TERMINOLOGI GRAF DAN BEBERAPA JENIS GRAF KHUSUS

TERMINOLOGI GRAF DAN BEBERAPA JENIS GRAF KHUSUS Terminologi Dasar

Beberapa Terminologi Yang Menggambarkan Simpul Dan Sisi Pada Graf Tak Berarah DEFINISI 1

Dua simpul 𝑢 dan 𝑣 pada suatu graf tak berarah 𝐺 disebut bersebelahan ( bertetangga ) jika 𝑢 dan 𝑣 adalah titik ujung dari suatu sisi 𝑒 dari 𝐺 . Sisi 𝑒 yang demikian disebut bersisian dengan simpul 𝑢 dan 𝑣, dan dikatakan e menghubungkan 𝑢 dan 𝑣

DEFINISI 2

Himpunan dari semua simpul dari graf 𝐺 = 𝑉, 𝐸 yang bersebelahan dengan 𝑣, disebut lingkungan dari 𝑣. Jika 𝐴 ⊂ 𝑉 , notasi 𝑁 𝐴 , berarti himpunan dari semua simpul di 𝐺 yang bersebelahan dengan paling tidak satu simpul di A, jadi 𝑁 𝐴 = ڂ𝑣𝗀𝐴 𝑁(𝑣)

DEFINISI 3

Derajat dari suatu simpul pada graf tak berarah adalah banyaknya sisi yang bersisian dengannya, kecuali untuk loop pada simpul tersebut menyumbang 2 kali untuk derajat simpul tersebut. Derajat dari sisi 𝑣 dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑔(𝑣)

Suatu simpul yang berderajat nol dikatakan terisolasi. Simpul terisolasi tidak bersebelahan dengan simpul manapun. Suatu simpul dikatakan anting jika dan hanya jika memiliki derajat satu. Simpul anting bersebelahan dengan tepat satu simpul lainnya.

TEOREMA 1 ( Teorema Berjabatan Tangan )

Misal graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf tak berarah dengan 𝑚 sisi. Maka, 2𝑚 = ∑_𝑣∈𝑉 𝑑𝑒𝑔(𝑣) (catat bahwa teorema ini berlaku termasuk jika ada sisi ganda maupun loop)

Bukti :

Setiap sisi berkonstribusi dua pada jumlahan dari derajat simpul, karena setiap sisi bersisian dengan tepat dua simpul (bisa sama). Dengan demikian, maka jumlahan dari derajat simpul dua kali banyaknya sisi

TEOREMA 2

Graf tak berarah memiliki sebanyak genap simpul yang berderajat ganjil.

Bukti :

Misal 𝑉1 dan 𝑉2 berturut-turut adalah himpunan simpul yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada graf 𝐺 =(𝑉, 𝐸) dengan banyak sisi 𝑚, maka

2𝑚 = ∑_𝑣∈𝑉 𝑑𝑒𝑔(𝑣)= ∑_𝑣∈𝑉1 𝑑𝑒𝑔(𝑣)+ ∑_𝑣∈𝑉2 𝑑𝑒𝑔(𝑣),

sehingga ∑_𝑣∈𝑉1 𝑑𝑒𝑔(𝑣)+ ∑_𝑣∈𝑉2 𝑑𝑒𝑔(𝑣) genap. Karena 𝑉1 adalah himpunan simpul yang berderajat genap maka ∑_𝑣∈𝑉1 𝑑𝑒𝑔(𝑣) adalah genap. Dengan demikian haruslah ∑_𝑣∈𝑉2 𝑑𝑒𝑔(𝑣) genap. Jadi ada sebanyak genap simpul berderajat ganjil pada graf tak berarah.

Beberapa Terminologi Pada Graf Tak Berarah DEFINISI 4

Jika (𝑢, 𝑣) adalah sisi dari graf berarah 𝐺 , 𝑢 dikatakan bersebelahan ke 𝑣 dan 𝑣 dikatakan bersebelahan dari 𝑢 . Simpul 𝑢 dikatakan simpul awal dari sisi (𝑢, 𝑣) dan 𝑣 dikatakan simpul akhir dari sisi (𝑢, 𝑣). Pada suatu loop, simpul awal dan simpul akhirnya sama.

DEFINISI 5

Pada graf dengan sisi berarah, derajat masuk dari simpul 𝑣 dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑔^-(𝑣) adalah banyaknya sisi dengan simpul akhir 𝑣 dan derajat keluar dari simpul 𝑣 dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑔⁺(𝑣) adalah banyaknya sisi dengan simpul awal 𝑣. Catat bahwa loop menyumbangkan satu pada derajat suatu simpul, masing-masing untuk derajat masuk dan derajat keluar.

TEOREMA 3

Misal graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf berarah . Maka

∑_𝑣∈𝑉 𝑑𝑒𝑔⁻(𝑣)= ∑_𝑣∈𝑉 𝑑𝑒𝑔⁺(𝑣)= |𝐸|

Bukti :

Setiap sisi memiliki simpul awal dan simpul akhir, jadi jumlahan dari derajat masuk dan jumlahan dari derajat keluar dari semua simpul adalah sama banyak dan sama dengan banyaknya simpul pada graf 𝐺

BEBERAPA GRAF SEDERHANA ISTIMEWA Graf Lengkap 𝐾𝑛

Graf lengkap pada 𝑛 simpul, dinotasikan dengan 𝐾𝑛 adalah graf sederhana yang memiliki tepat satu sisi pada setiap pasangan simpul yang berbeda.

Jika pada suatu graf sederhana terdapat satu pasang simpul berbeda yang dihubungkan oleh suatu sisi dikatakan graf tersebut tidak lengkap.

Graf Siklis Cn

Graf Roda 𝑊𝑛

Graf roda diperoleh jika kita menambahkan satu simpul pada graf siklis dan menghubungkan simpul tambahan tersebut dengan setiap simpul pada graf siklus.

