12
BAB III
SOLUSI ANALITIK PERSAMAAN AIR DANGKAL LINEAR 3.1 Persamaan Gerak Muka Air
Persamaan gerak muka air diperoleh dari persamaan air dangkal linear yang diturunkan terhadap . berikut uraian dari penurunana persamaan air dangkal linear.
a. Turunan Persamaan Konservasi Massa Linear terhadap varibel t ( )
(3.1)
b. Turunan Persamaan Konservasi Momentum Linear terhadap variabel x ( )
(3.2) Dari Persamaan (3.2) diperoleh
(3.3) Dengan mensubstitusikan Persamaan (3.3) ke dalam Persamaan (3.1) diperoleh persamaan sebagai berikut:
( ) (3.4) c. Turunan Persamaan Konservasi Massa terhadap variabel diperoleh
(3.5) dengan mensubstitusikan Persamaan (3.5) ke dalam Persamaan (3.4)
diperoleh persamaan berikut: ( (
13
( ) (3.6) Persamaan (3.6) merupakan Persamaan Gerak Muka Air pada Persamaan Air Dangkal Linier
3.2 Relasi Dispersi
Dalam penyelesaian solusi analitik persamaan air dangkal terlebih dahulu mengetahui hubungan antara frekuensi gelombang dan bilangan gelombang yang disebut Relasi Dispersi. Relasi Dispersi diperoleh dengan mengubah gangguan pada gambar 2.3 menjadi gelombang monokromatik [6]. Gelombang monokromatik merupakan gelombang yang memiliki panjang gelombang, amplitudo, dan cepat rambat gelombang yang konstan selama penjalarannya (Widjojo, 2010). Berikut gangguan berupa gelombang monokromatik
( ) ( ) (3.7) dengan merupakan Amplitudo gelombang, merupakan Bilangan Gelombang, dan merupakan Frekuensi Gelombang.
Dengan mensubstitusikan Persamaan (3.7) ke dalam Persamaan (3.6), akan diperoleh persamaan berikut
( ) (3.8) Karena sebuah konstanta taknol dan , maka Persamaan (3.8) dapat dicari akar-akarnya. Berikut akar-akar yang memenuhi Persamaan (3.8)
√ (3.9)
Persamaan (3.9) adalah Relasi Dispersi bagi Persamaan Air Dangkal Linear. Nilai berbading lurus dengan nilai dan juga dipengaruhi oleh kedalaman, kecepatan dan grafitasi gelombang.
14
Apabila dimisalkan akan diperoleh nilai sebagai berikut
√ (3.10)
dimana tanpa ada arus gelombang monokromatik akan memiliki frekuensi gelombang yang diekspresikan pada Persamaan (3.10). Nilai berbanding lurus dengan dan dipengaruhi oleh kedalaman dan grafitasi gelombang.
3.3 Solusi Analitik
Pada penelitian ini solusi analitik yang dikaji pada pennelitian ini merupakan solusi analitik untuk fenomena stending wave yang dengan memanfaatkan gelombang monokromatik. Solusi analitik Persamaan (3.6) diperoleh dengan mengasumsikan syarat awal sebagai berikut:
( ) ( ) (3.11)
( ) (3.12)
Diperoleh dengan memanfaatkan gelombang monokromatik pada Persamaan (3.7) dapat dituli kembali ke dalam bentuk trigonometri berikut,
( ) ( ) ( ).
Dengan nilai dan pada Persamaan (3.9). Nilai dan dapat dihitung dengan menggunakan syarat awal pada Persamaan 3.11 dan 3.12, diperoleh uraian sebagai berikut:
a. Dengan menggunakan Persamaan (3.11) diperoleh
( ) ( ) ( )
(3.13)
b. Dengan menurunkan ( ) terhadap t diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
15
(3.14)
Substitusikan Persamaan (3.14) ke dalam Persamaan (3.13) diperoleh
(3.15)
Dengan demikian persamaan 3.14 menjadi
(3.16)
Dari Persamaan (3.15) dan (3.16) diperoleh Solusi Analitik bagi Persamaan (3.6) sebagai berikut:
( )
( ) ( ) (3.17). Pada kasus , dengan frekuensi gelombang diperoleh seperti pada Persamaan (3.10), maka dengan mensubtitusikannya ke dalam Persamaan (3.17) akan diperoleh persaman sebagai berikut
( ) ( ( ) ( )) (3.18) Persamaan 3.19 merupakan Solusi Analitik bagi Persamaan (3.6) dengan arus . Dengan kecepatan gelombang , diperoleh amplitudo pada solusi analitik yaitu sebesar . Solusi tersebut akan menghasilkan gelombang berayun.
3.4 Hasil Simulasi Solusi Analitik
Solusi analitik yang diperoleh dari Persamaan Gerak Muka Air, seperti pada Persamaan (3.17) dan Persamaan (3.18) diperoleh hasil simulasi solusi analitik dengan menggunakan parameter fisik yaitu , , , dan Waktu maksimal = 3.
3.4.1 Hasil simulasi solusi analitik
Berdasarkan parameter fisik yang digunakan, frekuensi gelombang adalah dan . Berikut hasil simulasi solusi analitik untuk .
