STK511
Analisis Statistika
Pertemuan – 5
Pendugaan Parameter mengacu pada suatu proses yang
menggunakan data contoh untuk menduga nilai suatu parameter (populasi). 5. Statistika Inferensia (1) Penduga Parameter 2 2 x s p anang kurnia (anangk@apps.ipb.ac.id)
Penduga Titik, seperti : untuk menduga s2 untuk menduga 2
Penduga Selang, seperti :
Selang kepercayaan (1 - )100% bagi Jika 2 diketahui: Jika 2 tdk diketahui:
y
2 2 y z y z n n 2(n 1) 2(n 1) s s y t y t n n 5. Statistika Inferensia (1) Jenis PendugaSurvei dilakukan terhadap 20 rumah tangga (RT) di suatu kota untuk menduga besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT). Datanya diperoleh sebagai berikut:
RT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Biaya Pendi (juta Rp) 2.3 4.5 4.0 5.0 3.8 7.2 6.25 5.75 6.7 7.8 RT 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Biaya Pendi (juta Rp) 6.8 5.3 8.0 15.1 13.2 4.5 2.0 4.7 5.75 10.1
a. Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun
b. Buatlah selang kepercayaan 95%. Asumsikan biaya pendidikan mengikuti
sebaran normal.
5. Statistika Inferensia (1)
Ilustrasi (1)
Jawab:
Descriptive Statistics: y
Variable Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum y 6.438 0.732 3.275 2.000 4.500 5.750 7.650 15.100
a. Penduga rata-rata biaya pendidikan
ˆ y 6.438
5. Statistika Inferensia (1)
Jawab:
One-Sample T: y
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI
y 20 6.43750 3.27542 0.73241 (4.90456, 7.97044) b. Selang kepercayaan 95% 5. Statistika Inferensia (1) Ilustrasi (1) (0.05/ 2; 19) / 3.27542 / 20 0.73241 2.093 y db s s n t
6.438 2.093 0.732 6.438 2.093 0.732 4.905 7.970 Perhatikan : , Kita memiliki .
Pertanyaannya : Statistik yang mana yang akan digunakan untuk menduga ?
Penduga Tak Bias Terbaik
1.
2. memiliki ragam minimum
5. Statistika Inferensia (1)
Penduga Tak Bias
• Bias :
• Jika tak bias, maka dan
Ilustrasi :
5. Statistika Inferensia (1)
Statistik ? → Nilai Tengah
Penduga Tak Bias Terbaik
• tak bias.
• memiliki ragam terkecil dari semua kemungkinan penduga tak bias lainnya.
Mean Square Error (MSE)
5. Statistika Inferensia (1)
Ilustrasi : Teorema Limit Pusat Sebaran rataan contoh, n = 30
5. Statistika Inferensia (1)
Perhatikan : maka dan , sehingga : 5. Statistika Inferensia (1) Penduga Selang
Perhatikan :
• Peluang selang acak (BB,BA) memuat µ adalah 1 - α.
5. Statistika Inferensia (1)
Penduga Selang
Perhatikan :
• Peluang selang acak (BB,BA) memuat µ adalah 1 - α.
• Dari seratus kali pengambilan contoh acak (selang acak) maka ada sebanyak kurang lebih (1 – α) x 100% yang memuat µ.
• Selang kepercayaan 95% :
kita yakin kalau mengambil 100
contoh acak (selang acak) maka ada 95 selang yang terbentuk akan
memuat µ (nilai tengah populasi).
5. Statistika Inferensia (1)
Diperoleh data hasil pengukuran tinggi badan (Y ) dalam cm di suatu kelas STK511 dari 25 orang mahasiswa sebagai berikut :
161 159 152 169 156 167 149 158 141 156 154 156 157 152 154 162 174 151 173 185
161 155 170 163 150
Jika diketahui , buat selang kepercayaan 95% bagi .
5. Statistika Inferensia (1)
Ilustrasi (2)
10
Y
YJawab : SK-nya adalah : 5. Statistika Inferensia (1) Ilustrasi (2) / 2 159.4 10 / 25 2 1.96 y y Z
159.4 3.92
155.48;163.32
Jawab :
SK-nya adalah :
Minitab :
The assumed standard deviation = 10
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI
TB 25 159.400 9.522 2.000 (155.480, 163.320) 5. Statistika Inferensia (1) Ilustrasi (2) / 2 159.4 10 / 25 2 1.96 y y Z
159.4 3.92
155.48;163.32
Perhatikan : Suatu selang kepercayaan (1 – α) x 100% untuk µ
berdasarkan .
B = margin of error.
Maka untuk suatu margin error dan tingkat kepercayaan tertentu serta ragam yang diketahui, ukuran contoh minimum adalah :
5. Statistika Inferensia (1)
Rata-rata konsentrasi seng yang diperoleh dari suatu contoh yang berasal dari 36 lokasi yang berbeda di sebuah sungai adalah 2.6 gram/ml. Jika diketahui simpangan baku populasi sebesar 0.3 gram/ml,
Berapa besar ukuran contoh minimum yang harus diambil jika kita ingin yakin 95% bahwa nilai dugaan kita berbeda dari tidak lebih dari 0.05 gram/ml ?
