SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

S

O

A

L

&

P

E

M

B

A

H

A

S

A

N

2

S

B

0

M

P

1

T

5

N

TKD SAINTEK SBMPTN 2015

Berikut ini 15 soal mata uji matematika beserta

pembahasannya yang diujikan dalam TKD Saintek SBMPTN Tahun 2015 kode naskah 517.

1. Misalkan titik A dan B pada lingkaran

2 2 _{6 2 0}

x +y − x− y k+ = sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan di C

( )

8,1 . Jika luas segiempat yang melalui A, B, C , dan pusat lingkaran adalah 12, maka k = ....

Pembahasan Beberapa hal yang dapat kita peroleh untuk

menyelesaikan masalah ini adalah sebagai berikut: • Lingkaran _x2_+y2_{−6x−2y k+ = memiliki pusat di 0}

( )

1 _, 1 _3,1

2 2

O_− A − B_=O

  .

• _{Karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan} jari-jari lingkaran pada titik potongnya, maka OAC

merupakan segitiga siku-siku di A. Demikian juga OBC merupakan segitiga siku-siku di B.

• Luas OAC∆ _{sama dengan setengah luas segiempat} OACB , yaitu 1 12 6

2× = satuan luas. Sehingga tinggi

OAC

∆ dapat ditentukan sebagai berikut. Luas ∆OAC 1 2 OC t = ⋅ ⋅ 6 = ⋅ − ⋅1 8 3₂

(

)

t t 6 2 22 5 5 ⋅ = =

Koordinat titik A adalah ,1 22 ,32

5 5

A x_ + _= A x_ _

   .

Pada soal nomor 1, sebelum kita tentukan nilai , kita harus tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang diberikan. Karena jika

adalah pusat lingkaran, maka

.

Berdasarkan beberapa hal yang telah diperoleh, segiempat OACB dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Untuk menentukan nilai x agar OA AC⊥ , kita gunakan sifat bahwa perkalian gradien dua garis yang tegak lurus sama dengan –1. OA AC m ⋅m _{= −1} 2,4 2,4 3 8 x− ⋅x− = −1 2 5,76 11 24 x − x+ = −1 5,76 _{= − +x}2 _11x−24 2 _{11 29,76} x − x+ = 0

(

x−4,8

)(

x−6,2

)

_{= 0} x =4,8 _atau x =6,2

Untuk x =4,8 maka jari-jari lingkaran O adalah

(

) (

2

)

2

4,8 3 3,4 1 9 3 r = − + − = =

Untuk x =6,2 maka jari-jari lingkaran O adalah

(

) (

2

)

2

6,2 3 3,4 1 16 4 r = − + − = =

Sehingga peroleh dua nilai k yaitu, 2 2 2 3 1 3 1 k = + − = atau, 2 2 2 3 1 4 6 k = + − = − (Jawaban C)

2. Jika sin

(

x+ ° = dengan 15

)

a 0° ≤ ≤ °, maka nilai x 15

(

)

sin 2x + ° adalah …. 60

Pembahasan Sebelum menyelesaikan permasalahan

tersebut, kita tentukan

(

)

2

cos x+ ° =15 1−a _. Sehingga, kita dapatkan

(

)

sin 2x + ° 60 =sin 2

(

(

x+ ° + °15

)

30

)

(

)

(

)

sin 2 x 15 cos30 cos 2 x 15 sin 30

= + ° ° + + ° °

(

)

2 1 2 1 2 1 3 1 2 2 2 a a a = − ⋅ + − ⋅

(

)

2 2 1 _{3 1} 2 a a a = − + − (Jawaban A)

3. Diketahui a= −2 2i  j k− dan b i = −4j. Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh a b + dan a adalah ….

Pembahasan Pertama, kita ilustrasikan jajaran genjang

yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

(

2 1

) (

2 4

)

3 6 a b + = + i− +  j k− = −i  j k−

Proyeksi ortogonal vektor a b + pada a adalah

( )

( ) ( )

2 2 2 3 2 6 2 1 1 19 3 2 2 1 a b a c a     _{− ⋅ −}           + ⋅ _{−  − } = = = + − + −      .

Panjang vektor a b + dapat ditentukan sebagai berikut.

( ) ( )

2 2 2 3 6 1 46 a b + = + − + − = Sehingga 2 2 2 2 19 53 46 3 3 t= a b+ −c = −_ _ =     

Jadi, luas jajaran genjang yang terbentuk

53

3 53

3

L a t= ⋅ = ⋅ =

(Tidak ada jawaban)

Cara lain Cara ini untuk memastikan bahwa soal nomor 3

memang benar-benar tidak ada jawabannya.

Pertama kita tentukan sinus sudut θ, yaitu sudut yang dibentuk oleh a dan a b + .

2 3 2 6 1 1 19 cos 3 46 3 46 θ     _{− ⋅ −}       ₋  ₋      = = ⋅ . Sehingga, 53 sin 3 46 θ = . Luas segitiga yang dibentuk oleh a dan a b + adalah

1 _sin 1 _{3 46} 53 1 ₅₃

2 2 3 46 2

L_∆ = a a b  ⋅ + ⋅ θ = ⋅ ⋅ ⋅ = . Jadi, luas jajaran genjangnya adalah

1

2 53 53

2

4. Pencerminan garis y= − +x 2 terhadap garis y =3

menghasilkan garis ….

Pembahasan Misalkan

( )

x y sebarang titik pada garis ,

2

y= − +x , maka bayangan titik tersebut setelah dicerminakan terhadap garis y =3 adalah

' 1 0 0 ' 0 1 2 3 6 x x x y y y          = + =    ₋    _⋅   ₋          . Sehingga, kita mendapatkan

'

x x= dan y= −6 y'

Selanjutnya kita substitusi dua persamaan tersebut ke persamaan garis yang dicerminakan.

6−y'= − + ⇔x' 2 y'= +x' 4

Jadi, bayangan garis tersebut adalah y x= +4. (Jawaban A)

5. Pada kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 4, titik . P

terletak pada segmen AF sehingga PF =2AP. Titik Q

adalah titik potong garis GP dan bidang ABCD . Jika α

adalah sudut yang terbentuk antara garis GQ dan garis DA

maka nilai cosα adalah ….

Pada soal nomor 5, garis akan berpotongan dengan garis karena kedua garis tersebut terletak pada bidang

dan, terlihat jelas, tidak sejajar.

Pembahasan Pertama, kita perhatikan dua segitiga PFG dan PAQ.

Karena garis FG dan AQ tegak lurus dengan bidang ABFE

maka FG PF⊥ dan AG PF⊥ . Sehingga ∠PFG= ∠PAQ. Selain itu, ∠FPG= ∠APQ (bertolak belakang). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa ∆PFG sebangun dengan ∆PAQ.

Selanjutnya kita tentukan panjang PF dan PA. Karena AF

merupakan diagonal sisi kubus, maka AF =4 2. Sedangkan PF=2AP, maka kita mendapatkan

1 _{4 2} 4 ₂

2 1 3

AP = ⋅ =

+ .

Dengan menggunakan kesebangunan,

4 2 2 AQ AP _AQ AP FG PF AP ⋅ = ⇔ = = .

Dengan menerapkan Teorema Pythagoras, 2 2 2 4 _{2 2}2 2 ₁₇ 3 3 PQ= AP +AQ = _ _ + =   . Sehingga, 2 3 cos ₂ 17 17 3 AQ PQ α = = = . (Jawaban D)

6. Suku banyak p x

( ) (

= x a−

) (

7+ x b−

) (

6+ x−3

)

habis dibagi oleh _x2_{− +}

(

_{a b x ab}

)

_{+ . Jika a b≠ , a ≠ , maka b = …. 4}

Pembahasan Perhatikan bahwa

(

)

(

)(

)

2

x − +a b x ab+ = x a x b− − .

Sehingga x a= dan x b= merupakan pembuat nol

(

)

2

x − +a b x ab+ . Jika suku banyak p x habis dibagi

( )

bentuk aljabar tersebut, maka

( ) (

) (

6

)

3 0 p a = a b− + a− = …(6.1)

( ) (

) (

7

)

3 0 p b = b a− + − =b …(6.2)

Persamaan (6.1) dapat ditulis kembali menjadi

(

)

6

3

a b− = −a …(6.3)

Persamaan (6.3) di atas kita substitusikan ke persamaan (6.2) untuk mendapatkan

(

) (

7

)

3 b a− + −b = 0

(

)

(

)

7 1 a b b 3 − − + − = 0

(

)(

)

6 3 a b a b b − − − + − = 0

(

a b

)(

3 a b

)

3 − − − + − = 0 2 3a a 3b ab b 3 − + + − + − = 0 4b ab− _{=3a+ −3 a}2

(

4

)

b − a _{=3a+ −3 a}2 b 3 3 2 4 a a a + − = − (Jawaban D)

7. Nilai c yang memenuhi

(

0,0081

)

(x2+ +3x c)

(

0,09

)

(x2− +2 8x ) <

adalah ….

Teorema Sisa

menyatakan: Jika suku banyak dibagi

maka siwa pembagiannya adalah

.

Pembahasan Permasalahan di atas dapat diselesaikan sebagai berikut.

(

)

( 2 ₃ ) 0,0081 x + +x c

₍

₎

( 2 _{2 8}) 0,09 x− +x <

( )

(₄ 2 _{12 4} ) 0,3 x + x c+

_{( )}

(₂ 2 _{4 16}) 0,3 x− +x < 2 4x +12x+4c _>2x2_{−4 16x+} 2 2x +16x+4 16c− > 0 2 _{8 2 8} x + x+ c− > 0

Agar bentuk _x2_{+8x+2 8c− selalu positif, maka} diskriminannya haruslah negatif, D < . 0

( )(

)

2 8 4 1 2 8− c− < 0 64 8 32− +c < 0 96 8c− < 0 c 96 12 8 > = (Jawaban E)

8. Jika x , 1 x adalah akar-akar 2 252x−52 1x+ − ⋅2 52 3x+ + =a 0 di

mana 5

1 2 2 log 2

x x+ = ⋅ , maka a = ….

Pembahasan Perhatikan bahwa,

2 2 1 2 3 25 x₋5 x+ _{− ⋅}2 5 x+ _{+a = 0}

( )

₂ 2 _{1 2 3 2} 5 x _{− ⋅}5 5 x_{− ⋅ ⋅}2 5 5 x_{+a = 0}

( )

₂ 2 ₂ 5 x ₋255 5_⋅ x_{+a = 0} Sehingga, 1,2 2 255 65.025 4 5 2 x ₌ ± − a _.

Atau dengan kata lain, 5 1,2 255 65.025 4 2 log 2 a x = _ ± − _  .

Syarat agar suatu fungsi kuadrat definit positif adalah dan

.

Ingat!

Definisi logaritma: .

Padahal diketahui bahwa 5

1 2 2 log 2

x x+ = ⋅ . Oleh karena itu, kita mendapatkan 1 2 2x +2x _{= ⋅4 log 2}5 5_log 255 65.025 4 255 65.025 4 2 2 a a  + − − −  ⋅       5 4 log 2 = ⋅

( )

5_{log a =}5_{log 2}4 a ₌₂4 ₌₁₆ (Jawaban C) 9. Nilai lim₁

(

5 2

)(

2 1

)

1 x x x x → − − − + − adalah …. Pembahasan

(

)(

)

1 5 2 2 1 lim 1 x x x x → − − − + −

(

)(

)(

)

(

)

(

)

1 5 2 5 2 2 1 lim 5 2 1 x x x x x x → − + − − − + = − + −

(

)

1 2 1 lim 5 2 x x x → − + = − + 2 1 1 1 2 5 1 2 − + = = − + (Jawaban E)

10. Jika u , 1 u , 2 u , … adalah barisan geometri yang memenuhi 3 3 6 u u− = , dan x u u₂− ₄ = , maka y x y = …. Pembahasan x y 3 6 2 4 u u u u − = − 2 5 1 3 ar ar ar ar − = −

(

)

(

)

2 3 2 1 1 ar r ar r − = −

Salah satu teknik faktorisasi aljabar:

dan

.

(

)

(

)

(

)(

)

2 1 1 1 1 r r r r r r − + + = − + 3 2 1 r r r r + + = + (Jawaban C) 11. Fungsi

( )

_sin2 2 x f x = x+ + , π − < <π x 2π turun pada interval ….

Pembahasan Fungsi turun atau naik dapat diidentifikasi melalui turunan pertama fungsi tersebut. Misalkan

( )

y f x= dan _sin2

2

x

u= x+ +π , maka dengan menggunakan aturan rantai kita mendapatkan

dy dx dy du du dx = ⋅ 1 _{2sin cos} 1 2 2 u x x   = ⋅_ + _   2 1 2sin cos 2 2 sin 2 x x x x π + = + +

Fungsi turun ketika turunan pertamanya kurang dari nol (negatif). Karena penyebut dari turunan pertama fungsi f

selalu positif, maka untuk menjadi negatif pembilang dari turunan pertama tersebut haruslah negatif.

1 2sin cos 2 x x + < 0 sin 2x 1 2 < −

Sehingga selesaian pertidaksamaan di atas adalah

5 12 x 12 π π − < < − , 7 11 12 x 12 π _{< <} π , dan 19 23 12 x 12 π _{< <} π . (Jawaban A)

12. Pada interval 2− ≤ ≤ , luas daerah di bawah kurva x 2 Jika untuk

semua dalam , maka turun pada

.

di atas kurva _{y= − dan di bawah garis 4 x}2 _{y k= . Nilai k} adalah ….

Pembahasan Dengan mudah kita tahu bahwa 0< < k 4 dan titik potong grafik _{y= − dan 4 x}2 _{y k= adalah}

(

− 4−k k,

)

dan

(

4−k k,

)

. Sehingga,

(

)

4 2 0 2

∫

−k 4−x k dx−

(

)

2 2 4 2 4 k k x dx − =

_∫

− −

(

)

3 4 0 1 4 3 k k x x −  _{− −}     

(

)

2 3 4 1 ₄ 3x k x −_k   =_ + − _  

(

)

2 4 4 3 −x −x

(

)

16 2 2 4 4 3 3 k k k = − + − − 2k =16₃ k 8 3 = (Jawaban B) 13. Banyak kurva 2 2 ₀ 2 By Ax +_ _ =

  dengan A dan B dua

Pembahasan Jika A = maka berapapun nilai 0 B akan menghasilkan grafik yang sama. Begitu juga jika B = 0 maka berapapun nilai A akan menghasilkan grafik yang sama. Sehingga hanya ada dua kemungkinan kurva yang dapat dibentuk untuk A = atau 0 B = . 0

Selanjutnya kita perhitungkan kemungkinan jika nilai A ≠ 0 dan B ≠ . Untuk nilai-nilai tersebut, semua grafiknya akan 0 berbeda karena grafik

2 2 1 ₀ 2 B y Ax +_ _ =   dan 2 2 2 ₀ 2 B y Ax +_ _ =   berbeda, serta 2 2 1 By₂ 0 A x +_ _ =   dan 2 2 2 By₂ 0 A x +_ _ =

  juga akan berbeda. Sehingga banyaknya

kemungkinan grafiknya adalah 4

₍

₎

2 _{4 2 !}4! 12

P = =

− . Jadi, banyaknya semua kemungkinan kurvanya adalah 2 + 12 = 14.

