6
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pendahuluan
Uji perbandingan dua distribusi merupakan suatu tekhnik analisis yang dilakukan untuk mencari nilai parameter yang baik diantara dua distribusi. Tekhnik uji perbandingan ini nantinya akan memberikan gambaran mengenai parameter yang baik. Untuk melakukan uji perbandingan diperlukan beberapa toeri pendukung.
Dan pada bab II ini akan dibahas mengenai dasar – dasar teori yang digunakan dalam melakukan uji perbandingan dua distribusi Weibull dengan metode Likelihood Ratio Test (LRT), seperti distribusi Weibull, metode kemungkinan
maksimum (Maximum Likelihood Estimation), uji rasio kemungkinan (Likelihood Ratio Test), dan statistik T.
2.2 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull diperkenalkan oleh fisikawan Swedia Waloddi Weibull pada tahun 1939. Distribusi Weibull dapat dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian masa hidup (life testing) seperti waktu sampai rusak atau masa hidup suatu sistem diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak. Distribusi Weibull sering digunakan untuk menghitung peluang masa hidup suatu alat, dan disebut juga sebagai distribusi waktu tunggu hingga gagal. Distribusi Weibull sering digunakan dalam pemodelan analisis kelangsungan hidup yang memiliki daerah fungsi peluang densitas positif dengan peubah acak kontinu.
7 Definisi 2.1 :
Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi weibull dengan parameter β dan θ jika fungsi densitasnya adalah sebagai berikut
𝑓 𝑥 = 𝛽𝜃𝛽𝑥𝛽 −1 𝑒−𝑥𝜃𝛽 ; x > 0 , β > 0, θ > 0
Dengan parameter β sebagai parameter skala yang menskala peubah X, dan parameter θ sebagai parameter bentuk yang menentukan bentuk rate function X
Teorema :
Misalkan X adalah suatu peubah acak berdistribusi weibull dengan parameter α dan β, maka rata – rata dan variansnya adalah :
𝐸(𝑋) = 𝜃−1 𝛤 1 + 1
𝛽 , dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜃−2 𝛤 1 +2
𝛽 − 𝜃−1 𝛤 1 + 1 𝛽
2
(kundu dan Manglick, 2001).
Bukti :
i. E (X)
Untuk mencari rataan dari distribuis Weibull gunakan persamaan sebagai berikut :
𝑓 𝑥 = 𝛽𝜃𝛽𝑥𝛽 −1 𝑒−(𝑥𝜃 )𝛽
𝐸 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
0
= 𝑥
∞
0
𝛽𝜃𝛽𝑥𝛽 −1 𝑒− 𝑥𝜃 𝛽 𝑑𝑥
8
= 𝛽𝜃𝛽 𝑥𝛽
∞
0
𝑒− 𝑥𝜃 𝛽 𝑑𝑥
Misal 𝑦 = (𝑥𝜃)𝛽
𝑥 = 𝑦 𝜃
1 𝛽
𝑑𝑥 = 1 𝛽𝜃 𝑦
𝜃
1 𝛽−1
𝑑𝑦 Menentukan nilai batas integral, Untuk 𝑥 = 0, 𝑦 = 0
𝑥 = ∞, 𝑦 = ∞ (2.1)
Dengan mensubtitusikan hasil pemisalan dan batas integral, dipeoleh
𝐸 𝑥 = 𝛽𝜃𝛽 𝑦
𝜃 𝑒−𝑦 1 𝛽𝜃 𝑦
𝜃
1 𝛽−1
𝑑𝑦
∞
0
= 𝜃𝛽 𝑦 𝜃
1 𝛽
∞
0
𝑒−𝑦 𝑑𝑦
= 𝜃𝛽 𝜃−
1 𝛽 𝑦
1
𝛽 𝑒−𝑦 𝑑𝑦
∞
0
sehingga diperoleh 𝐸 (𝑥) = 𝜃−1Γ 1
𝛽+ 1
9 ii. Var (X)
Untuk mencari rataan dari distribusi Weibull gunakan persamaan sebagai berikut :
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝐸 𝑥2 − 𝐸(𝑥) 2 (2.2)
Pertama cari nilai 𝐸 𝑥2 sebagai berikut
𝐸 𝑥2 = 𝑥2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
0
= 𝑥2
∞
0
𝛽𝜃𝛽𝑥𝛽 −1 𝑒− 𝑥𝜃 𝛽 𝑑𝑥
= 𝛽𝜃𝛽 𝑥𝛽 +1 𝑒− 𝑥𝜃 𝛽 𝑑𝑥
∞
0
Dengan mensubtitusikan persamaan (2.1), diperoleh
𝐸 𝑥2 = 𝛽𝜃𝛽 𝑦 𝜃
2
𝑒−𝑦
∞
0
1 𝛽𝜃 𝑦
𝜃
1 𝛽−1
𝑑𝑦
= 𝜃𝛽 𝑦 𝜃
2 𝛽 𝑒−𝑦
∞
0
𝑑𝑦
= 𝜃𝛽 𝜃−
2 𝛽 𝑦
2
𝛽 𝑒−𝑦 𝑑𝑦
∞
0
Sehingga diperoleh peroleh 𝐸 𝑥2 = 𝜃−2 Γ 2
𝛽+ 1 (2.3)
