a) Kalimat Tertutup - Logika, Himpunan, dan Fungsi

(1)

1

Logika, Himpunan, dan Fungsi

A. Logika Matematika Definisi

Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar.

1) Kalimat Matematika Definisi

Kalimat matematika adalah kumpulan kata yang mengungkapkan suatu konsep pikiran dan perkataan.

a) Kalimat Tertutup Definisi

Kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang dapat dinyatakan nilai kebenarannya, bernilai benar atau salah, dan tidak keduanya. Contoh:

Tomy : Siapakah presiden pertama Republik Indonesia?

Rizky : Presiden pertama Republik Indonesia adalah Ir. Soekarno. Tomy : Berapakah dua ditambah lima?

Rizky : Dua ditambah lima sama dengan tujuh. Tomy : Berapakah enam dikurang satu?

Rizky : Enam dikurang satu adalah sepuluh.

b) Kalimat Terbuka Definisi

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar saja atau salah saja. Variabel atau peubah adalah simbol yang ditulis dengan huruf kecil. Contoh:

 Negara Republik Indonesia ibukotanya 𝑥.  Provinsi 𝑚 terletak di Sulawesi.

 Dua ditambah 𝑎 sama dengan delapan.

 _{𝑏 + 28 = 40}

 _{𝑥 + 4 = 10}

c) Kalimat Berkuantor Definisi

Kalimat berkuantor adalah kalimat terbuka dalam pembicaraan.

(1) Kuantor Semua Definisi

Kuantor semua adalah kalimat terbuka yang menggambarkan seluruh objek, dinotsikan “∀“. Contoh:

 Semua kelipatan 2 adalah bilangan genap.  _∀ kelipatan 2= bilangan genap.

(2) Kuantor Beberapa Definisi

Kuantor beberapa adalah kalimat terbuka yang menggambarkan

beberapa objek, dinotsikan “∃“. Contoh:

(2)

2 2) Kata Penghubung

Definisi

Kata penghubung adalah kata-kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat.

a) Dan Definisi

Kata penghubung dan adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk semuanya. Dinotasikan '∧'. Contoh:

 Saya sekolah di SMP Negeri 2 Pare dan saya tinggal di kecamatan Pare.  ₁₃ adalah bilangan ganjil dan bilangan prima.

b) Atau

Definisi

Kata penghubung atau adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk salah satu. Dinotasikan '∨'. Contoh:

 Setelah lulus SD, saya akan sekolah di SMP atau MTs.

 Saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara atau ke arah selatan.

c) Jika ..., maka ... Definisi

Kata penghubung Jika ..., maka ... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan suatu keinginan yang belum terpenuhi, tetapi bermaksud untuk melakukan hal tersebut. Dinotasikan '⇒'. Contoh:

 Jika saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara, maka akan terlambat masuk sekolah.

d) ... jika dan hanya jika ... Definisi

Kata penghubung ... jika dan hanya jika ... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan keinginan yang harus dipenuhi. Dinotasikan '⇔'. Contoh:

 _{𝑥 = 3}, jika dan hanya jika 4𝑥 = 12.

 _{𝑥 = 3 ⇔ 4𝑥 = 12}.

B. Himpunan

1) Pengertian Himpunan Definisi

Himpunan adalah sekumpulan objek yang dapat dinyatanan dengan jelas. Himpunan dinotasikan dalam huruf Kapital, misalnya: 𝐴, 𝐵, 𝐶, dll. Contoh:

 Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan. Kumpulan binatang berkaki empat!

Jawab: Kumpulan binatang berkaki empat merupakan himpunan karena kita dapat mendefinisikan dengan jelas binatang yang berkaki empat dan binatang yang tidak berkaki empat.

 Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan. Kumpulan makanan enak!

(3)

3

Makanan yang enak sangat bergantung pada orang yang merasakannya dan tidak sama menurut setiap orang.

