Makalah Geometri Analit Bidang Konsep Ja

(1)

Makalah Geometri Analit Bidang

“ Konsep Jarak “

Dosen Pengampu : Nina Agustyanigrum S. Pd, M. Pd

Kelompok 1

Anggota :

1. Reny Rosida 14.05.0.047

2. Fathiya Eka Putri 14.05.0.0

3. Aprillia Anggraini 14.05.0.0

4. Rina Arini S 14.05.0.0

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

MATEMATIKA SEMESTER III UNIVERSITAS RIAU

(2)

KONSEP JARAK

A. Jarak Antara Dua Titik

Secara geometri, titik adalah unsur geometri yang paling sederhana. Titik adalah sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Titik biasanya direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”, dan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya.

Gambar memperlihatkan dua buah titik,

yaitu titik B dan titik Q.

Misalkan P1 dan P2 dua titik pada garis dan misalkan mempunyai koordinat x1 dan

x2.

Dalam (a) berlaku :

P₁P₂=OP₂−OP₁=x₂−x₁

Dalam (b) berlaku :

−x

(¿ ¿2)=x₂−x₁ P₁P₂=P₁O−P₂O=−x₁−¿

(3)

P₁P₂=P₁O+OP₂=−x₁+x₂=x₂−x₁

Jadi dapat dilihat bahwa P₁P₂=x₂−x₁ didalam semua kasus dalam hal dimana P2 berada di kanan P1. Jika P2 berada dikiri P1 maka dengan cara yang sama

akan diperoleh P₁P₂=x₁−x₂

Jadi P1P2 dapat selalu dipresentasikan sebagai koordinat terbesar dikurangi

koordinat terkecil. Karena x₂−x₁ dan x₁−x₂ berbeda hanya salah satu dikurangi lainnya dan karena jarak selalu tidak boleh negatif maka jarak antara P1 dan P2 dapat

dirumuskan sebagai :

x₂−x₁

¿ ¿ ¿

P₁P₂=

_|

x₂−x₁

_|

=√¿

Bentuk ini adalah notasi jarak yang umum tanpa memandang posisi relatif P1

terhadap P2 diketahui ataupun tidak.

Jarak antara dua titik dibidang datar :

Garis vertikal yang melalui P1 dan garis horizontal yang melalui P2 berpotongan

pada titik Q(x1, y2). Berdasarkan gambar tersebut diperoleh bahwa : QP₂=¿x₂−x₁∨¿ dan P₁Q=¿y₂−y₁∨¿

(4)

¿y2−y1∨¿

langkah ini dan di peroleh

x2−x1

B. Rasio Pembagian Segmen Garis

Pada bagian ini akan dibicarakan koordinat sebuah titik yang membagi sebuah segmen garis menjadi dua bagian dengan perbandingan tertentu. Misalkan diketahui titik P membagi segmen garis AB sedemikian hingga terdapat perbandingan :

AP PB=

(5)

Rasio m : n disebut rasio pembagian. Titik P disebut titik pembagi. Dan P

dikatakan membagi segmen AB secara internal atau eksternal bergantung apakah P

terletak antara A dan B atau di luar segmen AB.

Jika P terletak antara A dan B

maka rasio pembagian adalah positif. Hal ini dikarenakan AP dan PB mempunyai arah yang sama.

Jika P terletak diluar A dan B maka rasio pembagian adalah negatif. Hal ini dikarenakan AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan.

(6)

Jika koordinat titik A dan B diketahui, dan juga rasio pembagian diketahui maka koordinat titik P dapat dicari. Pada gambar 1.12. misalkan diketahui titik A dengan koordinat (x1, y1) dan titik B (x2, y2) dan titik P(xp, yp) membagi segmen garis AB

sedemikian hingga terdapat perbandingan AP : PB = m : n. Berdasarkan sifat kesebangunan segitiga A’AB dengan P’AP maka diperoleh perbandingan :

AP PB=

P ' P A ' B=

m m+n

Sedangkan P’P = xP – x1 dan A’B = x2 – x1 sehingga perbandingan menjadi :

x_p−x₁ x2−x1

= m

m+n

mx_p+nx_p−mx₁−nx₁=mx₂−mx₁ (m+n)x_p=mx₂+nx₁

x_p=mx2+nx1

m+n

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa :

yp=

my₂+ny₁ m+n

(7)

1. Tentukan koordinat titik yang membagi segmen dari titik (−6,2) ke titik Titik-titik yang berkaitan

dengan jawaban (a) dan (b) adalah P dan P’ seperti pada gambar :

C. Titik Tengah Segmen Garis

Rumus penting lain pada kasus khusus yang banyak digunakan

dalam koordinat Cartesius adalah mencari titik tengah suatu segmen garis, yang dinyatakan dalam teorema berikut.