Subtitusikan persamaan (2.3) ke persamaan (2.2), 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝐸 𝑥2 − 𝐸(𝑥) 2
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜃−2 Γ 2
𝛽+ 1 − 𝜃−1Γ 1
𝛽+ 1
2
10 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜃−1 𝜃 Γ 2
𝛽+ 1 − Γ 1
𝛽+ 1
2
2.3 Distribusi Generalized Weibull
Model distribusi Generalized Weibull merupakan salah satu model umum yang dapat diterapkan dalam data hidup. Penerapan model distribusi Generalized Weibull dilakukan untuk mengatasi kesulitan dalam memilih model peluang dalam data kelangsungan hidup. Model ini dipilih karena memiliki potensi yang bagus untuk mencocokan data kelangsungan hidup.
Menurut Hermita dkk (2007), distribusi Generalized Weibull didefinisikan sebagai berikut :
Defiinisi 2.2
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi Generalized Weibull dengan tiga parameter, maka fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah
𝑓 𝑥 = 𝛿 𝛽
𝑥 − 𝛼 𝛽
𝛿 −1
𝑒−
𝑥−𝛼 𝛽
𝛿
; 𝛼 < 𝑥 < ∞, 𝛼 ≥ 0, 𝛽 > 0, 𝛿 > 0
Dimana
X = peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu mati/rusak/gagal (Failure Time)
α = Parameter lokasi yang menunjukan lokasi waktu, dimana pada saat lokasi waktu tersebut belum ada objek pengamatan yang mati/gagal maupun hilang β = Parameter skala pengamatan yang mati/rusak/gagal maupun hilang
δ = Parameter bentuk yang menunjukkan laju kematian/kerusakan data distribusi Generalized Weibull
11 2.4 Metode Newton-Raphson
Metode ini merupakan metode umum yang paling sering digunakan dalam mencari akar – akar persamaan kuadrat. Jika perkiraan awal dari akar adalah xi,
suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, ʃ (xi). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.
Ada dua pendekatan yang dapat dilakukan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu :
1. Penurunan secara Geometri.
Misal f(x) = 0 adalah suatu persamaan yang mempunyai akar x dan f dapat didiferensialkan, sehingga y = f(x) memiliki garis singgung disetiap titik pada kurva fungsinya.
Missal gradien garis singgung di 𝑥𝑛 adalah 𝑚 = 𝑓′ 𝑥𝑟 = Δ𝑦
Δ𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 − 0 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛+1 Atau
𝑓′ 𝑥𝑟 = 𝑓(𝑥𝑛) 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 +1
Maka prosdeur iterasi Newton Raphsonnya adalah 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛
𝑓′ 𝑥𝑛 , 𝑓′ 𝑥𝑛 ≠ 0 2. Penurunan dengan deret Taylor
Uraikan 𝑓 𝑥𝑛+1 disekitar 𝑥𝑛 ke dalam deret taylor
12 𝑓 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1− 𝑥𝑛 𝑓′ 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1− 𝑥𝑛 2
2 𝑓′′ 𝑡
; 𝑥 < 𝑡 < 𝑥𝑛+1
Jika dipotong sampai suku orde ke-2, menjadi 𝑓 𝑥𝑛+1 ≈ 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1− 𝑥𝑛 𝑓′(𝑥𝑛)
Dan karena persoalan mencari akar persamaan, maka 𝑓 𝑥𝑛+1 = 0, sehingga 𝑓 𝑥𝑛+1 ≈ 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1− 𝑥𝑛 𝑓′ 𝑥𝑛 = 0
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛) ; 𝑓′ 𝑥𝑛 ≠ 0 Iterasi Newton – Raphson berhenti apabila
𝑥𝑛+1− 𝑥𝑛 < 𝜀 Atau
𝑥𝑛 +1− 𝑥𝑛 𝑥𝑛+1 < 𝛿
Dengan 𝜀 dan 𝛿 adalah toleransi galat yang diinginkan.
