7 BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pemrograman Linear
Pemrograman linear (PL) ialah salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan persoalan optimasi (maksimum atau minimum) dengan menggunakan persamaan dan pertidaksamaan linear dalam rangka untuk mencari pemecahan yang optimal dengan memperhatikan pembatasan- pembatasan yang ada (Aminudin, 2005). Definisi pemrograman linear yaitu sebagai metode matematis yang berbentuk linear untuk menentukan suatu penyelesaian optimal dengan cara memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan terhadap suatu susunan kendala (Siswanto, 2006). Secara keseluruhan, berdasarkan definisi maka tujuan pemrograman linear adalah memecahkan persoalan memaksimumkan atau meminimumkan untuk mendapatkan penyelesaian yang optimal.
Adapun asumsi-asumsi dasar pemrograman linear sebagai berikut (Aminudin, 2005):
a. Proportionality (kesebandingan)
Asumsi ini mempunyai arti bahwa naik turunnya nilai fungsi tujuan dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan.
b. Additivity (penambahan)
Asumsi ini mempunyai arti bahwa nilai fungsi tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam pemrograman linear dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai tujuan yang diperoleh dari kegiatan lain.
c. Divisibility (dapat dibagi)
Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai tujuan yang dihasilkan.
8 d. Deterministic (kepastian)
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model pemrograman linear dapat diperkirakan dengan pasti.
Bentuk Umum Model Pemrograman Linear
Masalah pemrograman linear adalah masalah optimisasi bersyarat yakni pencarian nilai atau pencarian nilai minimum sesuatu fungsi tujuan berkenaan dengan keterbatasan-keterbatasan atau kendala yang harus dipenuhi. Masalah- masalah tersebut secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut (Siswanto, 2006):
Fungsi tujuan memaksimumkan dinotasikan dengan dan relasi dalam kendala berbentuk sehingga bentuknya menjadi:
(2.1)
Dengan kendala:
∑ { }
Keterangan:
z : fungsi tujuan yang akan dioptimalkan
: koefisien variabel keputusan ke-
: variabel keputusan ke- , dengan =1,2,…,n
: koefisien fungsi kendala ke- dengan =1,2,…, dari variabel keputusan ke- , dengan =1,2,…,
: kapasitas kendala ke-
Bentuk umum program linear harus berada pada bentuk standar. Perubahan ke bentuk standar dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut (Suparno, 2009):
1. Menambah variabel slack pada setiap fungsi kendala yang mengandung hubungan fungsional .
9
2. Menambah variabel surplus pada setiap fungsi kendala yang mengandung hubungan fungsional .
3. Menambah variabel buatan pada setiap fungsi kendala yang mengandung hubungan fungsional .
Dari bentuk standar, diperoleh tambahan variabel yaitu ( . Dapat didefinisikan suatu variabel baru, yaitu:
[
] Permasalahan program linear berubah menjadi:
Optimalkan (2.3)
Harus memenuhi kendala
A (2.4)
(2.5)
2.2 Metode Simpleks
Metode simpleks ditemukan oleh George Dantzig pada tahun 1974.
Masalah program linear berkembang pesat setelah ditemukan suatu metode penyelesaian program linear yaitu metode simpleks. Tidak hanya itu metode ini terus dikembangkan untuk menyelesaikan program linear bahkan sampai pada masalah riset operasi seperti pemrograman dinamik, teori antrian, bahkan teori persediaan hingga tahun 1950an (Suparno, 2009).
Banyak masalah optimisasi yang diselesaikan dengan metode simpleks.
Metode simpleks dilengkapi dengan suatu tes yang dapat memberitahukan kapan hitungan harus dihentikan dan kapan harus dilanjutkan sampai diperoleh suatu penyelesaian yang optimal. Pada umumnya menggunakan tabel, dari tabel
10
pertama yang memberikan pemecahan dasar yang layak sampai pada tabel terakhir yang memberikan solusi yang optimal (Suparno, 2009).
