LONG MEMORY PADA DATA NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA SERIKAT (USD)

LONG MEMORYPADA DATA NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA SERIKAT (USD)

1

Harnum Annisa Prafitia,2Irhamah, dan3Kartika Fithriasari

1

Mahasiswa Jurusan Statistika (1306 100 002) FMIPA-ITS

2,3

Dosen Jurusan Statistika FMIPA-ITS

Jl. Arief Rahman Hakim, Kampus Keputih-Sukolilo, Surabaya 60111-Jawa Timur Abstrak

Penelitian sebelumnya menunjukkan bahwa deret berkala nilai tukar Rupiah terhadap USD long memory atau ketergantungan jangka panjang. Dalam penelitian ini dilakukan penelitian menggunakan metode ARFIMA (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average) untuk memodelkan secara sekaligus ketergantungan jangka pendek dan jangka panjang pada data nilai tukar Rupiah terhadap USD. Metode pendugaan parameter yang digunakan adalah EML sedangkan kriteria pemilihan metode terbaik adalah AIC dan MSE untuk in sample serta MAPE untuk out of sample. Dari hasil analisis diperoleh model terbaik adalah ARFIMA ([1,6,11,29,31];0,499679;[1,6]). Karena asumsi kenormalan residual dan kehomogenan varians residual tidak terpenuhi, maka pemodelan dilanjutkan dengan menambahkan variabel dummy untuk outlier dan model GARCH.

Kata kunci : long memory, ARFIMA, outlier, GARCH

1. PENDAHULUAN

Pentingnya peranan dari pemodelan nilai tukar mata uang negara-negara Asia Tenggara menyebabkan meningkatnya kebutuhan peramalan jangka panjang dari nilai tukar mata uang asing untuk mengetahui model peramalan dan efek jangka panjangnya. Hosking (1981) memperkenalkan model Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA) yang dapat menjelaskan deret berkala jangka pendek (short memory) maupun deret berkala jangka panjang (long memory). Data yang plot ACF-nya tidak turun secara eksponensial melainkan secara hiperbolik dapat dikategorikan sebagai data deret long memory. Kelemahan dari ARIMA yang hanya dapat menjelaskan short memorydapat diatasi dengan model ARFIMA.

Untuk mendeteksi adanya long memory pada data, dapat dilakukan estimasi parameterd dengan menggunakan Hurst Exponent yang dapat diperoleh dariaggregated variance, rescaled range statistics (R/S), danmodified rescaled range statistics (MR/S), uji KPSS,rescaled varians (V/S),gaussian semi-parametric estimation (GSP), GPH (log periodgram estimation) dan lain sebagainya. Shittu dan Yaya (2009) melakukan perbandingan model ARFIMA dengan ARIMA untuk data nilai tukar mata uang UK Pound terhadap US Dollar dengan melakukan KPSS dan menghasilkan model ARFIMA ([3];0,495654;0). Olbermann, Lopes, dan Reisen (2006) menghasilkan model ARFIMA (1,d,1) pada nilai tukar mata uang Brazil. Berdasarkan penelitian Sugandi (2003) dan Rustiaty (2004) terlihat pada ACF nilai tukar Rupiah autokorelasinya turun lambat secara hiperbolik untuk periode yang cukup lama hal ini mengindikasikan adanya ketergantungan jangka panjang pada nilai tukar mata uang tersebut, sehingga dapat dianalisis dengan metode ARFIMA.

Pada kasus ekonomi finansial seperti exchange rate cenderung mengandung unsur heterokedastisitas, ini disebabkan karena perubahan nilai tukar sangat fluktuatif. Fluktuatif pada kasus finansial dapat disebabkan karena adanya krisis moneter dan adanya perubahan nilai mata uang USD yang mempengaruhi perekonomian negara-negara lain. Pada nilai tukar Rupiah juga terdapat unsur heterokedastisitas. GARCH merupakan metode yang mampu mengatasi masalah heteroskedastisitas pada data pengamatan. Untuk itu, pada penelitian ini ditambahkan metode GARCH pada data nilai tukar Rupiah. Pada penelitian ini akan dilakukan pengujian long memory, yang selanjutnya dilakukan pemodelan dengan ARFIMA. Dari model ARFIMA akan dilakukan peramalan 22 periode.