Graf 𝑛 − kubus 𝑄𝑛

Hiperkubus berdimensi-𝑛 dinyatakan 𝑄𝑛 adalah graf yang simpulnya merepresentasikan 2ⁿ bit string dengan panjang 𝑛. Dua simpul bersebelahan jika dan hanya jika bit string yang mereka representasikan berbeda dalam tepat satu posisi bit.

Catat bahwa kita dapat mengkonstruksi 𝑄n+1 dari 𝑄𝑛 dengan membuat dua kopi dari 𝑄𝑛 kemudian menempatkan angka 0 didepan di suatu kopi dan 1 didepan kopi lainnya dan menambahkan sisi yang menghubungkan dua simpul yang berbeda dalam tepat satu posisi bit.

GRAF BIPARTIT DEFINISI 6

Suatu graf sederhana dikatakan bipartit jika himpunan simpul 𝑉 dapat di partisi menjadi dua himpunan yang tidak beririsan 𝑉1 dan 𝑉2 sedemikian sehingga setiap sisi pada graf menghubungkan simpul dalam 𝑉1 dengan simpul dalam 𝑉2 ( demikian sehingga tidak ada sisi pada G yang menghubungkan dua simpul dalam 𝑉1 atau dua simpul dalam 𝑉2). Jika hal ini dipenuhi kita katakan pasangan (𝑉1, 𝑉2) suatu bipartisi dari himpunan simpul 𝑉.

TEOREMA 4

Suatu graf sederhana adalah bipartit jika dan hanya jika mungkin untuk mengaitkan satu dari dua warna yang berbeda pada setiap simpul dari graf sedemikian sehingga tidak terdapat dua simpul yang bersebelahan dikaitkan dengan warna yang sama.

Graf Bipartit Lengkap 𝐾𝑚,𝑛

Graf bipartit lengkap 𝐾𝑚,𝑛 adalah suatu graf yang memiliki himpunan simpul yang dipartisi menjadi dua himpunan bagian dengan 𝑚 dan 𝑛 simpul demikian sehingga terdapat sisi yang menghubungkan setiap pasangan simpul dari kedua himpunan bagian.

Graf Baru dari Graf yang Lama DEFINISI 7

Suatu graf bagian graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf 𝐻 = (𝑊, 𝐹) dengan 𝑊 ⊆ 𝑉 dan 𝐹 ⊆ 𝐸.

𝐻 dikatakan graf bagian sejati dari 𝐺 jika 𝐻 ≠ 𝐺.

Jika diberikan himpunan simpul dari suatu graf, kita dapat membentuk suatu graf bagian dari dengan simpul-simpul tersebut dan sisi yang menghubungkannya

DEFINISI 8

Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) graf sederhana. Graf bagian yang diinduksi oleh himpunan 𝑊 dengan 𝑊 ⊆ 𝑉 adalah graf (𝑊, 𝐹) dengan setiap sisi pada 𝐹 termuat dalam 𝐸 jika dan hanya jika kedua titik ujungnya ada di 𝑊.

Membuang dan Menambah sisi Suatu Graf

Diberikan graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dan sisi 𝑒 ∈ 𝐸 , kita dapat menghasilkan graf bagian dari 𝐺 dengan membuang 𝑒 . Graf bagian yang dihasilkan, ditulis dengan 𝐺 − 𝑒 , memiliki himpunan simpul yang sama dengan 𝑉 pada 𝐺 dan himpunan sisi 𝐸 −{𝑒 }. Sehingga 𝐺 − 𝑒 = (𝑉, 𝐸 −{𝑒 }) Jika 𝐸′ adalah himpunan bagian dari 𝐸, kita dapat menghasilkan graf bagian dari 𝐺 dengan membuang sisi-sisi pada 𝐸′ dari graf. Graf yang dihasilkan memiliki himpunan simpul yang sama dengan 𝑉 pada 𝐺. Himpunan sisinya adalah 𝐸 − 𝐸′

Kita juga dapat menambahkan suatu sisi 𝑒 untuk menambahkan graf yang lebih besar jika sisi ini menghubungkan dua simpul pada 𝐺. Kita notasikan 𝐺 + 𝑒 sebagai graf baru yang dihasilkan dengan menambahkan sisi baru 𝑒 menghubungkan dua simpul yang

sebelumnya tidak bersisian pada graf 𝐺, sehingga 𝐺 − 𝑒 = (𝑉, 𝐸 𝖴 {𝑒 }) Kontraksi Sisi

Terkadang ketika kita membuang sisi dari suatu graf, kita tidak ingin meninggalkan titik ujung sebagai simpul-simpul yang terpisah pada graf bagian baru yang dihasilkan. Dalam kasus ini kita bisa melakukan kontraksi sisi dengan cara:

• membuang sisi dengan titik ujung 𝑢 dan 𝑣

• menggabungkan 𝑢 dan 𝑣 menjadi satu simpul 𝑤

• setiap sisi dengan 𝑢 dan 𝑣 sebagai titik ujung diganti dengan sisi dengan 𝑤 sebagai suatu titik ujung dan titik ujung yang keduanya tetap sama

Sehingga kontraksi sisi 𝑒 dengan titik ujung 𝑢 dan 𝑣 pada graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) menghasilkan graf 𝐺′ = (𝑉′, 𝐸′), yang bukan merupakan graf bagian dari 𝐺, dengan 𝑉′ = 𝑉 − {𝑢, 𝑣} 𝖴 dan {𝑤 } dan 𝐸′ adalah sisi-sisi di 𝐸 yang tidak memiliki 𝑢 atau 𝑣 sebagi titik ujung dan diganti dengan sisi yang menghubungkan 𝑤 dengan setiap lingkungan dari 𝑢 atau 𝑣 di 𝑉

Membuang simpul dari Graf

Jika kita membuang simpul 𝑣 dan semua sisi yang bersisian dengan 𝑣 dari graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸), kita menghasilkan graf bagian yang baru, yang dinotasikan dengan 𝐺 − 𝑣. Perhatikan bahwa 𝐺 − 𝑣 = (𝑉 - {𝑣 }, 𝐸′) dimana 𝐸′ adalah himpunan dari sisi-sisi di 𝐺 yang tidak bersisian dengan 𝑣.