Langkah – langkah dalam memtode Newton – Raphson adalah 1. Masukkan nilai awal 𝑥0 sembarang
2. Tentukan fungsi 𝑓 𝑥𝑛 dan turunan pertamanya
3. Masukkan persamaan fungsi 𝑓 𝑥𝑛 dan turunan pertamanya kedalam rumus Newton – Raphson sampai dengan eror < 𝜀, sehingga diperoleh akar fungsi (Aryes, 1964).
13 2.5 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation
Method)
Metode kemungkinan maksimum atau yang biasa ditulis dengan MLE merupakan metode yang digunakan untuk menduga suatu sebaran dengan memilih parameter duga dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan.
Menurut Herrhyanto dan Gantini (2009), metode kemungkinan maksimum didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.3
Misalkan X adalah peubah acak kontinu atau diskrit dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓(𝑥; 𝜃), dengan θ adalah satu sampel yang tidak diketahui. Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … … … 𝑥𝑛 merupakan sampel acak berukuran n, maka fungsi kemungkinan maksimum (likelihood function) dari sampel acak tersebut adalah
𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑥1; 𝜃 𝑓 𝑥𝑛; 𝜃 … … 𝑓 𝑥𝑛; 𝜃
Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Biasanya untuk mempermudah proses analisa, fungsi kemungkinan 𝐿 𝜃 diberi log natural (ln). penduga kemungkinan maksimum dari θ adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi kemungkinan 𝐿 𝜃 .
2.6 Uji Rasio Kemungkinan (Likelihood Ratio Test)
Misalkan X1, X2, . . . . ., Xn melambangkan n peubah acak independent yang memiliki masing masing fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑖 𝑥𝑖; 𝜃1, 𝜃2, … … , 𝜃𝑛 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Deret yang terdiri dari semua titik parameter (𝜃1, 𝜃2, … … , 𝜃𝑛) dinotasikan dengan Ω dan kita
14 sebut sebagai parameter. Misalkan ω menjadi sebuah himpunan bagian dari ruang parameter Ω
Kita inginkan hipotesis 𝐻0∶ (𝜃1, 𝜃2, … … , 𝜃𝑛) ∈ 𝜔, jika bukan maka merupakan hipotesis alternatif.
Definisi 2.6
𝐿 𝜔 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖; 𝜃1, 𝜃2, … … , 𝜃𝑛 , (𝜃1, 𝜃2, … … , 𝜃𝑛) ∈ 𝜔
𝑛
𝑖=1
Dan
𝐿 𝛺 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖; 𝜃1, 𝜃2, … … , 𝜃𝑛 , (𝜃1, 𝜃2, … … , 𝜃𝑛) ∈ 𝛺
𝑛
𝑖=1
Misalkan 𝐿 𝜔 dan 𝐿 𝛺 maksimum, dan kita asumsikan ada dari dua fungsi kemungkinan. Rasio dari 𝐿 𝜔 dan 𝐿 𝛺 disebut rasio kemungkinan (Likelihood Ratio) dan dinotasikan sebagai berikut :
𝐿 𝑥1, 𝑥2, … … , 𝑥𝑛 = 𝐿 𝜔
𝐿 𝛺 (Hogg and Craig,1978).
2.7 Statistik T
Menurut Kundu dan Manglick (2001), statistik T merupakan logaritma natural (ln) dari rasio kemungkinan maksimum (Likelihood Ratio) dan dinotasikan sebagai berikut
𝜆 = ln 𝐿 𝑥1, 𝑥2, … … , 𝑥𝑛 = ln 𝐿 𝜔 𝐿 𝛺
Statistik T memiliki karakteristik yaitu jika T > 0 maka akan mengikuti distribusi pembilang, dan untuk T lainnya maka akan mengikuti distribusi penyebut.
