MOMENTUM LINEAR dan TUMBUKAN

MOMENTUM

LINEAR

dan

TUMBUKAN

TUMBUKAN

Momentum Linear : v p ≡ m (9-1) x x mv p = y y mv p = (9-2) z z mv p =

d Laju perubahan momentum

Hukum Newton II :

dt dp

F = (9-3)

Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak adag y g , y gaya yang bekerja pada benda tersebut ?

dt dp = F (9 4) dp = Fdt (9-4) Impuls

∫

= − = Δ f i t t i f p Fdt p p (9-5)

Impuls : p F I ≡

∫

f = Δ i t t dt (9-6)

Impuls suatu gaya F sama dengan

perubahan momentum benda.

Teorema Impuls-Momentum Teorema Impuls Momentum

F Gaya rata-rata : t Δ

∫

≡ f i t t dt t F F 1 (9-7) y t t_i t_f t Δ = Δ = p F I (9-8) Untuk F konstan : t Δ = Δ = p F I (9-9)

KEKEKALAN MOMENTUM LINIER

UNTUK SISTEM DUA PARTIKEL

p₁= m₁v_{1 d}

1

p

F dp2 F F

Hukum Newton III

m₁ dt 1 12 p F = dt d ₂ 21 p F = 0 21 12 + F = F 21 12 F F = − 0 2 1 d dp p 0 ) ( d F₂₁ F₁₂ 1 + 2 =0 dt dt p p 0 ) (p₁ + p₂ = dt konstan 2 1 + = = p p P (9-10) P P P P P P m₂ p₂ = m₂v₂ p₁ fx ix P P = P_iy = P_fy P_iz = P_fz

Momentum partikel di dalam

suatu sistem tertutup selalu tetap

p₂

2 1 p

p P= +

Hukum kekekalan momentum

f f i i m m m m₁v₁ + ₂v₂ = ₁v₁ + ₂v₂ (9-11) (9-12) f f i i 2 1 2 1 p p p p + = +

TUMBUKAN

Interaksi antar partikel yang berlangsung

F _F

nte aksi anta pa tikel yang be langsung

dalam selang waktu yang sangat singkat Gaya impulsiv

Diasumsikan jauh lebih besar dari gaya luar yang ada

Kontak langsung F₁₂ p F_{12 F} 21 m_{1 m} 2

dari gaya luar yang ada

dt dp F= (9-3) 21 12 F F =−

Hukum Newton III

+ ++ p H 4 Proses hamburan ∫ = Δ 2 1 21 2 t t F dt p ∫ = Δ 2 1 12 1 t t F dt p 2 1 p p = −Δ Δ 0 Δ Δ F₂₁ He4 F F 0 2 1 + Δ = Δp p 0 ) ( ₁ + ₂ = Δ p p P = p₁ +p₂ = konstan

Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem

t F₁₂

F

Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan

F₂₁

Klasifikasi Tumbukan

Tumbukan Lenting Sempurna Berlaku hukum kekekalan momentum _{dan kekekalan energi} Tumbukan Lenting Sebagian Energi mekanik berkurang

(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)

Tumbukan Tak Lenting sama sekali Setelah tumbukan kedua partikel menyatu

Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi

v_1i v_2i m₁ m₂ Sebelum tumbukan v_f m + m Setelah tumbukan 2 m 1 + m2

Hukum kekekalan momentum : m1v1i +m2v2i = (m1 +m2)vf _(9-13)

v m v m + 2 1 2 2 1 1 m m v m v m v i i f ₊ + = (9-14)

Untuk tumbukan lenting sempurna dalam satu dimensi v_1i v_2i m₁ m₂ Sebelum tumbukan v_1f Setelah tumbukan v_2f 1 2 _m 1 m₂

Hukum kekekalan momentum :

⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ + ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ − = 2 1 2 1 1 2m v m m v _{f i} (9-20) f f i i m v m v m v v m_{1 1} + _{2 2} = _{1 1} + _{2 2} (9-15) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 f f i i m v m v m v v m + = + (9-16) ) ( ) (v2 v2 m v2 v2 m = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 m m m m v m m m v _{f i} (9-21) ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ + + ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ + 1 2 1 2 1 1 m m v m m v _{f i} (9 20) ) ( ) ( _{1 1 2 2 2} 1 v i v f m v f v i m − = − ) )( ( ) )( ( _{1 1 1 1 2 2 2 2 2} 1 v i v f v i v f m v f v i v f v i m − + = − + _(9-17) ) ( ) ( _{1 1 2 2 2} 1 v i v f m v f v i m − = − _{(9 18)} ⎠ ⎝ + ⎠ ⎝m1 +m2 m1 m2 ) ( ) ( _{1 1 2 2 2} 1 i f f i _(9-18) i f f i v v v v₁ + ₁ = ₂ + ₂ ) ( _{1 2} 2 1i v i v f v f v − = − − _{(9-19)(9 19)}

TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI

v_1f

v_1f sin θ

v cos θ

v_1i

Sebelum tumbukan Setelah tumbukan

m₁ θ φ v_1f cos θ m₁ m₂ v _f m₂ φ v_2f cos φ i φ v2f -v_2f sin φ

Komponen ke arah x : m1v1i = m1v1f cosθ +m2v2f cosφ (9-24a)

φ

θ sin

sin

0 m v sinθ m v sinφ (9 24b)

0 = m₁v_1f −m₂v_2f (9-24b)

Y m₂ y₂ ⊗ 2 1 2 2 1 1 m m y m y m y_c + + ≡ m₁ y₁ X y_c 2 1

Bagaimana jika massanya lebih dari dua ?

n n n c m m m y m y m y m y + ⋅⋅ ⋅ + + + ⋅⋅ ⋅ + + ≡ 2 1 2 2 1 1 ∑ ∑ = = n n i i i m y m 1 M y m n i∑ i i = =1

Bagaimana jika massanya tersebar di dalam ruang ?

∑

=

i i

m

y m n ∑ M y m y_c i i i ∑ = =1 n ∑ M x m x_c i i i ∑ = =1 n k j i r_c = x_cˆ+ y_cˆ + z_cˆ z m y m x m iˆ+ ∑ ˆj+ ∑ kˆ ∑ M z m z n i i i c ∑ = =1 M z m y m x m_{i i i i i i} c k j i r = ∑ + ∑ + ∑ z y x m_i( _iˆi _iˆj _ikˆ) r = ∑ + + M c r = M m_{i i} c = ∑ r r ri = xiiˆ+ yiˆj+ zikˆ

Z Δm_i M m_i i c ≈ ∑rΔ r m_i i ∑ Δ = r r lim i r_i ⊗ r_c PM c mi M = → Δ r 0 lim ∫ = dm M c r r 1 Y X M ∫ = xdm M x_c 1 ∫ = ydm M y_c 1 ∫ = zdm z = 1 _∫zdm M z_c

Gerak Sistem Partikel

Gerak Sistem Partikel

∑ = dt d m M i i r 1 M m_{i i} ∑ = v dt d _c c r v = Kecepatan : dt M M dt ∑ = p _{= P} ∑ = _{i i} c m Mv v Momentum : Percepatan : dt d _c c v a = = ∑ dt d m M i i v 1 ∑ = m_{i i} M a 1 ∑ = m_{i i} Ma_c = ∑m_ia_i = F∑ = dP Ma a = ∑F_i dt = 0 = ∑Fi = 0 dt dP _{= = konstan} c Mv P

+Δ v _v+Δv ) ( ) ( ) (M +Δm v = M v +Δv +Δm v − v_e m MΔv = v_eΔ

Untuk interval waktu yang sangat pendek :

M+Δm _M

Untuk interval waktu yang sangat pendek :

dm v Mdv = _e

dM dm = −

Massa bahan bakar yang terbakar P v p_i = (M + Δm) v_e Pengurangan massa roket dM Mdv =−v_e

∫

vf

∫

Mf dM Δm

Kecepatan bahan bakar relatip terhadap roket

v - v_e

∫

f = −

∫

i f i M e M dM d v v v v ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ = − i e i f v v ln M v _⎟ ⎠ ⎜ ⎝ f e i f M

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

• Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak

rotasi.

• Dalam proses rotasi pergeseran sudut

Dalam proses rotasi, pergeseran sudut

:

:

1 2

θ

θ

θ

=

−

Δ

• Satuan SI untuk

pergeseran sudut adalah

radian (rad)

°

=

°

=

57

,

3

2

360

rad

1

π

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

θ

θ

θ

₂

−

₁

Δ

• kecepatan sudut rata-rata:

t

θ

t

t

θ

θ

Δ

Δ

=

−

=

1 2 1 2

ω

• kecepatan sudut sesaat:

d

θ

θ

ω

ω

=

lim

=

lim

Δ

=

dt

t

t

t

ω

ω

Δ

→

Δ

→

Δ

0

0

lim

lim

Satuan SI untuk kecepatan sudut adalah

radian per detik (rad/s) radian per detik (rad/s)

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Δ

−

ω

ω

ω

_{2 1}

• Percepatan sudut rata-rata

:

t

t

t

Δ

Δ

=

−

=

ω

ω

ω

α

1 2 1 2

• Percepatan sudut sesaat

:

dt

d

t

ω

ω

α

=

Δ

Δ

=

Δ

lim

t→0

Δ

t

dt

Δ 0

Satuan SI untuk percepatan sudut adalah

radian per detik (rad/s2₎

radian per detik (rad/s2₎

Persamaan Kinematika

Rotasi

Perumusan Gerak Rotasi

Perumusan Gerak Rotasi

• Kecepatan

Kecepatan

tangensial:

{

{

kecepatan kecepatan

ω

r

v

=

(

_ω

_dalam

_rad/s

)

tangensial kecepatan linear kecepatan

• Percepatan tangensial:

{

{

percepatan percepatan

α

r

a

=

(

2

)

rad/s

dalam

α

Percepatan tangensial:

tangensial percepatan linear percepatan

Perumusan Gerak Rotasi

Perumusan Gerak Rotasi

• Percepatan sentripetal (dng arah radial ke

2

• Percepatan sentripetal (dng arah radial ke

dalam):

r

r

v

a

_r

2

2

ω

=

=

r

Torsi – Momen gaya

• Torsi didefenisikan

sebagai hasil kali

besarnya gaya

dengan

Torsi – Momen gaya

• Torsi berarah positif apabila gaya

menghasilkan rotasi yang berlawanan

dengan arah jarum jam.

Vektor Momentum Sudut

• Momentum sudut L dari sebuah benda

Momentum sudut L dari sebuah benda

yang berotasi tehadap sumbu tetap

didefenisikan sbb:

)

(

L

r

r

r

p

r

m(

r

r

v

r

)

L

=

r

×

r

=

r

×

r

i

l

sin

φ

l

mvr

rp

rmv

φ

⊥ ⊥

=

=

=

r p r mv

_{⊥ ⊥}

=

=

Vektor Momentum Sudut

P

b h

t

d t t h d

• Perubahan momentum sudut terhadap

waktu diberikan oleh:

d

L

d

₍

₎

d

dt

d

dt

L

r

p

=

×

d

₍

₎

⎛

d

r

⎞ ⎛

d

p

⎞

d

dt

d

dt

d

dt

r

×

p

=

⎛

r

×

p

r

p

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+

⎛

⎝⎜

×

⎞

⎠⎟

(

)

= × = v mv 0

d

L

d

Jadi

d

dt

d

dt

L

r

p

= ×

l ingat _FEXT dp dt =

Vektor Momentum Sudut

P

b h

t

d t t h d

• Perubahan momentum sudut terhadap

waktu diberikan oleh:

dL

d

dt

d

dt

L

r

p

= ×

F

_EXT

dt

d

L

_{= r}

_×

Akhirnya kita peroleh:

τ_EXT d

dt

= L

dt Analog dengan !!

_F

_EXT

d

p

dt

=

EXT

Hukum Kekekalan Momentum

S d

Sudut

• dimana dan dL dimana dan τ_EXT d dt = L L = ×r p τEXT = ×r FEXT

dL

τ

_EXT

d

dt

=

L

=

0

z

z Jika torsi resultan = nol, maka Jika torsi resultan = nol, maka

Hukum kekekalan momentum sudut Hukum kekekalan momentum sudut

2

1

ω

ω

₂

1

I

Hukum Kekekalan Momentum

Hukum Kekekalan Momentum

•

Linear

Linear

o Jika ΣF = 0, maka p konstan.

•

Rotasi

Momentum Sudut:

p = mv

Defenisi & Penurunan

• Untuk gerak linear sistem partikel berlaku

Untuk gerak linear sistem partikel berlaku

Momentum kekal jika

d

Momentum kekal jika

B

i

d

G

k R t i?

F

_EXT

d

p

dt

=

F

_EXT

= 0

• Bagaimana dng Gerak Rotasi?

τ = ×

r F

Untuk Rotasi Analog gaya FF adalah Torsi

L

= ×

r

p

τ = ×

r F

Untuk Rotasi, Analog gaya F F adalah Torsi

Analog momentum pp adalah

_p

Sistem Partikel

• Untuk sistem partikel benda tegar setiap

• Untuk sistem partikel benda tegar, setiap

partikel memiliki kecepatan sudut yang sama,

maka momentum sudut total:

maka momentum sudut total:

1 2 3 n n i

L l

r

= + + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + =

r r r

l

l

l

r

∑

l

r

1 i= , n n i net i net

dL

dl

dt

=

∑

dt

=

∑

τ

=

τ

r

r

r

r

, 1 1 i i

dt

∑

₌

dt

∑

₌

Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh Perubahan momentum sudut s stem hanya d sebabkan oleh Perubahan momentum sudut s stem hanya d sebabkan oleh torsi gaya luar saja.

Sistem Partikel

• Perhatikan sistem partikel benda tegar yg

• Perhatikan sistem partikel benda tegar yg

berotasi pd bidang

x-y,

sumbu rotasi

z

.

Total momentum sudut adalah jumlah

kˆ

v

r

m

m

i i i i i i i i i i i

×

=

∑

×

=

∑

∑

=

r

p

r

v

L

Total momentum sudut adalah jumlah

masing2 momentum sudut partikel:

v v₁

(krn r_i dan v_i tegak lurus)

i j rr₁ rr₂ m₂ m₁

Arah LL sejajar sumbu z

Gunakan v_i = ω r_i , diperoleh _{i rr} 1 rr₃ rr₂ m₁ m₃ ω v v₂ v v₃ i i , p

r

L

i

m

r

k

2 i i

ˆ

∑

=

ω

ω

r

r

I

=

L

Analog dng p = mv !!

