METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.

METODE ANALISIS

1. Analisis Arus Cabang

Metode arus cabang adalah salah satu metode penyelesaian analisis rangkaian bila rangkaian terdiri dari dua atau lebih sumber. Pada metode arus cabang ini, akan diperoleh arus pada setiap cabang dari suatu rangkaian yang disebut arus cabang. Dengan mengetahui arus pada setiap cabang maka kuantitas yang lain seperti daya atau tegangan dapat ditentukan. Langkah-langkah penyelesaian dengan metode arus cabang adalah :

1. Tentukan arus dan arahnya untuk setiap cabang rangkaian

2. Polaritas untuk setiap resistansi ditentukan oleh arah arus yang telah diasumsikan

3. Gunakan hukum Kirchhoff tentang tegangan/beda potensial untuk setiap lintasan tertutup

4. Gunakan hukum Kirchhoff tentang arus pada suatu simpul 5. Selesaikan persamaan linier sesuai asumsi arus-arus cabang

Contoh 1

Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.

Gambar 1. Contoh 1

 Loop acda : 4I3 – 2 + 2I1 = 0 2I1 + 4I3 = 2 ...(1)  Loop abca -I2 + 6 - 4I3 = 0 I2 + 4I3 = 6 ...(2)  Simpul a I1 + I2 - I3 = 0 I1 + I2 = I3 ...(3)

 Substitusi persamaan (3) ke dalam persamaan (1) dan (2) diperoleh, 2I1 + 4(I1 + I2) = 2  6I1 + 4I2 = 2 : x 5 I2 + 4(I1 + I2) = 6  4I1 + 5I2 = 6 : x 4 30I1 + 20I2 = 10 16I1 + 20I2 = 24 - ---

14I1 = -14  I1 = -1 Amp ; I2 = 2 Amp ; I3 = 1 Amp

2.

Analisis Mesh

Selain metode arus cabang, adapula metode yang dinamakan analisis mesh. Istilah mesh dirturunkan dari loop tertutup dari suatu rangkaian. Dari kedua metode tersebut metode analisis mesh yang paling sering digunakan. Langkah-langkah penyelesaian dengan metode analisis mesh adalah :

1. Tentukan arus untuk setiap lintasan tertutup/loop. Misal arah arus searah dengan arah jarum jam

2. Jumlah persamaan yang diperlukan sama dengan jumlah lintasan tertutup/loop yang bebas

3. Gunakan hukum Kirchhoff tentang tegangan/beda potensial untuk setiap lintasan tertutup

4. Selesaikan persamaan linier sesuai asumsi arus pada lintasan tertutup

Contoh 2

Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode analisis mesh untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.

Gambar 2. Contoh 2 Dari Gambar 2, dapat dituliskan :

 Loop 1 : -2 + 2I1 + 4(I1 - I2 ) = 0

6I1 - 4I2 = 2 ...(4)

 Loop 2 : I2 + 6 + 4(I3 - I2) = 0

-4I1 + 5I2 = -6 ...(5)

 Dari persamaan (4) dan persamaan (5) diperoleh, 6I1 - 4I2 = 2 : x 5  30I1 - 20I2 = 10

-4I1 + 5I2 = -6 : x 4  -16I1 + 20I2 = -24 +

---

14I1 = -14  I1 = -1 Amp ;

I2 = -2 Amp ; I4Ω = 1 Amp

3.

Analisis Simpul/Node

Langkah-langkah penyelesaian dengan metode analisis simpul / node adalah :

1. Tentukan jumlah simpul dari suatu rangkaian

2. Pilih simpul referensi dan beri label pada setiap simpul

3. Gunakan hukum Kirchhoff tentang arus pada setiap simpul kecuali simpul referensi

Contoh 3 :

Tentukan arus yang mengalir pada tahanan 6 ohm dan 12 ohm dengan menggunakan metode analisis simpul untuk rangkaian seperti pada Gambar 3.

Gambar 3. Contoh 3

Jawab

 Banyaknya simpul ada dua buah, I1 dan I2 didefinisikan sebagai

arus yang meninggalkan simpul V1

 Simpul V1 : I – I1 - I2 = 0  I = I1 + I2 ...(6)  Dimana : 12 V I ; 6 24 V I 1 2 1 1    ...(7)

 Substitusi pesamaan (7) ke dalam persamaan (6), diperoleh V1 = 20 volt ; I1 = - 0.667 Amp ; I2 = 1.667 Amp

4.

Konversi

Y

- ∆ (

T

-π) dan ∆ -

Y

(π -

T

)

Bentuk rangkaian pada umumnya dapat dengan mudah disederhanakan menjadi satu impedansi atau admitansi, namun adapula rangkaian dimana tidak tampak sebagai hubungan seri atau paralel. Untuk hubungan yang terakhir ini tidak dapat disederhanakan secara langsung menjadi satu impedansi atau admitansi dan bentuk rangkaiannya biasa

sebagai rangkaian hubung bintang (Y) atau T dan rangkaian hubung delta (

∆

) atau pi (

π

) seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.

Gambar 4. Bentuk rangkaian tiga ujung

Rangkaian hubung bintang (Y) dapat diganti dengan rangkaian hubung (

∆

) yang setara dengannya, dan demikian pula sebaliknya sebuah rangkaian hubung (

∆

) dapat diganti dengan rangkaian hubung bintang (Y) setaranya.

