BAB II LANDASAN TEORI

(1)

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini berisi tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pus-taka berisi penelitian-penelitan yang dilaksanakan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian ini, serta teori-teori penunjang berisi deﬁnisi-deﬁnisi yang digunakan dalam pembahasan. Sedangkan kerangka pemikiran berisi alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini.

2.1 Tinjauan Pustaka

Aljabar maks-plus diperkenalkan oleh Klene pada tahun 1956 dalam paper-nya yang membahas tentang jaringan syaraf dan automata [7]. Aljabar maks-plus dapat digunakan untuk memodelkan, menganalisis, dan mengontrol Sistem Ke-jadian Diskrit (SKD) [13]. Pada tahun 1992 Baccelli et al. [1] telah menerapkan aljabar maks-plus pada beberapa masalah yaitu menentukan waktu tercepat pa-da sistem penjadwalan pa-dan sistem produksi, menentukan waktu tercepat papa-da masalah antrian, menentukan jalur terpendek di suatu kota dan lainnya.

Vries [15], juga telah mengaplikasikan aljabar maks-plus pada masalah ja-ringan transportasi kereta api pada tahun 1998. Dalam penelitian tersebut, Vries memodelkan jaringan kereta api dengan memberikan kontrol pada jaringan terse-but. Subiono [14] mengaplikasikan aljabar maks-plus pada penjadwalan pesawat terbang, sistem produksi sederhana, penjadwalan sistem jaringan kereta dan ke-stabilan.

Sejalan dengan penelitian tersebut, penelitian ini dilaksanakan untuk meng-etahui aplikasi aljabar maks-plus pada masalah sistem jalur KRL. Untuk itu perlu menguraikan beberapa hal yang mendasari penelitian ini. Adapun beberapa hal tersebut adalah penjelasan singkat tentang KRL, struktur aljabar, teori graf,

(2)

DES, aljabar maks-plus, matriks dalam aljabar maks-plus (Rmax) sistem linier

maks-plus waktu invarian dan nilai eigen serta vektor eigen.

2.1.1 KRL JABODETABEK

Kereta Commuter Line, dikenal sebagai KRL adalah kereta rel listrik yang dioperasikan oleh PT. KAI Commuter JABODETABEK merupakan anak per-usahaan dari PT. Kereta Api Indonesia (KAI) yang telah beroperasi di Jakarta sejak tahun 1976. Saat ini KRL telah melayani jalur yang melewati wilayah DKI Jakarta, Kota Depok, Kota Bogor, Kabupaten Bogor, Kota bekasi, Kabupaten Lebak, Kota Tanggerang. Awal pembentukannya KRL dibawah perusahaan ke-reta api milik pemerintah Hindia Belanda yaitu Staats Spoorwegen pada tahun 1923 membangun jalur KRL untuk pertama kali dari Tanjung Priuk menuju Jati-negara. Untuk melayani jalur ini, pemerintah Hindia Belanda membeli beberapa jenis lokomotif listrik buatan pabrik Swiss Locomotive and Machine works dan buatan pabrik Allgemaine Electricitat Geselischaft.

Seiring perkembangan zaman, pada tahun 2008 dibentuk anak perusaha-an dari PT. KAI, yakni PT. KAI Commuter JABODETABEK yperusaha-ang fokus pada pengoperasional jalur KRL di wilayah JABODETABEK. Tugas pokok perusa-haan ini adalah menyelenggarakan pengusaperusa-haan pelayanan jasa angkutan KRL di wilayah Jakarta, Bogor, Depok, Tanggerang, dan Bekasi. Saat ini KRL di wilayah JABODETABEK telah mempunyai 860 unit KRL yang digunakan un-tuk mengangkut sekitar 650 ribu penumpang setiap harinya dari 678 perjalanan KRL.

Seperti halnya kereta jarak jauh yang terdiri dari beberapa kelas diantara-nya kelas ekonomi, kelas bisnis, dan kelas eksekutif, pada KRL JABODETABEK juga terdiri dari kelas ekonomi dan kelas eksekutif. Untuk meningkatkan pe-layanan pihak pengelola terus menambah fasilitas yang ada termasuk dengan menambah jumlah KRL. Fasilitas yang ada diantaranya Air Conditioner (AC), Pintu otomatis, bangku busa, bangku khusus, sarana informasi, dan pegangan tangan. Adanya berbagai fasilitas yang ada diharapkan dapat memberikan

(3)

ke-nyaman pada penggguna KRL.