2) Elemen atau Anggota Definisi

Elemen atau anggota adalah setiap objek yang termasuk dalam sebuah himpunan. Elemen dinotasikan dalam huruf Kecil, misalnya: 𝑎, 𝑏, 𝑐, dll. Contoh: 𝐴 = {1,2,3}

𝑎 = 3, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 ∈ 𝐴 𝑏 = 4, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑏 ∉ 𝐴

Jika 𝑎 termasuk dalam anggota himpunan 𝐴, maka ditulis

𝑎 ∈ 𝐴(dibaca𝑎merupakananggotadarihimpunan𝐴)

Jika 𝑏 tidak termasuk dalam anggota himpunan 𝐴, maka ditulis

𝑏 ∉ 𝐴(dibaca𝑏bukananggotadarihimpunan𝐴)

3) Diagram Venn Definisi

Diagram venn merupakan suatu cara untuk menyajikan suatu himpunan. Contoh : 𝑆 = {−2, −1,0,1,2, }

4) Himpunan Bagian Definisi

Himpunan 𝐴 dikatakan himpunan bagian dari 𝐵, jika dan hanya jika setiap anggota 𝐴 juga anggota pada 𝐵. Dinotasikan 𝐴 ⊂ 𝐵.

Contoh : 𝐴 = {1,3,5,7}

(4)

4 5) Himpunan Kuasa

Definisi

Himpunan Kuasa dari himpunan 𝐴 adalah semua himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan 𝑃(𝐴). Banyaknya anggota himpunan kuasa dari himpunan 𝐴 dinotasikan dengan 𝑛(𝑃(𝐴)) = 2𝑘.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1,3,5}, carilah himpunan kuasa yang merupakan himpunan bagian dari 𝐴.

Jawab: Himpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari 𝐴 adalah:  Himpunan yang banyak anggotanya 0 adalah 1, yaitu: ∅.

 Himpunan yang banyak anggotanya 1 adalah 3, yaitu {1}, {3}, {5}  Himpunan yang banyak anggotanya 2 adalah 3, yaitu {1,3}, {1,5}, {3,5}  Himpunan yang banyak anggotanya 3 adalah 1, yaitu {1,3,5}

𝑃(𝐴) = {∅, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}. 𝑛(𝑃(𝐴)) = 23 _{= 8}_.

6) Operasi Himpunan a) Irisan

Definisi

Irisan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴 dan himpunan 𝐵, dinotasikan dengan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴dan𝑥 ∈ 𝐵}.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1, 2} dan 𝐵 = {2, 3, 4, 5}, carilah 𝐴 ∩ 𝐵! Jawab:

Jadi, 𝐴 ∩ 𝐵 = {2}.

b) Gabungan Definisi

Gabungan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴 atau himpunan 𝐵 atau semuanya, dinotasikan dengan

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴atau𝑥 ∈ 𝐵}.

(5)

5 Jawab:

Jadi, 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}

c) Komplemen Definisi

Komplemen dari 𝐴 adalah himpunan yang tediri atas semua anggota 𝑆 tetapi bukan anggota 𝐴, dinotasikan 𝐴′atau 𝐴𝑐 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑆𝑑𝑎𝑛𝑥 ∉ 𝐴}.

Contoh: Diberikan himpunan 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5} dan 𝐴 = {1, 2, 3}, carilah 𝐴𝑐! Jawab:

Jadi, 𝐴𝑐 = {4, 5}.

C. Relasi Definisi

Misalkan 𝐴 dan 𝐵 dua buah himpunan. Relasi pasangan berurutan dari 𝐴 ke 𝐵 adalah suatu aturan yang memasangkan semua anggota himpunan 𝐴 ke semua anggota himpunan 𝐵. Dapat ditulis

𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|∀(𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑦 ∈ 𝐵), 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ}

D. Sifat-sifat Relasi 1) Relasi Reflektif

Definisi (Pengertian)

Misalkan 𝐵 sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan 𝐴. Relasi 𝐵 dikatakan bersifat reflektif jika semua 𝑎 ∈ 𝐴, maka berlaku (𝑎, 𝑎) ∈ 𝐴.