139 3 . 138 05 . 0 ) 3 . 0 ( 96 . 1 2 n 2 2 e z n Jawab : 5. Statistika Inferensia (1) Ilustrasi (3)
Perhatikan :
dengan
dan Sehingga untuk :
5. Statistika Inferensia (1)
.
Rumus jadi :
dengan
5. Statistika Inferensia (1)
Selang Kepercayaan 2 Contoh Acak Saling Bebas
Dalam suatu percobaan, dicobakan 2 metode (A dan B) dan diperoleh data sbb. :
Buat selang kepercayaan 90% bagi jika .
5. Statistika Inferensia (1)
Dalam suatu percobaan, dicobakan 2 metode (A dan B) dan diperoleh data sbb. :
Buat selang kepercayaan 90% bagi jika . Jawab :
Selang Kepercayaan :
5. Statistika Inferensia (1)
Ilustrasi (4)
Jawab :
Minitab
Two-Sample T-Test and CI: A, B
Two-sample T for A vs B
N Mean StDev SE Mean A 5 20.84 7.25 3.2 B 6 22.53 5.43 2.2 Difference = mu(A) - mu(B)
Estimate for difference: -1.69333
90% CI for difference: (-8.68945, 5.30278)
Both use Pooled StDev = 6.3028 5. Statistika Inferensia (1)
Perhatikan :
Bagaimana kalau ?
dengan
5. Statistika Inferensia (1)
Selang Kepercayaan 2 Contoh Acak Saling Bebas
Perhatikan :
untuk n besar, berlaku :
Diperoleh selang kepercayaan (1 - α) 100% bagi p adalah
5. Statistika Inferensia (1)
Perhatikan :
untuk n besar, berlaku :
Diperoleh selang kepercayaan (1 - α) 100% bagi p adalah
5. Statistika Inferensia (1)
Selang Kepercayaan untuk Proporsi 2 Contoh Acak
Catatan medis di suatu rumah sakit menunjukkan bahwa dalam contoh yang terdiri dari 1000 laki-laki, 52 diantaranya menderita penyakit jantung, sedangkan dari 1000 perempuan, 23
diantaranya yang menderita penyakit tersebut.
Buatlah selang kepercayaan 95% bagi beda proporsi laki-laki dan perempuan yang menderita penyakit jantung.
Jawab :
0.052 0.023
1.96 0.052(1 0.052) 0.023(1 0.023)1000 1000
Selang Kepercayaan 95% bagi p1 – p2 :
5. Statistika Inferensia (1)
Perhatikan pada suatu pemilihan umum, misalkan peluang Si A dan Si B menang pada suatu TPS adalah sama, tentukan ukuran contoh TPS minimum jika diinginkan kesimpulan yang diperoleh memiliki tingkat kepercayaan 95% dengan margin error 5%.
Jawab : 5. Statistika Inferensia (1) Ilustrasi (6) 2
1.96 x 0.25
384.16
0.05
385
n
2 2 / 2x
/ 2Z
pq
Z
n
pq
B
B
Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk
mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu:
Dugalah rata-rata beda berat badan sebelum dan sesudah mengikuti program diet, lengkapi dengan selang kepercayaan
Berat Badan Peserta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sebelum (X1) 90 89 92 90 91 92 91 93 92 91 Sesudah (X2) 85 86 87 86 87 85 85 87 86 86 D = X1 - X2 5 3 5 4 4 7 6 6 6 5 5. Statistika Inferensia (1) Ilustrasi (7)
Penduga Selang
Beda nilai tengah bagi contoh berpasangan: d Selang kepercayaan (1-)100% bagi d
2( 1) 2( 1) d d d n n s s d t d t n n 2 2 i 1 2 ( ) dan d 1 i i d i i d d s x x n
Pasangan 1 2 3 … n Sampel 1 (X1) x11 x12 x13 x1n Sampel 2 (X2) x21 x22 x23 x2n D = (X1-X2) d1 d2 d3 dn 5. Statistika Inferensia (1)Selang Kepercayaan Nilai Tengah Data Berpasangan
Minitab Paired T-Test and CI: X1, X2
Paired T for X1 - X2
N Mean StDev SE Mean X1 10 91.1000 1.1972 0.3786 X2 10 86.0000 0.8165 0.2582 Difference 10 5.10000 1.19722 0.37859
95% CI for mean difference: (4.24356, 5.95644)
5. Statistika Inferensia (1)
Minitab Descriptive Statistics: D
Variable Mean SE Mean StDev D 5.100 0.379 1.197
One-Sample T: D
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI
D 10 5.10000 1.19722 0.37859 (4.24356, 5.95644)
5. Statistika Inferensia (1)
Ilustrasi (7)
5. Statistika Inferensia (1)
Tabel t-Student