Vektor Momentum Sudut

• DEFINISI

Momentum sudut dari sebuah benda

Momentum sudut dari sebuah benda

yang berotasi tehadap sumbu tetap

adalah hasil kali dari momen inersia

benda dengan kecepatan sudut

terhadap sumbu rotasi tersebut.

• Demikan juga dengan torsi (Hk II

ω

r

r

I

=

L

j g

g

(

Newton untuk gerak rotasi):

r

r

r

d

I

d

L

d

(

ω

)

ω

_α

τ

r

I

r

dt

d

I

dt

I

d

dt

L

d

=

=

=

=

(

)

Vektor Momentum Sudut

L I

=

ω

e to

o e tu

Sudut

• Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya

bahwa hasil perkalian antara I dan

ω

kekal

L I

=

ω

bahwa hasil perkalian antara I dan

ω

kekal

2

i i

I

=

∑

m r

L I

L I

Momen Inersia

Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan sebagai 2 2 2

∑

I

=

∑

m

r

2

=

m

₁

r

₁ 2

+

m

₂

r

₂ 2

+

...

I

i i i

I = momen inersia benda tegar,

menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi terhadap sumbu putarnya

Momen Inersia

Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, momen inersianya diberikan dalam bentuk integral

∫

z

dm

r

I

r

m

I

_i i i

∫

∑

⇒

=

=

2 2

∫

=

∫

=

r

dm

ρr

dV

I

2 2 dm y z x y

dl

d

rdr

dV

=

⋅

θ

⋅

Dimana Elemen Volume

dl

d

rdr

Momen Inersia

dl

d

rdr

dV

=

⋅

θ

⋅

• dimana rdr : perubahan radius,

• dθ : perubahan sudut

dθ : perubahan sudut,

Momen Inersia

Untuk lempengan benda dibawah ini, momen inersia dalam bentuk integral

(

)

∫

r

(

rdr

d

dl

)

I

=

∫

2

ρ

⋅

θ

⋅

As msi rapat massa ρ konstan Asumsi rapat massa ρ konstan

• Kita dapat membaginya

dalam 3 integral sbb:

( )

_∫

( ) ( )

_∫

∫

R

d

d

L

dl

I

ρ

2

( )

2π

( ) ( )

θ

∫

∫

∫

⋅

⋅

=

r

rdr

d

dl

I

0 0 0

θ

ρ

Momen Inersia

R

⎤

⎡

4 Hasilnya adalah

_I

r

_⋅

[ ] [ ]

_⋅

_l

L

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

ρ

θ

π

4

0 2 0 0 4

L

R

I

=

⋅

⋅

⎦

⎣

π

ρ

2

4 0

Massa dari lempengan

I

ρ

₂

π

L

4

L

R

M

=

ρ

⋅

π

⋅

2

⋅

tersebut

L

R

M

ρ

π

2

1 MR

I

=

M I i b d

2

MR

I

=

Dalil Sumbu Sejajar

Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap

sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (I_CM diketahui) momen

yang melalui titik pusat massanya (I_CM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:

Dalil Sumbu

Dalil Sumbu

Sejajar

2

h

2

Mh

I

I

=

_cm

+

Dinamika Benda Tegar

• Mengikuti analog dari gerak translasi, maka

kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb:

2 1 2 2 1 1 2 2

ω

ω

ω

ω

θ

τ

θ ω

I

I

d

I

d

W

=

∫

=

∫

=

₂

−

₁ 2 2 1 1 θ ω

∫

∫

Energi Kinetik Rotasi

g

• Suatu benda yang bergerak rotasi, maka

energi kinetik akibat rotasi adalah

( )

2

(

2

)

2

2

1

2

1

_ω

_ω

∑

∑

=

=

m

_i

r

_i

m

_i

r

_i

K

2

2

2

1

_ω

I

K

=

∑

=

2 i i

r

m

I

2

Energi Kinetik Rotasi

Energi Kinetik Rotasi

• Linear

Linear

• Rotasi

Rotasi

1

1

₂

2

1

_ω

I

K

=

2

2

1 Mv

K

=

Massa Momen Massa Kecepatan Linear Momen Inersia Kecepatan Linear Kecepatan Sudut

Prinsip Kerja-Energi

• Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk

gerak rotasi menjadi:

2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1

ω

ω

ω

ω

θ

τ

θ θ ω ω

I

d

I

I

d

W

=

∫

=

∫

=

−

2 2 1 1 2

1

_ω

I

K

_rotasi

=

K

W

=

Δ

_dimana

2

rotasi rotasi

K

W

Δ

_dimana

Bila

τ

r

=

0

,maka

W

=

0

sehingga

Bila ,maka sehingga

τ

0

W

0

0

=

Menggelinding

• Menggelinding adalah peristiwa translasi

dan sekaligus rotasi

Gerak Menggelinding: rotasi dan

Gerak Menggelinding: rotasi dan

translasi

translasi

translasi

translasi

s

θ

R

B b k d l j

s

=

θ

R

Ban bergerak dengan laju ds/dt

d

v

θ ω

R

⇒

v

_com

=

=

R

dt

ω

Gerak Menggelinding: rotasi dan

Gerak Menggelinding: rotasi dan

translasi

translasi

translasi

translasi

The kinetic energy of rolling

2 2 1 2 P P com

K

=

I

ω

I

=

I

+

MR

2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 com

K

I

MR

K

I

M

K

K

ω

ω

=

+

2 2 1 1 2 com 2 com r t

K

=

I

ω

+

Mv

=

K

+

K

Menggelinding

• Total energi kinetik benda yang

menggelinding sama dengan jumlah

energi kinetik translasi dan energi kinetik

rotasi.

₁

₂

₁

₂

ω

I

mv

K

₀

+

₀

2

2

ω

I

mv

K

=

+

V₀ ω

Hukum Kekekalan Energi Mekanik

Total Dengan Gerak Rotasi

Kesetimbangan Benda

T

• Suatu benda tegar dikatakan setimbang

Tegar

Suatu benda tegar dikatakan setimbang

apabila memiliki percepatan translasi

sama dengan nol dan percepatan sudut

g

p

p

sama dengan nol.

• Dalam keadaan setimbang, seluruh

g,

resultan gaya yang bekerja harus sama

dengan nol, dan resultan torsi yang

bekerja juga harus sama dengan nol:

ΣF

_x

= 0 dan ΣF

_yy

= 0

Hubungan Besaran

G

k Li

R t i

Gerak Linear - Rotasi

Li

R t

i

Linear

Rotasi

x (m) θ (rad)

v (m/s) ω (rad/s)

a (m/s

2

)

α (rad/s

2

)

m (kg)

I (kg·m

2

)

m (kg) I (kg m )

F (N) τ (N·m)

(N )

L (N

)

p (N·s) L (N·m·s)

Hubungan Besaran

Gerak Linear - Rotasi

linear

angular

Gerak Linear Rotasi

linear

angular

perpindahan

kecepatan

x

Δ

Δ

_θ

dt

dx

v

/

ω

=

d /

θ

dt

kecepatan

percepatan

dt

dx

v

=

/

ω

=

d /

θ

dt

dt

dv

a

=

/

α

=

d /

ω

dt

m

_∑

2

massa

gaya

m

=

_∑

2 i ir m I

F

r

I

F

r

F

r

r

r

₌

_×

τ

Hk. Newton’s

energi kinetik

α

τ

=

I

ma

F

=

2

)

2

/

1

(

mv

K

=

2

)

2

/

1

(

I

ω

K

=

Kerja

W = Fdx

∫

W =

∫

τdθ

GERAK HARMONIK

SEDERHANA

12.1 Gaya Pemulih pada Gerak Harmonik Sederhana

• Gaya Pemulih pada Pegas • Gaya Pemulih pada Pegas

k = konstanta pegas (N/m) skalar) (notasi ky F v = y = simpangan (m) vektor) (notasi y k F = − v

• Gaya Pemulih pada Ayunan Bandul Sederhana

θ i m = massa benda (kg) g = percepatan gravitasi (m/s2₎ θ sin mg F =

12.2 Peride dan Frekuensi

• Periode adalah waktu yg diperlukan untuk melakukan satu kali

• Periode adalah waktu yg diperlukan untuk melakukan satu kali gerak bolak-balik.

• Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan dalam kt 1 d tik waktu 1 detik. f T T f = 1 atau = 1

• Untuk pegas yg memiliki konstanta gaya k yg bergetar karena

d b b b i d t d l h

f T

adanya beban bermassa m, periode getarnya adalah

k m T = 2

π

• Sedangkan pada ayunan bandul sederhana, jika panjang tali adalah l maka periodenya adalah

k

adalah l, maka periodenya adalah

g l T = 2π

12.2 Simpangan, Kecepatan, Percepatan

• Simpangan Gerak Harmonik Sederhana • Simpangan Gerak Harmonik Sederhana

y = simpangan (m) A = amplitudo (m)

πft

A

ωt

A

y

=

sin

=

sin

2

ω = kecepatan sudut (rad/s) f = frekuensi (Hz) t = waktu tempuh (s)

πft

A

ωt

A

y

=

sin

=

sin

2

t = waktu tempuh (s) Jika pada saat awal benda pada posisi θ₀, maka

)

2

(

sin

)