Masalah program linear dua variabel dapat diselesaikan dengan metode grafik. Dalam metode grafik diperlihatkan bahwa program linear yang optimal selalu berkaitan dengan titik ekstrim dan titik sudut dari pemecahan, gagasan ini dengan cepat mengatur perkembangan metode simpleks. Langkah pertama yang harus dilakukan jika ingin mengidentifikasi titik ekstrim yaitu metode simpleks mengharuskan setiap batasan/kendala ditempatkan dalam bentuk standar yang khusus dengan semua kendala diekspresikan sebagai persamaan dengan menambahkan variabel slack atau variabel surplus sebagaimana yang diperlukan (Suparno, 2009).
Untuk menyelesaikan dengan menggunakan metode simpleks harus memenuhi kriteria-kriteria berikut (Suparno, 2009):
1) Seluruh pembatas berbentuk persamaan (=)
a. Jika pembatas bertanda ≥ atau ≤ dapat dijadikan suatu persamaan yang bertanda = dengan cara menambah varibel slack atau mengurangi variabel surplus yang merupakan variabel yang memiliki tingkat kapasitas batasan.
Jika tada pada persamaan tersebut adalah ≤ maka kita hrus menambahkan variabel slack dan jika persamaan bertanda ≥ maka kita harus menguranginya dengan variabel surplus .
b. Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan negatif jika kedua ruas dikalikan -1.
c. Arah pertidaksamaan dapat berubah jika kedua ruas dikalikan dengan -1.
d. Pembatas dengan ketidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi dua ketidaksamaan.
2) Seluruh variabel merupakan variabel non negatif.
3) Fungsi tujuan berupa maksimum atau minimum.
2.2.1 Penyelesaian Dalam Menggunakan Metode Simpleks
Langkah-langkah dalam menggunakan metode simpleks yaitu (Suparno, 2009):
11
1) Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala.
Fungsi tujuan diubah menjadi bentuk baku. Fungsi pembatas sebelum dimasukkan dalam tabel ditambahkan variabel slack atau dikurangkan variabel surplus.
2) Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel awal simpleks Tabel 2. 1 Tabel Awal Simpleks
Variabel
Dasar z … …
nk
z 1 … 0 0 … 0 0
0 … 1 0 … 0
0 … 0 1 … 0
… … … … … … … … … … …
… … … … … … … … … … …
0 … 0 0 … 1
Keterangan:
z = Nilai fungsi tujuan nk = Nilai kanan
3) Memilih kolom kunci.
Dalam kasus memaksimalkan kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai negatif terbesar pada baris z, sedangkan dalam kasus meminimumkan kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai positif terbesar pada baris z.
4) Memilih baris kunci
Baris kunci ditentukan berdasarkan nilai indeks positif terkecil. Cara menentukan indeks yaitu:
(2.6)
Keterangan:
i = Indeks nk = Nilai Kanan
= Nilai Kolom Kunci
12 5) Mengubah nilai baris-baris kunci.
Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci.
Angka kunci adalah nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci atau biasa disebut dengan (pivot).
6) Mengubah nilai-nilai selain baris kunci sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0
7) Melanjutkan langkah-langkah sampai baris z tidak ada yang bernilai negatif pada permasalahan maksimum.
2.2.2 Contoh Penyelesaian Masalah dengan Menggunakan Metode Simpleks
PT Yummy Food memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk yaitu vanilla dan violette. Untuk memproduksi kedua produk tersebut diperlukan bahan baku dan jam tenaga kerja. Maksimum penyediaan bahan baku 60 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam perhari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat sebagai berikut:
Tabel 2. 2 Bahan Baku dan Jam Kerja
NO Bahan Baku dan Jam Tenaga kerja
Produk Maksimum
penyediaan Vanilla Violette
1 Bahan Baku 2 3 60
2 Tenaga Kerja 2 1 40
3 Keuntungan Rp. 40 Rp. 30
sumber 1 : (Safitri, 2012)
Tentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi dalam setiap hari agar mendapatkan keuntungan yang maksimal.
