Matriks. Pengertian. Lambang Matrik

(1)

Aljabar Matriks Mahmud 'Imrona [email protected]

Matriks

Pengertian

Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi

yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit

oleh dua kurung siku.

Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau

elemen matrik.

Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar,

sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan

huruf kecil.

Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang

menyatakan banyak baris x banyak kolom

Lambang Matrik

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

mn m m n n

a

A

L

M

L

2 1 2 22 21 1 12 11

[ ]

a

ij

A

=

Secara umum sebuah matrik dapat ditulis:

atau

penulisan yang lebih singkat :

dengan i=1, 2, ..., m dan j=1, 2, ..., n.

Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua

(j) menyatakan kolom ke-j.

(2)

Contoh Matriks

A=

B=

Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2

a

23

= 1032

b

23

= tidak ada

b

21

= sin x

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 13 80 1032 0 4 23451 , 0 2 2 7 3

π

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

+1 3 2

sin

ln

2

1

x

e

x

Persamaan Matrik

jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama, matrik A dan B adalah sama ditulis A=B

Contoh: Jika A= dan B= dan A=B, maka a = -1, b = 1, dan c = 1.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

b

a

4

1

3

2 ⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

b

c

3

2 Jenis Matriks (1/7)

Matrik Bujursangkar Î banyak baris = banyak kolom

Matrik Segitiga Atas,

matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A Diagonal Utama ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nn n n a a a a a a L M O M M L L 0 0 0 22 2 1 12 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 0 0 0 9 4 0 0 6 3 0 0 8 1 2 0

(3)

Jenis Matriks (2/7)

Matrik Segitiga Bawah,

matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol

Matrik Diagonal,

matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nn n n a a a a a a L M O M M L L 2 1 22 21 11 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 7 0 0 6 2 3 0 0 4 0 0 0 0 0 9 5 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nn a a a L M O M M L L 0 0 0 0 0 0 22 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 4 0 0 0 0 9 5

Jenis Matriks (3/7)

Matrik Satuan,

matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu, lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan

Matrik skalar,

matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol. atau c≠0. Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c.

I₄= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I₃= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I2= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 1

Jenis Matriks (4/7)

Matrik Nol,

matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O35untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3x5

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ c c c L M O M M L L 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L M O M M L L =c = cI_n ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O₂₃= _O 53=

(4)

Jenis Matriks (5/7)

Matrik Invers,

matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya dinyatakan oleh A-1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

d

b

c

a

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − b a c d bc ad 1

Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya, yaitu: , maka A-1₌ A= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 4 3 3 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 3 2 3 4 3 . 3 4 . 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 2 3 3 4 A= , maka A-1= =

Jenis Matrik (6/7)

Untuk mencari invers matrik bujursangkar dengan ordo

lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya.

Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan

matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan

menggunakan determinan bersama dengan matrik

adjoin.

Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus

memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan.

Contoh

Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks

segitiga atas, segitiga bawah, diagonal,

ataukah skalar?

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

0

(5)

Jawab

Termasuk matrik segitiga atas

Termasuk matrik segitiga bawah

Termasuk matrik diagonal

Bukan matrik skalar, karena entry pada

diagonal utama nol semua, walaupun sama

semua

Jenis Matriks (7/7)

Matrik Simetri, yaitu

matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT

Matrik Skew-Simetri,

matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT_{= -A.}

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 0 4 2 4 5 1 2 1 3

Contoh

Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a, b, dan c

A= Jawab:

AT= = = -A

Sehingga didapat persamaan-persamaan: a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c, berarti: a = -1, b = 0, dan c = -2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 2 0 0 1 0 c b a

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

0

2

0

1

0 c

b

a

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 2 0 0 1 0 c b a

(6)

Operasi Matriks

Penjumlahan Matrik

Perkalian Matrik dengan Skalar

Transpos Matrik

Perkalian Dua Matrik

Trase Matrik

Penjumlahan matrik

Jika A=[a

_ij

], dan B=[b

_ij

]

Jumlah matrik A dan B ditulis:

C

= A + B

Syarat: ordo A = ordo B

Aturan:

c

ij

=a

ij

+b

ij

{entri yang seletak dijumlahkan}

Contoh

A= , B= , C=

Hitung: A+B, B+C Jawab: A+B= + = A+B=

B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − 10 4 7 5 2 5 3 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − 10 4 7 5 2 5 3 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 7 1 3 4 2 312 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 2 3 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 7 1 3 4 2 312 _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + − − + + − ) 7 ( 10 1 4 3 7 4 5 ) 2 ( 2 3 5 3 2 1 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 5 10 1 0 3 5 3 back

(7)

Perkalian dengan Skalar

A

=[a

_ij

] dan k skalar, maka:

kA

=[ka

ij

] {semua entri dikalikan dengan k}

(-4) = =

Akibat:

-A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

7

1

3

4

2

3

12

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

)

7 ).(

4 (

1 ).

4 (

3 ).

4 (

4 ).

4 (

)

2 ).(

4 (

).

4 (

72

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

28

4

12

16

8

14

back

Transpos matrik

A

=[a

_ij

], i=1, 2, ..., n ; j=1, 2, ..., m

Jika B=A

T

_{, dan B=[b}

ji

], maka

b

ji

= a

ji

{

kolom matrik A menjadi baris matrik AT

}

A

=

A

T

=

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 4 5 3 3 7 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 4 3 7 5 3 2 back

Perkalian dua Matrik

A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m

B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B}

C=AB

cik=ai1b1k+ ai2b2k+ …+aimbmk=

vektor baris ke-i dari matrik A vektor kolom ke-k dari matrik B

entri matrik C adalah: cik=

∑

= m j jk ij

b

a

1 i

a

r

k br i

a

r

k

b

r

(8)

Contoh Perkalian Matrik (1/ 2)

A= , B= , dan C=AB c23=

c

21

=

c

13

=

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 5 1 2 4 1 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −2 6 7 1 4 1 2 3 0

[

2 −1 −5

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 7 1 2

[

2−1−5

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 0

[

−3 1 4

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 7 1 2 = 4 – 1 – 35 = -32 = 0 – 1 + 10 = 9 = -6 + 1 + 28 = 23

Contoh Perkalian Matrik (2/2)

c

₂₁

= = -9 + 4 – 24 = -29

C

=AB = =

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 5 1 2 4 1 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −2 6 7 1 4 1 2 3 0

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

32

9

23

29

7

back

[

−3 1 4

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 6 4 3

Trase matrik

A

=[a

ij

], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n

{

harus matrik bujur sangkar

}

Trase(A)=a

11

+ a

22

+ …+ a

nn

{

penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama

}

A=

,

trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 1 4 5 2 3 3 0 2

(9)

Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4)

Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar

1. A+B=B+A {sifat komutatif} 2. (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif}

3. A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan}

4. A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik}

5. k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalar k} 6. (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalar k dan l} 7. (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar} 8. 1A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)} Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor

Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4)

9.

AB≠BA {tidak berlaku komutatif perkalian}

10.

(AB)C=A(BC)

{sifat asosiatif}

11.

AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian}

12.

AO=OA=O

{sifat matrik nol}

13.

(A+B)

T

_{= A}

T

_{+ B}

T

_{{sifat transpos matrik terhadap}

penjumlahan

}

14.

Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O

atau BA=O

15.

(kA)B=k(AB)=A(kB)

Contoh AB≠BA

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡−

=

6

5

0

2

1

4

3

0

2

1 AB

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 2 11 4 3 0 2 1 2 2 1 4 BA Sehingga: AB≠BA

(10)

Contoh AB=0

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

0

2

0

1 A

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

4

3

0

0 B

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 3 0 0 0 2 0 1 AB _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 = , berarti AB=O ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 2 0 1 4 3 0 0 BA _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −5 0 0 0 Tetapi = _{, berarti BA≠O}

Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4)

16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B)

17. trase(A

T

_{) = trase(A)}

18. trase(kA) = k trase(A)

19. trase(I

_nxn

) = n

Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4)