2. TINJAUAN PUSTAKA

Deret Memori Berkala Jangka Panjang

Fungsi autokorelasi antara ZtdenganZt+kpada proses ARMA {Zt} yang turun secara cepat atau

eksponensial sering dinyatakan sebagai proses memori jangka pendek (short memory). Bila fungsi autokorelasi antaraZtdengan Zt+kturun lambat secara hiperbolik danlag yang signifikan semakin besar

maka dapat diidentifikasi adanya ketergantungan jangka panjang dalam data yang merupakan ciri dari memori jangka panjang (long memory). Proses stasioner dengan fungsi autokorelasi, k, dapat dikatakan

sebagai proses memori jangka panjang bila tidak konvergen (Hosking, 1981). Menurut Zickus, Leipus, dan Kuietkus (1999) deret yang dikatakan sebagai proses yang memiliki memori jangka panjang yaitu bila fungsi autokorelasi turun menuju nol dengan sangat lambat sehingga menunjukkan bahwa pengamatan yang jauh terpisah masih saling berhubungan.

PengujianLong Memory

Untuk mengetahui adanya ketergantungan jangka panjang pada data, dilakukan identifikasi terlebih dahulu. Identifikasi dilakukan dengan melihat nilai estimasi parameter d dari data pengamatan. Estimasi dapat dilakukan dengan metode Hurst Exponent yang dapat diperoleh dariaggregated variance, resca-led range statistics (R/S), dan modified rescaled range statistics (MR/S), uji KPSS, rescaled varians (V/S), gaussian semiparametric estimation (GSP), GPH (log periodgram estimation), exact maximum likelihood (EML), modified profile likelihood (MPL), non-linear least squares (NLS), dan lain sebagainya (Chi dan Ni, 2007). Pada penelitian ini digunakan EML dan MPL de-ngan hipotesis nol adalah d=0 dan daerah penilaian adalah -0,5<d<0,5 (Chi dan Ni, 2007). Selain itu digunakan metode aggregated variance. Dari nilai H dapat dicari nilai parameter d, dengan rumusd=H-0,5. Bila 0,5<H<1 dan 0<d<0,5 maka terdapatlong memory pada data (Assaf, 2006).

Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA)

Model ARFIMA merupakan model ARIMA yang nilai operator pembedaan d nya tidak hanya bernilai integer tetapi juga bernilai real karena adanya efek memori jangka panjang dalam data. Bentuk umum model ARFIMA yaitu :

dengan

Filter pembeda ) diekspansikan sebagai deret binomial (Hosking, 1981) :

dimana

merupakan fungsi Gamma, sehingga :

Deteksi Outlier

Outlier adalah pengamatan yang terlalu menyimpang jauh dibandingkan pengamatan-pengamatan lainya. Sisaan yang merupakan outlier adalah yang nilai mutlaknya jauh lebih besar daripada sisaan-sisaan lainnya. Pada bidang ekonomi, adanya outlier pada data dapat dipengaruhi karena adanya krisis moneter, perubahan nilai mata uang negara-negara maju, adanya perang, perubahan kebijakan politik, dan lain-lain. Adanyaoutlier dapat menyebabkan data atau residual tidak berdistribusi normal. Salah satu cara untuk mengatasi adanya outlier pada data adalah salah satunya dengan menyertakan variabeldummy pada pemodelan.

Model GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

Model Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) merupakan sebuah model yang diperoleh dengan memodelkan mean dan varian secara simultan (Engle, 1982). Model ARCH(q) dapat dituliskan sebagai berikut :

Bila model ARCH mengikuti proses AR(p), maka model GARCH(p,q) yang mengikuti proses ARMA(p,q) dapat dituliskan sebagai berikut :

Untuk mengetahui ada tidaknya efek GARCH, maka dilakukan pengujian apakah terdapat kasus heteroskedastisitas (varian residual tidak homogen) atau tidak. Terdapat dua cara untuk mengujinya yaitu dengan menggunakan uji Ljung Box dari kuadrat residual hasil pemodelan dan uji Lagrange Multiplier. Selain itu, heteroskedastisitas dapat dideteksi dengan melihat plot ACF dan PACF dari kuadrat residual (Tsay, 2002).

3. METODOLOGI PENELITIAN

Data yang sudah terkumpul dibagi menjadi dua bagian yaitu untuk menentukan model (in sample) dan untuk validasi peramalan (out sample). Tahapan analisis data dilakukan sebagai berikut : a. Statistika Deskriptif

Ini dilakukan untuk melihat pola dari data nilai tukar Rupiah terhadap USD. Pada tahap ini akan dilihat karakteristik dari data nilai tukar Rupiah terhadap USD.

b. PengujianLong Memory

Pada penelitian ini untuk mendeteksi ada tidaknya ketergantungan jangka panjang pada data dengan menggunakan statistik EML dan MPL. Sebelum dilakukan pengujian long memory, dilakukan identifikasi berdasarkan plot ACF dan periodogram.

