SIFAT - SIFAT MATRIKS UNITER, MATRIKS NORMAL, DAN MATRIKS HERMITIAN

MATRIKS HERMITIAN

Tasari*

Abstrak : Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui pengertian dan sifat­sifat dari matriks uniter, matriks normal, dan matriks hermitian.

Metode penelitian yang digunakan adalah studi literature, yaitu semua bahan diambil dari buku referensi yang mendukung dan berhubungan dengan pengertian dan sifat­sifat dari matriks uniter, matriks normal, dan matriks hermitian.

Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: Sebuah matriks bujur sangkar A dengan anggota­ anggota bilangan kompleks dinamakan matriks uniter jika 1 _*

A

A  , dinamakan matriks normal jika AA* = A*A, dinamakan matriks hermitian jika A = A*. Sifat­sifat matriks uniter adalah invers dan transpose matriks uniter adalah matriks uniter, hasil kali dua atau lebih matriks uniter adalah uniter, determinan matriks uniter mempunyai nilai mutlak 1, vektor­vektor baris dan vektor­vektor kolom matriks uniter membentuk suatu himpunan ortonormal pada Cn _{dengan hasil kali dalam Euclidean. Sifat­sifat matriks normal adalah jika terdapat}

A matriks normal dan U matriks uniter, maka B = U*AU adalah matriks normal, jika X_i adalah vektor invarian yang berhubungan dengan akar karakteristik X_i dari suatu matriks normal A, maka X_i juga vektor invarian dari A* yang berhubungan dengan akar karakteristik

_

_i, jika A normal maka suatu matriks bujur sangkar AA similar secara uniter terhadap suatu matriks diagonal, vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari matriks normal adalah ortogonal. Sifat­sifat matriks hermitian adalah nilai eigen dari suatu matriks hermitian adalah bilangan real, vektor­vektor invarian yang berhubungan dengan akar­akar karakteristik yang berlainan dari suatu matriks hermitian adalah saling ortogonal.

Kata kunci: Matriks uniter, Matriks normal, Matriks hermitian

PENDAHULUAN

Salah satu cabang ilmu matematika adalah Aljabar. Didalamnya dipelajari tentang matriks. Jenis­ jenis matriks ada bermacam­macam, antara lain matriks bujur sangkar, matriks simetris, matriks diagonal dan lain sebagainya. Dimana matriks­matriks tersebut mempunyai sifat­sifat tertentu.

Pada penelitian ini peneliti tertarik untuk melihat sifat­sifat Matriks Uniter, Matriks Normal dan Matriks Hermitian yang merupakan matriks­matriks

CARA PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan adalah studi literature, yaitu semua bahan diambil dari buku referensi yang mendukung dan berhubungan dengan pengertian dan sifat­sifat dari matriks uniter, matriks normal, dan matriks hermitian.

PEMBAHASAN

Berikut akan dibahas sifat­sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian.

A. Pengertian Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian

Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian merupakan matriks dengan anggota­anggota bilangan kompleks. Sebelum membahas pengertian Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian dijelaskan terlebih dahulu definisi dan sifat­sifat dasar transpose konjugat dari A sebagai berikut:

Definisi 1 (Anton, 2000:335)

Jika A adalah suatu matriks dengan anggota­anggota kompleks, maka transpose konjugat dari A, yang dinyatakan dengan A*, didefinisikan oleh

A* = T

A

Dimana

_A

adalah matriks yang anggota­anggotanya adalah konjugat kompleks dari anggota­anggota

yang berpadanan pada A dan T

A adalah transpose dari .

Contoh 1 Jika

,

i

i

i

i

A

_



















2

3

2

0

1

maka

.

i

i

i

i

A

_



















2

3

2

0

1

Sehingga A* = . i i i i AT               0 2 3 2 1

Sifat­sifat dasar dari operasi transpose konjugat adalah sebagai berikut:

Teorema 1 (Anton, 2000:336)

Jika A dan B adalah matriks­matriks dengan anggota­anggota kompleks dan k adalah sebarang bilangan kompleks, maka:

(a) (A*)* = A

(b) (A+B)* = A* + B* (c) (kA)* =

_k

A*

(d) (AB)* = B*A*

Dibawah ini dijelaskan pengertian Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian:

1. Pengertian Matriks Uniter

Diberikan definisi sebagai berikut:

Definisi 2 (Ayres, 1989:113)

Matriks bujur sangkar disebut uniter jika A*A = AA* = I, yaitu jika A* = AA­1_.

