Sudaryatno Sudirham, “Peubah dan Fungsi Kompleks” 1/6
Peubah dan Fungsi Kompleks
Bilangan Nyata dan Bilangan Khayal
Kita tinjau sebuah persamaan s2 +1=0. Akar-akar persamaan ini adalah 1
12 = −
s
Akar ini adalah suatu bilangan yang kita sebut bilangan khayal atau bilangan imajiner, yang hanya dapat kita angankan. Bilangan ini berbeda dari apa yang kita sebut bilangan
nyata, seperti 1, 2, 4 dan seterusnya; akar kwadrat dari bilangan nyata positif adalah juga
merupakan bilangan nyata, misalnya 1=±1; 4=±2; 16=±4. Sebutlah akar kwadrat
bilangan nyata negatif di atas sebagai j= −1. Dengan menggunakan pengertian j= −1 sebagai satuan, maka kita dapat mengatakan bilangan imajiner yang lain seperti j1, j2 ,j4... dan seterusnya.
Definisi Bilangan Kompleks
Suatu bilangan kompleks s merupakan kombinasi antara bilangan nyata dan bilangan imajiner, dan didefinisikan sebagai
s=σ+ jω (1) di mana σ dan ω keduanya adalah bilangan nyata. Dalam bahasa matematika kita katakana bahwa σ dan ω keduanya merupakan elemen dari suatu set bilangan nyata, ℜ, dan kita tuliskan dengan menggunakan simbol σ∈ℜ dan ω∈ℜ.
Representasi bilangan kompleks seperti (1) di atas disebut representasi sudut siku, dan
σ kita sebut sebagai bagian nyata dari s dan ditulis Re(s) = σ, ω adalah bagian imajiner dari s dituliskan Im(s) = ω. Catatan: singkatan Re dari real (nyata) dan Im dari imaginer (khayal, imajiner).
Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
Penjumlahan dan Pengurangan. Penjumlahan bilangan kompleks adalah sebagai berikut. ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1+s = σ + jω + σ + jω = σ +σ + j ω +ω s ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 −s = σ + jω − σ + jω = σ −σ + j ω −ω s
Perkalian. Perkalian dua bilangan kompleks adalah sebagai berikut. ) ( ) ( ) )( ( ) )( (s1 s2 = σ1+ jω1 σ2 + jω2 = σ1σ2 −ω1ω2 + j ω1σ2 +σ1ω2 Jika s1=s2 = j1 maka (s1)(s2)= j1× j1= j2 =−1
Pembagian. Pembagian satu bilangan kompleks oleh bilangan kompleks yang lain adalah sebagai berikut.
Sudaryatno Sudirham, “Peubah dan Fungsi Kompleks” 2/6 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ω + σ ω σ − σ ω + ω ω + σ σ = ω − σ ω − σ × ω + σ ω + σ = j j j j j s s
CONTOH-1. : Jika 2 3 dan 3 4 2 1 j s j s = + = + maka 17 6 ) 9 8 ( ) 12 6 ( ) 4 3 )( 3 2 ( ) )( ( 1 1 ) 4 3 ( ) 3 2 ( 7 5 ) 4 3 ( ) 3 2 ( 2 1 2 1 2 1 j j j j s s j j j s s j j j s s + − = + + − = + + = − − = + − + = − + = + + + = + 25 1 25 18 4 3 ) 9 8 ( ) 12 6 ( 4 3 4 3 4 3 3 2 2 2 2 1 j j j j j j s s + = + + − + + = − − × + + =
Representasi Grafis Bilangan Kompleks
Suatu bilangan kompleks dapat kita pandang sebagai pasangan berurut dari dua bilangan riil.
ω + σ = j
s (penulisan bentuk sudut siku)
(σ,ω) (pasangan berurut dari dua bilangan riil) (2) Dengan pandangan ini kita dapat menggambarkannya dalam sistem koordinat Cartesian seperti pada Gb.1.a. Bidang dengan sumbu koordinat Re (sumbu riil) dan Im (sumbu imajiner) ini disebut bidang kompleks atau bidang s. Suatu kumpulan bilangan kompleks akan terletak di bidang kompleks ini.
Pasangan berurut (σ,ω) dapat pula diasosiasikan dengan sebuah vektor seperti terlihat pada Gb.1.b.; dengan kata lain vektor tersebut merepresentasikan bilangan kompleks. Jadi suatu bilangan kompleks
ω + σ = j
s dapat kita nyatakan sebagai s=ρcosθ+ jρsinθ
dengan ρ adalah panjang vector dan θ adalah sudut antara vector dengan sumbu nyata.
Gb.1. Representasi grafis bilangan kompleks.