c. Pembentukan Model ARFIMA

Model ARFIMA diperoleh dengan cara yaitu: 1. membuattime series plot

2. melakukan transformasi yang sesuai apabila data tidak homogen dalam varians. 3. penetapan beberapa model ARFIMA berdasarkan plot ACF dan plot PACF. 4. mengestimasi parameter model yang sudah terbentuk

5. melakukan pemilihan model terbaik berdasarkan AIC, MSE, dan MAPE. 6. menguji syarat asumsi dari residual

d. PemeriksaanOutlier

Langkah-langkah pemodelan dengandummy bila terdapatoutlier pada data : 1) memeriksa apakah terdapatoutlierpada data

2) setelah mendapatkan banyaknyaoutlier, lalu membuat variabeldummy 3) menentukan dugaan model awal

4) melakukan pendugaan dan pengujian parameter e. Menentukan model ARFIMA-GARCH

Setelah diperoleh model ARFIMA, jika terdapat penyimpangan terhadap asumsi homogenitas varians, maka dilanjutkan dengan analisis pada model ARFIMA-GARCH yaitu:

1. menguji apakah terdapat kasus heteroskedastisitas dalam residual model ARFIMA 2. menghitung kuadrat residual dari model ARFIMA

3. menentukan pendugaan model awal ARFIMA-GARCH 4. melakukan pendugaan dan pengujian parameter

f. Peramalan

Peramalan yang dilakukan dengan menggunakan dataout sample untuk 22 periode mendatang.

4. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Statistika Deskriptif

Sebelum dilakukan analisistime series, terlebih dahulu melihat karakteristik data nilai tukar Ru-piah dengan menggunakan statistika deskriptif. Hasil statistika deskriptif dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1 Statistika Deskriptif Data Nilai Tukar Rupiah

Variable Count Mean StDev Variance Minimum Maximum aktual 666 9815,0 922,8 851507,4 8715,0 12462,0

Berdasarkan hasil di atas dapat diketahui bahwa datain samplesebanyak 666 data yang merupakan data harian nilai tukar Rupiah terhadap USD mulai 2 Januari 2007 sampai 30 September 2009. Data memiliki rata-rata nilai tukar Rupiah sebesar Rp. 9.815, 00. Nilai standart deviasi dan varians sangat besar yaitu 922,8 dan 851.507,4. Ini menunjukkan bahwa data memiliki varian yang sangat tinggi, selain itu data memiliki range yang cukup jauh. Tingginya variansi data dan besarnya range data dapat disebabkan karena adanya perubahan pola yang terjadi pada nilai tukar Rupiah dan seperti sudah dijelaskan di awal bahwa data ekonomi biasanya memiliki kasus heteroskedastisitas.

12 0 00 1 1 40 0 1 08 0 0 10 2 00 9 6 00 9 00 0 M e d ia n M e a n 99 0 0 9 8 0 0 9 7 00 9 6 00 9 50 0 9 40 0 93 0 0 A n d e r s o n -D a r lin g N o r m a lity T e s t V a r ia n c e 8 5 1 5 0 7 ,4 S k e w n e s s 1 , 3 0 6 8 3 K u r t o s i s 0 , 5 0 6 4 9 N 6 6 6 M in im u m 8 7 1 5 ,0 A -S q u a r e d 1 s t Q u a rt ile 9 1 8 1 , 0 M e d i a n 9 3 6 9 ,5 3 r d Q u a rt ile 1 0 2 1 9 ,8 M a x im u m 1 2 4 6 2 ,0 9 5 % C o n f id e n c e I n t e rv a l f o r M e a n 9 7 4 4 ,8 5 6 , 7 2 9 8 8 5 ,2 9 5 % C o n f id e n c e I n t e r v a l f o r M e d ia n 9 3 2 8 ,4 9 4 0 0 ,1 9 5 % C o n f id e n c e I n t e rv a l f o r S t D e v 8 7 5 , 7 9 7 5 ,2 P -V a lu e < 0 , 0 0 5 M e a n 9 8 1 5 ,0 S tD e v 9 2 2 ,8 9 5 % C o n f i d e n c e I n t e r v a l s S u m m a r y f o r a k t u a l

Gambar 1Grapic Summary Data Nilai Tukar Rupiah

Untuk mengetahui kenormalan pada data dapat dilihat pada histogram data pada Gambar 1. Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa nilai skewness adalah 1,307. Hal ini berarti bahwa bentuk histogram belum simetri. Ketidaknormalan data juga dapat dilihat dari nilai kurtosis yaitu 0,51 (berdistribusi normal bila nilai kurtosis adalah nol). Pada penelitian ini data nilai tukar Rupiah memiliki kurtosis positif, yang biasa disebut denganleptokurtic.