(8)

Misalkan P adalah titik tengah dari

AB

maka jelas bahwa m : n = 1 : 1, atau m

= n. Jadi untuk mendapatkan titik tengah dari segmen AB, kita hanya menghitung rata-rata masing-masing koordinat x dan y dari titik yang diberikan. Dengan kejadian ini akan beralasan jika menyimpulkan bahwa rata-rata dua temperatur yang berbeda terletak di tengahnya, rata-rata dua ketinggian akan berada di tengah-tengah antaranya, dan lain-lain.

Contoh Soal :

1. Tentukan titik tengah dari segmen AB jika koordinat masing-masing titik diberikan oleh (1,5) dan (−3,−1) !

Jawab :

 x1 = 1, y1 = 5  x2 = -3, y2 = -1

 x=x1+x2

2 = 1−3

2 =

−2 2 =−1

 y=y1+y2

2 =

5+(−1)

2 = 4 2=2 Jadi titik tengah P(−1,2)

D. Luas Segitiga dan Poligon Beraturan

Luas dari sebuah segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus :

L=1

2x alas x tinggi

Teorema Heron :

t

(9)

Teorema ini biasa digunakan untuk mengetahui luas dari segetiga sembarang. Misalkan sisi-sisi pada segitiga tersebut dilambangkan dengan huruf a, b, c, maka :

L=

√

s(s−a)(s−b)(s−c)

Dimana

s=1

2keliling=

a+b+c

2

Sedangkan pada segitiga sama sisi dimana sisinya adalah a, maka luas segitiga adalah :

L=a 2

_√

3 4

Untuk mencari luas bangun datar (poligon) beraturan, dapat dicari dengan menghitung luas salah satu segitiga-segitiga kecil yang menyusunnya :

L ∆=1

2x AO x BO xsin 30°

Maka luas poligon digambar adalah :

L=6x L ∆

Dapat disimpulkan, rumus menentukan luas segi n-beraturan, yaitu :

L=n x1

2x AO x BO xsin( 360°

n )

Contoh Soal :

1. Tentukan luas bidang datar dibawah ini !

b

(10)

Jawab : n = 8



360° n

(¿)

L=n x1

2x AO x BO xsin¿



360°

8

(¿)

L=8x1

2x14cm x14cm xsin¿

 _L₌₄_x₁₉₆_cm2_x_{sin 45}_°  L=784cm2_x1

2

√

2

 _L₌₃₉₂

_√

₂_cm2

E. Titik Berat dari Segitiga

Cara mencari titik berat dari segitiga : 1. Lukislah sembarang segitiga ABC

Misalkan segitiga ABC dengan titik A(-2,4), B(0,0), C(3,3)

2. Pada sisi AB, BC, AC tentukan titik tengah ketiga sisi tersebut sehingga terdapat titik D, E, F

Titik tengah AB , x=xa+xb

2 =

−2+0 2 =−1

(11)

y=ya+yb

3. Hubungkan titik D, E, F dengan titik sudut dihadapannya

4. Titik potong dari ketiga garis tersebut adalah titik berat segitiga

LATIHAN !

1. Tentukan jarak antara titik A(−2,3) dan titik B(2,1) !

2. Tentukan koordinat titik yang membagi segmen dari titik P(−1,−2) ke titik

R(3,2) dengan rasio 3 :1 !

3. Berapakah perbandingan rasio jika diketahui koordinat titik E(−1,−1) membagi segmen dari titik D(−3,1) ke titik F(2,−4) ?

4. Tentukan titik tengah dari segmen ST jika koordinat masing-masing titik diberikan oleh (−3,1) dan (3,−1) !

(12)

Daftar Pustaka

https://yos3prens.wordpress.com/2012/10/08/jarak-antara-dua-titik-pada-bidang-koordinat/

https://www.geogebra.org/material/show/id/110635 http://mafia.mafiaol.com/2014/04/jarak-titik-ke-titik-garis-dan-bidang.html https://duniamatematika15.wordpress.com/2013/12/06/segitiga/

http://id.wikihow.com/Mencari-Titik-Tengah-Ruas-Garis https://yos3prens.wordpress.com/tag/rumus-titik-tengah/

http://rumus-matematika.com/rumus-mencari-luas-segitiga-lengkap/ http://id.wikihow.com/Menghitung-Luas-Poligon

https://yos3prens.wordpress.com/2012/11/22/melukis-garis-berat-segitiga-dan-menentukan-panjangnya/