Daya Rangkaian AC [1]

(1)

Daya Rangkaian AC [1]

Slide-10

Ir. Agus Arif, MT

Semester Gasal 2016/2017

(2)

Materi Kuliah

1 Daya Sesaat

Definisi

Daya Input Undak Daya Input Sinusoidal

2 Daya Rerata

Definisi

Daya Input Sinusoidal

Daya Resistif & Reaktif Murni Daya Rerata Maksimum

(3)

Pengantar

Sbg bagian terpadu dr analisis suatu rangkaian AC adl penentuan daya yg diserap atau dilepas oleh rangkaian tsb:

Pendekatan analisis rangkaian AC sebelumnya tidak begitu sesuai utk perhitungan daya

Penentuan daya akan didekati dgn membedakan 4 jenis daya listrik:

1 _{daya sesaat (instantenous power ),}

2 _{daya rerata (average power ) dan daya reaktif (reactive power ),} 3 _{daya efektif (effective power ) dan daya semu (apparent}

power ), serta

4 _{daya komplex (complex power )}

Scr praktis, daya rangkaian listrik dpt terentang dari:

pecahan kecil pikowatt pd sistem telemetri ruang angkasa, beberapa watt pada catu daya sistem audio,

ratusan watt pada peralatan rumah tangga, hingga ratusan juta watt yang dibangkitkan oleh suatu PLTA.

(4)

Definisi Daya Sesaat

Daya sesaatyg diserap suatu piranti = hasil kali dr tegangan

sesaat pd ujung2 terminal piranti dan arus sesaat yg mengalirinya:

p(t) = v (t) × i (t)

Jk piranti tsb adl resistor dgn resistans R, mk dayanya dpt dinyatakan dgn tegangannya saja atau arusnya semata:

p(t) = v (t) i (t) = i2(t) R = v

2_(t) R

Jk piranti tsb bersifat sepenuhnya induktif mk

p(t) = v (t) i (t) = L i (t)di (t) dt = 1 Lv (t) Z t −∞ v (t0) dt0 Jk piranti tsb adl kapasistor mk

p(t) = v (t) i (t) = C v (t)dv (t) dt = 1 C i (t) Z t −∞ i (t0) dt0 4 / 21

(5)

Daya dgn Input Undak [1]

Daya dr rangkaian di atas dgn sumber tegangan undak dpt ditentukan dr arusnya: i (t) = V0 R 1 − e−RLt u(t)

shg daya total yg dipasok sumber dan diserap oleh komponen2

pasif: p(t) = v (t) i (t) = V 2 0 R 1 − e−RLt u(t)

(6)

Daya dgn Input Undak [2]

Daya yg dipasok ke resistor:

pR(t) = i2(t) R = V₀2 R 1 − e−RLt 2 u(t)

Utk menentukan daya yg diserap induktor, hrs ditentukan dulu tegangannya: vL(t) = L di (t) dt = V0e− R Ltu(t) +L V0 R 1 − e−RLt du(t) dt = V0e− R Ltu(t)

krn du(t)/dt = 0 pd saat t > 0 dan 1 − e−RLt = 0 pd saat t = 0

Alhasil, daya yg diserap induktor:

pL(t) = v (t) i (t) = V₀2 R e −R Lt 1 − e−RLt u(t) 6 / 21

(7)

Daya dgn Input Undak [3]

Utk memeriksa kebenaran perhitungan daya rangkaian tsb dpt

dipergunakan hubungan p(t) = pR(t) + pL(t) shg p(t) =V 2 0 R 1 − e−RLt 1 − e−RLt u(t)+ V₀2 R e −R Lt 1 − e−RLt u(t) =V 2 0 R h 1 − e−RLt+ e− R Lt i 1 − e−RLt u(t) =V 2 0 R 1 − e−RLt u(t)

Kurva perubahan daya dr ke-3 komponen menunjukkan: sewaktu respon transien melenyap, rangkaian kembali kpd keadaan-ajeg

krn sumber yg bersifat dc, akhirnya induktor berlaku sbg hubung-singkat & menyerap daya nol

(8)

Daya dgn Input Undak [4]

Kurva perubahan daya ke-3 komponen rangkaian di atas:

(9)

Daya dgn Input Sinusoidal [1]