Contoh 2 Diketahui               1 1 2 1 2 1 i i i i A

Akan ditunjukkan bahwa A adalah matriks uniter.                 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i A Þ                  2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i * A AT Maka                                2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 * i i i i i i i i AA =













1

0

0

1

                                      1 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i i i i i A * A

karena AA* = A*A = I maka terbukti bahwa A adalah Matriks Uniter.

2. Pengertian Matriks Normal

Sebuah matriks bujur sangkar A dengan anggota­anggota kompleks disebut normal jika

AA* = A*A

Jadi setiap matriks uniter merupakan matriks normal.

Contoh 3

Setiap matriks uniter A adalah matriks normal karena AA* = I = A*A Jadi contoh di atas juga termasuk matriks normal

                2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i A

adalah Matriks Normal

3. Pengertian Matriks Hermitian

Suatu matriks bujur sangkar A dengan anggota­anggota kompleks disebut Hermitian jika A = A*

Contoh 4 Jika , i i i i i i A                  3 2 1 2 5 1 1 maka                  3 2 1 2 5 1 1 i i i i i i A Sehingga A i i i i i i A * A T                    3 2 1 2 5 1 1

. Yakni A adalah Hermitian

B. Sifat-sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian

Pada bagian ini akan dijelaskan sifat­sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian.

1. Sifat-sifat Matriks Uniter

Untuk menunjukkan sifat­sifat dari Matriks Uniter diberikan beberapa teorema sebagai berikut: Teorema 2 (Ayres, 1989:113)

Invers dan transpose dari matriks uniter adalah uniter. Bukti:



Invers matriks uniter adalah uniter.

A uniter  A­1 _Uniter

A uniter artinya AA* = A*A = I

Akan dibuktikan A­1 _{uniter sebagai berikut:}

A­1 _{merupakan invers dari suatu matriks A artinya}

I A A

AA1  1  .

Jadi A­1 _{uniter yakni}

_A

1

   

_A

1

_

_A

1

_A

1

_

_I

*

*



Transpose matriks uniter adalah uniter.

A uniter  T A uniter

A uniter artinya AA* = A*A = I

Akan dibuktikan AT _{uniter sebagai berikut:}

AT _{merupakan transpose dari matriks A. Jadi} T

A uniter yakni

A

T

   

A

T

*



A

T

*

A

T



I

maka

I

A

A

A

A

T



T



Contoh 5 Misal















i

i

A

0

0

Þ



















i

i

A

0

0

















i

i

i

A

0

0

1

2 1 =















i

i

0

0

1

1

=

















i

i

0

0

Bukti bahwa A­1 _{adalah uniter sebagai berikut:}





















i

i

A

0

0

1 Þ

 

















i

i

A

0

0

*

1 Maka

 













































 

1

0

0

1

0

0

0

0

1 1

i

i

i

i

*

A

.

A

 

_











































 

1

0

0

1

0

0

0

0

1 1

i

i

i

i

A

.

*

A

Jadi terbukti bahwa A­1 _{adalah uniter karena}

_A

1

   

_A

1

_

_A

1

_A

1

_

_I

*

*

 Transpose dari A adalah:















i

i

A

0

0

















i

i

A

T

0

0

Karena A = AT_{, jadi jelas bahwa transpose dari A adalah uniter.}

Teorema 3 (Ayres, 1989:113)

Hasil kali dua atau lebih matriks uniter adalah uniter.

Bukti:

A uniter artinya AA* = A*A = I B uniter artinya BB* = B*B = I

Dar i A uniter da n B uniter di atas, dapat dibuktikan AB uniter seba gai berikut:



AB





AB



AB

I

AB

*



*



Contoh 6 Misal















i

i

A

0

0

dan               2 1 2 2 1 2 i i B

adalah matriks uniter, maka

                                  2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 0 0 i i i i i i AB                 2 2 2 1 2 1 )* ( i i AB

Sehingga

                                     1 0 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 )* ( i i i i AB AB                                      1 0 0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 * ) ( i i i i AB AB

Jadi terbukti bahwa hasil kali dua atau lebih matriks­matriks uniter adalah uniter karena

I

AB

AB

AB

AB



(

)*



(

)

*





Teorema 4 (Ayres, 1989:113)

Determinan matriks uniter mempunyai nilai mutlak 1.

