Bil. Asli Bil. Bulat Bil. Cacah

Bil. Asli

Bil. Cacah Bil. Bulat

I. Materi Ajar:

Pertemuan 1:

A. Macam-macam bilangan real 1. Bilangan Asli (A)

Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,...

A = {1,2,3,4,...}

2. Bilangan Genap (G)

Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, n∈A G = {2,4,6,8,...}

3. Bilangan Ganjil (Gj)

Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, n∈A Gj = {1,3,5,7,...}

4. Bilangan Prima (P)

Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1

P = {2,3,5,7,...}

5. Bilangan Komposit (Km)

Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lain

Km = {4,6,8,9,...}

6. Bilangan Cacah (C)

Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol C = {0,1,2,3,4,...}

7. Bilangan Bulat (B)

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif.

B = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

8. Bilangan Pecahan (Pc)

Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

b

a, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut, dengan a dan b ∈B serta b ≠0

Contoh:

7 ,3 5 ,2 2

1

9. Bilangan Rasional (Q)

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

b

a, a dan b ∈B serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat dengan himpunan bilangan pecahan)

Contoh: -

7 ,22 4 7, ,4 3 1

10. Bilangan Irasional (I)

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

b

a, a dan b ∈B serta b ≠0.

Contoh: 2, 3,π =3,14159...,e=2,71828...

11. Bilangan Real (R)

Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan.

Contoh:

. . . . . . . -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 12. Bilangan Khayal (Kh)

Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.

Contoh: −1, −2, −3 13. Bilangan Kompleks (K)

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan dan khayal.

Contoh: 2 + −1,5− −2

B. Perbedaan Antara Bilangan Rasional Dan Bilangn Irasional Bilangan Rasional:

1. Dapat dtulis dalam bentuk pecahan biasa Contoh:

3 ,5 3 ,2 2 1

2. Dapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal terbatas.

Contoh:

142857 ,

0 ...

57 1428571428 ,

7 0 1

3 , 0 ...

333 , 3 0 1

ditulis ditulis

=

=

Bilangan Irasional:

1. Tidak dapat ditulis sebagai pecahan biasa

2. Jika didahului sebagai pecahan desimal, merupakan desimal tak terbatas.

Contoh:

...

7320 , 1 3

...

4142 , 1 2

=

=

3. Bilangan irasional ditulis dalam bentuk akar.

Contoh: 2, 3, 7

Pertemuan 2:

C. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat a. Sifat Komutatif:

a + b = b + a a.b = b.a Contoh:

1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11 2. 9 . 3 = 3 . 9 = 27 b. Sifat Assosiatif:

(a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c) Contoh:

1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10 2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30

c. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

a x (b + c) = ab + ac Contoh:

5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6 = 15 + 30 = 45

d. Terdapat Dua Elemen Identitas

Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0, sehingga memenuhi:

a + 0 = a a . 1 = a

e. Terdapat Elemen Invers

Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu – a yang memenuhi:

a + (-a) = 0

Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian yaitu a

1, yang memenuhi:

a . 1 =1 a

Pertemuan 3:

D. Operasi Pada Bilangan Bulat:

a. Operasi Penjumlahan

a + b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 14 + 10 = 24

b. Operasi Pengurangan

A – b = c ⇔a + (-b) = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 10 – (-2) = 10 + 2 = 12

c. Operasi Perkalian

a . b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 5 . 4 = 20

(-9) . (-4) = 36 d. Operasi Pembagian

b c b a

a = 1 =

. a, b bilangan bulat dan b ≠ 0, c bilangan real

Contoh: 20

1 .5 4 5 1

4 = =

Pertemuan 4:

E. Operasi Pada Bilangan Pecahan a. Operasi Penjumlahan

Contoh:

1. 5 + 8 = 13

2. 8

11 18

9 18

2 6 3 18

2 + = + =

3. 7 10

6 96 6 24 6 72 3 22 6

2+ = + = =

b. Operasi Pengurangan Contoh:

Tentukan hasil perkalian berikut!

1. 4

3 12

9 12

1 12 10 12

1 6

5− = − = =

2. 3

1 3 1 3 2− =

3. 9 6

45 6 43 6 88 6 43 6 92 2 41 3

1− = − = − =

c. Operasi Perkalian Contoh:

Tentukan hasil perkalian berikut:

1. 15

24 3 5

6 4 3 6 5

4 = =

x x x

2. 5 2

251 6 153 2 9 3 17 2 41 3

2x = x = =

d. Operasi Pembagian Contoh:

Tentukan hasil pembagian dari pecahan di bawah ini!

1. 25

1 7 25 32 5 8 5 4 8 :5 5

4 = x = =

2. 4 15

114 15 29 5 2 15 29 2 21 6:

5 = x = =

Pertemuan 5:

F. Konversi Pecahan

a. Mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal

1. Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya.