(

sin

+

θ

₀

=

+

θ

₀

=

A

ωt

A

πft

y

Besar sudut (ωt+θ₀) disebut sudut fase (θ), sehingga

)

2

(

sin

)

(

sin

ωt

+

θ

₀

A

πft

+

θ

₀

A

y

0 0 2

θ

θ

θ

= + = + T t π ωt t π π T t π 0 0 2 2 2 + = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = θ ϕ ϕ θ θ

φ disebut fase getaran dan

∆φ disebut beda fase. T

t t π T 1 2 1 2 2 − = − = Δ + = ϕ ϕ ϕ ϕ

• Kecepatan Gerak Harmonik Sederhana

Untuk benda yg pada saat awal θ = 0 maka kecepatannya Untuk benda yg pada saat awal θ₀ = 0, maka kecepatannya

adalah d d ωt A ωt A dt d dt dy v = = ( sin ) =

ω

cos

Nilai kecepatan v akan maksimum pada saat cos ωt = 1, sehingga kecepatan maksimumnya adalah

A

v

_m

=

ω

Kecepatan benda di sembarang posisi y adalah

2 2 _y A

v =

ω

A y v_y =

ω

−

• Percepatan Gerak Harmonik Sederhana

Untuk benda yg pada saat awal θ = 0 maka percepatannya Untuk benda yg pada saat awal θ₀ = 0, maka percepatannya

adalah y ωt A ωt A d dv a 2 2 sin ) cos ( = −ω = −ω = = A ωt A ωt y dt dt a = = ( cos ) = ω sin = ω

Nilai percepatan a akan maksimum pada saat sin ωt = 1, sehingga percepatan maksimumnya adalah

A

a

_m

=

ω

2

12.4 Energi pada Gerak Harmonik Sederhana

Energi kinetik benda yg melakukan gerak harmonik sederhana Energi kinetik benda yg melakukan gerak harmonik sederhana,

misalnya pegas, adalah

ωt A m mv E_k 2 ₂1 2 2 cos2 2 1 =

ω

= Karena k = mω2_{, diperoleh}

t

kA

E

₁ 2 2

Energi potensial elastis yg tersimpan di dalam pegas untuk

ωt

kA

E

_k

=

1₂ 2

cos

2

setiap perpanjangan y adalah

ωt A m ωt kA ky E_p 2 sin2 ₂1 2 2 sin2 2 1 2 2 1 = = ω =

Jika gesekan diabaikan, energi total atau energi mekanik pada getaran pegas adalah

2 2 2 1 kA _{( sin} ωt _cos ωt₎ E E E = + = + 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ( sin cos ) kA mv ky E E E ωt ωt kA E E E k p M k p M = + = + = + = + =

Fluida

Fluida

• Pada temperatur normal, zat dapat berwujud: P d t /S lid – Padatan/Solid – Cair/Liquid Gas Fluida – Gas

“Fluida”?

• “Zat yang dapat mengalir dan memiliki bentuk seperti

wadah yang menampungnya”

Fluida

• Besaran penting untuk mendeskripsikan fluida? – Rapat massa (densitas)

V Δ Δ = m ρ satuan: kg/m3 _{= 10}-3 _g/cm3 V Δ kg/m 10 g/cm ( i ) 1 000 103 _{k /} 3 _{1 000 /} 3 ρ(air) = 1.000 x103 _kg/m3 _{= 1.000 g/cm}3 ρ(es) = 0.917 x103 _kg/m3 _{= 0.917 g/cm}3 ρ(udara) = 1.29 kg/m3 _{= 1.29 x10}-3 _g/cm3 ρ(Hg) = 13.6 x103 _kg/m3 _{= 13.6 g/cm}3

Fluida

satuan :

• Besaran penting untuk mendeskripsikan fluida? – Tekanan

A

F

p

Δ

Δ

=

1 N/m1 bar = 102 = 1 Pa (Pascal)5 _Pa 1 mbar = 102 _Pa 1 t 133 3 P 1 torr = 133.3 Pa 1atm = 1.013 x105 _Pa = 1013 mbar

• Tekanan adalah ukuran penjalaran gaya oleh fluida yang

= 760 Torr

= 14.7 lb/ in2 _(=PSI)

n

• Tekanan adalah ukuran penjalaran gaya oleh fluida, yang

didefinisikan sebagai gaya yang bekerja tegak lurus pada suatu permukaan persatuan luas permukaan

n

F

=

pA

ˆ

A

Hubungan tekanan dengan kedalaman fluida

A fl id t k

Hubungan tekanan dengan kedalaman fluida

0

p

• Anggapan: fluida tak

termampatkan (incompressible) y₁ y₂ A p 1 F₁

• Rapat massa konstan p

2

F₂ mg

• Bayangkan volume fluida khayal (kubus, luas penampang A) – Resultan semua gaya pada volume tersebut harus NOL Æ

keadaan setimbang: F₂ - F₁ - mg = 0 keadaan setimbang: F₂ F₁ mg 0

A

p

A

p

F

F

₂

−

₁

=

₂

−

₁

A

)