Bukti:

A uniter artinya

_AA

_*

_

_A

_*

_A

_

_I

Akan dibuktikan determinan matriks uniter mempunyai nilai mutlak 1 sebagai berikut

I A A

AA* * 

, maka

det (AA*) = det (I) det (A) det (A*) = det (I)

det (A) =

_

_

*

A

det

1

Maka nilai mutlak dari det (A) =

_

_

1

1



*

A

det

Contoh 7 Misal















i

i

A

0

0

, maka det (A) = i2 _{= ­1} detA  1 1 Misal                 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i A , maka det(A)=                              2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i = 1 2 1 2 1   det

 

A  1 1

Teorema 5 (Anton, 2000:336)

Jika A adalah suatu matriks nxn dengan anggota­anggota kompleks, maka yang berikut ini ekuivalen:

a) A adalah matriks uniter

b) Vektor­vektor baris dari A membentuk suatu himpunan ortonormal pada Cn _{dengan hasil kali}

dalam Euclidean.

c) Vektor­vektor kolom dari A membentuk himpunan ortonormal pada Cn _{dengan hasil kali dalam}

Euclidean.

Bukti:

a) b) Anggota pada baris ke­i dan kolom ke­j­ dari hasil kali matriks AA* adalah hasil kali titik dari vektor baris ke­i dan vektor kolom ke­j dari A*. Tetapi, kecuali karena perbedaan notasi, vektor kolom ke­j dari A* adalah vektor baris ke­j dari A. Jadi jika vektor­vektor baris dari A adalah

r

₁

,

r

₂

,



,

r

_n, maka hasil kali matriks AA* bisa dinyatakan sebagai :













































n n n n n n

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

AA













2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1

*

Jadi AA*=I jika dan hanya jika

r

₁



r

₁



r

₂



r

₂







r

_n



r

_n



1

dan r_ir_j 0 jika i  j. Yangang berarti jika dan hanya jika



r

₁

,

r

₂

,



,

r

_n



adalah suatu himpunan ortonormal pada n

C

.

b)  c) Anggota pada baris ke­i dan kolom ke­j­ dari hasil kali matriks AA* adalah hasil kali titik dari vektor baris ke­i dan vektor kolom ke­j dari A*. Kecuali karena perbedaan notasi, vektor baris ke­­i dari A* adalah vektor kolom ke­i dari A. Jadi vektor­vektor kolom dari A adalah

n

r

r

r

₁

,

₂

,



,

, maka hasil kali matriks AA* bisa dinyatakan sebagai













































n n n n n n

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

AA













2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1

*

Jadi AA*=I jika dan hanya jika

r

₁



r

₁



r

₂



r

₂







r

_n



r

_n



1

dan r_ir_j 0 jika i  j. Yangang berarti jika dan hanya jika



r

₁

,

r

₂

,



,

r

_n



adalah suatu himpunan ortonormal pada n

C

Contoh 8 a)                 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i A                  2 1 2 1 2 1 2 1 * i i i i A

Maka _                                     1 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 * i i i i i i i i AA                                       1 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 * i i i i i i i i A A

Karena AA* = A*A = I, terbukti bahwa A adalah uniter.

b) Matriks                 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i A

mempunyai vektor­vektor baris 

                 2 1 2 1 r 2 1 2 1 2 1 i , i ; i , i r

Hasil kali dalam Euclidean pada Cn _mempunyai

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1        i i r 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2         i i r dan                               2 1 ­ 2 1 2 i ­ 1 2 1 r₂ 1 i i i r                              2 i ­ 1 ­ 2 1 2 i 1 2 1 i i 0 2 2   i i

Sehingga vektor­vektor baris tersebut membentuk suatu himpunan ortonormal pada C2_.

c) Matriks                 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i A

mempunyai vektor­vektor kolom

             2 12 1 1 _i i r ,               2 12 1 2 _i i r

Hasil kali dalam Euclidean pada Cn _mempunyai

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1        i i r

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2         i i r dan                                2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i r r

=

                             2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i

=

        4 2 4 2

= 0

Sehingga vektor-vektor kolom tersebut membentuk suatu himpunan ortonormal pada

C

2

_.

