10) dan peluangnya (p=0,2)
Gambar 4.1 Histogram dengan n = 10
Berdasarkan Gambar 4.1 menyatakan bahwa bilangan 0-0,5 sebanyak 3, bilangan 0,5-1,0 sebanyak 4, bilangan 1,5-2,0 sebanyak 2, dan bilangan 2,5-3,0 sebanyak 1.
Jumlah keseluruhan bilangan sebanyak 10.
30
Gambar 4.2 Kurva dengan n = 10
Berdasarkan Gambar 4.2 diketahui bahwa kurva miring ke kanan maka disebut kemiringan positif. Nilai kemiringan yaitu 0.4743416 berdasarkan rumus kemiringan distribusi binomial dengan menggunakan program bahasa R. Hal ini dapat dilakukan pada sampel lainnya yaitu 20, 50, 75, dan 100.
4.4 Analisis Hasil Simulasi
Adapun hasil dari simulasi dengan menggunakan pemrograman bahasa R adalah:
1. Berdasarkan hasil simulasi dengan menggunakan pemrograman bahasa R, dapat diketahui bahwa nilai bias dari metode maximum likelihood dan metode moment semakin kecil dengan ukuran sampel yang semakin besar. Misalnya n = 10, p sebenarnya = 0,2, dan p dugaannya = 0,11 maka nilai biasnya = -0,09. Begitu seterusnya untuk ukuran sampel lainnya.
2. Berdasarkan hasil simulasi dengan pemrograman bahasa R dapat diketahui bahwa semakin besar ukuran sampel maka semakin kecil nilai pendugaan parameter. Misalnya jika n = 10 maka nilai pendugaan parameter p = 0,11, jika n
= 20 maka nilai pendugaan parameter p = 0,0575, jika n = 50 maka nilai pendugaan parameter p = 0,0212, jika n = 75 maka nilai pendugaan parameter p
= 0,01351, dan jika n = 100 maka nilai pendugaan parameter p = 0,0104.
31
3. Disimpulkan bahwa nilai pendugaan parameter dengan metode maximum likehood dan metode moment bernilai sama. Akan tetapi, untuk mencari nilai pendugaan parameter distribusi binomial lebih mudah dengan metode moment daripada metode maximum likehood dalam pengerjaan analisisnya.
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari hasil penelitian ini yaitu:
1. Nilai pendugaan parameter pada distribusi binomial dengan metode maximum likelihood dan metode moment secara manualnya adalah:
a. Pendugaan parameter dengan metode maximum likelihood
b. Pendugaan parameter dengan metode moment
2. Disimpulkan bahwa nilai pendugaan parameter dengan metode maximum likehood dan metode moment bernilai sama. Akan tetapi, untuk mencari nilai pendugaan parameter distribusi binomial lebih mudah dengan metode moment daripada metode maximum likehood dalam pengerjaan analisisnya.
3. Berdasarkan hasil simulasi dengan menggunakan pemrograman bahasa R, dapat diketahui bahwa nilai bias dari metode maximum likelihood dan metode moment semakin kecil dengan ukuran sampel yang semakin besar. Misalnya n = 10, p sebenarnya = 0,2, dan p dugaannya = 0,11 maka nilai biasnya = -0,09. Begitu seterusnya untuk ukuran sampel lainnya.
4. Berdasarkan hasil simulasi dengan pemrograman bahasa R dapat diketahui bahwa semakin besar ukuran sampel maka semakin kecil nilai pendugaan parameter. Misalnya jika n = 10 maka nilai pendugaan parameter p = 0,11, jika n
= 20 maka nilai pendugaan parameter p = 0,0575, jika n = 50 maka nilai pendugaan parameter p = 0,0212, jika n = 75 maka nilai pendugaan parameter p
= 0,01351, dan jika n = 100 maka nilai pendugaan parameter p = 0,0104.