Penyelesaian:
Variabel keputusan
= Jumlah produk vanilla yang diproduksi = Jumlah produk violette yang diproduksi
13
Fungsi tujuan
Maksimumkan
Kendala sasaran
i. Kendala bahan baku ii. Kendala tenaga kerja
Menggunakan metode simpleks:
1) Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala ke dalam bentuk baku.
atau Dengan kendala:
2) Setelah diperoleh bentuk baku, persamaan tersebut dimasukkan ke dalam tabel simpleks, sebagai berikut:
Tabel 2. 3 Tabel Simpleks
vb z nk
z 1 -40 -30 0 0 0
0 2 3 1 0 60
0 2 1 0 1 40
Keterangan :
vb = Variabel Basis/Dasar z = Nilai fungsi tujuan nk = Nilai kanan
3) Menentukan baris kunci dan kolom kunci. Karena nilai negatif terbesar yaitu -40, kemudian pilih nilai positif terkecil nilai kanan yaitu
14
Tabel 2. 4 Iterasi awal
Vb z nk Rasio
z 1 -40 -30 0 0 0 0
0 2 3 1 0 60 30
0 2 1 0 1 40 20
Keterangan:
Warna merah merupakan kolom kunci dan warna kuning merupakan baris kunci, selanjutnya perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci disebut angka kunci (pivot) yakni kotak warna hijau.
Mengubah nilai baris kunci. Variabel menjadi pengganti variabel dengan rumus:
Sedangkan untuk baris lainnya dengan rumus:
Sehingga iterasi diperoleh baris-baris baru yaitu:
Tabel 2. 5 Iterasi 2
4) Melakukan iterasi dengan cara yang sama sampai tidak ada nilai negatif pada baris z. Baris z pada iterasi II masih mengandung nilai negatif maka akan dilakukan iterasi III dengan cara yang sama dengan iterasi I dan II maka akan diperoleh:
vb z nk Rasio
z 1 0 -10 0 20 800
0 1 0 20 10
0 0 2 1 -1 20 10
15
Tabel 2. 6 Iterasi Akhir
vb z nk
z 1 0 0 5 15 900
0 1 0 15
0 0 1 10
Karena baris z sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif maka iterasi dihentikan. Maka hasilnya adalah jumlah produk vanilla yang diproduksi sebanyak 15 dan jumlah produk violet yang diproduksi sebanyak 10 dengan keuntungan maksimum yaitu 900.
2.3 Metode Interior Point
Pada tahun 1980 terjadi perkembangan riset operasi yaitu penemuan pendekatan titik interior yang berfungsi untuk memecahkan masalah pemrograman linear. Penemuan ini dibuat oleh seorang matematikawan muda Narendra Karmarkar pada tahun 1984 ketika ia berhasil mengembangkan algoritma baru untuk pemrograman linear. Metode interior point menggunakan tiga unsur utama, yaitu formula program linear tidak standar, transformasi proyektif, dan fungsi potensial yang dapat digunakan untuk mengukur hasil pengerjaan metode interior point (Marsudi dkk, 2013).
Metode interior point ini memiliki konsep atau pemikiran dasar sebagai berikut (Siswanto, 2006):
1. Bergerak melalui daerah layak menuju suatu penyelesaian optimal. Daerah feasible (layak) merupakan himpunan dari semua titik yang memenuhi syarat pembatas linear.
16
2. Bergerak dalam arah yang meningkatkan nilai fungsi tingkat kecepatan yang paling tinggi.
3. Mengubah daerah feasible (layak) tersebut untuk menempatkan penyelesaian percobaan yang sekarang sedekat mungkin pada titik pusatnya dan dengan demikian memungkinkan peningkatan yang melaksanaan konsep 2.
2.3.1 Definisi Metode Interior Point
Metode interior point adalah suatu algoritma yang memotong atau menembus interior dari daerah layak untuk mencapai suatu solusi optimum.