Konversi Hubung Bintang  Hubung Delta

Suatu rangkaian hubung delta dikatakan setara dengan suatu rangkaian hubung bintang, dan demikian pula sebaliknya suatu rangkaian hubung bintang setara dengan suatu rangkaian hubung delta, bila tegangan antar ujung-ujung dan arus dari setiap ujung yang sealamat pada kedua rangkaian sama. Terhadap ujung-ujung rangkaian, rangkaian dapat diganti dengan rangkaian setaranya tanpa mempengaruhi tegangan dan arus pada ujung-ujung tersebut.

Gambar 5. Kesetaraan rangkaian Y dengan

∆

Perhatikan Gambar 5, biarkanlah rangkaian hubung bintang setara dengan hubung delta sehingga Vab, Vbc, Vca di kedua rangkaian sama,

demikian pula halnya dengan Ia , Ib dan Ic .

Pada rangkaian hubung delta : Ia = Iab – Ica Ib = Ibc – Iab ………...…(8) Ic = Ica – Ibc Demikian pula : ca ca ca bc bc bc ab ab ab Z V I , Z V I , Z V I   

bc bc ca ca c ab ab bc bc b ca ca ab ab a Z V Z V I Z V Z V I Z V Z V I       ...(9)

Pada rangkaian hubungan bintang, terlihat bahwa : Vab = Ia Za – Ib Zb

Vbc = Ib Zb – Ic Zc ………....………...(10)

Vca = Ic Zc – Ia Za

Pada simpul n, haruslah

Ia + Ib + Ic = 0, atau Ic = -Ib – Ia ………..(11)

Gunakan persamaan (11) untuk mengganti Ic pada persamaan terakhir

dari persamaan (10) :

Vca = (-Ia – Ib ) Zc – Ia Za = - (Za + Zc) Ia – Zc Ib ...(12)

Gabungkan persamaan (12) dengan persamaan pertama dari (10) : - (Za + Zc) Ia – Zc Ib = Vca Za Ia – Zb Ib = Vab Didapat : a c c b b a b ca C ab b a c c a b ab c ca a Z Z Z Z Z Z Z V Z V Z Z Z ) Z (Z Z V Z V I           

Persamaan pertama dari (9) : ca ca ab ab a Z V Z V I  

b a c c b b a ca c a c c b b a ab Z Z Z Z Z Z Z Z dan , Z Z Z Z Z Z Z Z       ………(13)

Dengan jalan yang sama dapat diperoleh :

a c c b b a c ab a bc b Z Z Z Z Z Z Z V Z V I    

dan bila dibandingkan dengan persamaan kedua dari (9) :

_ab ab bc bc b Z V Z V I   Maka haruslah : a a c c b b a bc Z Z Z Z Z Z Z Z    ……….(14)

Konversi Hubung Delta  Hubung Bintang

Rumus pada persamaan (13) dan (14) adalah rumus penggantian rangkaian hubung bintang dengan setaranya rangkaian hubung delta pada ujung a,b dan c. Selanjutnya diturunkan rumus untuk penggantian rangkaian hubung delta dengan setaranya rangkaian hubung bintang pada ujung a, b dan c.

Biarkanlah Za Zb + Zb Zc + Zc Za = α . Persamaan-persamaan (13) dan

(14) menjadi : atau Z α Z Z α Z Z α Z b ca a bc c ab   ab c ca b bc a Z α Z Z α Z Z α Z    ……….(15) Jadi, bc ab 2 a c ab ca 2 c b ca bc 2 b a Z Z α Z Z , Z Z α Z Z , Z Z α Z Z   

α Z Z 1 Z Z 1 Z Z 1 α Z Z Z Z Z Z bc ab ab ca ca bc a c c b b a             2 1 Z Z 1 Z Z 1 Z Z 1 α bc ab ab ca ca bc          1 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z α bc 2 bc 2 ab 2 bc ab ca 2 ab ca bc 2 ca bc ab 2          jadi

Dengan demikian persamaan-persamaan (15) menjadi :

ca bc ab bc c ca bc ab ab bc b ca bc ab ca ab a Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z          ca ………..(16)

Persamaan-persamaan (16) adalah rumus penggantian rangkaian hubung delta menjadi rangkaian hubung bintang. Pada umumnya persamaan (16) lebih banyak dibutuhkan daripada persamaan (13) dan (14) karena pada umumnya penggantian hubung delta menjadi hubung bintang akan lebih mempermudah analisis rangkaian, dan tidak sebaliknya.

Untuk kondisi dimana semua nilai baik hubung delta atau bintang adalah sama yaitu Zab = Zbc = Zca maka

3 Z Z 3 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ab ab 2 ab ab ab ab ab ab ca bc ab bc ab a  _{ }  _{ }   ca bc ab ca bc ab ca bc ab ca bc ab Z Z Z Z Z Z α 1 Z Z Z Z Z Z α             _{ }

3 Z Z Z ab c b  

Dalam bentuk umum adalah :

Y Δ Δ Y atau Z 3Z 3 Z Z   ...(17)

Contoh 4 :

Tentukanlah resistansi total dari rangkaian pada Gambar 6.

Gambar 6. Contoh 4

Jawab

a. Konversi hubung bintang menjadi hubung delta b. Konversi hubung delta menjadi hubung bintang