Jika V′ adalah himpunan bagian dari 𝑉, kita dapat menghasilkan graf bagian dari 𝐺 dengan membuang simpul-simpul pada V′ dari graf 𝐺 . Graf yang dihasilkan memiliki himpunan simpul 𝑉 − 𝑉′ dan himpunan sisinya adalah 𝐸′ dengan 𝐸′ adalah himpunan dari sisi- sisi di 𝐺 yang tidak bersisian dengan simpul pada 𝑉′.

DEFINISI 9

Gabungan dari graf sederhana 𝐺1 = ( 𝑉1, 𝐸1) dan 𝐺2 = (𝑉2 𝖴 𝐸2) adalah suatu graf sederhana dengan himpunan simpul 𝑉1 𝖴 𝑉2 dan himpunan sisi 𝐸1 𝖴 𝐸2 , dinotasikan dengan 𝐺1 𝖴 𝐺2.

PENYAJIAN GRAF DAN GRAF ISOMORFISMA

Ada banyak cara untuk menyajikan graf. Akan sangat membantu untuk bekerja dengan graf jika kita bisa memilih penyajian yang sesuai. Terkadang, dua graf memiliki bentuk yang sama dalam pengertian terdapat korespondesi satu-satu diantara himpunan simpulnya. Dalam hal ini, kita katakan bahwa dua graf isomorfik. Menentukan apakah dua graf isomorfik adalah persoalan penting dalam teori graf.

Daftar Ajasensi

Salah satu cara untuk menyajikan graf yang tidak memiliki sisi ganda adalah dengan mendaftar semua sisi dari graf. Cara lain untuk menyajikan graf tanpa sisi ganda adalah dengan menggunakan daftar ajasensi, yang menunjukkan simpul-simpul yang bersebelahan untuk setiap simpul pada graf.

Matriks Ajasensi

Menyajikan graf dengan daftar sisi-sisinya atau daftar ajasensi dapat rumit jika terdapat sangat banyak sisi dari graf. Untuk memudahkan komputasi, graf seringkali disajikan menggunakan matrikss.

Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf sederhan dengan 𝑉 = 𝑛 . Misal sebarang daftar simpul dari 𝐺 adalah 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣n. Matriks ajasensi 𝑨 ( atau 𝑨G ) dari 𝐺 bersesuaian dengan dafatar simpul, adalah matriks satu-nol yang berukuran 𝑛 × 𝑛 adalah 1 sebagai entri (𝒊,𝒋) jika 𝑣i dan 𝑣j

bersebelahan dan 0 sebagai entri (𝒊,𝒋) jika 𝑣i dan 𝑣j tidak bersebelahan.

Jika 𝑨 = ⌊aij ⌋matriks ajasensi, maka 𝑎𝑖𝑗 = {1

0

1 jika {𝑣𝑖, 𝑣𝑗 } adalah sisi pada 𝐺, 0 jika lainnya.

Matriks ajasensi dari suatu graf sederhana bergantung pada bagaimana pemilihan penyusunan simpul. Karena ada 𝑛! banyaknya susunan dari 𝑛 unsur, maka berarti ada 𝑛!

Banyaknya matriks ajasensi yang berbeda. Matriks ajasensi graf sederhana adalah matriks simetri, karena 𝑎ij = 𝑎ji , karena kedua entri adalah 1 jika 𝑣i dan 𝑣j adalah bersebelahan dan 0 jika tidak bersebelahan. Karena graf sederhana tidak memiliki gelang maka 𝑎ii, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 adalah 0

Matrikss ajasensi dapat juga digunakan untuk menyajikan graf tak berarah dengan gelang dan sisi ganda. Gelang dengan simpul 𝑣i dinyatakan dengan 1 pada posisi ke (𝑖, 𝑖) dari matriks ajasensi.

Jika terdapat sisi ganda yang mengaitkan beberapa pasangan simpul 𝑣i dan 𝑣j atau gelang ganda pada simpul yang sama, matrikss ajasensi bukan lagi matrikss satu-nol, entri ke (𝑖, j) dari matrikss ajasensi adalah banyaknya sisi yang berkaitan dengan {𝑣𝑖, 𝑣𝑗 }. Semua matrikss tak berarah, termasuk graf ganda dan graf semu adalah matriks ajasensi yang simetri.

Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf beararah sederhan dengan |𝑉 |= 𝑛. Misal sebarang daftar simpul dari 𝐺 adalah 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣n. Matriks ajasensi 𝑨 ( atau 𝑨𝐺 ) dari 𝐺 bersesuaian dengan daftar simpul, adalah matriks satu-nol yang berukuran 𝑛 × 𝑛 adalah 1 sebagai entri (𝒊,𝒋) jika ada sisi dari 𝑣i ke 𝑣j dan 0 sebagai entri (𝒊,𝒋) jika 𝑣i dan 𝑣j tidak dikaitkan.

Jika 𝑨 = ⌊aij ⌋matriks ajasensi, maka 𝑎𝑖𝑗 = {1

0

1 jika {𝑣𝑖, 𝑣𝑗 } adalah sisi dari 𝑣i ke 𝑣j pada 𝐺, 0 jika lainnya.

Matriks ajasensi graf berarah tidak harus simetri, karena tidak harus ada sisi dari 𝑣j ke 𝑣i jika ada sisi dari 𝑣i ke 𝑣j. Matrikss ajasensi dapat digunakan untuk menyatakan graf berarah ganda. Matriks yang demikian bukan matrikss satu-nol karena ada sisi ganda yang memiliki arah yang sama dalam menghubungkan dua simpul.

Pada matrikss ajasensi untuk graf berarah ganda, 𝑎ij adalah banyaknya sisi yang berkaitan dengan (𝑣I, 𝑣j).

Kelebihan dan kekurangan menggunakan daftar ajasensi dan matrikss ajasensi

Jika suatu matrikss sederhana memiliki sedikit sisi, disebut sebagai jarang, biasanya lebih dipilih daftar ajasensi untuk digunakan daripada matriks ajasensi dalam menyajikan graf.