Daya dr rangkaian di atas dgn sumber tegangan sinusoidal dpt ditentukan dr arusnya: i (t) = Im cos (ω t + φ) dgn Im= Vm √ R2_{+ ω}2_L2 dan φ = − tan −1 ω L R

Daya total yg dipasok sumber dan diserap oleh komponen2 _pasif:

p(t) = v (t) i (t) = VmIm cos (ω t + φ) cos (ω t)

(10)

Daya dgn Input Sinusoidal [2]

yg dpt ditulis-ulang dgn memperhatikan identitas trigonometri:

cos α cos β = 1 2[cos (α + β) + cos (α − β)] menjadi p(t) = VmIm 2 [cos (2ω t + φ) + cos φ] = VmIm 2 cos φ + VmIm 2 cos (2ω t + φ)

Berdasarkan persamaan terakhir:

suku pertama bukan fungsi waktu, suku kedua adl fungsi waktu dgn frekuensi = 2 × frekuensi terpasang/sumber krn gelombang sinus & kosinus memiliki rerata = nol (ktk direratakan thdp periodenya) mk dpt diprakirakan daya rerata adl 1₂VmImcos φ

(11)

Definisi Daya Rerata

Utk mendefinisikan daya rerata diperlukan batasan yg jelas dr rentang waktu selama daya sesaat mengalami proses pererataan:

Jk rentang waktu dibatasi dr saat t1 hingga saat t2 mk nilai

daya rerata dpt diperoleh dgn mengintegralkan daya sesaat

p(t) slm rentang waktu dan membagi hasilnya dgn rentang

waktu yg dimaksud:

Dgn demikian, daya rerata adalah

P = 1

t2− t1

Z t2

t1

p(t) dt

Meski P bukan fungsi waktu namun ia tergantung pd rentang waktu integrasi (t1 dan t2) yg dipilih

Ketergantungan P thdp rentang waktu tertentu akan mnjd lebih sederhana kalau daya sesaat p(t) bersifat berkala atau periodik

(12)

Daya Rerata dgn Input Gelombang Berkala [1]

Dianggap bhw suatu rangkaian menerima input dan menghasilkan

tanggapan yg kedua2nya berupa gelombang berkala (tidak harus

berupa sinusoid) yg dpt dirumuskan sbg:

f (t) = f (t + T ) dgn T adl perioda

(13)

Daya Rerata dgn Input Gelombang Berkala [2]

Mula2 dihitung daya-rerata P1 dgn mengintegralkan dr saat t1

hingga saat satu periode berikutnya t2= t1+ T :

P1 = 1 T Z t1+T t1 p(t) dt

Lalu dihitung daya-rerata Px dgn mengintegralkan pd suatu

rentang waktu lainnya dr tx hingga tx + T

Px = 1 T Z tx+T tx p(t) dt

Berdasarkan grafik p(t), terlihat daerah2 yg diintegralkan adl sama

luasnya shg diperolwh P1 = Px

Alhasil,daya rerata dpt dihitung dgn mengintegralkan daya sesaat

pd rentang waktu manapun selama suatu periode dan lalu dibagi dgn lamanya periode tsb

(14)

Daya Rerata dgn Input Sinusoid Ajeg

Dianggap bhw suatu piranti memiliki tegangan dan arus berbentuk sinusoidal:

v (t) = Vm cos (ω t + θ) dan i (t) = Im cos (ω t + φ) mk daya sesaat piranti tsb:

p(t) = VmIm cos (ω t + θ) cos (ω t + φ)

= 1

2VmIm[cos (θ − φ) + cos (2 ω t + θ + φ)] Pd persamaan terakhir,

suku pertama adl tetapan & tidak tergantung waktu,

suku kedua adl fungsi kosinus yg berkala dgn periode 1₂T ,

rerata dr gelombang sinus & kosinus selalu nol Alhasil, daya rerata dgn input sinusoidal:

P = 1

2VmIm cos (θ − φ)

(15)

Contoh 1: Daya Sesaat dan Daya Rerata [1]

Suatu tegangan pd lingkup-waktu v (t) = 4 cos (π t₆ ) V dikenakan

pd suatu impedans Z = 2 ∠ 60◦Ω. Tentukan daya rerata dan daya

sesaat dr impedans tsb.