5.2 Saran
Adapun saran untuk penelitian selanjutnya adalah:
1. Pendugaan parameter pada distribusi binomial dengan menggunakan metode bayes ataupun metode pendugaan lainnya.
33
2. Simulasi dapat dilakukan dengan bahasa pemrograman lainnya misalnya R-Shiny untuk membandingkan hasil metode pendugaan parameter.
34
DAFTAR PUSTAKA
Degroot, Morris H dan Mark J. Schervish. 2012. Probability and Statistics Fourth Edition. America: Pearson Education.
Freund, John E. 1992. Mathematical Statistics Fifth Edition. America: Prentice Hall.
Hasan, M. Iqbal. 2003. Pokok-Pokok Statistik 2 (Statistik Inferensif). Jakarta: PT Bumi Aksara.
Herrhyanto, Nar dan Tuti Gantini. 2009. Pengantar Statistika Matematika. Bandung:
CV. Yrama Widya.
Kapur, J.N dan Saxena H.C. 1960. Mathematical Statistic. India: Rajendra Ravindra Printers.
Purwanto S.K, Suharyadi. 2016. Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern Edisi 3 | Buku 1. Jakarta Selatan: Salemba Empat.
Purwanto S.K, Suharyadi. 2016. Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern Edisi 3 | Buku 2. Jakarta Selatan: Salemba Empat.
Ridiani, Feby. 2014 “Pendugaan Parameter Distribusi Beta dengan Metode Momen dan Metode Likelihood” Jurnal Matematika UNAND (online).
jmua.fmipa.unand.ac.id. Diakses pada Tanggal 03 Januari 2019.
Rodrigues, Giovani Carrara, Francisco Louzada dan Pedro Luis Ramos. 2018
“Poisson-exponential distribution: different methods of estimation”
Journal Of Applied Statistics (online). www.tandfonline.com. Diakses pada Tanggal 21 November 2018.
Spiegel, Murray R. 1994. Statistika Edisi Kedua (Diterjemahkan oleh I Nyoman Susila dan Ellen Gunawan). Jakarta: Erlangga.
Subanar. 2013. Statistika Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Sussolaikah, Kelik. 2016 “Sentimen Analysis Terhadap Acara Televisi Mata Najwa Berdasarkan Opini Masyarakat pada Microblogging Twitter” Thesis Universitas Muhammadiyah Ponorogo (online). http://library.umpo.ac.id.
Diakses pada Tanggal 02 juni 2019.
Walpole, Ronald E. 1997. Pengantar Statistika Edisi Ke-3. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.
Waluyo, Sihono Dwi. 2001. Statistika untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta:Ghalia Indonesia.
35
LAMPIRAN
1. Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R
set.seed(1)
> n10<-10
> x10<-rbinom(10,5,0.2)
> x10
[1] 0 1 1 2 0 2 3 1 1 0
> MLE10<-(sum(x10))/n10^2
> MLE10 [1] 0.11
> bias10_1<-(mean(MLE10))-0.2
> bias10_1 [1] -0.09
> bias10_2<-(mean(MLE10))-0.4
> bias10_2 [1] -0.29
> bias10_3<-(mean(MLE10))-0.6
> bias10_3 [1] -0.49
> bias10_4<-(mean(MLE10))-0.8
> bias10_4 [1] -0.69
> bias10_5<-(mean(MLE10))-0.95
> bias10_5 [1] -0.84
> hist(x10)
> plot(density(x10))
> p <- 0.2
> kemiringan <- ((1-2*p)/(sqrt((n10*p)*(1-p)))) [1] 0.4743416
36
> set.seed(1)
> n20<-20
