A. Wardayani, Modul Faktor yang Dibentuk dari Submodul Z2 pada Modul R2 atas Gaussian Integers, hal. 279-288.

(1)

MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL ℤ𝟐 PADA MODUL ℝ𝟐 ATAS GAUSSIAN INTEGERS

Ari Wardayani

Universitas Jenderal Soedirman ariwardayani@yahoo.co.id

ABSTRACT. We prove that ℝ2 is module over Gaussian Intergers and the set of all coset of submodule ℤ2 in module ℝ2 over Gaussian Integers is a quotient module. We find the proof by showing that ℝ2 _{is both a right module and a left} module over Gaussian Integers and showing that the set of all coset of submodule ℤ2_{in module}_ℝ2 _{is both a right module and a left module over Gaussian Integers.}

Key word: module, submodule, coset, quotient module

ABSTRAK. Pada makalah ini dibuktikan bahwa ℝ2 adalah modul atas Gaussian Integers dan himpunan semua koset dari submodul ℤ2 pada modul ℝ2 atas Gaussian Integers merupakan modul faktor. Bukti diperoleh dengan menunjukkan bahwa ℝ2 adalah modul kiri sekaligus modul kanan atas Gaussian Integers dan menunjukkan bahwa himpunan semua koset dari submodul ℤ2 pada ℝ2 merupakan modul kanan sekaligus modul kiri atas Gaussian Integers.

Kata kunci: modul, submodul, koset, modul faktor

1. PENDAHULUAN

Modul merupakan suatu struktur yang dibentuk dari suatu grup abel dan suatu ring dengan elemen satuan. Misalkan M adalah grup abel terhadap operasi penjumlahan dan R adalah ring dengan elemen satuan, modul kiri M atas ring R adalah struktur yang dibentuk oleh M dan R yang dilengkapi dengan operasi pergandaan

skalar



 r R



 m M ,



r mM

dan memenuhi aksioma:

1.



 r R



m m₁, ₂M ,

 

r m₁m₂



rm₁rm₂

2.





 



1, 2 R M , 1 2 1 2

r r m r r m r m r m

      

(2)

3.





  

 

1, 2 R M , 1 2 1 2

r r m r r m r r m

    

4.



 m M , 1



mm dengan 1 adalah elemen satuan R.

Definisi modul kanan M atas ring R analog dengan modul kiri, tetapi pada operasi

pergandaan skalarnya, elemen-elemen r di R dituliskan disebelah kanan (Hartley, dkk.,

1970). Himpunan bagian tak kosong dari suatu modul disebut submodul jika

himpunan bagian tersebut dilengkapi dengan operasi yang sama dengan operasi di modulnya, juga membentuk modul (Adkins, 1972). Sementara itu modul faktor adalah suatu modul yang dihasilkan oleh suatu submodul dari modul yang diberikan (Lang, 1995).

Gaussian Integers merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks (Muchlisah, 2008) dan dinotasikan dengan

ℤ(𝑖) = {𝑎 + 𝑏𝑖 | 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ dan 𝑖 = √−1 }

Menurut Fraleigh (2000), Gaussian Integersℤ(i) merupakan daerah integral, yaitu ring komutatif dengan elemen satuan yang tidak memuat pembagi nol.

Himpunan ℝ2 adalah himpunan dari semua elemen yang berbentuk 2-tupel

dengan setiap tupelnya merupakan bilangan riil (Anton, 1993). Himpunan ℝ2 dinotasikan dengan

ℝ2 _{= {[}𝑥

𝑦] |𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}.

Menurut Jacob (1990), ℝ2 merupakan ruang vektor atas lapangan himpunan bilangan riil ℝ. Hal ini mengakibatkan bahwa ℝ2 adalah grup abel terhadap operasi penjumlahannya.