20. (A+B)C=AC+BC 21. C(A+B)=CA+CB

22. (AB)T_{= B}T_AT _{{urutan operasi dibalik}} 23. (kA)T=kAT

24. An_{= AA … A, jika n ≠0, dan I, jika n=0} 25. Ar_As_=Ar+s_{, jika r dan s bilangan asli}

26. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = k n k k k d d d D L M M M L L 0 0 0 0 0 0 2 1 Sebanyak n

(11)

Contoh Tambahan (1/3)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 1 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 7 1 4 T 1 8 0 6 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 8 6

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

1

3

1

2

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 7 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 8 6 T ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 5 25 4 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 5 4 25 1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

1

3

1

2

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 7 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −1 13 12 9 Jika A = , dan B = (A + B)T₌ ₌ AT_{+ B}T₌ ₊ ₌ (AB)T= ₌ AT_BT₌ ₌ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 7 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −1 3 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 5 4 25 1 BT_AT₌ ₌

Contoh Tambahan (2/3)

T

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−1

2

2 7 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −1 2 2 1 2 7 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 7 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −1 2 2 1 2 7 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 6 2 2 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 2 0 0 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 1 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 6 2 2 4 (½B)T₌ ₌ ½ BT_{= ½} = –2 A = –2IA = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 1 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 7 1 4 A = , dan B =

Contoh Tambahan (3/3)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 8 0 6 trase(A) = 2 + 3 = 5 trase(B) = 4 + (-2) = 2 trase(A+B) = trase( ) = 6 + 1 = 7 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 1 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 1 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 8 5 5 3 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 8 5 5 3 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 1 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 19 18 18 1 A2_{= AA=} ₌ A3_{= A}2_{A =} = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 1 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 7 1 4 A = , dan B =

(12)

Tantangan 1

A. Jika Hitunglah: 1. BA, AB 2. E2_{, E}3_{, E}100_, 3. A2_{+ 2A + I,(A+I)}2_, 4. (BC - D)T_{, C}T_BT_{– D}T_, 5. 3C(BA), C(3B)A, (CB)(3A), 6. trase(A + E) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 3 2 1 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 3 1 2 0 0 2 1 B

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

1

0

3

5

4

13 C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 0 4 3 1 1 2 0 2 1 D ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 3 0 0 2 E

Tantangan 2

B.

Tentukan persamaan-persamaan dalam

variabel-variabel x, y, z, dan w, yang terbentuk, sehingga

berlaku persamaan matrik di bawah ini:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 0 8 6 7 1 1 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − z z x y w w x z y y x x 2 2 = -⎢_⎣⎡45₃ ₈₇46⎥_⎦⎤

Tantangan 3

C. Tentukan syarat agar berlaku: (A + B)2_=A2_{+ 2AB + B}2_{, jika A} dan B berordo 2x2

D. Tentukan syarat agar berlaku: A2_{– B}2_{= (A - B)(A + B), jika A} dan B berordo 2x2

E. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x, y, dan z, sehingga persamaan memenuhi persamaan matrik berikut:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

z

y

x

z

x

y

x

y

x

2

3

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 17 9 1 1 =

(13)

Tantangan 4

F. Tunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linier :

dapat dinyatakan sebagai persamaan AX=B [petunjuk: tentukan matrik A, X dan B]

G. Jika matrik A, X, dan B hasil dari soal di atas tentukan invers A atau A-1_{dan tentukan solusi persamaan AX=B, dengan} mengingat sifat I = AA-1_.

H. Tunjukkan bahwa, jika A matrik skew-simetri, maka trace(A)=0

⎭

⎬

⎫

=

+

=

−

2

4

1

3

2 y

x

y

x

Tantangan 5

I. Buktikan jika D matrik diagonal, maka Dk_{adalah matrik} diagonal yang entri-entrinya adalah entri pada diagonal utama D dipangkatkan k.

J. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik S = ½ (A + AT_{) adalah matrik simetri.}

K. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik R = ½ (A - AT_{) adalah matrik skew-simetri.}

L. Dari kedua matrik pada dua soal di atas, tunjukkan berlaku hubungan A = S + R.

M. Jika A matrik bujursangkar 2x2, tunjukkan bahwa AAT berbentuk matrik simetri.