2.1.2 Struktur Aljabar

Deﬁnisi-deﬁnisi struktur aljabar berikut mengacu pada Muchlisah [9, 10] dan MacLane [8].

Definisi 2.1.1. Himpunan G dengan operasi penjumlahan disebut grup jika

me-menuhi sifat

1. tertutup : ∀a, b ∈ G maka a ∗ b = c dengan c ∈ G, 2. asosiatif : ∀a, b, c ∈ G maka a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,

3. terdapat unsur identitias e∈ G: ∀a ∈ G maka e ∗ a = a ∗ e = a,

4. setiap unsur dalam G memiliki invers: ∀a ∈ G maka ∃a−1 ∈ G sehingga a∗ a−1 = e.

Definisi 2.1.2. Suatu himpunan tak kosong R dengan operasi penjumlahan (+)

dan perkalian (×) disebut gelanggang atau ring apabila memenuhi struktur 1. (R, +) merupakan grup abel (komutatif),

2. terhadap perkalian bersifat assosiatif : ∀a, b, c ∈ R, berlaku a× (b × c) = (a × b) × c,

3. berlaku distributif kiri dan distributif kanan : ∀a, b, c ∈ R berlaku a(b + c) = ab + ac dan (a + b)c = ac + bc.

Definisi 2.1.3. Suatu himpunan F yang dilengkapi dengan operasi (+) dan (×)

didefinisikan sebagai lapangan atau field apabila memenuhi struktur 1. (F, +) merupakan grup abel,

(4)

3. bersifat distributif.

Deﬁnisi selanjutnya mengacu pada Rudhito [11].

Definisi 2.1.4. Himpunan S yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan

perkalian disebut semiring jika merupakan semigrup komutatif terhadap lahan, bersifat assosiatif terhadap perkalian, bersifat distributif terhadap penjum-lahan dan perkalian serta mempunyai elemen penyerap terhadap operasi perkali-an.

Definisi 2.1.5. Suatu semiring disebut semifield jika semiring tersebut bersifat

komutatif terhadap perkalian dan setiap elemen tak netralnya mempunyai invers terhadap operasi perkalian.

Definisi 2.1.6. Suatu semifield dengan tambahan sifat idempoten terhadap

per-kalian disebut semifield idempoten (dioid).

2.1.3 Teori Graf

Deﬁnisi-deﬁnisi teori graf berikut mengacu pada Chartrand [4] dan Subio-no [14].

Definisi 2.1.7. Graf G adalah himpunan tak kosong berhingga titik V (G) =

{v1, v2, . . . , vn} yang disebut vertex dan himpunan pasangan tidak berurutan dari

vertex-vertex V (G) yang disebut edge E(G) ={e1, e2, . . . , en} .

Contoh graf sederhana dapat dilihat pada Gambar 2.1. Dari Gambar 2.1 tersebut dapat dijelaskan tentang deﬁnisi-deﬁnisi dasar dari suatu graf

(5)

1. u− v walk : suatu barisan bergantian antara vertex dan edge ang dimulai dari vertex u dan diakhiri pada vertex v,

contoh: a− b walk (a, (ae), e, (ec), c, (cd), d, (de), e, (ea), a, (ab), b). 2. u− v trail: u − v walk yang tidak memuat pengulangan edge,

contoh: a− d trail (a, (ae), e, (eb), b, (bc), c, (ce), e, (ed), d). 3. u− v path: u − v walk yang tidak memuat pengulangan vertex,

contoh: a− b path (a, (ad), d, (de), e, (ec), c, (cb), b).

4. Circuit: suatu barisan bergantian antara vertex dan edge yang diawali dan diakhiri pada vertex yang sama,

contoh:(a,(ae),e,(ed),d,(dc),c,(cb),b,(be),e,(ea),a).

5. Cycle: suatu circuit yang tidak mengulangi vertex, kecuali vertex awal dan vertex akhir,

contoh: (a,(ae),e,(ed),d,(dc),c,(cb),b(ba),a).