Sebagai contoh , jika setiap simpul memiliki derajat melebihi 𝑐, dengan 𝑐 kurang dari suatu 𝑛, maka setiap daftar ajasensi memuat 𝑐 atau kurang banyaknya simpul. Sehingga tidak melebihi 𝑐𝑛 item dalam daftar ajasensi. Pada sisi yang lain, matriks ajasensi untuk graf memiliki 𝑛² entri.

Catat bahwa matriks ajasensi dari graf yang jarang disebut sebagai matriks jarang, yakni suatu matriks dengan sedikit entri tak nolnya.

Sekarang misalnya suatu graf sederhana adalah rapat, yakni memuat banyak sisi, graf yang demikian memiliki lebih dari separuh kemungkinan sisi. Dalam kasus ini, lebih dipilih menggunakan matriks ajasensi untuk menyajikan graf daripada menggunakan daftar ajasensi.

Untuk melihat hal ini bandingkan kerumitan untuk menentukan kemungkinan sisi (𝑣I, 𝑣j) yang ada. Dengan menggunakan ajasensi matriks, kita dapat menentukan apakah suatu sisi ada dengan melihat entri ke (𝒊,𝒋) pada matriks. Entri adalah satu jika memuat sisi dan 0 jika lainnya.

Akibatnya jika akan membuat perbandingan pada matriks-matriks padat, kita membandingkan entri 0, untuk melihat apakah sisinya ada. Di sisi lain jika kita menggunakan daftar ajasensi untuk menyajikan graf, kita membutuhkan pencarian daftar simpul yang bersebelahan untuk melihat apakah adanya sisi. Ini bisa membutuhkan sebanyak Θ(|𝑉 |) perbandingan jika sisinya banyak.

Matriks Insiden

Cara lainnya yang biasa untuk menyajikan graf adalah dengan menggunkan matriks insiden. Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf tak berarah. Misal 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣n sebarang daftar simpul dari 𝐺 dan 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, … 𝑒m sebarang daftar sisi dari 𝐺. Maka matriks insiden yang bersesuaian dengan urutan anggota 𝑉 dan 𝐸 adalah matriks 𝑀 − [𝑚𝑖𝑗 ]yang berukuran 𝑛 × 𝑚 dimana 𝑚ij=1 jika sisi 𝑒j bersisian dengan simpul 𝑣i dan 0 lainnya

𝑀ij = {1 0

1 jika sisi 𝑒j bersisian dengan simpul 𝑣I, 0 jika lainnya.

Matriks insiden dapat digunakan untuk menyatakan sisi ganda dan loop. Sisi ganda dinyatakan dalam matriks insiden menggunakan kolom dengan entri yang sama, karena sisi- sisi ini adalah bersebelahan dengan pasangan simpul yang sama. Gelang disajikan dengan menggunakan kolom yang pasti sama dengan 1, bersesuaian dengan simpul yang bersisian dengan loop.

Isomorfisma Graf

Seringkali kita perlu tahu apakah mungkin menggambarkan graf dengan cara yang sama, yakni kita ingin menggambarkan graf apakah memiliki struktur yang sama jika kita mengabaikan identitas dari simpul-simpulnya. Sebagai contoh pada kimia, graf digunakan untuk model campuran. Campuran yang berbeda dapat memiliki rumus molekul yang sama tapi berbeda struktur. Campuran-campuran yang demikian direpresentasikan dengan graf yang tidak dapat digambarkan dengan cara yang sama. Graf yang menyajikan campuran yang sudah

diketahui sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan apakah campuran yang diduga baru telah dipelajari sebelumnya.

DEFINISI 1

Graf sederhana 𝐺1 = (𝑉1, 𝐸1) dan 𝐺2 = (𝑉2, 𝐸2) adalah isomorfik jika ada fungsi satu ke satu dan pada dari 𝑉1 ke 𝑉2 dengan sifat bahwa 𝑎 dan 𝑏 bersebelahan di 𝐺1 jika dan hanya jika 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏) bersebelahan di 𝐺2, untuk semua 𝑎 dan 𝑏 di 𝑉1. Fungsi yang demikian disebut isomorfisma. Dua graf yang tidak isomorfik disebutnonisomorfik.

Dengan kata lain, jika dua graf sederhana isomorfik, terdapat korespondensi satu-satu simpul-simpul dari kedua graf yang mengawetkan relasi bersebelahan. Isomorfisma dari graf sederhana adalah suatu relasi ekivalen.

Menentukan apakah dua graf isomorfik

Seringkali sulit untuk menentukan apakah dua graf isomorfik. Terdapat 𝑛!

kemungkinan korespondensi satu-satu diantara dua himpunan simpul yang beranggotakan 𝑛 simpul. Dengan demikian mengecek setiap korespondensi untuk melihat apakah mengawetkan kebersebelahan atau tidak menjadi tidak praktis jika 𝑛 besar. Terkadang tidak sulit untuk menentukan apakah dua graf tidak isomorfik. Khususnya kita dapat menunjukkan dua graf tidak isomorfik jika kita menemukan suatu sifat yang hanya dimiliki oleh satu dari dua graf, yang seharusnya diawetkan jika ada isomorfisma dari kedua graf.

• Karena pada dua graf yang isomorfik terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan simpul dari kedua graf , maka banyaknya simpul dan banyaknya sisi dari kedua graf akan sama ( isomorfisma mengawetkan banyaknya simpul dan banyaknya sisi )

• Karena pada dua graf yang isomorfik setiap pasang simpul 𝑢 dan 𝑣 bersebelahan jika dan hanya jika 𝑓(𝑢) dan 𝑓(𝑣) bersebelahan, maka kedua graf akan memiliki sama banyaknya simpul pada setiap derajatnya ( isomorfisma mengawetkan derajat dari simpul).