2. Sifat-sifat Matriks Normal

Sebelum menunjukkan sifat­sifat dari matriks normal, tetapkan A sebagai matriks normal dan U sebagai matriks uniter dan tuliskan

_B

_

_U

_*

_AU

, maka

_B

_{* }

_U

_*

_A

_*

_U

dan B*B = U*A*U × U*AU =

U*A*AU = U*AA*U = U*AU × U*A*U = B B*.

Sifat 1 (Ayres, 1989:168)

Jika A adalah matriks normal dan U adalah matriks uniter, maka B = U*AU adalah matriks normal.

Bukti:

A normal artinya AA* = A*A U uniter artinya AA* = A*A = I

Akan dibuktikan B = U*AU normal sebagai berikut

B*B = U*A*U × U*AU = U*A*AU = U*AA*U = U*AU × U*A*U = B B*

Jadi terbukti bahwa B = U*AU normal, karena BB* = B*B

Contoh 9 Misal                 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i A               2 1 2 2 1 2 i i U Þ               2 1 2 1 2 2 * i i U

Maka B = U*AU =                                          2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 i i i i i i i i =                           2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i i

=

               4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 i i i i

B =

               2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i

Jadi terbukti bahwa B = U*AU adalah matriks normal.

Sifat 2 (Ayres, 1989:168)

Jika X_i adalah vektor invarian yang berhubungan dengan akar karakteristik X_i dari suatu matriks nomal A, maka X_i juga vektor invarian dari A* yang berhubungan dengan akar karakteristik

_

_i.

Bukti:

Karena A normal, maka





IA





IA



*





I A







I A*



=

_

_

_I

_

_

_A

_*

_

_

_A

_

_AA

_*

=

_

_

_I

_

_A*

_

_AA*A =





IA

 

*



IA



Sehingga

_

_{I }

_A

adalah normal. Misal

B







_i

I



A



sehingga diperoleh

BX

_i







_i

I



A



X

_i



0

, maka



BX

_i

 

*

BX

_i





X

_i

*

B

*



BX

_i



X

_i

*

B



B

*

X

_i





B

*

X

_i

 

*

B

*

X

_i





0

dan



*



0

*X_i  _iIA X_i 

B



Jadi, X_i adalah vektor invarian dari A* yang berhubungan dengan akar karakteristik



_i.

Sifat 3 (Ayres, 1989:168)

Suatu matriks bujur sangkar A similar secara uniter terhadap suatu matriks diagonal jika dan hanya jika A normal.

Bukti:

Andai A normal, terdapat suatu matriks U sedemikian sehingga:

B

b

b

b

b

b

b

b

b

AU

U

n n n n n n n n





























   









0

0

0

0

0

0

0

0

*

, 1 1 2 1 , 2 23 2 1 1 , 1 13 12 1









Menurut sifat 1 di atas, B adalah normal sehingga B*B=BB*. Sekarang elamen pada baris pertama dan

kolom pertama B*B adalah



₁



sedangkan elemen yang berpadanan di BB* adalah

n b b b b b_{12 12 13 13 1n 1} 1 1



    b



Karena elemen­elemen ini sama dan karena setiap b_ij b_ij  0, disimpulkan bahwa setiap b_ij = 0.

Selanjutnya dengan elemen­elemen yang berpadanan pada baris kedua dan kolom kedua dan seterusnya, disimpulkan bahwa setiap b_ij dari B adalah nol. Jadi, B = diagonal





₁,



₂ ,



_n



. Sebaliknya, tetapkan

A diagonal; maka A normal.

Diberikan teorema sebagai berikut:

Teorema 6 (Anton, 2000:339)

jika A adalah suatu matriks bujur sangkar dengan anggota­anggota kompleks, maka yang berikut ini ekuivalen:

a) A dapat didiagonalkan secara uniter.

b) A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal.

c) A adalah normal.