Definisi 2.1.8. Graf berarah adalah suatu pasangan (V, A) dengan V adalah

suatu himpunan vertex-vertex dan A adalah suatu himpunan pasangan terurut vertex-vertex yang disebut edge berarah (busur). Untuk busur (v, w)∈ A, dengan v disebut vertex awal dan w vertex akhir. Suatu busur dengan vertex awal dan vertex akhir yang sama disebut loop

Contoh graf berarah dapat dilihat dalam Gambar 2.2

Gambar 2.2. Graf berarah

Definisi 2.1.9. Strongly connected adalah suatu graf berarah yang mempunyai

(6)

Dari Gambar 2.2 terlihat merupakan graf yang strongly connected, karena dapat ditemukan sembarang path yang menghubungkan setiap dua vertex. Mi-salkan diambil 2 vertex b dan e, terdapat b−e path yaitu (b,(ba),a,(ad),d,(dc),c,(ce),e) dan e− b path yaitu (e,(ed),d,(dc),c,(cb),b). Graf berarah yang setiap busurnya mempunyai suatu elemen (bobot) disebut graf berbobot. Dalam aljabar maks-plus graf berbobot disebut graf komunikasi. Contoh dari graf berbobot dapat dilihat dalam Gambar 2.3.

a _b c 2 3 4 5

Gambar 2.3. Graf berbobot

2.1.4 Discrete Event System

Menurut Subiono [14] DES adalah nama sistem buatan manusia dengan melibatkan sumber daya dan pengguna yang terbatas. Salah satu karakteristik dari suatu DES adalah dinamika berjalan yaitu komponen dalam sistem harus menunggu hasil dari komponen yang lain. Operasi dalam DES baru bisa dimulai jika semua proses sebelumnya telah selasai dilakukan, dengan waktu berakhirnya suatu proses sama dengan waktu mulai ditambah dengan lama proses operasi. Menurut Vries [15] salah satu contoh dari suatu DES adalah masalah jaringan transportasi. Contoh dari masalah DES dapat dideskripsikan dengan sistem linier maks-plus waktu invarian [12, 13].

2.1.5 Aljabar Maks-Plus

Pada bagian ini diberikan pengertian dan operasi pada aljabar maks-plus yang mengacu pada Heidergott [6] dan Baccelli et al. [1]. Aljabar maks-plus dino-tasikan dengan Rmaxdengan elemen-elemen dalam aljabar maks-plus merupakan

(7)

aljabar maks-plus ada dua yaitu memaksimumkan (⊕) dan penjumlahan (⊗). Misal diambil sebarang a, b ∈ Rϵ, jika dikenakan operasi maksimum (⊕) maka

a⊕ b = maks(a, b). Sedangkan jika dikenakan operasi penjumlahan (⊗) maka a⊗ b = a + b. Berikut adalah contoh penggunaan kedua operasi dalam aljabar

maks-plus

x⊕ y = max(x, y) dan x ⊗ y = x + y.

Contoh penggunaan operasi hitung tersebut adalah sebagai berikut 4⊕ 5 = max(4, 5) = 5, dan

7⊗ 2 = 7 + 2 = 9.

Sifat-sifat dan deﬁnisi-deﬁnisi aljabar maks-plus, yang mengacu pada Far-low [5]. Struktur dari aljabar maks-plus adalah semifield idempoten karena me-menuhi 1. komutatif: a⊕ b = b ⊕ a, dan a⊗ b = b ⊗ a, 2. asosiatif: a⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c, dan a⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c, 3. distributif: a⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c),

4. mempunyai elemen identitas yaitu ε terhadap (⊕) dan e terhadap (⊗):

a⊕ ε = ε ⊕ a = a, dan a⊗ e = e ⊗ a = a,

5. idempoten:

a⊕ a = a.

Definisi 2.1.10. Monoid abelian merupakan himpunan M yang dilengkapi

de-ngan operasi biner ⊕ yang bersifat asosiatif dan komutatif serta mempunyai ele-men identitas ε, tetapi himpunan tersebut tidak memiliki eleele-men invers.

(8)

Definisi 2.1.11. Semiring merupakan himpunan S dengan operasi ⊗ membentuk

monoid abelian dan terhadap operasi ⊕ bersifat asosiatif, distributif, mempunyai

elemen identitas e, dan ε adalah elemen penyerap yaitu ε⊗ a = a ⊗ ε = ε.