Jawab: Tegangan tsb dinyatakan sbg fasor adl V = 4 ∠ 0◦ V dan

arus yg mengaliri impedans tsb adl V/Z = 2 ∠ –60◦ A. Alhasil,

daya reratanya: P = 1 2VmIm cos (θ − φ) = 1 2(4)(2) cos 60 ◦_{= 2 W}

Dlm lingkup-waktu, tegangan dan arus dpt dinyatakan sbg:

v (t) = 4 cos _{π t} 6 V dan i (t) = 2 cos _{π t} 6 − 60 ◦ _A

Alhasil, daya sesaatnya:

p(t) = 8 cos _{π t} 6 cos _{π t} 6 − 60 ◦_{= 2 + 4 cos}π t 3 − 60 ◦ _W 15 / 21

(16)

Contoh 1: Daya Sesaat dan Daya Rerata [2]

Ketiga besaran sesaat dpt digambrkan scr bersama-sama sbg:

kurva hijau = tegangan v (t), kurva merah = arus i (t), dan kurva biru = daya p(t)

(17)

Daya Rerata pd Komponen Resistif Murni

Pd resistor murni, selisih sudut fase di antara arus- dan tegangan-nya adl nol, shg daya reratanya:

PR = 1 2VmIm cos 0 = 1 2VmIm atau PR = 1 2I 2 mR atau PR = V_m2 2 R

Dua rumus terakhir memungkinkan utk menghitung daya rerata resistor murni dgn cukup mengetahui tegangannya semata atau arusnya saja, namun ...

Peringatan: Tegangan atau arus yg dipergunakan pd rumus2 tsb

adl tegangan di ujung2 resistor atau arus yg mengalirinya, bukan

tegangan atau arus lainnya

(18)

Daya Rerata pd Komponen Reaktif Murni

Pd komponen reaktif murni (induktor atau kapasitor saja), selisih

sudut fase di antara arus- dan tegangan-nya adl (θ − φ) = ±90◦,

shg daya reratanya:

PX = 1

2VmIm cos ±90

◦_{= 0}

Daya rerata yg diberikan pd suatu rangkaian ygsepenuhnya

tersusun dr induktor atau kapasitor ideal adl nol

Daya sesaat yg diberikan pd rangkaian demikian adl nol pd saat2 _{tertentu saja}

Daya yg mengalir ke dalam rangkaian pd satu siklus = daya yg mengalir ke luar pd siklur lainnya, shg tdk ada daya yg hilang

(19)

Daya Rerata Maksimum

Suatu sumber tegangan independen yg terhubung seri dgn

impedans Zth, atau

suatu sumber arus independen yg terhubung paralel dgn

impedans Zth

akan menyerahkandaya rerata maksimum kepada suatu beban

impedans ZL ketika beban tsb adl konjugat dr Zth atau ZL = Z∗_th

(20)

Contoh 2: Daya Rerata Maksimum [1]

Suatu rangkaian tersusun sbg hubungan seri dr sumber tegangan

sinusiodal 3 cos (100 t − 3◦) V, resistor 500 Ω, induktor 30 mH dan

satu impedans yg tidak diketahui. Jk ingin dipastikan bhw sumber tegangan tsb memasok daya rerata terbesar kpd impedans yg tidak diketahui, berapakah nilai impedans seharusnya?

Jawab: Gambar di atas menampilkan rangkaian yg dimaksud dgn

komponen2_{nya tlh ditulis dlm bentuk fasor. Impedans yg tdk}

diketahui Z? terlihat terhubung seri dgn untai ekivalen Th´evenin yg

(21)

Contoh 2: Daya Rerata Maksimum [2]

terdiri dr sumber Th´evenin 3 ∠ –3◦ V dan impedans Th´evenin

500 + j 3 Ω.

Krn rangkaian tsb sdh dinyatakan dlm bentuk yg tepat, mk daya rerata maksimum akan dipasok sumber kpd impedans yg tdk diketahui manakala nilai impedans-nya adl

Z?= Z∗th = 500 − j 3 Ω

Nilai impedans ini dpt diwujudkan dgn beberapa cara, yg termudah adl berupa suatu resistor 500 Ω yg diserikan dgn suatu kapasitor yg memiliki imedans sebesar −j 3 Ω. Krn frekuensi kerja rangkaian tsb adl 100 rad/s mk kapasitans yg diperlukan adl

XC = 1 j ω C ⇒ C = 1 j ω XC = 1 j 100 (−j 3) = 1 300 = 3.33 mF

Berapakah daya rerata maksimum yg diberikan kpd Z? tsb?