16
1. Hasil Simulasi untuk dengan √
Dengan menggunakan parameter diatas dan
√ diperoleh hasil simulasi sebagai berikut
Gambar 3.1 Hasil simulasi analitik dengan √
Gambar 3.2 Hasil simulasi analitik pada dan √
17
Dari Gambar 3.1 menunjukkan bahwa hasil simulasi solusi analitik menghasilkan gelombang berayun. Gelombang bergerak naik turun dengan kecepatan konstan dan amplitudo yang konstan hal ini sesuai dengan hasil simulasi yang ditunjukkan pada Gambar 3.2.
2. Hasil Simulasi untuk dengan
√
Gambar 3.3 Hasil simulasi solusi analitik dengan
√
Gambar 3.4 Hasil simulasi analitik pada dan
18
Pada hasil simulasi solusi analitik pada saat
√ menunjukkan gelombang berayun yang bergerak naik turun dengan kecepatan dan amplitudo konstan. Dengan nilai yang diperkecil, namun tidak menyebabkan perubahan pada amplitudo gelombang.
3. Hasil Simulasi untuk dengan
√
Gambar 3.5 Hasil simulasi analitik dengan
√
Gambar 3.6 Hasil simulasi analitik pada dan
19
Pada hasil simulasi solusi analitik pada saat
√ menunjukkan gelombang berayun yang bergerak naik turun dengan kecepatan dan amplitudo konstan. Dengan nilai yang diperkecil, namun tidak menyebabkan perubahan pada amplitudo gelombang.
3.4.2 Hasil simulasi solusi analitik
Berdasarkan parameter fisik yang digunakan, frekuensi gelombang adalah dan serta nilai dan . Berikut hasil simulasi solusi analitik untuk .
1. Hasil simulasi untuk dengan √
Dengan menggunakan parameter yang sama dan
√ diperoleh hasil simulasi sebagai berikut
Gambar 3.7 Hasil simulasi solusi analitik dengan √
20
Gambar 3.8 Hasil simulasi analitik pada dan √
Dari Gambar 3.17 menunjukkan bahwa hasil simulasi solusi analitik menghasilkan gelombang berayun, dimana gelombang bergerak naik turun kearah kanan. Pergerakan kearah kanan disebabkan karena adanya kecepatan yang menyebabkan nilai frekuensi gelombang bernilai negatif. Dengan adanya kecepatan gelombang yang mempengaruhi frekuensi gelombang hal ini juga mempengaruhi amplitudo gelombang yang naik turun sesuai pada Gambar 3.18. 2. Hasil Simulasi tuk dengan
√
Gambar 3.9 Hasil simulasi analitik dengan
21
Gambar 3.10 Hasil simulasi analitik pada dan
√ Pada hasil simulasi solusi analitik pada saat
√ menunjukkan gelombang berayun yang bergerak naik turun kearah kanan dengan kecepatan konstan dan amplitudo naik turun. Dengan nilai yang diperkecil, namun tidak menyebabkan perubahan pada amplitudo gelombang.
3. Hasil Simulasi untuk dengan
√
Gambar 3.11 Hasil simulasi analitik dengan
22
Gambar 3.12 Hasil simulasi analitik pada dan
√ Pada hasil simulasi solusi analitik pada saat
√ menunjukkan gelombang berayun yang bergerak naik turun kearah kanan dengan kecepatan konstan dan amplitudo naik turun. Dengan nilai yang diperkecil, namun tidak menyebabkan perubahan pada amplitudo gelombang.
3.4.3 Hasil simulasi solusi analitik
Berdasarkan parameter fisik yang digunakan, frekuensi gelombang adalah dan , serta nilai dan . Berikut hasil simulasi solusi analitik untuk .
1. Hasil simulasi untuk dengan √
Dengan menggunakan parameter yang sama dan
√ diperoleh hasil simulasi sebagai berikut
23
Gambar 3.13 Hasil simulasi solusi analitik dengan √
Gambar 3.14 Hasil simulasi solusi analitik pada dan √ Dari Gambar 3.13 menunjukkan bahwa hasil simulasi solusi analitik menghasilkan gelombang berayun, bergerak naik turun kearah kiri. Pergerakan kearah kiri disebabkan karena adanya kecepatan yang menyebabkan nilai frekuensi gelombang bernilai positif. Dengan adanya kecepatan gelombang
24
yang mempengaruhi frekuensi gelombang hal ini juga mempengaruhi amplitudo gelombang yang naik turun sesuai pada Gambar 3.14.
2. Hasil Simulasi untuk dengan
√
Gambar 3.15 Hasil simulasi solusi analitik dengan
√
Gambar 3.16 Hasil simulasi solusi analitik pada dan
√
Pada hasil simulasi solusi analitik pada saat
√ menunjukkan gelombang berayun yang bergerak naik turun kearah kiri dengan kecepatan
25
konstan dan amplitudo naik turun. Dengan nilai yang diperkecil, namun tidak menyebabkan perubahan pada amplitudo gelombang.
3. Hasil Simulasi untuk dengan
√
Gambar 3.17 Hasil simulasi solusi analitik pada dan √
Gambar 3.18 Hasil simulasi solusi analitik pada dan
26
Pada hasil simulasi solusi analitik pada saat
√ menunjukkan gelombang berayun yang bergerak naik turun kearah kiri dengan kecepatan konstan dan amplitudo naik turun. Dengan nilai yang diperkecil, namun tidak menyebabkan perubahan pada amplitudo gelombang.
Secara numerik nilai dilakukan untuk memperoleh error damping. Pada hasil simulasi solusi analitik meski nilai diperkecil tidak adanya perubahan pada amplitudo gelombang, sehigga pada hasil simulasi solusi analitik tidak terdapat error damping.