Definisi 2.1.12. Semiﬁeld merupakan himpunan S bersama dengan operasi ⊕

membentuk monoid abelian, dengan operasi ⊗ membentuk grup dan bersifat dis-tributif ⊗ terhadap ⊕.

Aljabar maks-plus (Rϵ,⊕, ⊗) adalah suatu semifield yang dibentuk oleh

himpunan Rϵ dan dilengkapi dengan operasi ⊕ dan ⊗. Aturan operasi pada

aljabar maks-plus sama dengan pada aljabar . Operasi ⊕ dan ⊗ pada aljabar maks-plus analogi dengan operasi + dan × pada aljabar . Operasi ⊗ memiliki prioritas lebih tinggi dari ⊕ sehingga tidak perlu menambahkan kurung untuk menunjukkan urutan evaluasi operasi ⊕ dan ⊗.

Untuk x∈ Rϵ dan untuk semua n∈ N dideﬁnisikan

x⊗n= x_| ⊗ x ⊗ · · · ⊗ x_{z _}

n

,

sedangkan untuk n = 0 dideﬁnisikan x⊗n= e = 0. Dalam aljabar dapat dituliskan

x⊗n= x + x +_| _{z· · · + x_}

n

= n× x.

9⊗2 = 9⊗ 9 = 9 + 9 = 2 × 9 = 18.

2.1.6 Matriks dan Vektor dalam

R

max

Pada bagian ini dijelaskan matriks dan vektor aljabar maks-plus yang meng-acu pada Subiono [14], matriks m× n dengan m, n ∈ N dalam Rmax dinotasikan

denganRm×n

max dideﬁnisikan m ={1, 2, 3, . . . , m} dan n = {1, 2, 3, . . . , n}. Matriks

dalam aljabar maks-plus dituliskan

A =         a11 a12 · · · a1n a21 a21 · · · a2n .. . ... ... ... am1 am1 · · · amn         .

(9)

Elemen dari matriks A ∈ Rm×n

max dengan baris i dan kolom j dinotasikan

dengan aij, dengan i∈ m dan j ∈ n.

Operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗) matriks pada Rmax serupa

dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks pada R. Operasi ⊕ (pen-jumlahan jika dalam R) dapat dioperasikan jika ukuran dari kedua matriks sama besar sedangkan untuk operasi ⊗ (perkalian jika dalam R) dapat dioperasikan jika ukuran kolom matriks pertama sama dengan ukuran baris matriks kedua. Operasi matriks dalamRmax menurut Butkovic [3], Farlow [5], Schutter [13, 12],

dan Subiono [14] dideﬁnisikan yaitu

1. untuk A, B ∈ Rm_max×n jika dikenakan operasi ⊕ maka [A⊕ B]ij = aij ⊕ bij = max(aij, bij)

Berikut contoh penggunaan operasi ⊕

A⊕ B =   3 2 8 4   ⊕   6 1 5 9   =   3⊕ 6 2 ⊕ 1 8⊕ 5 4 ⊕ 9   =   maks(3, 6) maks(2, 1) maks(8, 5) maks(4, 9)   =   6 2 8 9   2. untuk A ∈ Rn×k

max dan B ∈ Rkmax×m jika dikenakan operasi ⊗ maka

(10)

Berikut contoh penggunaan operasi ⊗ A⊗ B =   3 2 8 4   ⊗   6 1 5 9   =   (3⊗ 6) ⊕ (2 ⊗ 5) (3 ⊗ 1) ⊕ (2 ⊗ 9) (8⊗ 6) ⊕ (4 ⊗ 5) (8 ⊗ 1) ⊕ (4 ⊗ 9)   =   (3 + 6)⊕ (2 + 5) (3 + 1) ⊕ (2 + 9) (8 + 6)⊕ (4 + 5) (8 + 1) ⊕ (4 + 9)   =   9⊕ 7 4 ⊕ 11 14⊕ 9 9 ⊕ 13   =   maks(9, 7) maks(4, 11) maks(14, 9) maks(9, 13)   =   9 11 14 13   3. untuk A ∈ Rm×n

max dan α∈ Rmax jika dikenakan operasi ⊗ maka

[α⊗ A]ij = α⊗ aij

4. untuk A ∈ Rm×n

max pangkat ke-k dari A dinotasikan oleh A⊗k dideﬁnisikan

sebagai

A⊗k = A_| ⊗ A ⊗ . . . ⊗ A_{z _}

k

Dalam aljabar maks-plus terdapat dua jenis matriks yaitu matriks tereduk-si dan tak tereduktereduk-si. Matriks tereduktereduk-si merupakan matriks yang berasal dari suatu graf yang tidak tidak terhubung kuat. Sedangkan suatu matriks dikatakan tak tereduksi jika matriks tersebut berasal dari suatu graf yang terhubung kuat

strongly connected.