2. PEMBENTUKAN MODUL ℝ2_ATAS_{GAUSSIAN INTEGERS}ℤ₍_i₎

Sebelum membuktikan ℝ2 adalah modul atas Gaussian Integers ℤ(i), terlebih dahulu didefinisikan operasi pergandaan skalar antara ℤ(i) dan ℝ2 yakni:

(3)

(𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥_𝑥1₂] ≔ [𝑎𝑥_𝑎𝑥1− 𝑏𝑥2 2+ 𝑏𝑥1] dan [

𝑥1

𝑥2] (𝑎 + 𝑏𝑖) ≔ [𝑎𝑥

1− 𝑏𝑥2 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥1],

untuk setiap (𝑎 + 𝑏𝑖) ∈ ℤ(𝑖), [𝑥_𝑥1 2] ∈ ℝ

2_{. Selanjutnya ditunjukkan bahwa dengan}

operasi pergandaan skalar yang didefinisikan tersebut, ℝ2 _memenuhi

aksioma-aksioma modul kiri dan modul kanan atas Gaussian Integers ℤ(i).

Proposisi 1. Himpunan ℝ2 adalah modul atas Gaussian Integers ℤ(i) dengan operasi pergandaan skalar

(𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥_𝑥1₂] ≔ [𝑎𝑥_𝑎𝑥1− 𝑏𝑥2 2+ 𝑏𝑥1] dan [

𝑥1

𝑥2] (𝑎 + 𝑏𝑖) ≔ [𝑎𝑥

1− 𝑏𝑥2 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥1],

untuk setiap (𝑎 + 𝑏𝑖) ∈ ℤ(𝑖), [𝑥_𝑥1 2] ∈ ℝ

2_.

Bukti. Pembuktian diawali dengan menunjukkan bahwa operasi yang didefinisikan tersebut adalah well-defined. Ambil sembarang (𝑎 + 𝑏𝑖), (𝑐 + 𝑑𝑖) ∈ ℤ(𝑖) dengan (𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑐 + 𝑑𝑖) , dan [𝑥_𝑥1

2] , [ 𝑦1 𝑦2] ∈ ℝ

2_dengan_[𝑥1 𝑥2] = [

𝑦1

𝑦2]. Jika (𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑐 + 𝑑𝑖) dan [_𝑥𝑥1

2] = [ 𝑦1

𝑦2] maka

(𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥_𝑥1₂] = [𝑎𝑥_𝑎𝑥1− 𝑏𝑥2

2 + 𝑏𝑥1] = [𝑐𝑦

1− 𝑑𝑦2

𝑐𝑦2+ 𝑑𝑦1] = (𝑐 + 𝑑𝑖) [ 𝑦1

𝑦2] dan

[𝑥_𝑥1

2] (𝑎 + 𝑏𝑖) = [𝑎𝑥

1− 𝑏𝑥2

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥1] = [𝑐𝑦

1− 𝑑𝑦2 𝑐𝑦2+ 𝑑𝑦1] = [

𝑦1

𝑦2] (𝑐 + 𝑑𝑖).

Jadi operasi pergandaan skalar yang didefinisikan tersebut well-defined. Selanjutnya ditunjukkan bahwa aksioma-aksioma modul kiri dipenuhi:

(i). ((𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖)) [𝑥_𝑥1

2] = ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖) [ 𝑥1 𝑥2]

= [(𝑎 + 𝑐)𝑥_{(𝑎 + 𝑐)𝑥}1− (𝑏 + 𝑑)𝑥2 2+ (𝑏 + 𝑑)𝑥1]

= [𝑎𝑥1 − 𝑏𝑥2

𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥1] + [ 𝑐𝑥

1− 𝑑𝑥2 𝑐𝑥2 + 𝑏𝑑𝑥1]

(4)

= (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥_𝑥1

2] + (𝑐 + 𝑑𝑖) [ 𝑥1 𝑥2].

(ii). (𝑎 + 𝑏𝑖) ([_𝑥𝑥1 2] + [

𝑦1

𝑦2]) = (𝑎 + 𝑏𝑖) [

𝑥1+ 𝑦1

𝑥2+ 𝑦2] = [𝑎(𝑥

1+ 𝑦1) − 𝑏(𝑥2+ 𝑦2) 𝑎(𝑥2+ 𝑦2) + 𝑏(𝑥1+ 𝑦1)]

= [𝑎𝑥1− 𝑏𝑥2 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥1]+ [𝑎𝑦

1− 𝑏𝑦2 𝑎𝑦2+ 𝑏𝑦1]

= (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥_𝑥1

2] + (𝑎 + 𝑏𝑖) [ 𝑦1 𝑦2]