Sifat yang diawetkan oleh isomorfisma graf dikatakan invarian graf. Jika terdapat invariant graf dari ketiga invariant di atas tidak dipenuhi maka dua graf tidak isomorfik, tapi jika ketiga invarian graf di atas dipenuhi belum tentu dua graf isomorfik.

Cara lain untuk melihat graf 𝐺 dan 𝐻 tidak isomorfik adalah memperhatikan bahwa terdapat graf bagian dari graf 𝐺 dan 𝐻 yang terdiri dari simpul yang sama-sama berderajat tiga dan sisi- sisi yang menghubungkannya. Graf bagian tersebut seharusnya isomorfik, tapi dalam hal ini kedua graf bagian tidak isomorfik

Untuk menunjukkan bahwa suatu fungsi dari suatu himpunan simpul suatu graf ke himpunan simpul graf yang lain, kita harus menunjukkan bahwa 𝑓 mengawetkan ada atau tidak adanya sisi. Salah satu cara yang membantu adalah dengan menggunakan matriks ajasensi, yakni matriks ajasensi dari graf 𝐺 sama dengan matriks ajasensi dari matriks 𝐻 jika baris dan kolom yang bersesuaian dengan bayangan dibawah 𝑓 dari simpul-simpul di 𝐺 adalah label dari baris dan kolom matriks.

KEMAMPUAN TERHUBUNG

Banyak persoalan dapat dimodelkan dengan lintasan yang dibentuk oleh perjalanan sepanjang sisi-sisi dari graf. Masalah rencana rute yang efisien untuk pengiriman surat,

pengangkutan sampah, diagnosa jaringan komputer dan sebagainya adalah beberapa contoh masalah yang diselesaikan menggunakan model yang melibatkan lintasan pada graf.

Lintasan

Secara tidak formal, suatu lintasan adalah barisan sisi yang dimulai dari suatu simpul dari suatu graf dan berjalan dari simpul ke simpul sepanjang sisi-sisi dari graf. Definisi formal dari lintasan diberikan sebagai berikut:

DEFINISI 1

Misal 𝑛 bilangan bulat non negatif dan 𝐺 graf tak berarah. Suatu lintasan dengan panjang 𝑛 dari 𝑢 ke 𝑣 adalah barisan 𝑛 sisi-sisi 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒n dari 𝐺 di mana terdapat barisan simpul- simpul 𝑢 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥n = 𝑣 sedemikian sehingga setiap 𝑒i, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 memiliki titik ujung-titik ujung 𝑥i−1 dan 𝑥i. Jika 𝐺 graf sederhana, kita menyatakan lintasan dengan barisan simpul 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥n (karena mendaftar simpul-simpul ini menentukan lintasan secara unik).

Suatu lintasan adalah sirkuit jika dimulai dan diakhiri dengan simpul yang sama, yakni 𝑢 = 𝑣 dan panjang lintasannya lebih dari 0. Lintasan atau sirkuit dikatakan melalui simpul-simpul 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥n-1 atau dilewati sisi-sisi 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒n

Lintasan atau sirkuit adalah sederhana jika tidak memuat sisi yang sama lebih dari satu kali.

Pada graf tak berarah ganda, jika tidak perlu membedakan diantara sisi-sisi ganda, kita akan menyatakan lintasan 𝑒1, 𝑒2, …, 𝑒n, dimana 𝑒i dikaitkan dengan (𝑥i-1, 𝑥i) untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 oleh simpul-simpul 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥n. Notasi ini mengidentifikasi lintasan berdasarkan simpul- simpul yang dilalui. Akibatnya notasi ini tidak menentukan secara tunggal lintasan jika ada lebih dari satu lintasan melalui barisan simpul pada daftar. Disepakati bahwa lintasan dengan panjang nol terdiri dari satu simpul.

Di beberapa buku istilah jalan digunakan daripada lintasan, jika suatu jalan didefinsikan sebagai barisan simpul dan sisi dari graf secara bergantian 𝑣0, 𝑒1, 𝑣1,

…, 𝑣n-1, 𝑒n, 𝑣n dimana 𝑣i-1 dan 𝑣i adalah ujung-ujung dari 𝑒i untuk 𝑖 = 1,2, …, 𝑛.

Jika terminologi ini digunakan, istilah jalan tertutup digunakan daripada sirkuit untuk megidentifikasi jalan yang dimulai dan diakhiri pada simpul yang sama dan istilah jejak digunakan untuk menunjukkan jalan dengan tidak ada perulangan sisi ( sebagai pengganti istilah lintasan sederhana ). Jika terminologi ini digunakan lintasan sering digunakan untuk jejak dengan tanpa perulangan simpul. Karena variasi terminologi ini, kita harus meyakini himpunan definisi yang mana yang digunakan.

Contoh :

Dalam graf sederhana yang di atas 𝑎, 𝑑, 𝑐, 𝑓, 𝑒 adalah lintasan sederhana dengan panjang 4 , karena {𝑎, 𝑑}, {𝑑, 𝑐}, {𝑐, 𝑓}, dan {𝑓, 𝑒 } adalah sisi-sisi. 𝑑, 𝑒, 𝑐, 𝑎 bukan lintasan karena {𝑒, 𝑐 } bukan sisi. Catat bahwa b, 𝑐, 𝑓, 𝑒, 𝑏 adalah sirkuit dengan panjang 4 karena {𝑏, 𝑐}, { 𝑐, 𝑓}, {𝑓, 𝑒} dan {𝑒, 𝑏} adalah sisi dan lintasan ini dimulai dan diakhiri pada 𝑏. Lintasan a, 𝑏, 𝑒, 𝑑, 𝑎, 𝑏 adalah lintasan dengan panjang 5, lintasan ini bukan lintasan sederhana karena memuat sisi {𝑎, 𝑏} dua kali

DEFINISI 2

Misal 𝑛 bilangan bulat non negatif dan 𝐺 graf berarah. Suatu lintasan dengan panjang 𝑛 dari 𝑢 ke 𝑣 adalah barisan 𝑛 sisi-sisi 𝑒1, 𝑒2, …, 𝑒n dari 𝐺 di mana setiap 𝑒i, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 berkaitan secara berturut-turut dengan (𝑥i-1, 𝑥i) dengan 𝑥0 = 𝑢 dan 𝑥n = 𝑣.