2.1.7 Sistem Linear Maks-Plus Waktu Invarian (SLMI)

Sistem linear maks-plus waktu invarian merupakan salah satu model yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang termasuk dalam DES. Sebuah

(11)

sis-tem dikatakan waktu invarian apabila matriks dalam persamaan sissis-temnya konst-an yaitu tidak tergkonst-antung pada waktu. Deﬁnisi mengenai sistem linear maks-plus waktu invarian mengacu pada Rudhito [11] dan Vries [15].

Definisi 2.1.13. Sistem linier maks-plus waktu invarian adalah discrete event

system yang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut x(k + 1) = A⊗ x(k) ⊕ B ⊗ u(k)

dengan kondisi awal x(0) = x0, A ∈ Rnmax×n, B ∈ Rnmax×m. Vektor x(k) ∈ Rnmax

menyatakan keadaan ( state) dan u(k)∈ Rm

max adalah vektor input.

Definisi 2.1.14. Sistem linier maks-plus waktu invarian autonomous mempunyai

persamaan sebagai

x(k + 1) = A⊗ x(k) (2.1) Menurut Winarni [16] pada persamaan (2.1) disebut sebagai model alja-bar maks-plus. Untuk k ≥ 0 dan A ∈ Rn_ϵ×x, x ∈ Rn_ϵ dan x(0) = x0 sebagai

nilai awal. Heidergott [6] menjelaskan sistem linier maks-plus waktu invarian digunakan untuk sistem yang mempunyai jadwal keberangkatan khusus sedangk-an sistem linier maks-plus waktu invarisedangk-an autonomous digunaksedangk-an untuk sistem yang tidak memiliki jadwal keberangkatan khusus.

2.1.8 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Deﬁnisi nilai eigen berikut mengacu pada Schutter [12] dan Farlow [5].

Definisi 2.1.15. Diberikan A ∈ Rn×n

max. Jika terdapat nilai λ ∈ Rmax dan vektor

v ∈ Rn_max dengan v̸= E(n, 1) sehingga A ⊗ v = λ ⊗ v maka λ disebut nilai eigen aljabar maks-plus matriks A dan v tersebut disebut vektor eigen aljabar maks-plus matriks A.

Definisi 2.1.16. Diberikan A∈ Rn_max×n, dengan A merupakan suatu matriks bujur sangkar. Jika λ ∈ Rmax skalar, v ∈ Rnmax vektor yang memuat setidaknya satu

elemen bukan nol dan

(12)

maka λ merupakan nilai eigen dari A dan v merupakan vektor eigen dari A.

Contoh diberikan matriks   3 8 4 5  , maka   3 8 4 5   ⊗   2 0   =   8 6   = 6 ⊗   2 0 

. terlihat bahwa nilai eigen dari

matriks A adalah λ = 6 dan vektor eigen adalah v =   2

0  .

Subiono [14] menyatakan suatu algoritma untuk menentukan nilai eigen dari matriks A ∈ Rn_max×n dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan linear

x(k + 1) = A⊗ x(k), k = 0, 1, 2, · · · sebagai berikut

1. Mengambil sebarang vektor x(0)̸= E(n, 1).

2. Iterasi persamaan x(k+1) = A⊗x(k) sampai terdapat bilangan bulat m > n dan bilangan real c sehingga perilaku periodik terjadi yaitu x(m) = c⊗x(n). 3. Menghitung nilai eigen λ = _mc_−n.

4. Vektor eigen v = ⊕m_i=1−n(λ⊗(m−n−i)⊗ x(n + i − 1)).

Bila v adalah vektor eigen dari matriks A, maka sistem x(k + 1) = A⊗ x(k) akan beroperasi secara periodik dengan periode sebesar nilai eigen λ. Hal ini sesuai dengan bentuk persamaan berikut

x(k + 1) = A⊗ x(k) = λ⊗(k+1)⊗ v,

dengan k = 0, 1, 2,· · · .

