BAB II STUDI PUSTAKA. Propagated wave area. Shallow water. Area of study. Gambar II-1. Ilustrasi Tsunami

BAB II STUDI PUSTAKA

II.1 Rambatan Tsunami

Gelombang tsunami terbentuk akibat adanya pergesaran vertikal massa air. Pergeseran ini bisa terjadi oleh gempa, letusan gunung berapi, runtuhan gunung es, dan meteor yang jatuh di laut.

Dislocation Deep sea Propagated

wave area Flooded area Has been studied widely

Tsunami,

Ilustration

Shallow water Area of study Zone 2 Zone 1

Gambar II-1. Ilustrasi Tsunami

Gelombang tsunami dapat dikategorikan sebagai gelombang di laut dangkal (d/L<0.05, d = kedalaman laut, L = panjang gelombang) karena panjang gelombangnya yang sangat panjang. Panjang gelombangnya mencapai ratusan kilometer dengan amplitudo ± 1 meter ketika merambat di laut dalam. Gelombang ini biasanya merambat dengan kecepatan ± 30-1000 km/jam, periode 5-90 menit.

Gambar II-2. Panjang Gelombang dan Kecepatan Tsunami Terhadap Kedalaman (Hamzah,2006)

Hubungan antara cepat rambat gelombang dan kedalaman adalah:

gd

C = ...( II-1 )

Dimana

C: Cepat rambat gelombang g: Gravitasi

d: Kedalaman

Ketika memasuki daerah perairan dangkal, tsunami akan mengalami perlambatan. Akibatnya, gelombang yang berada di depan akan bertumpuk dengan gelombang yang dibelakangnya, sehinggat gelombang yang tadinya hanya memiliki amplitudo 1 meter, akan membesar hingga mencapai ± 30 meter.

Rambatan gelombang tsunami di laut dangkal dapat dibagi ke dalam dua zona. Zona pertama adalah zona dimana gelombang yang terjadi diakibatkan oleh energi dari gelombang yang datang dari laut, sedangkan pada zona kedua adalah zona dimana gelombang yang terjadi akibat adanya gravitasi. Pada zona kedua ini, gelombang yang terjadi mirip dengan aliran air pada saat banjir. Pada kedua zona tersebut, gelombang dipengaruhi oleh friksi, kekasaran dasar.

II.2 Gelombang

Gambar II-3. Parameter Gelombang

Potongan memanjang perambatan gelombang pada kedalaman tetap di elevasi z=0 ditunjukkan pada gambar diatas. Dasar saluran berada pada koordinat z = -d, dengan kedalaman d. Profil gelombang (η) merupakan perubahan koordinat z terhadap jarak dan waktu. Profil gelombang memiliki cepat rambat sebesar C, dengan panjang gelombang L dan tinggi gelombang H. Periode gelombang dinyatakan dalam T, dimana dalam satu periode, gelombang akan menempuh jarak sebesar L. Hal ini berarti bahwa C=:L/T.

Beberapa parameter gelombang:

k = 2π / L (wave number) ...( II-2 ) σ = 2π / T (wave angular frequency) ...( II-3 )

Persamaan Laplace untuk aliran dua dimensi umum digunakan untuk menggambarkan pergerakan gelombang:

0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ z x φ φ ...( II-4 )

Syarat batas ditetapkan untuk dasar dan permukaan. Syarat batas di dasar adalah sebagai berikut:

0 = ∂ ∂ = z w φ pada z = –d ...( II-5 )

Syarat batas kinematik di permukaan:

x u t w ∂ ∂ + ∂ ∂ = η η pada z = η ...( II-6 )

Syarat batas dinamik di permukaan:

(

)

0 2 1 2 2 ₌ ∂ ∂ + + + + t p gz w u φ ρ ...( II-7 )

Pada permukaan dimana tekanan tidak ada, maka syarat batas dinamik menjadi:

(

)

0 2 1 2 2 ₌ ∂ ∂ + + + t g w u η φ pada z = η ...( II-8 )

Solusi dari persamaan laplace yang digunakan harus memenuhi syarat-syarat batas yang digunakan. Syarat batas di dasar memiliki bentuk linear, akan tetapi syarat batas kinematik dan dinamik di permukaan tidak. Dengan asumsi bahwa tinggi gelombang relatif kecil dibandingkan dengan kedalaman, maka syarat-syarat batas diatas dapat diterapkan pada level muka air normal.

Kinematik: t w ∂ ∂ = η pada z = 0 ...( II-9 ) Dinamik: 0 = ∂ ∂ + t gη φ pada z = 0 ...( II-10 )

Solusi analitik persamaan laplace yang memenuhi syarat batas diatas adalah: Bentuk kecepatan potensial

(

_{) (}

t kx kd z d k gH _σ σ φ= + sin −

)

cosh cosh 2 ...( II-11 )

Profil permukaan

Dengan memasukkan kecepatan potensial dengan syarat batas dinamik linier dan z = 0:

(

kx t H _σ η= cos − 2

)

...( II-12 ) atau ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = T t L x H _π η cos2 2 ...( II-13 )

Cepat Rambat Gelombang

Dengan mengkombinasikan syarat batas dinamik dan kinematik:

0 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ z g t φ φ pada z = 0 ...( II-14 )

dengan memasukkan kecepatan potensial, persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk: kd gk tan 2 ₌ σ ...( II-15 ) atau kd k g k C=σ = tanh ...( II-16 )

Dengan menggunakan hubungan C = L / T, persamaan di atas menjadi

L d gT C π π 2 tanh 2 = ...( II-17 ) dan L d gT L π π 2 tanh 2 2 = ...( II-18 )

Teori gelombang diatas hanya berlaku jika kedalaman air relatif cukup dalam dan pengaruh dasar laut diabaikan. Persamaan aliran dinamik digunakan untuk kondisi kedalaman dimana efek dari dasar laut tidak dapat lagi diabaikan.

II.2.1 Klasifikasi Gelombang Berdasarkan Kedalaman Relatif

Pada saat geombang merambat dari laut dalam hingga ke laut dangkal, panjang gelombangnya akan berkurang. Akan tetapi, kedalaman air akan berubah lebih cepat sehingga, rasio kedalaman terhadap panjang gelombang (d/L) akan terus berkurang. Berdasarkan rasio ini, kedalaman dapat diklasifikan menjadi, laut dalam, laut peralihan dan laut dangkal.

1. d/L > 0.5, laut dalam

2. 0.05< d/L < 0.5, laut peralihan 3. d/L < 0.05, laut dangkal

Apabila kedalaman relatif untuk gelombang lebih besar dari 0.5 maka disebut laut dalam. Persamaannya adalah

π 2 0 0 gL C = ...( II-19 ) π 2 0 gT C = ...( II-20 ) dan π 2 2 0 gT L = ...( II-21 )

Apabila kedalaman relatif kurang dari 0.5 maka disebut intermediate range. Persamaannya adalah L d L L C C 2π tanh 0 0 = = ...( II-22 )

Apabila kedalaman relatif kurang dari 0.05 maka disebut shallow water. Persamaannya adalah

gd

sehingga kecepatan gelombang, dan hubungan antara perioda gelombang dengan panjang gelombang adalah L = CT atau

T gd

L= ...( II-24 ) II.2.2 Gelombang Pecah

Gelombang pecah terjadi ketika kecepatan partikel gelombang mendekati atau sama dengan cepat rambat gelombangnya. Mekanisme keruntuhan gelombang sangat kompleks, mencakup interaksi kestabilan profil gelombang, puncak gelombang dan bentuk asimetris dari gelombang.

Pada umumnya gelombang pecah dapat dikategorikan menjadi 4, yaitu: • Spilling

• Plunging • Collapsing • Surging

Gambar II-4. Profil Gelombang Pecah

Semua tipe gelombang pecah tersebut dapat terjadi di area shallow water. Tapi hanya spilling dan plunging yang muncul di laut dalam.

Berdasarkan definisi dari Horikawa (1988), perbandingan tinggi gelombang dengan kedalaman air dapat dijadikan batasan untuk spilling, plunging dan

surging.

Spilling Æ H/d = 0.8 – 1

Plunging Æ H/d = 1 – 1.2

II.3 Run Up

Pada saat rambatan berada di zona dua aliran yang terjadi diakibatkan oleh run up gelombang datang. Tinggi run up maksimum akan bergantung kepada besarnya gelombang datang, kedalaman air normal dan kemiringan pantai. Solusi analitis untuk aproksimasi nonlinear besarnya tinggi Run Up untuk solitary wave

(non-breaking) diberikan oleh Synolakis (1986).

5/ 4 2.831 cot Rs H ho

β

ho ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ...( II-25 ) Dengan Rs = maksimum run up h0 = kedalaman air normal H = tinggi gelombang

β = sudut kemiringan shore line

Salah satu permasalahan dalam pemodelan run up adalah batasan wet/dry. Titik-titik grid di darat yang semula kering (h,u,v = 0) akan berubah basah akibat run up yang terjadi. Pemodelan batasan wet/dry dengan menggunakan perbandingan elevasi dasar di titik kering dengan elevasi air di titik sebelumnya diberikan oleh Synolakis (1986). Ying Li (2002) memodelkan batasan ini dengan menetapkan posisi shoreline sebagai fungsi waktu. Lynett (2002) mengambil nilai ekstrapolasi (h,u,v) dari titik titik di sebelumnya. Batasan wet/dry dengan menetapkan nilai batas kedalaman minimum diterapkan oleh Tawatchai Tingsanchal (1999) untuk pemodelan dambreak. Semua metode diatas telah dikomparasi dengan data eksperimen dan menunjukkan hasil yang baik.

II.4 Persamaan Gerak Aliran 2D

Persamaan gerak aliran yang umum digunakan untuk memodelkan gelombang adalah persamaan St.Venant dan persamaan Boussinesq.

( ) ( )

S y vh x uh t h = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ...( II-26 )

(

)

fx ghS x z h gh UVh y h U x t Uh ₌₋ ∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 _{...( II-27 )}

(

)

fy 2 _ghS x z h gh h V y UVh x t Vh ₌₋ ∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ _{...( II-28 )} dimana :

u dan v = kecepatan arah x dan y h = kedalaman air

Sfx, Sfy = kemiringan energi arah x dan y

Persamaan St. Venant tersebut pada umumnya berlaku di laut dangkal. Berdasarkan definisi dari Robert M. Sorensen (1993), tsunami merupakan gelombang panjang dengan d/L<0.05 (laut dangkal). Salah satu contoh penerapan persamaan St.Venant pada pemodelan rambatan gelombang tsunami adalah pemodelan oleh Vasily V Titov dan Costas Emmanuel Synolakis (1997) untuk kasus The Hokkaido-Nansei-Oki Tsunami dengan menggunakan persamaan pengatur St. Venant tanpa adanya friksi dasar (Sf=0) dan tidak membedakan zona rambatan. Pemodelan mencakup dari mulai terbentuknya gelombang hingga merambat di darat. Hasil pemodelan menunjukkan komparasi hasil yang cukup baik dalam skala besar.

Persamaan gerak dalam bentuk lain yang juga dapat digunakan untuk memodelkan gelombang adalah persamaan Boussinesq. Perbedaan mendasar antara persamaan ini dengan persamaan St.Venant adalah adanya suku dispersi pada persamaan Boussinesq. Selain itu, persamaan boussinesq tidak memasukkan adanya pengaruh kemiringan dan kekasaran dasar. Aliran yang terjadi sangat dipengaruhi oleh kedalaman. Persamaan Boussinesq sendiri memiliki beberapa bentuk. Pada umumnya persamaan Boussinesq yang digunakan untuk pemodelan diberikan oleh Madsen Sorensen (1992) dan Nwogu (1993)

(

)

2 2

( )

(

)

. . 2 6 2 t z h h h u α h u z_α h hu η + ∇⎣⎡ +η ⎦⎤+ ∇⎪_⎪⎨⎧⎛_⎝⎜ − ⎟_⎠⎞ ∇ ∇ +⎜⎛_⎝ + ⎞⎟_⎠ ∇ ∇ ⎬⎪_⎪⎫= ⎩ .( ) ⎭ 0 ...( II-29 )

( )

.

(

.

)

(

.(

)

2 t t z u + ∇ + ∇ +g η u u z_α⎧⎨ α ∇ ∇u + ∇ ∇ hu ⎫⎬= ⎩ t) ⎭ 0...( II-30 ) Dimana: u = kecepatan (u,v) η = elevasi muka air h = kedalaman

∇ =

(

∂/∂x,∂/∂y

)

g = gravitasi

Bentuk standar (Peregrine, 1967) dari persamaan tersebut diperoleh dengan memasukkan nilai Zα/h = -1/2 dan berlaku pada daerah laut dangkal. Nwogu (1993) memberikan Zα/h = 0.531 yang membuat persamaan ini berlaku untuk domain yang lebih luas, yaitu laut dalam hingga laut dangkal. Pemodelan rambatan gelombang dengan menggunakan persamaan ini telah dilakukan oleh Wei dan Kirby (1995) untuk kasus rambatan gelombang pada suatu saluran datar (tidak ada kemiringan dasar) dan memberikan komparasi yang sangat baik dengan data dari model fisik.

Persamaan Boussinesq oleh Madsen Sorensen (1992) 0 = + + _{x y} t P Q S ...( II-31 ) 0 1 2 = + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + _x ψ y x t gdS d PQ d P P ...( II-32 ) 0 2 2 = + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + _y ψ x y t gdS d PQ d Q Q ...( II-33 )

(

xxt xyt xyt xxt Q P h h Q h P h − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≡ 3 2 1 ₂ 1 6 1 ψ

)

...( II-34 )

(

yyt xyt xyt yyt P Q h h P h Q h − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≡ 3 2 2 ₂ 1 6 1 ψ

)

...( II-35 )

dimana indeks x, y, dan t adalah simbol differensial untuk ruang dan waktu, d adalah kedalaman aliran total, h adalah kedalaman aliran, S adalah elevasi permukaan, P dan Q adalah komponen-komponen depth-integrated velocity, dan ψ1 dan ψ2adalah bentuk-bentuk Boussinesq. Persamaan tersebut telah digunakan

untuk memodelkan transformasi gelombang akibat adanya struktur terendam oleh Nita Yunita (2001) dan menunjukkan komparasi yang baik dengan model serupa.

II.5 Metode Numerik

Pemodelan numerik dapat dilakukan dengan pendekatan beda hingga (finite

difference) ataupun volume hingga (finite Volume). Perbedaan paling mendasar

dari kedua metode tersebut adalah bentuk grid. Pada metode beda hingga, bentuk grid terbatas kotak. Sedangkan pada metode volume hingga, bentuk grid lebih fleksibel (quadrangular).

Penerapan metode beda hingga untuk aliran permukaan telah diterapkan oleh Dantje Kardana N,et.al., (2005) dan M. Syahril B.K, et al (2006) dan memberikan hasil yang baik.

Pada penyelesaian persamaan diferensial numerik dengan metode beda hingga terdapat 3 macam skema yang dapat diterapkan, yaitu

1. Forward Difference Scheme

Pada skema ini, nilai turunan pada suatu titik didekati dengan menggunakan nilai di titik tersebut dan nilai di titik sesudahnya.

( ) ( ) ( )

f x f x x f x

x x

∂ ₌ + Δ −

∂ Δ ...( II-36 )

Penyelesaian yang diperoleh dari skema ini memiliki ketelitian orde 1

2. Backward Difference Scheme

Pada skema ini, nilai turunan pada suatu titik didekati dengan menggunakan nilai di titik tersebut dan nilai di titik sebelumnya.

( ) ( ) ( ) f x f x f x x x x ∂ ₌ − ∂ Δ − Δ ...( II-37 )

Penyelesaian yang diperoleh dari skema ini memiliki ketelitian orde 1

3. Central Difference Scheme

Pada skema ini, nilai turunan pada suatu titik didekati dengan menggunakan nilai di titik tersebut dan nilai di titik sebelumnya.

( ) ( ) ( ) f x f x x f x x x x ∂ ₌ + Δ − − ∂ Δ Δ ...( II-38 )

Penyelesaian yang diperoleh dari skema ini memiliki ketelitian orde 2.