Jika tidak ada sisi ganda pada graf berarah, lintasan dinyatakan dengan simpul 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥n. Lintasan dengan panjang lebih dari 0 yang dimulai dan diakhiri dengan simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus. Lintasan atau sirkuit dikatakan sederhana jika tidak memuat sisi yang sama lebih dari satu kali.

Pada graf berarah ganda, jika tidak perlu membedakan diantara sisi-sisi ganda, kita akan menyatakan lintasan 𝑒1, 𝑒2, …, 𝑒n, dimana 𝑒i dikaitkan dengan (𝑥i-1, 𝑥i) untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 oleh simpul-simpul 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥n. Notasi ini mengidentifikasi lintasan berdasarkan simpul-simpul yang dilalui. Akibatnya notasi ini tidak menentukan secara tunggal lintasan jika ada lebih dari satu lintasan melalui barisan simpul pada daftar.

Keterhubungan pada Graf Tak Berarah DEFINISI 3

Suatu graf tak berarah disebut terhubung jika terdapat lintasan diantara setiap pasang dari simpul yang berbeda. Suatu graf tak berarah yang tidak terhubung disebut takterhubung.

Kita membuat graf menjadi takterhubung dengan membuang simpul atau sisi atau keduanya untuk menghasilkan suatu graf bagian yang tak terhubung.

TEOREMA 1

Terdapat lintasan sederhana diantara setiap pasang simpul yang berbeda pada suatu graf tak berarah yang terhubung.

Komponen Terhubung

Komponen terhubung dari suatu graf 𝐺 adalah suatu graf bagian terhubung dari 𝐺 yang bukan graf bagian sejati dari graf bagian terhubung lainnya dari 𝐺. Komponen terhubung dari suatu graf 𝐺 adalah graf bagian terhubung maksimal dari 𝐺. Suatu graf 𝐺 yang tidak terhubung memiliki dua atau lebih komponen terhubung yang saling lepas (tidak beririsan) dan memiliki 𝐺 sebagai gabungannya.

Contoh :

Seberapa Terhubung suatu Graf ?

Terkadang membuang dari suatu graf suatu simpul dan semua sisi yang bersisian dengannya menghasilkan graf bagian dengan dengan komponen terhubung. Simpul yang demikian disebut simpul potong (titik artikulasi). Membuang suatu simpul potong dari suatu graf terhubung menghasilkan graf bagian yang tidak terhubung.

Analog dengan itu, suatu sisi yang jika dibuang menghasilkan graf dengan lebih banyak komponen terhubung daripada graf aslinya di sebut sisi potong atau jembatan.

Kemampuan terhubung Simpul

Tidak semua graf memiliki simpul potong. Sebagai contoh, graf lengkap 𝐾𝑛 dengan 𝑛

≥ 3 tidak memiliki simpul potong. Jika suatu simpul dan semua sisi yang bersisian dengannya dibuang dari 𝐾𝑛 tetap akan menghasilkan graf lengkap, yakni graf 𝐾n-1, yang masih terhubung

Graf terhubung tanpa simpul potong disebut graf yang tidak dapat dipisahkan dan dapat dipikirkan sebagai lebih terhubung. Keterhubungan graf berdasarkan minimum banyaknya simpul yang harus dibuang agar diperoleh graf tak terhubung

Himpunan bagian 𝑉′ dari himpunan simpul 𝑉 dari graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah potongan simpul atau himpunan pemisah jika 𝐺 − 𝑉′ takterhubung. Setiap graf terhubung kecuali graf lengkap memiliki potongan simpul.

Kemampuan terhubung simpul dari graf tak lengkap, dinotasikan dengan 𝜅(𝐺), adalah minimum dari banyak simpul dalam potongan simpul. Jika 𝐺 adalah graf lengkap, maka 𝐺 tidak memiliki potongan simpul, karena membuang sebarang himpunan bagian dari himpunan simpul dan semua sisi yang bersisian dengannya masih menyisakan graf lengkap. Akibatnya, kita tidak mendefinisikan 𝜅(𝐺) jika 𝐺 graf lengkap. Sebagai gantinya kita menetapkan 𝜅(Kn)=

𝑛 − 1 banyaknya simpul yang harus dibuang untuk menghasilkan graf dengan simpul tunggal.

Konsekuensinya, untuk setiap graf 𝐺, 𝜅(𝐺) adalah minimum banyaknya simpul yang dapat dibuang dari 𝐺 untuk membuat 𝐺 jadi takterhubung atau menghasilkan graf dengan simpul

tunggal. 0 ≤ 𝜅(𝐺) ≤ 𝑛 − 1 jika 𝐺 memiliki 𝑛 simpul dengan 𝜅(𝐺)= 0 jika 𝐺 takterhubung atau 𝐺

= 𝐾1 dan 𝜅(𝐺)= 𝑛 − 1 jika 𝐺 graf lengkap.

Semakin besar 𝜅(𝐺) maka semakin terhubung 𝐺. Graf tak terhubung dan 𝐾1 memiliki 𝜅(𝐺) = 0, graf terhubung dengan simpul potong dan 𝐾2 memiliki 𝜅(𝐺) = 1, graf terhubung tanpa simpul potong yang dapat menjadi tak terhubung dengan membuang dua simpul dan 𝐾3

memiliki 𝜅(𝐺) = 2 dan seterusnya.

Suatu graf adalah terhubung-𝒌 (terhubung simpul−𝒌 ) jika 𝜅(𝐺)≥ 𝑘. Graf 𝐺 adalah terhubung-1 jika terhubung dan bukan graf yang memuat simpul tunggal; terhubung- 2 jika tidak dapat dipisahkan dan memiliki paling tidak 3 simpul. Catat bahwa jika 𝐺 adalah terhubung-𝑘 maka 𝐺 adalah terhubung-𝑗 untuk semua 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘.

