ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS

ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS • • • • • •

Metode Bagi dua (Bisection Method) Metode Regula Falsi (False Position Method) Metode Grafik Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration) Metode Newton-Raphson Metode Secant

SOLUSI PERSAMAAN KUADRAT TINGKAT 2 f ( x)  ax 2  bx  c  0  b  b 2  4ac x 2a

Persamaan di atas memberi akar-akar penyelesaian untuk fungsi aljabarf(x) Yaitu nilai-nilai x yang memberikan f(x) = 0 Kalau persaamaannya f(x) = e-x - x?

OVERVIEW OF METHODS • Bracketing methods Graphing method Bisection method False position • Open methods One point iteration Newton-Raphson Secant method

SPECIFIC STUDY OBJECTIVES • Memahami konsep konvergensi dan divergensi. • Memahami bahwa metode tertutup selalu konvergen, sedangkan metode terbuka kadang-kadang divergen. • Konvergensi pada metode terbuka biasanya didapat jika initial guess –nya dekat dengan akar sebenarnya.

METODE TERTUTUP • Graphical • Bisection method • False position method

CARA GRAFIK • Plotkan fungsinya dan tentukan dimana memotong sumbu x. • Lacks precision f(x)=e-x-x • Trial and error 10 8

f(x) 6 4 2 0 -2 -2 -1 0 x 1 2

CARA GRAFIK (LIMITED PRACTICAL VALUE) f(x)

x

Pembatas atas dan f(x) Bawah memiliki tanda sama. Akar tidak ada atau banyak akar x

f(x)

f(x) Tanda berbeda, jumlah akar-akar ganjil x x

BISECTION METHOD • Memanfaatkan beda tanda dua nilai batas • f(xl)f(xu) < 0 dimana l=lower (batas bawah) dan u=upper (batas atas) • Minimal ada satu akar

f(x) f(x) x f(x) x x

ALGORITHM • Pilih xu dan xl. Cek beda tanda nilai fungsi keduanya f(xl)f(xu) < 0 • Perkirakan akar xr = (xl + xu) / 2 • Tentukan interval berikut ada di subinterval atas atau subinterval bawah f(xl)f(xr) < 0 then xu baru = xr RETURN f(xl)f(xr) >0 then xl baru = xr RETURN f(xl)f(xr) =0 then root equals xr - COMPLETE

METODE BAGI DUA Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval a0 ,b0  f (a0 ) f (b0 )  0 do n = 0,1,… m  (an  bn ) / 2

an 1  an , bn 1  m

if f (a n ) f (m)  0, then else a n  1  m , bn 1  bn if bn1  an 1   or end do f ( m)  0

exit

BISECTION METHOD

ERROR perkiraanakhir  perkiraanawal a  100 perkiraanakhir

CONTOH Gunakan bisection method untuk mencari akar-akar persamaan 8 6 f(x) •f(x) = e-x - x •xl = -1 xu = 1 10 3.7 1 8282 4 2 -0.6321 2 0 -2 -2

0 x 1 2 SOLUTION 10 8 f(x) 6 4 3.7 1 8282 1 2 -0.6321 2 0 -2 -2 -1 0 x 1 2 SOLUTION 2 f(x) 1 0 0.1 06531 -0.6321 2 -2 -1 0 1 x 2

dua nilai batas dengan garis lurus • Mengganti kurva menjadi garis lurus memberikan “false position” • Mempercepat perkiraan

next estimate, xr f(xu)

xl

Based on similar triangles f xl  f xu   xr  xl xr  xu xu f(xl)

f  x u  x l  x u  xr  xu  f xl   f xu 

Nilai f(xr) dicek tandanya, kemudian tentukan xu dan xl yang baru berdasarkan perbedaan tanda seperti pada metode bagi dua

REGULA FALSI Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval a0 ,b0  f (a0 ) f (b0 )  0 do n = 0,1,… w  [ f (bn )an  f (an )bn ] /[ f (bn )  f (an )]

an 1  an , bn 1  w

if f (an ) f ( w)  0, then else a n  1  w , if end do bn 1  an 1   bn 1  bn or f ( w)  0 exit REGULA FALSI

CONTOH Tentukan akar persamaan dari persamaan berikut menggunakan false position method, mulai dengan initial estimate xl=4.55 and xu=4.65 30

20 f(x) = x3 -98

f(x)

10 0 -1 0 -20 -30 -40 4 4.5 x

5

OPEN METHODS • Simple one point iteration • Newton-Raphson method • Secant method • Pada metode tertutup, akar terdapat di antara kedua interval yang dibatasi batas atas dan bawah

OPEN METHODS • Metode terbuka diharapkan konvergen solution moves closer to the root as the computation progresses

• Metode terbuka; • single starting value, atau • two starting values that do not necessarily bracket the root

• Ada kemungkinan metode ini divergen solution moves farther from the root as the computation progresses

f(x)

The tangent gives next estimate. f(xi+1 ) xi xi+1 f(xi)

x

Solution can “overshoot” the root and potentially diverge f(x)

x2 x1 x0 x

SIMPLE ONE POINT ITERATION / METODE TITIK TETAP • Merubah formula untuk memperkirakan akar • Re-arrange fungsi f(x) sehingga ada satu nilai x pada sebelah kiri dari persamaan Contoh, untuk f(x) = x2 - 2x + 3 = 0 Ubah menjadi x = (x2 + 3) / 2

SIMPLE ONE POINT ITERATION • Contoh lain, untuk f(x) = sin x = 0, menjadi x = sin x + x • Hitung nilai x = g(x) • Perkiraan nilai berikut berdasar pada x i+1 = g(xi)

ITERASI TITIK TETAP CONTOH

• Untuk f(x) = e-x -3x • Ubah menjadi g(x) = e-x / 3 • Initial guess x = 0 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -2 -1 0 x 1 2 Initial guess 0.000 g(x) f(x) 0.333 -0.283 0.239 0.071 39.561 0.263 -0.018 9.016 f(x) a 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -2 -1 0 x 0.256 0.005 2.395

0.258 -0.001 0.612 0.258 0.000 0.158 0.258 0.000 0.041 1 2

METODE NEWTON RAPHSON tangent f(xi) xi+1

xi

dy tangent  f' dx f  xi   0 f '  xi   xi  xi1 rearrange f  xi  xi1  xi  f '  xi  METODE NEWTON-RAPHSON

NEWTON RAPHSON PITFALLS CONTOH

1 00 80 60 f(x)

Gunakan metode Newton Raphson untuk mencari akarakar dari f(x) = x2 - 11 memakai initial guess xi = 3 40 20 0 -20 0 2 4 6 x 8

10

NEWTON RHAPSON  SECANT • Include an upper limit on the number of iterations • Establish a tolerance, s • Check to see if a is increasing

Bagaimana jika turunan fungsinya sulit dipecahkan? SECANT METHOD

SECANT METHOD Memperkirakan turunan menggunakan finite divided difference f  xi 1   f  xi  f '  x  xi 1  xi

APAKAH finite divided difference? HINT: dy / dx = y / x Masukkan FDD pada rumus untuk Newton Raphson

f  xi  xi 1  xi  f '  xi 

f  xi  xi 1  xi  xi 1  xi  f  xi 1   f  xi 

Masukkan perkiraan dengan finite difference pada rumus untuk Newton Raphson SECANT METHOD

METODE SECANT

SECANT METHOD f  xi  xi1  xi  xi1  xi  f  xi1   f  xi 

• Membutuhkan dua nilai perkiraan awal • f(x) tidak harus berbeda tanda, membedakan dengan metode tertutup, false position method.

FALSE POSITION f(x) 2

SECANT METHOD 2 f(x) 1 x

1 new est. Perkiraan baru dipilih dari potongan garis dengan sumbu x new est.

x

Perkiraan baru bisa diluar batas kurva

SYSTEMS OF NON-LINEAR EQUATIONS • Kita telah mengenal sistem persamaan linier f(x) = a1x1 + a2x2+... anxn - C = 0 dimana a1 , a2 .... an dan C adalah konstanta

• Maka, perhatikan sistem persamaan non-linier y = -x2 + x + 0.5 y + 5xy = x3 • Selesaikan x dan y

SYSTEMS OF NON-LINEAR EQUATIONS • Buat persamaan sama dengan nol u = x2 + xy – 10 v = y + 3xy2 – 57

• u(x,y) = x2 + xy – 10 = 0 • v(x,y) = y + 3xy2 – 57 = 0 • Solusi adalah nilai-nilai x dan y yang akan memberikan nilai fungsi u dan v sama dengan nol.

METODE TITIK TETAP • Mulai dengan nilai awal x0 = 1.5 dan y0 = 3.5 x1 

10  x 0 y 0 y1 

57  y 0 3 x1

METODE NEWTON RHAPSON u(x,y) dan v(x,y)

vi u  vi ui y y xi 1  xi  ui vi ui vi  x y y x vi u ui  vi x x yi 1  yi  ui vi ui vi  x y y x

Versi dua persamaan untuk Newton-Raphson

DETERMINAN JACOBIAN (TAMBAHAN SAJA) vi u ui  vi y y xi 1  xi  ui vi ui vi  x y y x vi u ui  vi x x yi 1  yi  ui vi ui vi  x y y x

THE DENOMINATOR OF EACH OF THESE EQUATIONS IS FORMALLY REFERRED TO AS THE DETERMINANT OF THE JACOBIAN

JACOBIAN (TAMBAHAN JUGA) • The general definition of the Jacobian for n functions of n variables is the following set of partial derivatives:

f1 x1 f 2  ( f1 , f 2 ,..., f n )  x1  ( x1 , x2 ,..., xn ) ... f n x1 f1 x2 f 2 x2 ... f n x2

... ... ... ...

f1 xn f 2 xn ... f n xn

JACOBIAN (INI JUGA TAMBAHAN) • The Jacobian can be used to calculate derivatives from a function in one coordinate sytem from the derivatives of that same function in another coordinate system. • Equations u=f(x,y), v=g(x,y), then x and y can be determined as functions of u and v (possessing first partial derivatives) as follows: u  f ( x, y ); f x  f / y; f y  f / x v  g ( x, y ); g x  g / x; g y  g / y gy x  u f x f y gx g y

 gx y  u f x f y gx gy

use of Jacobians.

CONTOH u = 2x3 + 2xy – 2 v = 2y + 4xy2 – 3 Mulai dengan nilai awal x0 = 0.5 dan y0 = 1.5 v v u u 2 2  28xy;  4y ;  2x;  6x  2y y x y x