(iii). ((𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖)) [𝑥_𝑥1

2] = ((𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖) [ 𝑥1 𝑥2]

= [(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑)𝑥_{(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑)𝑥}1− (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥2 2+ (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥1]

= [(𝑎𝑐𝑥_{(𝑎𝑐𝑥}1 − 𝑎𝑑𝑥2) − (𝑏𝑐𝑥2+ 𝑏𝑑𝑥1) 2+ 𝑎𝑑𝑥1) + (𝑏𝑐𝑥1− 𝑏𝑑𝑥2)]

= [𝑎_{𝑎(𝑐𝑥}(𝑐𝑥1− 𝑑𝑥2) − 𝑏(𝑐𝑥2+ 𝑑𝑥1) 2+ 𝑑𝑥1) + 𝑏(𝑐𝑥1− 𝑑𝑥2)]

= (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑐𝑥_𝑐𝑥1− 𝑑𝑥2 2+ 𝑑𝑥1]

= (𝑎 + 𝑏𝑖) ((𝑐 + 𝑑𝑖) [_𝑥𝑥1₂])

(iv). 1[𝑥_𝑥1

2] = (1 + 0𝑖) [ 𝑥1 𝑥2] = [

𝑥1 𝑥2]

Karena ℝ2 _{memenuhi aksioma-aksioma modul kiri atas}_{Gaussian Integers} ℤ₍_i_),

maka ℝ2 adalah modul kiri atas Gaussian Integers ℤ(i). Secara analog diperoleh bahwa ℝ2 _{adalah modul kanan atas}_{Gaussian Integers} ℤ₍_i_{). Kemudian karena}ℝ2

adalah modul kiri sekaligus modul kanan atas Gaussian Integers ℤ(i) maka ℝ2 adalah modul atas Gaussian Integersℤ(i).■

(5)

Selanjutnya, struktur modul ℝ2 atas Gaussian Integer ℤ(i) ini akan digunakan untuk membentuk submodul, koset, dan pada akhirnya digunakan untuk membentuk modul faktor yang diinginkan.

3. PEMBENTUKAN MODUL FAKTOR DARI SUBMODUL ℤ2

Pada makalah ini, pembentukan modul faktor menggunakan ℤ2 yaitu himpunan bagian dari ℝ2_{. Pembentukan modul faktor diawali dengan}

menunjukkan bahwa ℤ2 _{adalah submodul dari} ℝ2_{. Hal ini dapat dibuktikan}

sebagai berikut. Dengan pendefinisian

ℤ2 _{≔ {[}𝑧1

𝑧2] |𝑧1, 𝑧2 ∈ ℤ}

jelas bahwa ℤ2 adalah himpunan bagian dari ℝ2yang tak kosong, sebab dengan mengambil z1, z2 sembarang elemen di ℤ selalu dapat ditentukan [𝑧𝑧1

2] ∈ ℤ 2_.

Kemudian, ℤ2 juga merupakan submodul dari modul ℝ2 atas ℤ(i) karena untuk setiap [𝑧_𝑧1

2] , [ 𝑦1 𝑦2] ∈ ℤ

2_dan_{𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℤ(𝑖)}_berlaku:

[𝑧_𝑧1 2] − [

𝑦1 𝑦2] = [

𝑧1− 𝑦1 𝑧2− 𝑦2] ∈ ℤ

2 _dan_{(𝑎 + 𝑏𝑖) [}𝑧1

𝑧2] = [𝑎𝑧

1− 𝑏𝑧2 𝑎𝑧2+ 𝑏𝑧1]∈ ℤ

2_.

Selanjutnya didefinisikan himpunan ℝ2⁄ ≔ {[_ℤ₂ 𝑥_𝑥1 2] + ℤ

2_{| [}𝑥1 𝑥2] ∈ ℝ

2_}

yaitu himpunan semua koset submodul ℤ2 pada modul ℝ2 atas ℤ(i). Untuk penyederhanaan penulisan, selanjutnya [𝑥_𝑥1

2] + ℤ 2 _{∈ ℝ}2

ℤ2

⁄ ditulis dengan [𝑥_𝑥1 2] ̅̅̅̅̅

.