Representasi Bilangan Kompleks Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar
Pernyataan Bilangan Kompleks. Ada dua cara untuk pernyataan vektor dari suatu bilangan kompleks yaitu bentuk sudut siku dan bentuk polar. Bentuk sudut siku adalah seperti yang kita pakai untuk menyatakan definisi bilangan kompleks, yaitu s=σ+ jω. Bentuk polar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui relasi geometri sederhana
Re
* (σ,ω)
a) Pasangan berurut bilangan (σ,ω) dalam koordinat Cartesian
Re
σ
b). Representasi bilangan kompleks secara vektor
jω ρ
Sudaryatno Sudirham, “Peubah dan Fungsi Kompleks” 3/6 σ ω = θ ω + σ = ρ θ ρ = ω θ ρ = σ −1 2 2 dan tan sin dan cos (3)
yang digambarkan pada Gb.1.b. Dengan menggunakan persamaan atau identitas Euler, yaitu θ + θ = θ cos jsin ej (4)
representasi polar dari bilangan kompleks menjadi
θ
ρ = ej
s (5)
Nilai absolut (magnitude) s adalah ρ, ditulis |s |=ρ= σ2 +ω2 . Sudut θ disebut sudut fasa, dituliskan ∠s = θ.
CONTOH-2 : Misalkan suatu bilangan kompleks s = 10 e j0,5.
Nilai bilangan kompleks ini adalah |s| = 10 dan sudut fasanya ∠s = 0,5 rad.
Bentuk sudut sikunya adalah: s=10(cos0,5+ jsin0,5)=10(0,88+ j0,48)=8,8+ j4,8 CONTOH-3 : Misalkan suatu bilangan kompleks s = 3+ j4.
Nilai absolut s adalah |s |=ρ= 32 +42 =5 Sudut fasanya adalah 0,93 rad
3 4 tan 1 = = θ = ∠s − . Representasi polar adalah: s = 5e j0,93
CONTOH-4 : Misalkan suatu bilangan kompleks s = −1. Representasi polar adalah : s = −1 = e jπ = e−jπ
Pemahaman : − − 1 0
tan 1 tidak bernilai tunggal. Kita harus berhati-hati menentukan sudut fasanya. Di sini kita harus memilih π rad.
CONTOH-5 : Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.
) ( 2 1 2 1 2 1)( ) 1 2 1 2 (s s =ρ ejθ ρ ejθ =ρ ρ ej θ+θ ) ( 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 θ − θ θ θ ρ ρ = ρ ρ = j j j e e e s s
Konjugat Kompleks. Konjugat dari suatu bilangan kompleks diperoleh dengan mengganti j dengan −j . Jikas=σ+ jωmaka konjugatnya adalah s=σ− jω. Perhatikan Gb.2.
Gb.2. Konjugat bilangan kompleks.
s = σ + jω
s*= σ− jω Re Im
Sudaryatno Sudirham, “Peubah dan Fungsi Kompleks” 4/6 Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya adalah sebagai berikut:
* atau | | *) )( (s s = s 2 |s|= ss ;
[
]
[
]
( )( )
* ** 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 * ; * ; * * * * s s s s s s s s s s s s = = + = +Fungsi Kompleks
Fungsi kompleks F(s) memetakan suatu set bilangan kompleks ke dalam satu set bilangan kompleks. Satu set bilangan kompleks yang dipetakan itu merupakan peubah bebas sedangkan hasil pemetaan yaitu F(s) adalah peubah tak bebas (lihat pembahasan tentang fungsi). Untuk memperjelas pernyataan ini kita akan lihat suatu contoh.
CONTOH-6: Tinjaulah suatu kumpulan bilangan kompleks ) 5 / ( 1=ρ π j e s
Jika |ρ| bervariasi secara kontinyu, sementara θ=π/5 adalah konstan, maka kumpulan bilangan kompleks ini jika digambatkan di bidang komples akan terlihat sebagai garis lurus yang membentuk sudut θ=π/5 dengan sumbu nyata seperti terlihat pada Gb.3.a.
Misalkan suatu bilangan kompleks s2 =2ej(π/5), dan tinjau suatu fungsi kompleks 2 1 ) (s s s F = × . ) 5 / 2 ( ) 5 / ( ) 5 / ( 2 1 2 ) (s =s ×s =ρej π × ej π =αej π F dengan α = 2ρ
Karena |ρ| bervariasi secara kontinu maka |α| juga akan bervariasi secara kontinyu. Jika fungsi kompleks F(s) digambarkan di bidang kompleks, maka F(s) akan terlihat sebagai kumpulan bilangan kompleks yang lain, yang merupakan peta dari kumpulan s1, seperti terlihat pada Gb.3.b.
a) b)
Gb.3. Kumpulan bilangan kompleks s1 dan F(s).
Pole
dan Zero
Fungsi kompleks pada contoh-6 di atas mudah untuk digambarkan karena sudut fasa fungsi, θ, bernilai konstan. Pada umumnya fungsi kompleks tidaklah demikian; sudut θ maupun ρ bervariasi, sehingga kumpulan fungsi kompleks akan mengisi seluruh domain di bidang kompleks. Dalam praktik tidak pula kita memerlukan gambaran fungsi di seluruh domain, melainkan pada titik-titik tertentu yang memberikan nilai kritis pada fungsi kompleks. Nilai-nilai kritis tersebut adalah pole dan zero.