Bukti:

a)  b)

Karena A dianggap dapat didiagonalkan secara uniter, maka ada suatu matriks yang dapat dibalik atau konjugat dari A



























nn n n n n

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P













2 1 2 22 21 1 12 11

Sedemikian sehingga P–1_{AP (=P*AP) diagonal, katakanlah P}–1_{AP (=P*AP) = D, dimana}























D















0

0

0

0

2 1

n vektor kolom dari A adalah vektor eigen dari A karena P ortogonal, maka vektor­vektor kolom ini

ortonormal, sehingga A mempunyai n vektor eigen yang ortonormal. b)  a)

Anggap A mempunyai n vektor eigen yang ortonormal, P₁ , P₂ , ,P_n. Matriks P dengan vektor eigen ini sebagai kolom mendiagonalkan A secara sama. Karena vektor eigen ini ortonormal, maka vektor P dapat dibalik atau merupakan konjugat transpose dari A. Jadi P–1_{AP (=P*AP) = D; yaitu, A dapat} didiagonalkan secara uniter.

a)  c)

Pada bukti a)  b) ditunjukkan bahwa suatu matriks Anxn, yang dapat didiagonalkan secara uniter oleh suatu matriks Pnxn, yang kolom­kolomnya membentuk himpunan­himpunan ortonormal dari vektor­vektor eigen A. Anggap D adalah suatu matriks diagonal D = P–1_{AP (=P*AP)}

Jadi A = PD P–1 _{(=PD P*)} Dengan demikian

AA* = PD P–1 _{(=PD P*)* = PD P* PD* P* = PD I D* P*}

= PD D* P* = P I P*

Sebuah matriks normal A didiagonalisasi oleh suatu matriks uniter yang vektor­vektor kolomnya adalah vektor­vektor eigen dari A. Dibawah ini diberikan prosedur mendiagonalkan suatu matriks normal adalah sebagai berikut

Langkah 1. Cari suatu basis untuk masing­masing ruang eigen dari A.

Langkah 2. Terapkan proses Gram­Schmidt pada masing­masing basis untuk mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.

Langkah 3. Bentuk matriks P yang kolom­kolomnya adalah vektor­vektor basis yang disusun pada

langkah 2. Matriks ini secara uniter mendiagonalkan A.

Contoh 10 Diketahui



















3

1

1

2

i

i

A

_Þ

_

















3

1

1

2

*

i

i

A

Apakah matriks A dapat didiagonalkan secara uniter? Jika dapat maka carilah matriks P yang mendiagonalisasi secara uniter matriks A tersebut!

Penyelesaian: Karena



















3

1

1

2

*

i

i

A

_{maka A adalah matriks Hermitian, sehingga A adalah matriks normal.}

Polinom karakteristik dari A adalah



































3

1

1

2

1

0

0

1

i

i

A

I





₌

_





























3

1

1

2

0

0

i

i





=

























3

1

1

2





i

i





_



























3

1

1

2







i

i

Det

A

I

Det

₌

_

_

_

₂

_

_

_

₃

_{ }

_

_

₁

_

_i

_

_

₁

_

_i

_

₌ 2

₅

₄









Sehingga persamaan karakteristiknya adalah

2

₅

₄

₀

















1







4





0

Dan nilai eigennya adalah l = 1 dan l=4

Berdasarkan definisi















2 1

x

x

x

Akan menjadi suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan  jika dan hanya jika x adalah penyelesaian tak terivial dari



















































0

0

3

1

1

2

2 1

x

x

i

i





Untuk mencari vektor eigen yang berpadanan dengan



_

₁

, disubtitusikan nilai  pada



















































0

0

3

1

1

2

2 1

x

x

i

i























































0

0

2

1

1

1

2 1

x

x

i

I

























2

1

1

1

i

i

B₁(­1)





















2

1

1

1

i

i

B₂+(1 – i)B₁

_













0

0

1

1

i

 x₁ + (1+i)x₂ = 0 x₁ =  (1+i)x₂ x₁ = (1i)x₂ Misal x₂ = s ,  x₁ = (1i)s

Sehingga vektor eigen dari A yang berpadanan dengan  =1 adalah vektor­vektor tak nol dalam C2 yang berbentuk









































1

1

1

i

s

s

s

i

x

Jadi ruang eigennya berdimensi satu dengan basis



















1

1 i

u

Untuk mencari vektor eigen yang berpadanan dengan  = 4, disubtitusikan nilai  pada



















































0

0

3

1

1

2

2 1

x

x

i

i



















































0

0

1

1

1

2

2 1

x

x

i

i





















1

1

1

2

i

i

B_{1 }      2 1

























1

1

2

1

1

i

i

B₂+(1 – i)B₁





















0

0

2

1

1

i



0 2 1 2 1          i x x 1 2 2 1 x i x          1 2 2 1 x i x         Misal x₂ = s ,  x₁ = is       2 1