Berikut contoh menentukan nilai eigen dan vektor eigen. Diberikan matriks

A =      1 2 ε 4 ε 3 ε 5 ε    

, dengan nilai awal x(0) =      0 0 0      sehingga diperoleh x(1) = A⊗ x(0) =      2 4 5     , x(2) = A⊗ x(1) =      6 8 9     .

(13)

Terlihat bahwa x(2) = 4⊗ x(1), dalam hal ini n = 1, m = 2, dan c = 4. Diperoleh nilai eigen dari matriks A adalah λ = ₂₋₁4 = 4. Kemudian menentukan vektor eigen, digunakan langkah 4 dalam algoritma, diperoleh

v = 1 ⊕ i=1 (4⊗(1−i)⊗ x(i)) = 4⊗0⊗      2 4 5     =      2 4 5     .

sehingga diperoleh barisan vektor x(k) untuk k = 1, 2, 3, 4 adalah      2 4 5     ,      6 8 9     ,      10 12 13     ,      14 16 17     .

perilaku periodik terjadi pada x(1), x(3) dan x(2), x(4) dengan periode sebesar 4.

2.1.9 Kestabilan Jaringan KRL

Kestabilan jaringan KRL mengacu pada Subiono [14]. Suatu sistem penja-dwalan jalur kereta dapat dikatakan stabil bila keterlambatan semakin mengecil hingga keberangkatan berikutnya tidak terjadi lagi keterlambatan.

Definisi 2.1.17. Vektor keterlambatan z(k) untuk k≥ 0 didefinisikan sebagai

z(k) = x(k)− d(k).

Keterlambatan dari sistem x(k + 1) = A⊗ x(k) ⊕ d(k + 1) tidak akan bernilai negatif sehingga x(k)≥ d(k). Untuk jadwal yang realistis, keterlambatan tidak bernilai besar sehingga tidak mengganggu jadwal yang berlaku. Besar keterlambatan pada keberangkatan ke-k dinotasikan

∥z(k)∥⊕ = n+r

⊕

i=1

zi(k).

Definisi 2.1.18. Suatu sistem stabil untuk setiap x0 terdapat k(x0)∈ N sedemi-kian hingga ∥z(k)∥_⊕ = e untuk setiap k≥ k(x0).

(14)

Kestabilan suatu sistem ditentukan dengan menggunakan nilai eigen yang memenuhi sistem x(k + 1) = A⊗ x(k) ⊕ d(k + 1). Stabil jika dan hanya jika

λ < T. (2.2)

2.2 Kerangka Pemikiran

Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun suatu kerangka pemikiran untuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian ini. Pada penelitian ini, terdapat asumsi-asumsi pada sistem penjadwalan transportasi KRL di wilayah JABODETABEK yaitu

1. Diasumsikan jalur KRL beroperasi dengan jadwal keberangkatan yang per-iodik dengan periode T

2. Waktu referensi atau waktu acuan yang digunakan untuk mendapatkan distribusi jumlah KRL pada tiap jalur adalah pukul 06.15

3. Diasumsikan keberangkatan semua KRL tidak mendahului jadwal kebe-rangkatan yang telah ditentukan.

4. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah jadwal keberangkatan dan kedatangan KRL yang beroperasi pada range waktu pukul 06:15 - 08:30 pada hari kerja.

Asumsi yang sudah ditentukan akan digunakan sebagai penunjang dalam penyelesaian sistem penjadwalan. Diawali dengan pengambilan data jadwal KRL yang berupa waktu keberangkatan, dan waktu perjalanan yang kemudian dari data tersebut dibentuk menjadi suatu graf. Graf tersebut diubah ke dalam ma-triks yang dioperasikan dengan menggunakan aljabar maks-plus yang kemudian akan menghasilkan suatu nilai eigen dan vektor eigen. Pada penyelesaian yang menghasilkan nilai eigen dan vektor eigen ini akan diperoleh waktu optimal dari sistem penjadwalan transportasi KRL di wilayah JABODETABEK. Selanjutnya

(15)

dari jadwal yang sudah diperoleh dilakukan simulasi terhadap keterlambatan un-tuk mengetahui seberapa pengaruhnya saat terjadi keterlambatan keberangkatan pada salah satu kereta.