Kemampuan terhubung Sisi

Mengukur kemampuan terhubung dari suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dalam istilah minimum banyaknya sisi yang dapat dibuang untuk menjadikan 𝐺 takterhubung. Jika suatu graf memiliki sisi potong, maka kita hanya membutuhkan membuangnya untuk menjadikan 𝐺 takterhubung.

Jika 𝐺 tidak memiliki sisi potong kita mencari himpunan terkecil dari sisi yang dapat dibuang untuk menjadikan 𝐺 takterhubung. Himpunan sisi 𝐸′ disebut potongan sisi dari 𝐸 jika graf bagian 𝐺 − 𝐸′ tak terhubung. Kemampuan terhubung sisi dari suatu graf 𝐺, dinyatakan dengan 𝜆(𝐺) adalah minimum banyak sisi dalam suatu potongan sisi dari 𝐺.

𝜆(𝐺) didefinisikan pada semua graf terhubung dengan lebih dari satu sisi karena selalu mungkin untuk membuat suatu graf menjadi tak terhubung dengan membuang sisi yang bersisian dengan suatu simpul. 𝜆 = 0 jika 𝐺 takterhubung atau jika 𝐺 adalah graf yang terdiri dari simpul tunggal. Jika 𝐺 adalah graf dengan 𝑛 simpul, maka 0 ≤ 𝜆(𝐺) ≤ 𝑛 − 1.

𝜆(𝐺) = 𝑛 − 1 jika 𝐺 = 𝐾𝑛 , pernyataan tersebut ekivalen dengan 𝜆(𝐺) ≤ 𝑛 − 2 jika 𝐺 bukan graf lengkap

Ketaksamaan untuk Kemampuan Terhubung Simpul dan Kemampuan terhubung Sisi Jika graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf terhubung tak lengkap dengan paling kurang tiga simpul, minimum derajat simpul dari 𝐺 adalah batas atas dari 𝜅(𝐺) dan 𝜆(𝐺), yakni

𝜅(𝐺) ≤ min𝑣∈𝑉deg(𝑣) dan λ(𝐺) ≤ min𝑣∈𝑉deg(𝑣).

Untuk melihat hal ini perhatikan bahwa penghapusan semua lingkungan dari suatu simpul dengan derajat minimum akan membuat 𝐺 menjadi graf tak terhubung dan penghapusan semua sisi yang memiliki simpul dengan derajat minimum sebagai titik ujung akan membuat 𝐺 menjadi graf takterhubung . Dapat ditunjukkan bahwa 𝜅(𝐺) ≤ 𝜆(𝐺) jika 𝐺 graf terhubung tak lengkap. 𝜅(Kn) = λ(Kn)= min𝑣∈𝑉deg(𝑣)= n − 1 jika 𝑛 bilangan bulat positif dan 𝜅(𝐺)= 𝜆(𝐺)=0 jika 𝐺 graf takterhubung.

Dari semua yang dikemukakan di atas , maka diperoleh bahwa untuk semua graf terhubung 𝐺 berlaku 𝜅(𝐺) ≤ 𝜆(𝐺) ≤ min𝑣∈𝑉deg(𝑣).

Proposisi 1:

Jika 𝐺 graf terhubung tak lengkap, maka dapat dibuang simpul-simpul untuk membuat 𝐺 menjadi takterhubung.

Proposisi 2:

Jika 𝐺 graf terhubung dengan 𝑛 simpul, maka a) 𝜅(𝐺)= 𝑛 − 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝐾𝑛 b) 𝜆(𝐺)= 𝑛 − 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝐾𝑛 Proposisi 3:

Jika 𝐺 graf, maka 𝜅(𝐺) ≤ 𝜆(𝐺

KETERHUBUNGAN PADA GRAF BERARAH

Ada dua pengertian keterhubungan dalam graf berarah, bergantung pada apakah arah dari sisi ditinjau.

DEFINISI 4

Suatu graf berarah adalah terhubung kuat jika terdapat lintasan dari 𝑎 ke 𝑏 dan dari 𝑏 ke 𝑎 jika 𝑎 dan 𝑏 adalah simpul dari graf.

Untuk graf berarah yang terhubung kuat harus ada barisan sisi dari sebarang simpul pada graf ke sebarang simpul lainnya.

DEFINISI 5

Suatu graf berarah adalah terhubung lemah jika terdapat lintasan dari 𝑎 ke 𝑏 jika jika dipandang sebagai graf tak berarah.

Suatu graf terhubung sederhana jika dan hanya jika terdapat lintasan antara dua simpul jika arah dari graf sederhana diabaikan. Jelas bahwa graf terhubung kuat adalah juga graf terhubung lemah.

Suatu graf bagian terhubung kuat dari graf berarah tetapi tidak termuat dalam suatu graf bagian terhubung kuat – yakni maksimal graf bagian terhubung kuat disebut komponen terhubung kuat dari 𝐺 atau komponen kuat. Jika 𝑎 dan 𝑏 adalah dua simpul pada graf berarah, komponen kuat keduanya adalah sama atau saling lepas.

Lintasan dan Isomorfisma

Ada beberapa cara lintasan dan sirkuit dapat menentukan apakah dua graf isomorfik.

Sebagai contoh , eksistensi dari suatu sirkuit sederhana dengan panjang tertentu adalah suatu invarian yang berguna yang dapat digunakan untuk menunjukkan dua graf adalah isomorfik.

Sebagai tambahan, lintasan dapat digunakan untuk menyusun pemetaan yang mungkin merupakan suatu isomorfisma.

Suatu invarian isomorfik yang berguna untuk graf sederhana adalah eksistensi dari sirkuit sederhana dengan panjang 𝑘, dimana 𝑘 adalah bilangan bulat positif yang lebih dari 2.

Menghitung Lintasan diantara Dua Simpul

Banyaknya lintasan di antara dua simpul pada suatu graf dapat ditentukan dengan menggunakan matrik ajasensi.