Sehingga vektor eigen dari A yang berpadanan dengan  =4 adalah vektor­vektor tak nol dalam C2 yang berbentuk:                           1 2 1 2 1 i s s s i x

Jadi ruang eigennya berdimensi satu dengan basis

_













 



1

2

1 i

u

Maka



















1

1

1

i

u

_dan















 



1

2

1

2

i

u

Dengan menerapkan proses Gram­Schmidt yaitu menormalkan vektor­vektor di atas diperoleh

3 1 2 1 1 2 2 1   i     u

































3

1

,

3

1

3

1

,

1

1

i

i

P

2 6 1 4 2 1 2 1 2 2 2       i u

                6 2 , 6 1 2 6 1 , 2 1 2 i i P Jadi





                6 2 3 1 6 1 3 1 2 1 i i P P P                  6 2 6 1 3 1 3 1 * i i P Dari sini                                       6 2 3 1 6 1 3 1 3 1 1 2 6 2 6 1 3 1 3 1 * i i i i i i AP P =                              6 2 3 1 6 1 3 1 6 8 6 4 4 3 1 3 1 i i i i =













4

0

0

1

Jadi P dapat mendiagonalkan A secara uniter.

Teorema 7 (Anton, 2000:340)

Jika A adalah suatu matriks normal maka vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari A adalah ortogonal.

Bukti:

Anggap v­₁ dan v₂ adalah vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen ₁ dan ₂ yang berbeda dari matriks A. Akan ditunjukkan bahwa v₁v₂ = 0.

Untuk membuktikan ini diawali dengan ekspresi A v₁v₂ ,diawali dengan pengertian matrriks Hermitian A

adalah Normal. Jadi bahwa A v₁v₂ = v₁ A* v₂ = v₁ Av₂ , tetapi v₁ adalah suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan ₁ dan v₂ adalah suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan ₂, sehingga dihasilkan hubungan ₁ v₁v₂ = v₁₂ .v₂ yang bisa ditulis ulang sebagai ( ₁ ­ ₂ )( v₁v₂ ) = 0, tetapi ₁ ­ ₂  0 karena ₁ dan ₂ dianggap berbeda. Jadi dari ( ₁ ­ ₂ ) ( v₁v₂ ) = 0 diperoleh bahwa v₁v₂ = 0.

Contoh 11



















3

1

1

2

i

i

A

_{adalah matriks normal, mempunyai vektor eigen yang berpadanan dengan}

₁

1





dan



₂



4

adalah sebagai berikut



















1

1

1

i

u

_dan















 



1

2

1

2

i





  

1 1 2 1 1 2 1           u i i u =





1 2 1 1          i i _{=  1 + 1= 0}

jadi terbukti bahwa vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari A adalah ortogonal.

3. Sifat-sifat Matriks Hermitian

Sekarang akan dibahas sifat­sifat dari matriks hermitian. Diberikan teorema di bawah ini.

Teorema 8 (Anton, 2000:343)

Nilai eigen dari suatu matriks hermitian adalah bilangan real.

Bukti:

Jika  adalah suatu nilai eigen dan v adalah vektor eigen yang berpadanan dari suatu matriks hermitian

A_nxn , maka

_Av

_

_

_v

. Dengan mengalikan setiap ruas dari persamaan, dari kiri transpose tasrif dari v diperoleh v*Av v*

 



v 



v*v

Ditunjukkan bahwa matriks 1 x 1, v*Av dan v*v, keduanya mempunyai anggota­anggota real sehingga dari diperoleh bahwa  pastilah suatu bilangan real.

Contoh 12 Misal























3

1

1

2

i

i

A

_{adalah matriks hermitian}

Polinom karakteristik dari A adalah







































3

1

1

2

1

0

0

1

i

i

A

I





₌

_

































3

1

1

2

0

0

i

i





=

























3

1

1

2





i

i





_



























3

1

1

2

det

det







i

i

A

I

₌

_

_

_

₂

_

_

_

₃

_{ }

_

_

₁

_

_i

_

_

₁

_

_i

_

₌ 2

₅

₆

₂











=

_

2

_

₅

_

_

₄

Sehingga persamaan karakteristiknya adalah



_

2

_

₅

_

_

₄

_

₀







1







4





0

dan nilai eigennya adalah l₁ = ­ 1; l₂ = ­ 4

Jadi bahwa nilai eigen dari A adalah bilangan real.