Contoh:

a. 0,4 10

4 5

2 = b. 3 3,12

100 312 2

78 2

3 = = =

2. Dengan pembagian berulang Contoh:

Ubahlah 12

4 ke dalam pecahan desimal!

12

4 = 0,33333... = 0,33

b. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen.

Mengubah penyebutnya menjadi 100 Contoh:

1. 40

100 40 25

10 = = %

2. 4 440

100 440 10 44 10

4 = = %

3. Ubahlah 75% dan 30% ke dalam bentuk pecahan!

Jawab: 75% =

4 3 100

75 =

30% =

10 3 100

30 =

c. Mengubah persen ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal Contoh:

Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal!

a. 20% = 0,20 5

1 100

20 = =

b. 40% = 0,40 5

2 100

40 = =

c. 75% = 0,75 4

3 100

75 = =

G. Perbandingan, Skala, Dan Persen

a. Perbandingan digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan

1) Perbandingan senilai Bentuk Umum:

2 2 1 1

b a b

a = atau a₁ : b₁ = a₂ : b₂

2) Perbandingan berbalik nilai Bentuk Umum:

1 2 2 1

b a b

a = atau a₁ : b₂ = a₂ : b₁

Contoh:

1. Seorang ibu menghabiskan ½ liter minyak tanah untuk merebus air sebanyak 15 liter air. Jika dia akan merebus air sebanyak 100 liter, berapa liter minyak tanah yang diperlukan?

2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukang dalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari, maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu?

Jawab:

1. Jika perbandingan banyak minyak tanah (M) dengan banyak air (A) adalah M : A, maka:

1 1

A M =

2 2

A M

M M x liter

3 31 30 100 100 30

1 100

15 2 / 1

2

2 ⇔ = = =

=

⇔

2. Jika 4 orang tukang (T₁) dapat menyelesaikan 20 hari (H₁), maka untuk selesai selama 2 hari (H₂) harus dipekerjakan lebih dari 4 orang.

1 2 2 1

H T H

T =

g orangtukan x

T T

2 40 80 2 20 4 20

2 4

2

2 ⇔ = = =

=

⇔

Pertemuan 6:

b. Skala

Skala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sesungguhnya (kenyataannya). Suatu skala bisa merupakan pembesaran atau pengecilan dari ukuran sesungguhnya.

1) Skala pembesaran Contoh:

Jarak kota A ke kota B pada peta adalah 10 cm. Jika jarak sesungguhnya adalah 100 km,berapakah skala kota A ke kota B?

Jawab:

Misal jarak pada peta = x Misal jarak sesungguhnya = y X : y = 10 cm : 100 km

= 10 cm : 10.000.000 cm = 1 : 1.000.000

Jadi, skala jarak kota A ke kota B adalah 1 : 1.000.000 2) Skala Pengecilan

Contoh:

Tinggi seorang aktor adalah 180 cm. Berapakah tinggi aktor tersebut pada layar TV jika skalanya 1 : 100?

Jawab:

Misal tinggi sesungguhnya = A = 180 cm Tinggi pada TV = B

cm B B

A

B 1,8

100 180 180

100 1 100

1 = ⇒ = ⇒ = =

Jadi tinggi aktor pada layar TV 1,8 cm c. Persen

Persen (%) berarti per seratus, merupakan bentuk lain dari perbandingan yang ditulis dalam pecahan dengan penyebut 100.

Misal: 1% = 100

1 Contoh:

Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu?

Jawab:

Massa total perunggu = 100 kg + 20 kg + 30 kg = 150 kg Persentase tembaga = 100% 66,7%

150

100x =

Persentase timah hitam = 100% 13,3% 150

20 x =

Persentase timah putih = 100% 20,0% 150

30 =

Pertemuan 6:

H. Penerapan Pada Bidang Keahlian 1) Komisi

Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan.

2) Diskon

Diskon adalah potongan harga yang diberikan oleh penjual kepada pembeli

3) Laba dan Rugi

Laba = Penjualan – Pembelian Rugi = Pembelian – Penjualan Contoh soal:

1. Seorang sales mendapat komisi 20% jika dia mampu menjual barang senilai Rp2.000.000,00. Tentukan komisi yang diterima!

Jawab:

Komisi = 20% x Rp2000.000,00 = 2.000.000,00

100 20 xRp

= Rp400.000,00

2. Sebuah barang dibeli seharga Rp500.000,00, kemudian barang tersebut dijual dengan harga Rp750.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!

Jawab:

Laba = Rp750.000,00 – Rp500.000,00 = Rp250.000,00 Persentase laba dari harga beli : 100% 50%

00 , 000 . 500

00 , 000 .

250 x =

Rp Rp

Persentase laba dari harga jual : 100% 33,3% 00

, 000 . 750

00 , 000 .

250 x =

Rp Rp