Materi Lengkap Pelajaran Matematika SMA Kelas X, XI, XII MODUL LIMIT

(1)

h

t

p

:

/

m

a

t

e

m

a

t

r

i

c

k

.

b

l

o

g

s

p

o

t

.

c

o

m

Ringkasan Materi :

Kasus I : x → a x e dekati bila ga terte tu ada 2 be tuk

Bentuk I :

lim

f

(

x

)

f

(

a

)

a

x



Contoh :

( 1 ).

lim

(

2

4

)

2

.(

2

)

2

4

2

.

4

8

4

2





















x

( 2 ).

0

1

0

1

9

2

3

9

3

2

9

lim

2 2

3















x

Secara singkat kita katakan bahwa limit - limit pada bentuk I adalah limit yang selesai cukup dengan disubtitusikan Bentuk II :

lim

f

(

x

)

f

(

a

)

a

x



Dalam bentuk ini

lim

f

(

x

)

a x

tidak dapat dicari dengan

mengganti ( mensubtitusi ) x dengan a, sebab nilai

)

(a

f

akan berupa bilangan tak tentu ( yaitu

0 0₎

Ingat ! bahwa

0

adalah bilangan taktentu/ tak terdefinisi

Untuk menyelesaikan langkahnya adalah dengan menyederhanakan baik melalui faktorisasi atau mengalikan dengan sekawannya

Contoh :

3

9

lim

2

3





x

Pada soal ini apabila x diganti 3, maka hasilnya adalah :

0

9

3

9

3

2









yang merupakan bilangan tak tentu

sebab

0

hasilnya bisa 1, bisa 2, 3, dll, dan ini bukan

jawaban, maka perlu diadakan penyederhanaan yaitu dengan proses faktorisasi

6 3 3 ) 3 ( lim 3

) 3 ).( 3 ( lim 3

9 lim

3 3

2

3      

  

  

 _x x

x x x

x

x x

x

Jadi

3

9

lim

2

3





x

= 6

Kasus II : x → ∞ x e dekati tak hi gga ada 2 be tuk

Bentuk I :

lim

(

ax

2

bx

c

px

2

qx

r

)

x







Untuk bentuk ini kita pakai saja cara praktis , ( i ). Jika pa,lim( 2 2 )

r qx ax c bx ax

x      =

a q b

2



( ii ). pa,

lim

(

ax

2

bx

c

px

2

qx

r

)

x







= ∞

( iii ). pa,

lim

(

ax

2

bx

c

px

2

qx

r

)

x







= - ∞

Bentuk II :

...

lim

₁

1



 



 n n

m m

x

px

qx

bx

ax

Cara Praktis :

( i ). Jika m = n, maka hasilnya =

p

a

( ii ). Jika m < n, maka hasilnya = 0 ( iii ). Jika m > n, maka hasilnya = ∞ Contoh Soal :

1.















3

15

2

lim

2

3

x

= ....

a. -8 d. 2

b. -2 e. 8

Tips Pe elesaia li it u tuk → a :

i. setiap soal li it u tuk → a la gkah perta a selalu ganti saja x dengan a, apabila hasilnya ada ( bukan

0

) maka itulah hasilnya, dan jika

hasilnya

0

, maka adakan penyederhanaan. ii. Cara singkatyang dapat ditempuh jika

f(a) =

0

adalah dengan cara menurunkan

Jadi

lim

f

(

x

)

lim

f

1

(

x

)

f

1

(

a

)

a

x a

x







dst Contoh :

3

9

lim

2

3





x

=

lim

2

.

3

6

1

2

lim

3









x

x x

iii. Bedakan antara bentuk – bentuk

6 0 , 9 0 , 1 0



dengan bentuk

0 6 , 0 9 , 0

1 

Bentuk ₀

6 0 9 0 1 0

  

 , tetapi

Bentuk _ __  __

0 6 , 0 9 0 1

(2)

h

t

p

:

/

m

a

t

e

m

a

t

r

i

c

k

.

b

l

o

g

s

p

o

t

.

c

o

m

c. 0

Penyelesaian :

Jelas jika x diganti -3 maka hasilnya =

3 3

15 ) 3 .( 2 ) 3 ( 2

    



=

0 0 0

15 15 0

15 6 9

    

Maka harus disederhanakan atau turunkan saja :

  



  



 ₃

15 2 lim

2

3 _x

x x

x

= ₂_.( ₃₎ ₂ ₆ ₂ ₈

1 2 2 lim

3      



 

x

Jadi jawabannya A.