Teorema 9 (Ayres, 1989:168)

Vektor­vektor invarian yang berhubungan dengan akar­akar karakteristik yang berlainan dari suatu matriks hermitian adalah saling ortogonal.

Bukti:

Tetapkan X₁ dan X₂ sebagai vektor­vektor invarian yang masing­masing dihubungkan dengan akar­ akar karakteristik l ₁ dan l₂ yang berlainan dari A. Maka

1 1

1

X

Pengambilan konjugat transpose 2 1 1 2 1

*

AX

X

*

X

X





dan 1 2 2 1 2*AX X *X X 



Maka



₁X₁*X₂ 



₂X₁*X₂ dan karena

2

1







,

X

₁

*

X

₂



0

. Jadi X₁ dan X₂

adalah ortogonal.

Selain dari teorema­teorema di atas diberikan sifat matriks hermitian bahwa elemen­ elemen diagonalnya berupa bilangan riil a_ij ¹ a_ji

untuk i ¹ j dan a_ij = a_ij untuk i=j.

SIMPULAN

Berdasarkan pembahasan di depan dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Matriks Uniter adalah suatu matriks bujur sangkar A dengan elemen­elemen kompleks jika

* 1

A

A  artinya bahwa berlaku

I A A

AA* *  .

2. Matriks Normal adalah sebuah matriks bujur sangkar A dengan anggota­anggota kompleks jika

AA* = A*A. Jadi setiap matriks uniter merupakan

matriks normal.

3. Matriks Hermitian adalah suatu matriks bujur sangkar A dengan anggota­anggota kompleks jika

A = A*. Jadi setiap matriks hermitian A adalah

normal karena berlaku AA* = AA = A*A. 4. Sifat­sifat Matriks Uniter adalah sebagai berikut:

a. Invers dan transpose dari matriks uniter adalah uniter

b. Hasil kali dua matriks atau lebih matriks­ matriks uniter adalah uniter.

c. Determinan matriks uniter mempunyai nilai

mutlak 1.

d. Vektor­vektor baris dan vektor­vektor kolom matriks uniter membentuk suatu himpunan ortonormal pada Cn _{dengan hasil kali dalam}

Euclidean.

5. Sifat­sifat Matriks Normal

a. Jika terdapat A matriks normal dan U matriks uniter, maka B = U*AU adalah matriks normal.

b. Jika X_i adalah vektor invarian yang berhubungan dengan akar karakteristik X_i dari suatu matriks normal A, maka X_i juga vektor invarian dari A* yang berhubungan dengan akar karakteristik

_

_i.

c. Suatu matriks bujur sangkar A similar secara uniter terhadap suatu matriks diagonal jika dan hanya jika A normal.

d. Vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari matriks normal adalah ortogonal. 6. Sifat­sifat Matriks Hermitian

a. Nilai eigen dari suatu matriks hermitian adalah bilangan real.

b. Vektor­vektor invarian yang berhubungan dengan akar­akar karakteristik yang berlainan dari suatu matriks hermitian adalah saling ortogonal.

c. Elemen­elemen diagonalnya berupa

bilangan riil a_ij ¹ a_ji untuk i ¹ j dan a_ij = a_ji

DAFTAR PUSTAKA

Anton H., 2000. Dasar­dasar Aljabar Linier. Batam: Interaksa.

Ayres F., 1982. Theory and Problems of Matriks. Singapura: Mc Graw­Hill.

Horn A. Roger and Johnson R. Charles, 1985. Matrik

Analysis. Cambridge University Press.

H.S. Suryadi dan M. Harini, 1990. Teori dan Soal

Pendahuluan Aljabar Linier. Jakarta: Ghalia

Indonesia.

Kartono, 2002. Aljabar Linier, Vektor dan

Eksplorasinya dengan Maple. Yogyakarta: Graha

Ilmu.

Mundit, Armawi K., 1986. Teori­teori Penyelesaian

Aljabar Linier. Bandung: CV. Armica.

Padmodisastro, Sudarinah, 1989. Aljabar Linier. Surakarta: UNS Press.

Supranto S. 1998. Pengantar Matriks. Jakarta: PT. Rineka Cipta.