(

y

y

)

Ag

p

2

=

p

1

+

ρ

g

(

y

2

−

y

1

)

(

mg

=

ρ

₂

−

₁

p

2

p

1

ρ

g

(

y

2

y

1

)

Fl id d l k d di Fluida dalam keadaan diam

setimbang

y

tak ada perubahan tekanan pada kedalaman yang sama

Prinsip Pascal

Prinsip Pascal

• Dengan Hk. Newton:

– Tekanan merupakan fungsi kedalaman: Δp = ρgΔy • Prinsip Pascal membahas bagaimana perubahan

tekanan diteruskan melalui fluida

Perubahan tekanan fluida pada suatu bejana tertutup akan diteruskan pada setiap bagian fluida dan juga pada dinding bejana tersebut

bejana tersebut.

• Prinsip Pascal Æ tuas/pengungkit hidrolikg g

– Penerapan gaya yang cukup kecil di tempat tertentu dapat menghasilkan gaya yang sangat besar di tempat yang lain. – Bagaimana dengan kekekalan energi?Bagaimana dengan kekekalan energi?

• Perhatikan sistem fluida di samping:Perhatikan sistem fluida di samping: – Gaya ke bawah F₁ bekerja pada

piston dengan luas A₁.

Gaya diteruskan melalui fluida

F₁ F₂

– Gaya diteruskan melalui fluida sehingga menghasilkan gaya ke atas F₂.

– Prinsip Pascal: perubahan tekanan

1

d

2

d

– Prinsip Pascal: perubahan tekanan akibat F₁ yaitu F₁/A₁ diteruskan

pada fluida. A1 A2 2 2 1 1 A F A F = 1 2 1 2 A A F F =

• F₂ > F₁ : pelanggaran hukum kekekalan energi??g

• Misalkan F₁₁ bekerja sepanjang j p j g F₁ F₂

jarak d₁.

– Berapa besar volume fluida di i d hk ? F₂ 2 d 1 yang dipindahkan? 1 d 2 A A 1 1 1

d

V

=

A

Δ

A₁ A₂

volume ini menentukan seberapa jauh piston di sisi yang lain bergerak

1 1 1 1 2 V V = Δ Δ 2 1 1 2 A A d d = A A

Usaha yang dilakukan F sama dengan usaha

1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 W A A d A A F d F W = = =

• Usaha yang dilakukan F₁ sama dengan usaha yang dilakukan F₂ Æ kekekalan energi

Prinsip Archimedes

Prinsip Archimedes

• Mengukur berat suatu benda di udara (Wg ( ₁₁) ternyata ) y berbeda dengan berat benda tersebut di air (W₂)

W > W W₂? W₁ W₁ > W₂ – Mengapa? K k d b i

• Karena tekanan pada bagian bawah benda lebih besar

daripada bagian atasnya, air p g y , memberikan gaya resultan ke atas, gaya apung, pada benda.

• Gaya apung sama dengan selisih tekanan dikalikan luas.uas )A y -g(y ) ( − ⋅ =

ρ

_{2 1} = p p A F_{B 2 1}

W

g

m

V

g

F

ρ

Archimedes:

fluida pindah _ fluida fluida _ dlm _ benda fluida B

g

V

m

g

W

F

=

ρ

⋅

⋅

=

⋅

=

Archimedes:

Gaya apung sama dengan

berat volume fluida yang y1

y₂ F

1

berat volume fluida yang dipindahkan oleh benda.

2 A p 1 p 2 F

• Besar gaya apung menentukan apakah benda akan terapung atau tenggelam dalam fluida

F

Terapung atau tenggelam?

e apu g atau te gge a

y

• Kita dapat menghitung bagian benda terapung yang berada di bawah

k fl id

F mg_B

permukaan fluida:

– Benda dalam keadaan setimbang

mg F_B = benda benda bf fluida⋅

g

⋅

V

=

ρ

⋅

g

⋅

V

ρ

fl id benda b d bf V V ρ ρ = fluida benda V ρ

Fluida Dinamik

Fluida Dinamik

Statik: rapat massa & tekanan

Fluida dinamik/

b k

kecepatan alir bergerak

Beberapa anggapan (model) yang digunakan:

•Tak kompressibel (incompressible) •Temperaturnya tidak bervariasi

•Alirannya tunak, sehingga kecepatan dan tekanan fluida tidak bergantung terhadap waktu

Alirannya laminer •Alirannya laminer

•Alirannya tidak berrotasi (irrotational) •Tidak kental

Persamaan Kontinuitas

Kekalan massa pada aliran fluida ideal

A₁, v₁ A2, v2

l1

l2

Volume fluida yang melewati permukaan

A₁ dalam waktu t sama dengan volume melewati permukaanA₂:

2 2 1 1 2 2 1 1

)

(

)

(

v

t

A

v

t

A

A

A

=

= l

l

Dalam besaran debit

Q

=

Av

= konstan

2 2 1 1 2 2 1 1

(

)

(

)

v

A

v

A

t

v

A

t

v

A

=

Q

Persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli

• Menyatakan kekekalan energi pada aliran fluida

A B A A_A,p A lA

• Fluida pada titik B mengalir sejauh lB

dan mengakibatkan fluida di A mengalir j h

B _l

B

h_A

sejauh _lA.