2. Nilai

lim



(



2

)



2



2





....





x

a. ∞ b. 2 c. 1 d. 0 e. -1 Penyelesaian :

Jelas i i kasus →∞ be tuk I.

Ubah soal menjadi :



(

2

)

2



lim





2







x

=

lim



2



2



2



2







x

3.

....

2

5

17

5

3

8

lim

₃

2 3















x

a. -4 d. 4

b. -2 e. ∞

c. 0 Penyelesaian :

Ubah bentuk soal agar susunan suku – suku pada penyebut dari x yang pangkatnya tertinggi :



3

2 3

2

5

17

5

3

8

lim

x











 =

2

5

17

5

3

8

lim

₃

2 3











x

Paket Soal 18 :

Kelo pok → a

1.

....

2

8

2

lim

2









x

a. -8 d. 4

b. -4 e. 8

c. -2

2.

4

6

5

2 2

2







x

Lim

x

= …

a.

2

1



d.

4

1

b.

4

1



e.

2

1

c. 0

3. Nilai dari



















x

2

15

3

lim

₃ ₂

2

3

....

a.

3

1

d.

8

1

b.

6

1

e.

9

1

c.

7

1

4.

4

8

2

lim

2

4





x

= ....

a. -6 d. 2

b. -2 e. 6

c. 0

5.

1

6

5

2

1







x

Lim

x

= ....

a. 5 d. 15

b. 7 e. 18

c. 9

6. Nilai

12

3

lim

₂

3







x

= ....

a. 4 d.

7

3

b. 3 e.

7 1

c. 2

7.

5

4

)

1

3

(

2 2

1







x

Lim

x = ….

Berarti ini kasus a = p, dengan b = 2 dan q = 0, dan a = p = 1 maka hasilnya

adalah

a

q

b

2



=

1

2

1

2

0

2





Jadi jawabannya C

Tampak bahwa ini kasus

→∞ be tuk II de ga

= n = 3, maka hasilnya

p

a

=

4

2

8







(3)

h

t

p

:

/

m

a

t

e

m

a

t

r

i

c

k

.

b

l

o

g

s

p

o

t

.

c

o

m

a. 0 d. 4

b. ∞ e. 8

c. 2

8. Nilai

6

5

9

lim

₂

2

3









x

= .... ( UN 2010 )

a. – 6 d.

2 3

b. - 2

3 _{e. 6}

c. 0

9. Nilai

4

3

8

14

3

lim

₂

2

4









x

= .... ( UN 2011 )

a. 4 d. – 2

b. 2 e. – 4

c. 2 1

Catatan : soal – soal nomor 1 s.d 7 dapat ditentukan dengan model penurunan.

Kelo pok →∞

10.Nilai

lim



2



2



1



2



3



2







x

adalah ....

a. -6₂1 _{d. -2}

2 1

b. -4₂1 _{e. -2}

c. -3₂1

11. 2



2



5



2



2



11





x

Lim

x

= ....

a. -2 d. 2

b. 0 e. ∞

c. 1

12.



2



5



8



2



2



1







x

Lim

x = ….

a.

2

3

2

d.

2

4

3



b.

4

3

2

e.

2

3

4



c.

-2

3

13.



3

2



5



3

2



3







x

Lim

x =…

a.

5

3

d.

3

4

5

b.

3

2

5

e.

3

6

5

c.

3

5

14.





x

limit



4

x

2



2

x



5





2

x



2



2



= ....

a. –2

b.

2

3



c. 2 1 

d.

2

1

e.

2

3

15. Nilai

lim

2



2



3



(



3

)





x

x = ….

a. –8 d. 2

b. –4 e. 4

c. –2

16. Nilai

3

2

3

4

3

2











x

Lim

x

= ....

a. -1 d. 0

b. 3 1

 e. 1

c.

3

1

17. Nilai

2

3

1

2

4

2 2









x

Lim

x

= .... ( UN 2010 )

a. 3

4 _d.

2 1

b. 4

3 _{e. 0}

c. 5 3

18. Nilai

lim



(

5



1

)



25

2



5



7







x

x = …. UN

a. 2

3 _{d. -}

2 1

b. 3

2 _{e. -}

2 3