> x20<-rbinom(20,5,0.2)
> x20
[1] 0 1 1 2 0 2 3 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 3 1 2
> MLE20<-(sum(x20))/n20^2
> MLE20 [1] 0.0575
> bias20_1<-(mean(MLE20))-0.2
> bias20_1 [1] -0.1425
> bias20_2<-(mean(MLE20))-0.4
> bias20_2 [1] -0.3425
> bias20_3<-(mean(MLE20))-0.6
> bias20_3 [1] -0.5425
> bias20_4<-(mean(MLE20))-0.8
> bias20_4 [1] -0.7425
> bias20_5<-(mean(MLE20))-0.95
> bias20_5 [1] -0.8925
> hist(x20)
> plot(density(x20))
> p <- 0.2
> kemiringan <- ((1-2*p)/(sqrt((n20*p)*(1-p))))
> kemiringan [1] 0.3354102
> set.seed(1)
> n50<-50
> x50<-rbinom(50,5,0.2)
37
> x50
[1] 0 1 1 2 0 2 3 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 3 1 2 2 0 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 1 0 2 1 2 0 [39] 1 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 1
> MLE50<-(sum(x50))/n50^2
> MLE50 [1] 0.0212
> bias50_1<-(mean(MLE50))-0.2
> bias50_1 [1] -0.1788
> bias50_2<-(mean(MLE50))-0.4
> bias50_2 [1] -0.3788
> bias50_3<-(mean(MLE50))-0.6
> bias50_3 [1] -0.5788
> bias50_4<-(mean(MLE50))-0.8
> bias50_4 [1] -0.7788
> bias50_5<-(mean(MLE50))-0.95
> bias50_5 [1] -0.9288
> hist(x50)
> plot(density(x50))
> p <- 0.2
> kemiringan <- ((1-2*p)/(sqrt((n50*p)*(1-p))))
> kemiringan [1] 0.212132
> set.seed(1)
> n75<-75
> x75<-rbinom(75,5,0.2)
> x75
[1] 0 1 1 2 0 2 3 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 3 1 2 2 0 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 1 0 2 1 2 0
38
[39] 1 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 2 0 1 1 1 0 1 2 0 2 1 2 1 1 1
> MLE75<-(sum(x75))/n75^2
> MLE75 [1] 0.01351111
> bias75_1<-(mean(MLE75))-0.2
> bias75_1 [1] -0.1864889
> bias75_2<-(mean(MLE75))-0.4
> bias75_2 [1] -0.3864889
> bias75_3<-(mean(MLE75))-0.6
> bias75_3 [1] -0.5864889
> bias75_4<-(mean(MLE75))-0.8
> bias75_4 [1] -0.7864889
> bias75_5<-(mean(MLE75))-0.95
> bias75_5 [1] -0.9364889
> hist(x75)
> plot(density(x75))
> p <- 0.2
> kemiringan <- ((1-2*p)/(sqrt((n75*p)*(1-p))))
> kemiringan [1] 0.1732051
> set.seed(1)
> n100<-100
> x100<-rbinom(100,5,0.2)
> x100
[1] 0 1 1 2 0 2 3 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 3 1 2 2 0 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 1 0 2 1 2 [38] 0 1 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 2 0 1 1 1 0 1 2 0 2 1 2 1 1 [75] 1 2 2 1 2 3 1 1 1 0 2 0 1 0 0 0 0 0 1 2 2 2 1 1 2 1
39
> MLE100<-(sum(x100))/n100^2
> MLE100 [1] 0.0104
> bias100_1<-(mean(MLE100))-0.2
> bias100_1 [1] -0.1896
> bias100_2<-(mean(MLE100))-0.4
> bias100_2 [1] -0.3896
> bias100_3<-(mean(MLE100))-0.6
> bias100_3 [1] -0.5896
> bias100_4<-(mean(MLE100))-0.8
> bias100_4 [1] -0.7896
> bias100_5<-(mean(MLE100))-0.95
> bias100_5 [1] -0.9396
> hist(x100)
> plot(density(x100))
> p <- 0.2
> kemiringan <- ((1-2*p)/(sqrt((n100*p)*(1-p))))
> kemiringan [1] 0.15