(6)

6

Diketahui: 𝐴 = {1,2,3}, dan 𝐵 = 𝐴 × 𝐴 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}

Jawab: Jika semua 𝑎 ∈ 𝐴 maka berlaku (𝑎, 𝑎) ∈ 𝐴

(1,2) ∈ {1,2,3} (1,3) ∈ {1,2,3} (2,3) ∈ {1,2,3}

Jadi, Relasi 𝐵 tersebut bersifat reflektif karena semua anggota himpunan 𝐴 berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

2) Relasi Simetris

Misalkan 𝐵 sebuah relasi pada sebuah himpunan 𝐴. Relasi 𝑅 dikatakan bersifat simetris, jika semua (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵, maka berlaku (𝑦, 𝑥) ∈ 𝐵.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {2,4,5}. Didefinisikan relasi 𝐵 pada himpunan 𝐴

dengan 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 kelipatan 𝑦, dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴}, maka diperoleh 𝐵 = {(2,2), (4,2), (4,4), (5,5)}.

Diketahui: 𝐴 = {2,4,5}, dan 𝐵 = {(2,2),(4,2),(4,4),(5,5)}

Jawab: jika semua (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵, maka berlaku (𝑦, 𝑥) ∈ 𝐵

(2,2) ∈ {(2,2),(4,2),(4,4),(5,5)} (2,4)∉{(2,2),(4,2),(4,4),(5,5)} (4,2) ∈ {(2,2),(4,2),(4,4),(5,5)} (4,4) ∈ {(2,2),(4,2),(4,4),(5,5)} (5,5) ∈ {(2,2),(4,2),(4,4),(5,5)}

Jadi, relasi 𝐵 tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) ∈ 𝐵 tetapi (2,4) ∉ 𝐵.

3) Relasi Transitif

Misalkan 𝐵 sebuah relasi pada sebuah himpunan 𝐴. Relasi 𝐵 bersifat transitif, jika semua (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵 dan (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐵 maka berlaku (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐵.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1,2,3}. Didefinisikan relasi B dengan 𝐵 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}. Apakah

relasi 𝐵 bersifat transitif?

Diketahui: 𝐴 = {1,2,3}, dan 𝐵 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Jawab: Jika semua (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵 dan (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐵 maka berlaku (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐵

Jika (2,1) ∈ {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} dan

(1,3) ∈ {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}, maka

(2,3) ∈ {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Jadi, relasi 𝐵 bersifat transitif.

4) Relasi Ekuivalensi

(7)

7 E. Fungsi (Pemetaan)

Fungsi adalah suatu relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵 dengan ketentuan setiap anggota himpunan 𝐴 hanya dipasangkan tepat dengan satu anggota himpunan 𝐵 dan semua anggota di 𝐴 harus memiliki pasangan di 𝐵.

F. Sifat-sifat Fungsi 1) Injektif (Satu-satu)

Fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 disebut fungsi injektif apabila setiap anggota 𝐵 mempunyai tepat satu pasangan saja pada anggota 𝐴.

𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) → 𝑥1 = 𝑥2

2) Surjektif (Pada)

Fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 disebut fungsi surjektif apabila setiap anggota 𝐵 mempunyai pasangan saja pada anggota 𝐴.

∃𝑎 ∈ 𝐴𝑑𝑎𝑛∀𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑓(𝑎) = 𝑏

3) Bijektif (Satu-satu dan Pada) Definisi (Pengertian)

(8)

8 G. Daerah Fungsi

1) Domain (Daerah Asal)

𝐷𝑓= {1,2,3}

2) Kodomain (Daerah Kawan)

𝐾𝑓 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}

3) Domain (Daerah Asal)

𝑅𝑓 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}

H. Bentuk Fungsi Definisi

Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan 𝑓(𝑥) = 𝑦.

(9)

9 I. Nilai Fungsi

Contoh: Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 9, maka tentukan nilai untuk 𝑥 = 2 dan 𝑥 = −9. Jawab: 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 9

 _{𝑓(2) = 2 − 9}

= −7

 _{𝑓(−9) = −9 − 9}

= −18

Jadi, 𝑓(2) = −7 dan 𝑓(−9) = −18

J. Grafik Fungsi

Contoh: Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1, maka gambarlah grafiknya untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2! Jawab: