ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS

ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS

• Metode Bagi dua (Bisection Method)

• Metode Regula Falsi (False Position Method)

• Metode Grafik

• Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)

• Metode Newton-Raphson

SOLUSI PERSAMAAN KUADRAT

TINGKAT 2

a ac b b x c bx ax x f 2 4 0 ) ( 2 2        

Persamaan di atas memberi akar-akar penyelesaian untuk fungsi aljabarf(x)

Yaitu nilai-nilai x yang memberikan f(x) = 0

OVERVIEW OF METHODS

• Bracketing methods Graphing method Bisection method False position • Open methods

One point iteration Newton-Raphson Secant method

SPECIFIC STUDY OBJECTIVES

•

Memahami konsep konvergensi dan

divergensi.

•

Memahami bahwa metode tertutup

selalu konvergen, sedangkan metode

terbuka kadang-kadang divergen.

•

Konvergensi pada metode terbuka

biasanya didapat jika initial guess –nya

dekat dengan akar sebenarnya.

METODE TERTUTUP

• Graphical

• Bisection method

CARA GRAFIK

• Plotkan fungsinya dan tentukan dimana

memotong sumbu x.

• Lacks precision

• Trial and error f(x)=e

-x_-x -2 0 2 4 6 8 10 -2 -1 0 1 2 x f( x )

CARA GRAFIK

(LIMITED PRACTICAL

VALUE)

x f(x) x f(x) x f(x) x f(x)

Pembatas atas dan Bawah memiliki tanda sama.

Akar tidak ada atau banyak akar

Tanda berbeda,

BISECTION METHOD

• Memanfaatkan beda tanda dua nilai batas

• f(x_l)f(x_u) < 0 dimana l=lower (batas bawah) dan

u=upper (batas atas)

• Minimal ada satu akar

x f(x) x f(x) x f(x)

ALGORITHM

• Pilih x_u dan x_l. Cek beda tanda nilai fungsi

keduanya f(x_l)f(x_u) < 0

• Perkirakan akar

x_r = (x_l + x_u) / 2

• Tentukan interval berikut ada di subinterval atas

atau subinterval bawah

f(x_l)f(x_r) < 0 then x_{u baru} = x_r RETURN f(x_l)f(x_r) >0 then x_{l baru} = x_r RETURN

METODE BAGI DUA

Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval



a

0

, b

0



0

)

(

)

(

a

₀

f

b

₀



f

do n = 0,1,…

2

/

)

(

a

_n

b

_n

m





if

f

(

a

_n

)

f

(

m

)



0

,

then

a

n1



a

n

,

b

_n1



m

else

a

n1



m

,

b

n1



b

n

if

b

n1



a

n1





exit

end do

or

f

(

m

)



0

ERROR

100







akhir awal akhir a

perkiraan

perkiraan

perkiraan



•f(x) = e

-x

- x

•x

_l

= -1 x

_u

= 1

CONTOH

Gunakan bisection method untuk mencari

akar-akar persamaan

3.7 18282 -0.63212 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -1 0 1 2 x f( x )

SOLUTION

3.7 18282 -0.63212 1 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -1 0 1 2 x f( x )

-0.63212 1 0.106531 -2 0 2 -1 0 1 2 x f( x )

SOLUTION

FALSE POSITION METHOD

• “Brute Force” dari metode bagi dua kurang efisien • Menghubungkan dua nilai batas dengan garis lurus • Mengganti kurva menjadi garis lurus memberikan

“false position”

x_l x_u f(x_l) f(x_u) next estimate, x_r

 

 

 



 

 

f x

x

x

f x

x

x

x

x

f x

x

x

f x

f x

l r l u r u r u u l u l u















Based on similar triangles

Nilai f(xr) dicek tandanya, kemudian tentukan xu dan xl yang baru

REGULA FALSI

Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval



a

0

, b

0



0

)

(

)

(

a

₀

f

b

₀



f

do n = 0,1,…

)]

(

)

(

/[

]

)

(

)

(

[

f

b

_n

a

_n

f

a

_n

b

_n

f

b

_n

f

a

_n

w







if

f

(

a

_n

)

f

(

w

)



0

,

then

a

n1



a

n

,

b

n1



w

else

a

n1



w

,

b

n1



b

n

if

b

n1



a

n1





exit

end do

or

f

(

w

)



0

CONTOH

Tentukan akar persamaan dari persamaan

berikut menggunakan false position method,

mulai dengan initial estimate x

_l

=4.55 and

x

_u

=4.65

f(x) = x

3

- 98

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 4 4.5 5 x f( x )

OPEN METHODS

• Simple one point iteration • Newton-Raphson method • Secant method

• Pada metode tertutup, akar terdapat di antara kedua interval

OPEN METHODS

• Metode terbuka diharapkan konvergen

solution moves closer to the root as the computation progresses

• Metode terbuka;

• single starting value, atau

• two starting values that do not necessarily bracket the root

• Ada kemungkinan metode ini divergen

solution moves farther from the root as the computation progresses

The tangent gives next estimate. x_i f(x) x f(x_i) x_i+1 f(x_i+1 )

Solution can “overshoot” the root and potentially diverge x₀ f(x) x x₁ x₂

SIMPLE ONE POINT ITERATION

/

METODE TITIK TETAP

• Merubah formula untuk memperkirakan akar • Re-arrange fungsi f(x) sehingga ada satu nilai x

pada sebelah kiri dari persamaan

Contoh, untuk f(x) = x2 _{- 2x + 3 = 0}

Ubah menjadi x = (x2 _{+ 3) / 2}

SIMPLE ONE POINT ITERATION

• Contoh lain, untuk

f(x) = sin x = 0, menjadi

x = sin x + x

• Hitung nilai x = g(x)

• Perkiraan nilai berikut berdasar pada

CONTOH

• Untuk f(x) = e-x -3x • Ubah menjadi g(x) = e-x / 3 • Initial guess x = 0 -6 -4 -20 2 4 6 8 1012 14 16 -2 -1 0 1 2 x f( x )

Initial guess 0.000 g(x) f(x) a 0.333 -0.283 0.239 0.071 39.561 0.263 -0.018 9.016 0.256 0.005 2.395 0.258 -0.001 0.612 0.258 0.000 0.158 0.258 0.000 0.041 -6 -4 -20 2 4 6 8 1012 14 16 -2 -1 0 1 2 x f( x )

METODE NEWTON RAPHSON

 

 

 

 

tangent











 

 

dy

dx

f

f

x

f x

x

x

rearrange

x

x

f x

f

x

i i i i i i i i

'

'

'

0

1 1 f(x_i) x_i tangent x_i+1

NEWTON RAPHSON

PITFALLS

CONTOH

Gunakan metode

Newton Raphson

untuk mencari

akar-akar dari

f(x) = x

2

- 11 memakai

initial guess x

_i

= 3

-20 0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 8 10 x f( x )

NEWTON RHAPSON  SECANT

• Include an upper limit on the number of

iterations

• Establish a tolerance, _s

• Check to see if _a is increasing

Bagaimana jika turunan fungsinya sulit dipecahkan?

SECANT METHOD

 

 

 

f x f x f x x x i i i i '      1 1

Memperkirakan turunan menggunakan finite divided difference

APAKAH finite divided difference? HINT: dy / dx = y / x Masukkan FDD pada rumus untuk Newton Raphson

SECANT

METHOD

 

 

 



 

i_i i

 

_ii i i i i i i x f x f x x x f x x x f x f x x           1 1 1 1 ' Masukkan perkiraan dengan finite

difference pada rumus untuk Newton

SECANT METHOD

•

Membutuhkan dua nilai perkiraan awal

•

f(x) tidak harus berbeda tanda,

membedakan dengan metode tertutup,

false position method.

 



   

i_i i _ii i i

x

f

x

f

x

x

x

f

x

x









   1 1 1

x f(x) 1 2 new est. x f(x) 1 new est. 2 FALSE POSITION SECANT METHOD Perkiraan baru

dipilih dari potongan garis dengan sumbu x

Perkiraan baru bisa diluar batas kurva

SYSTEMS OF NON-LINEAR

EQUATIONS

• Kita telah mengenal sistem persamaan linier

f(x) = a₁x₁ + a₂x₂+... a_nx_n - C = 0

dimana a₁ , a₂ .... a_n dan C adalah konstanta

• Maka, perhatikan sistem persamaan non-linier

y = -x2 _{+ x + 0.5}

y + 5xy = x3

SYSTEMS OF NON-LINEAR

EQUATIONS

• Buat persamaan sama dengan nol

u = x2 _{+ xy – 10}

v = y + 3xy2 _{– 57}

• u(x,y) = x2 + xy – 10 = 0 • v(x,y) = y + 3xy2 – 57 = 0

• Solusi adalah nilai-nilai x dan y yang akan

memberikan nilai fungsi u dan v sama dengan nol.

METODE TITIK TETAP

• Mulai dengan nilai awal x0 = 1.5 dan y0 = 3.5

1

0

1

0

0

1

3

57

10

x

y

y

y

x

x









METODE NEWTON RHAPSON

x

v

y

u

y

v

x

u

x

u

v

x

v

u

y

y

x

v

y

u

y

v

x

u

y

u

v

y

v

u

x

x

i i i i i i i i i i i i i i i i i i

































































  1 1

Versi dua persamaan untuk Newton-Raphson

u(x,y) dan

DETERMINAN JACOBIAN

(TAMBAHAN SAJA)

x

v

y

u

y

v

x

u

x

u

v

x

v

u

y

y

x

v

y

u

y

v

x

u

y

u

v

y

v

u

x

x

i i i i i i i i i i i i i i i i i i

































































  1 1 THE DENOMINATOR OF EACH OF THESE EQUATIONS IS FORMALLY REFERRED TO AS THE DETERMINANT OF THE JACOBIAN

JACOBIAN (TAMBAHAN

JUGA)

• The general definition of the Jacobian for n

functions of n variables is the following set of partial derivatives: n n n n n n n n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

x

x

f

f

f











































...

...

...

...

...

...

...

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1

JACOBIAN (INI JUGA

TAMBAHAN)

• The Jacobian can be used to calculate derivatives from

a function in one coordinate sytem from the derivatives of that same function in another coordinate system.

• Equations u=f(x,y), v=g(x,y), then x and y can be

determined as functions of u and v (possessing first partial derivatives) as follows:

• With similar functions for x_v and y_v.

• The determinants in the denominators are examples of

the use of Jacobians.

y x y x x y x y x y y x y x g g f f g u y g g f f g u x y g g x g g y x g v x f f y f f y x f u                      / ; / ); , ( / ; / ); , (

CONTOH

u = 2x3 _{+ 2xy – 2}

v = 2y + 4xy2 _{– 3}

Mulai dengan nilai awal x0 = 0.5 dan y0 = 1.5

y

x

x

u

x

y

u

y

x

v

xy

y

v

2

6

;

2

;

4

;

8

2





2





2



