(Jawaban B)

14. Tiga kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu kelas di antaranya terdiri atas laki-laki saja. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah 7/36. Peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan adalah ….

Pembahasan Misalkan ketiga kelas tersebut adalah Kelas

A, Kelas B, dan Kelas C, Kelas A terdiri atas laki-laki saja, banyaknya siswa laki-laki kelas B adalah b dan banyaknya siswa laki-laki kelas C adalah c.

Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah 7/36, maka

30 30 30 30 b c ⋅ ⋅ 7 36 = b c⋅ =175

Pada dua bilangan cacah kurang dari atau sama dengan 30 yang hasil kalinya sama dengan 175 hanyalah 7 dan 25. Sehingga b = dan 7 c =25, atau sebaliknya.

Terdapat dua kemungkinan terpilihnya dua laki-laki dan satu perempuan, yaitu siswa perempuan yang terpilih Permutasi digunakan

ketika urutan

diperhitungkan. Pada soal nomor 13, grafik

dan akan berbeda dengan grafik

dan .

tersebut berasal dari Kelas B atau Kelas C. Sehingga peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan adalah

( )

P A 30

(

30

)

30

(

30

)

30 30 30 30 30 30 b c b c − − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 30 30 900 900 c bc− b bc− = +

(

)

30 2 900 b c+ − bc = 30 32 350 61 900 90 ⋅ − = = (Jawaban B)

15. Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi

( )

2 3 ₂ 2

3 3

f x = − x + x+

untuk − ≤ ≤ . Selisih suku kedua dan suku pertama deret 1 x 2 geometri tersebut adalah −2 ' 0f

( )

_{. Rasio deret geometri} tersebut adalah ….

Pembahasan Pertama kita tentukan titik-titik puncak

fungsi f dengan menggunakan turunan pertama.

( )

' f x = ₀ 2 2x 2 − + = 0

(

)(

)

2 x 1 x 1 − + − = 0 x = −1 atau x = 1 Sehingga,

( )

2

( )

3

( )

2 2 1 1 2 1 3 3 3 f − = − − + − + = − , dan

( )

2

( )

3

( )

2 1 1 2 1 2 3 3 f = − + + = .

Diperoleh titik-titik puncaknya adalah 1, 2 3 _{− −} 

 

  dan

( )

1,2 .

Selanjutnya kita tentukan titik-titik ujungnya. Ujung kiri sama dengan titik puncaknya, sehingga kita tinggal menentukan ujung kanannya.

Hati-hati, tidak semua titik yang turunan pertamanya sama dengan nol, , merupakan titik puncak. Contoh pada fungsi tetapi titik bukan titik puncak fungsi tersebut.

( )

2

( )

3

( )

2 2

2 2 2 2

3 3 3

f = − + + = − .

Sehingga titik ujung yang sebelah kanan adalah 2, 2 3

 ₋ 

 

 .

Jadi, nilai maksimum fungsi f adalah 2.

Karena deret geometri tak hingga yang diberikan

mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi f

maka 2 1 a r = − . Selain itu, 2 1 u u− = −2 ' 0f

( )

ar a− = − −2 2 0

(

( )

2+ 2

)

(

1

)

a r − = −₄ a =_{1 r}4 −

Dengan mensubstitusi nilai a di atas ke persamaan jumlah deret, didapatkan 1 a r − =2

(

1−r

)(

41−r

)

=2 2 4 2 1 r − r+ =2 4 _=2r2_{−4r+ 2}

(

2

)

2 r −2 1r− _{= 0} 2 _{2 1} r − r− = 0

Sehingga kita mendapatkan

( )

( )( )

( )

2 1,2 2 2 4 1 1 1 2 2 1 r = ± − − − = ± Jumlah deret geometri

tak hingga dirumuskan dengan:

dengan suku awal dan rasio, .