Re Im
Re Im
Sudaryatno Sudirham, “Peubah dan Fungsi Kompleks” 5/6 Pole. Suatu fungsi kompleks F(s) dikatakan mempunyai pole di s = p1 jika
∞ = → ( ) lim 1 s p s F (6)
Jadi pole merupakan peubah bebas kompleks yang apabila mendekatinya maka nilai fungsi akan mendekati tak hingga. Itulah sebabnya pole disebut nilai kritis.
Zero. Suatu fungsi kompleks F(s) dikatakan mempunyai zero di s = z1 jika 0 ) ( lim 1 = →z s s F (7)
Jadi zero merupakan peubah bebas kompleks yang apabila mendekatinya maka nilai fungsi akan mendekati nol. Itulah sebabnya zero juga disebut nilai kritis.
CONTOH-7 : Tinjau suatu fungsi kompleks a b
a s b s s ≠ − − = , ) (
F . Tentukan pole dan zero
fungsi ini.
Fungsi ini mempunyai pole di s = a karena pada nilai s = a fungsi akan bernilai tak menentu.
Fungsi ini mempunyai zero di s = b karena pada nilai s = a fungsi akan bernilai nol.
Fungsi Rasional Kompleks
Fungsi rasional kompleks adalah fungsi kompleks yang merupakan rasio dua polinom kompleks dengan koefisien nyata.
) ( ) ( ) ( 0 1 1 0 1 1 s A s B a s a s a b s b s b s n n n n m m m m = + + + + + + = − − − − L L F (8)
Koefisien bm,bm−1,L,b adalah bilangan-bilangan nyata; demikian pula an,an−1,L,a juga bilangan nyata. Didefinisikan bahwa orde dari fungsi ini adalah n. Fungsi rasional kompleks F(s) dikatakan proper jika m ≤ n ; dikatakan not proper jika m > n. Fungsi rasional yang not
proper, dengan m > n, sering juga disebut fungsi non-kausal.
Dengan mengeluarkan factor n m
a b
kita dapat menuliskan fungsi rasional (8) menjadi
n n n n n m m m m m n n n n n m m m m m n m a a s a a s b b s b b s K a a s a a s b b s b b s a b s 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ) ( + + + + + + = + + + + + + = − − − − − − − − L L L L F (8.a)
Jika F(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien nyata, kita dapat menyatakan
Sudaryatno Sudirham, “Peubah dan Fungsi Kompleks” 6/6 ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( 2 1 2 1 n m p s p s p s z s z s z s K s − − − − − − = L L F (9)
Jika koefisien F(s) nyata maka akar-akar kompleks dari pembilang dan penyebut akan berupa pasangan konjugat. (Kita ingat bahwa perkalian dua bilangan kompleks konjugat akan berupa bilangan nyata). Pernyataan fungsi rasional dalam bentuk seperti (9) ini memperlihatkan dengan jelas pole dan zero-nya. Pada umumnya kita menghadapi fungsi yang proper, sehingga jumlah zero lebih kecil dari jumlah pole. Dalam keadaan demikian sering dinganggap bahwa fungsi demikian mempunyai (n −m) zero di tak hingga.
CONTOH-8 : Misalkan kita mempunyai fungsi rasional
) 4 )( 2 ( ) 2 )( 1 ( ) ( + + + + = s s s s s F .
Fungsi ini dapat ditulis sebagai
) 4 ( ) 1 ( ) 4 )( 2 ( ) 2 )( 1 ( ) ( 1 + + = + + + + = s s s s s s s F .
F1(s) merupakan bentuk tereduksi dari F(s). Pembilang dan penyebut dari fungsi F(s) mempunyai faktor yang sama yaitu (s + 2) dan faktor yang sama ini dapat dieliminir. Pembilang dan penyebut dari fungsi tereduksi F1(s) mempunyai pula faktor sama, yaitu 1. Jadi faktor yang sama antara polinom B(s) dan A(s) pada F1(s) adalah 1; dua polinom yang demikian ini disebut coprime. Dalam menangani fungsi rasional kita bekerja pada bentuk yang tereduksi; kita menganggap bahwa pembilang dan penyebut adalah
coprime.
Diagram Pole-Zero. Fungsi rasional dapat direpresentasikan secara grafis dengan hanya menggambarkan posisi-posisi nilai kritis pole dan zero dalam bidang kompleks. Pole diberi tanda “×” sedangkan zero diberi tanda “o”. Hasilnya kita sebut diagram pole-zero. Kita lihat contoh berikut.
CONTOH-9 : Tinjau fungsi
) 1 2 )( 1 2 )( 1 ( ) 1 ( 5 ) ( j s j s s s s − + + + + − = F . Perhatikan bahwa koefisien K tidak mempengaruhi posisi pole dan zero.
Zero ada di s = 1 ; Pole ada di s = −1, (−2−j1), (−2+j1). × × × × −1 2 Re Im −1 1 −2