Metode interior point merupakan salah satu metode yang cukup efisien dalam menyelesaikan masalah program linear (Suparno, 2009).
Gagasan dasar dari interior point adalah memulai dengan mengambil titik interior (tidak ekstrim) dalam daerah layak. Langkah paling penting dalam algoritma adalah titik awal dapat ditentukan terlebih dahulu kemudian mencari solusi optimal dalam interior daerah layak yang didefinisikan oleh kendala- kendala sampai dicapai titik optimal (Suparno, 2009).
2.3.2 Penyelesaian Metode Interior Point
Mengoptimalkan fungsi objektif dengan kendala dan dengan langkah-langkah sebagai berikut (Safitri, 2012):
(1) Pilih interior point ,
Selanjutnya tentukan matriks diagonal D
[ ]
(2) Tentukan ̅ ̅ (2.7)
Keterangan:
A = Koefisien dari fungsi kendala ̅ = Koefisien baru dari fungsi kendala D = Matriks diagonal dari interior point C = Koefisien dari fungsi tujuan
̅ = Koefisien baru dari fungsi tujuan
17
(3) Tentukan matriks proyeksi ̅ ̅ ̅ ̅ (2.8) Keterangan:
P = Matriks proyeksi I = Matriks identitas
(4) Tentukan Projected Gradient: (2.9) Keterangan:
= absolut komponen negatif terbesar dari = Tingkat kemiringan yang diproyeksikan P = Matriks proyeksi
(5) Tentukan dengan iterasi koordinat titik baru
̅ [ ]=[ ]+
konstanta yang dipilih antara 0 dan 1 dengan
(6) Tentukan ̅ dan (2.10) Demikian seterusnya pengambilan interior point dengan di dalam daerah layak dilakukan dengan menggunakan iterasi. Dan dari proses iterasi tersebut diperoleh titik yang layak untuk menentukan nilai optimal fungsi objektif sehingga dengan interior point ini dapat menghasilkan nilai menuju nilai optimum. Proses akan berhenti jika nilai ( ̅̅̅̅̅̅) ( ̅̅̅̅) (Safitri, 2012).
2.3.3 Syarat Metode Interior point
Metode interior point ini mengharuskan dalam bentuk berikut (Asri, 2015):
Minimumkan : cx Kendala : Kx = 0
(1) Titik ( ) harus layak.
(2) Nilai Z = 0
18
2.3.4 Contoh Penyelesaian Masalah Dengan Menggunakan Metode Interior Point
Diberikan model program linear, memaksimumkan fungsi objektif (Safitri, 2012):
Dengan kendala:
60
Penyelesaian:
Menambahkan variabel slack pada program linear Maksimumkan Kendala:
Iterasi I
Diambil interior point [10,10,10,10]
1. Buat matriks diagonal D
[
]
2. Menentukan koefisien baru dari fungsi kendala dan fungsi tujuan dengan
*
+ [
]
Berdasarkan Persamaan (2.7), maka diperoleh:
̅ *
+ [
]
*
+ dan
19 ̅ [
] [ ]
̅ [ ]
3. Menentukan matriks proyeksi P dengan:
[
] ̅ [
]
Berdasarkan Persamaan (2.8), maka diperoleh:
[
] *
+
(
*
+ [
])
*
+
[
]
4. Menentukan Projected Gradien
Berdasarkan Persamaan (2.9), maka diperoleh:
[
]
[ ]
[
] dan
| |
20
5. Menentukan iterasi koordinat titik baru, dengan α=0,9 Berdasarkan Persamaan (2.10), maka diperoleh:
̅ [ ]
[
]
[
]
6. Menentukan untuk melakukan iterasi berikutnya Berdasarkan Persamaan (2.11), maka diperoleh:
[
][
]
[
] dan
[
]
Iterasi dilakukan sebanyak 8 kali dengan cara yang sama dan mendapatkan nilai z optimal sebesar z = 900,217 dengan masing-masing sebesar 15,007 dan 9,999.