• Usaha yang dilakukan pada fluida di B:

l

l

A

F

W

h_{B • Usaha yang dilakukan pada fluida di A:}B B

l

B B B

l

B

A

p

F

W

=

=

l

l

A

F

W

_A

F

_A

_l

_A

p

_A

A

_A

_l

_A

W

=

−

=

−

Usaha oleh gaya gravitasi adalah

W

m

(

h

h

)

• Usaha oleh gaya gravitasi adalah

(

)

B A

grav

mg

h

h

Usaha total: B A A A A B B B grav A B total

W

W

W

p

A

p

A

mgh

mgh

W

=

+

+

=

_l

−

_l

−

+

Usaha total: B A A A A B B B 2 B 2 A

₂

1

2

1

_mv

_mv

_p

_A

_p

_A

_mgh

_mgh

K

=

−

=

_l

−

_l

−

+

Δ

B 2 B B A 2 A A

₂

1

v

gh

p

₂

1

v

gh

p

+

ρ

+

ρ

=

+

ρ

+

ρ

2

2

(Persamaan Bernoulli)

GETARAN &

GETARAN &

GELOMBANG

GELOMBANG

GELOMBANG

GELOMBANG

Getaran

Getaran

G

k b l k b lik di

kit

titik

Gerak bolak balik di sekitar titik

setimbang yang periodik disebabkan

d

lih

adanya gaya pemulih

GELOMBANG

Gelombang adalah bentuk dari getaran yang

Gelombangg

Mekanik

_{Elektromagnetik}

¾ Gelombang Suara ¾ Gempa Bumi

¾ Gelombang pada dawai

¾ Cahaya ¾ Sinar X

¾ Gelombang Radio ¾ Gelombang pada dawai

Gelombang Mekanik

g

a Gelombang Mekanik Timbul :

) Perlu usikan sebagai sumber ) Perlu medium yang dapat diusik

Karakter Fisik yang menjadi ciri gelombang :

y g

j

g

g

) Panjang Gelombang (

λ) ) F k i (f )

) Frekwensi (f )

) Cepatrambat Gelombang (v)

Panjang Gelombang :

Jarak minimum antara dua titik pada

gelombang yang berperilaku identik.

Frekwensi Gelombang :

Jumlah pengulangan usikan

persatuan waktu.

Cepatrambat Gelombang :

Jarak penjalaran usikan yang

Tipe Gelombang

Transversal

_Longitudinal

Gerak partikel yang terusik Gerak partikel yang terusik Gerak partikel yang terusik

tegak lurus arah penjalaran

Gerak partikel yang terusik sejajar arah penjalaran

Penjalaran Gelombang

S

dalam Satu Dimensi

Fungsi Gelombang : ) (x vt f y f (x vt) Menjalar ke kanan y = − ) (x vt f y = + Menjalar ke kanan Menjalar ke kiri C t b t G l b (K t F ) dx

Cepat-rambat Gelombang di dalam

Dawai

Dawai

μ F v = Tegangan dawai

Massa dawai persatuan panjang [ ]

2 MLT− = F [ ] 1 ML− = μ [ ] 1 LT− = v p p j g _{[ ]μ = ML}

Rambatan gelombang dari medium kurang rapat Rambatan gelombang dari medium kurang rapat

ke medium yang lebih rapat

Rambatan gelombang dari medium lebih rapat ke medium yang kurang rapat

Harmoni Gelombangg

λ

A

A

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = A x y λ π 2 sin ⎠ ⎝ λ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = A x vt y λ π 2

sin Untuk Gelombang yang_{Menjalar ke kanan} ⎠ ⎝ λ Menjalar ke kanan T v = λ _atau λ = vT ⎞ ⎛2π ⎛ x t ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = T t x A y λ λ π 2 sin λ π 2 ≡ k T 2 (kx t) A y = sin −ω T π ω ≡ 2

⎟ ⎞ ⎜ ⎛ ₋ = A x vt y sin 2π ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ − = A x vt y λ sin T v = λ T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = T t x A y λ π 2 sin

Efek Doppler

Efek Doppler

bila sumber bunyi dan pengamat saling bergerak relative satu terhadap lainnya (mendekati atau relative satu terhadap lainnya (mendekati atau

menjauhi) maka frekuensi yang diterima pengamat tidak sama dengan frekuensi yang dipacarkan oleh sumber.