TEOREMA 2

Misal 𝐺 adalah graf dengan matriks ajasensi 𝐴 yang bersesuaian dengan urutan simpul dari graf 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣n (dengan sisi tak berarah atau berarah, sisi ganda dan gelang diperbolehkan).

Banyaknya lintasan yang berbeda dengan panjang 𝑟 dari 𝑣i ke 𝑣j dengan 𝑟 bilangan bulat positif sama dengan entri (𝑖, 𝑗) dari 𝐴^r

POHON

Graf terhubung yang tidak memuat sirkuit sederhana disebut pohon. Pohon digunakan sejak tahun 1857, ketika matematikawan Inggris Arthur Cayley menggunakannya untuk menghitung jenis campuran kimia tertentu. Sejak saat itu pohon digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam berbagai bidang.

DEFINISI 1

Pohon adalah graf terhubung tak berarah yang tidak memiliki sirkuit sederhana.

Karena pohon tidak memiliki sirkuit sederhana, suatu pohon tidak dapat memuat sisi rangkap atau gelang, akibatnya pohon harus berupa graf sederhana. Sebarang graf terhubung yang tidak memuat sirkuit sederhana adalah pohon. Bagaimana dengan graf yang tidak memuat simpul sederhana tapi tidak terhubung? Graf yang demikian disebut hutan dan memiliki sifat bahwa komponen terhubungnya adalah pohon.

Pohon sering didefinisikan sebagai graf tak berarah dengan sifat terdapat lintasan sederhana yang tunggal diantara dua pasang simpul.

Teorema berikut menunjukkan alternative definisi tersebut ekivalen dengan definisi yang kita sebelumnya.

TEOREMA 1

Suatu graf terhubung adalah pohon jika dan hanya jika terdapat lintasan sederhana yang tunggal untuk sebarang dua simpul

Akar Pohon

Dalam banyak penerapan dari pohon, suatu simpul khusus dari pohon didesain sebagai akar. Ketika kita meninjau suatu akar, kita dapat menetapkan arah untuk setiap sisi dengan dimulai dari akar tersebut menelusuri lintasan sederhana yang tunggal dari simpul tersebut.

Pohon bersama dengan akarnya akan menghasilkan graf berarah yang didebut pohon berakar.

DEFINISI 2

Pohon berakar adalah pohon yang didesain dengan satu simpul sebagai akar dan setiap sisi diberi arah menjauh dari akar.

Pohon berakar dapat didefinisikan secara rekursif. Kita dapat mengubah suatu pohon yang tidak berakar menjadi pohon yang berakar dengan memilih suatu simpul sebagai akar.

Catat bahwa pemilihan akar yang berbeda menghasilkan pohon berakar yang berbeda.

Kita biasanya menggambar pohon berakar dengan akar pada bagian atas dari graf.

Panah menunjukkanarah dari sisi pada pohon berarah dapat tidak ditampilkan karena pemilihan akar menentukan arah dari sisi.

Misal 𝑇 adalah pohon berakar. Jika 𝑣 adalah simpul pada 𝑇 yang bukan akar, orang tua dari 𝑣 adalah simpul unik 𝑢 demikian sehingga ada sisi berarah dari 𝑢 ke 𝑣 ( harus ditunjukkan bahwa simpul seperti adalah tunggal ). Jika 𝑢 adalah orang tua dari 𝑣, 𝑣 disebut anak dari 𝑢.

Simpul dengan orang tua yang sama disebut bersaudara. Leluhur dari suatu simpul yang bukan akar adalah simpul-simpul pada lintasan dari akar ke simpul tersebut, tidak termasuk simpul itu sendiri dan akar ( yakni orang tua, orang tua dari orang tua dan seterusnya sampai dengan akar. Keturunan dari suatu simpul 𝑣 adalah simpul-simpul yang memiliki 𝑣 sebagai leluhur.

Simpul dari suatu pohon berakar disebut daun jika tidak memiliki anak. Simpul-simpul yang memiliki anak disebut simpul internal. Akar adalah suatu simpul internal kecuali ia merupakan satu-satunya simpul dalam graf, dalam kasus ini dia adalah daun. Jika 𝑎 adalah simpul pada suatu pohon, pohon bagian dengan 𝑎 sebagai akar adalah graf bagian dari pohon yang terdiri dari 𝑎 dan keturunannya dan semua sisi yang bersisian dengan keturunannya tersebut.

Pohon berakar yang memiliki sifat bahwa semua simpul internalnya memiliki anak yang sama banyaknya digunakan dalam berbagai penerapah, misalnya dalam studi yang melibatkan “searching, sorting and coding”

DEFINISI 3

Pohon adalah graf terhubung tak berarah yang tidak memiliki sirkuit sederhana.

Pohon berakar disebut suatu pohon 𝒎 − 𝒂𝒓𝒚 jika setiap simpul internal tidak memiliki lebih dari 𝑚 anak. Pohon disebut pohon 𝒎 − 𝒂𝒓𝒚 penuh jika setiap simpul internal memiliki tepat 𝑚 anak. Suatu pohon 𝒎 − 𝒂𝒓𝒚 dengan 𝑚 = 2 disebut pohon biner.

Pohon Berakar Terurut

Pohon berakar terurut adalah pohon berakar di mana anak dari setiap simpul internal adalah terurut. Pohon berakar terurut digambarkan sedemikan sehingga anak dari setiap simpul internal ditunjukkan dalam urutan dari kiri ke kanan. Catat bahwa suatu representasi dari pohon berakar menentukan suatu urutan dari sisi-sisinya. Kita menggunakan urutan sisi yang demikian dalam menggambar tanpa menyatakan secara eksplisit bahwa kita meninjau suatu pohon berakar diurutkan.

Dalam suatu pohon terurut biner (biasa disebut pohon biner), jika suatu simpul internal memiliki dua anak, anak petama disebut anak kiri dan anak kedua disebut anak kanan. Pohon berakar pada anak kiri disebut pohon bagian kiri dari simpul tersebut, pohon berakar pada anak kanan dari simpul tersebut dinamakan pohon bagian kanan dari simpul tersebut.