Proposisi 2. Himpunan ℝ2⁄_ℤ₂ merupakan modul faktor yang dihasilkan oleh ℤ2 pada modul ℝ2 atas Gaussian Integer ℤ(𝑖) dengan operasi penjumlahan dan pergandaan skalar yang didefinisikan sebagai berikut:

untuk setiap[𝑥_𝑥1 2] ̅̅̅̅̅

, [̅̅̅̅̅_𝑦𝑦1₂]∈ ℝ2⁄_ℤ2 dan𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℤ(𝑖)berlaku̅̅̅̅̅[_𝑥𝑥1₂]+ [̅̅̅̅̅𝑦_𝑦1₂]=

[𝑥_𝑥1 2] + [

𝑦1 𝑦2] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

,

(6)

(𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥_𝑥1

Bukti. Terlebih dahulu ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan koset yang didefinisikan tersebut adalah well-defined. Ambil sembarang [𝑥_𝑥1₂]

mengimplikasikan bahwa [_𝑥𝑥1 2] + [𝑥

Berikut ini ditunjukkan bahwa operasi pergandaan skalar yang didefinisikan tersebut juga well-defined.

(7)

(𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑥_𝑥1

Jadi operasi penjumlahan dan pergandaan skalar yang didefinisikan tersebut adalah well defined.

Berikutnya ditunjukkan bahwa ℝ2⁄_ℤ₂ dengan operasi penjumlahan dan

pergandaan skalar yang didefinisikan di atas merupakan modul atas ℤ(i). Langkah pertama adalah menunjukkan bahwa ℝ2⁄_ℤ₂ terhadap operasi penjumlahannya

Jadi operasi penjumlahan pada ℝ2⁄_ℤ₂ bersifat assosiatif dan komutatif. Eksistensi

elemen netral pada ℝ2⁄_ℤ₂ juga dipenuhi, karena terdapat [00]̅̅̅̅ sedemikian sehingga

(8)

ℝ2

sedemikian sehingga

[𝑥_𝑥1 aksioma-aksioma grup dan bersifat komutatif, maka ℝ2

ℤ2

⁄ adalah grup abel.

(9)

= [(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)𝑥_{(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)𝑥}1− (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥2 2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥1] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

= (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑐𝑥_𝑐𝑥1− 𝑑𝑥2 2+ 𝑑𝑥1] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

= (𝑎 + 𝑏𝑖) [𝑐𝑥_𝑐𝑥1 − 𝑑𝑥2 2+ 𝑑𝑥1] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

= (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) [̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝑥_𝑥1₂]

(iv) 1[𝑥_𝑥1

2]

̅̅̅̅̅

= (1 + 0𝑖) [̅̅̅̅̅𝑥_𝑥1₂]= [̅̅̅̅̅𝑥_𝑥1₂]

Karena ℝ2 ℤ2

⁄ memenuhi aksioma-aksioma modul kiri atas ℤ(i), maka ℝ2 ℤ2

⁄

adalah modul kiri atas Gaussian Integers ℤ(i). Secara analog diperoleh bahwa ℝ2

ℤ2

⁄ adalah modul kanan atas Gaussian Integesr ℤ(i). Karena ℝ2⁄_ℤ₂ adalah

modul kiri dan modul kanan atas Gaussian Integers ℤ(i), maka ℝ2⁄_ℤ₂ adalah modul atas Gaussian Integers ℤ(i). Untuk selanjutnya ℝ2

ℤ2

⁄ dinamakan modul

faktor atas Gaussian Integersℤ(i). ■

4. KESIMPULAN

Himpunan ℝ2 ℤ2

⁄ dengan operasi penjumlahan dan pergandaan skalar

yang didefinisikan tersebut memenuhi aksioma-aksioma modul atas Gaussian Integersℤ(i). Modul ℝ2⁄_ℤ₂ atas Gaussian Integersℤ(i) adalah modul faktor yang dihasilkan oleh ℤ2 pada modul ℝ2 atas Gaussian Integersℤ(i).

(10)

5. DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. (1993). Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Adkins, W. (1972). Algebra: an Approach Via Module Theory. New York: Springer-Velberg.

Fraleigh, J.B. (2000). A First Course in Abstract Algebra. New York: Addison-Wesley Publising Company, Inc.

Hartley, B. dan Hawkes, T.O. (1970). Rings, Modules and Linear Algebra. London: Chapman and Hall, Ltd.