IdentifikasiLong Memory

Dalam pemodelan time series, pada umumnya tahap identifikasi diawali dengan melihat time series plot dari data nilai tukar Rupiah terhadap USD seperti Gambar 2. Berdasarkan gambar tersebut dapat dilihat bahwa data sebelum tanggal 15 September 2008 mempunyai pola yang cukup signifikan di sekitar Rp. 9.000,00. Dari Gambar 4.2 di atas dapat diketahui bahwa data belum stasioner terhadap varians sehingga perlu dilakukan transformasi Box-Cox. Diperoleh nilai =-5, dengan transformasi ini diperoleh time series plot yang menyerupai garis lurus, plot ACF dan PACF juga menyerupai dengan ACF dan PACF data awal. Data nilai tukar Rupiah terhadap USD ini memiliki varians yang sangat tinggi, ini dapat dilihat dari Gambar 2. Oleh karena itu, pada penelitian ini mengabaikan kestasioneran terhadap varians dan untuk analisis selanjutnya menggunakan data asli.

Index ID R 603 536 469 402 335 268 201 134 67 1 13000 12000 11000 10000 9000 15-09-2008

Time Series Plot of IDR

Gambar 2Time Series Plot Data Nilai Tukar Rupiah

Sebelum melakukan pemodelan ARFIMA, dilakukan identifikasi long memory pada data untuk mengetahui ada tidaknya ketergantungan jangka panjang. Pada penelitian ini untuk mendeteksi adanya

long memory pada data dengan melihat plot ACF dan Periodogram data nilai tukar Rupiah terhadap USD. Long Memorypada data dapat dilihat dari plot ACF yang autokorelasinya turun lambat secra hiperbolik, seperti Gambar 3(a). Ini mengindikasikan dugaan adanya long memory pada data nilai tukar Rupiah terhadap USD. La g A ut o co rr el a ti o n 80 75 70 65 6 0 5 5 5 0 45 40 35 30 2 5 2 0 15 10 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 A u to c o r r e l a ti o n F u nc t io n f o r a k t ua l

(w ith 5% significa nce lim its fo r the a utoco rre lations)

In d e x p er io do g ra m 3 3 0 2 9 7 2 6 4 2 3 1 1 9 8 1 6 5 1 3 2 9 9 6 6 3 3 1 2 ,0 00 0 E+1 0 1 ,5 00 0 E+1 0 1 ,0 00 0 E+1 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T i m e S e r i e s P lo t o f p e r i o d o g r a m (a) (b)

Gambar 3 (a) Plot ACF dan (b) Periodogram Data Nilai Tukar Rupiah

Selain dilihat dari plot ACF, indikasi ketergantungan jangka panjang dapat dilihat dari plot periodogram pada Gambar 3(b). Bila bentuk plot periodogram untuk frekuensi yang semakin mendekati nol meningkat menuju nilai yang sangat besar tetapi berhingga maka data dapat dikatakan memiliki ketergantungan jangka panjang.

Selanjutnya dilakukan estimasi parameter d dengan Hurst Exponent, EML, dan MPL. Hasil estimasi parameterd padain sampledanout sample data nilai tukar Rupiah terhadap USD dapat dilihat pada Tabel 2. Pada Hurst Exponent diperoleh nilai H adalah 0.697017, maka parameter d adalah 0.197017.

Tabel 2 Estimasi Parameterd Data Nilai Tukar Rupiah

Metode Estimasi t-hit p-value

EML 0,499689 1291 0,000

MPL 0,499689 1289 0,000

Hurst Exponent 0,197017 29.78247 1.32e-32

Dari hasil di atas dapat diketahui bahwa estimasi parameterd sudah masuk didalam batas, sehingga dapat diketahui bahwa data nilai tukar Rupiah terhadap USD memiliki ketergantungan jangka panjang dan stasioner, maka data nilai tukar Rupiah dapat dimodelkan dengan model ARFIMA

Pemodelan ARFIMA Pada Data Nilai Tukar Rupiah

Setelah dilakukan statistika deskriptif dan identifikasi long memorypada data nilai tukar Rupiah, maka analisis dilanjutkan dengan pemodelan. Pemodelan data nilai tukar Rupiah dilakukan dengan menggunakan model ARFIMA. Bila asumsi kenormalan residual model tidak terpenuhi, maka analisis dilanjutkan dengan deteksi outlier. Hasil dari pemodelan ARFIMA dengan deteksi outlier dilanjutkan ke metode GARCH bila terdapat kasus heteroskedastisitas pada residual.

Pada penelitian ini ditentukan terlebih dahulu nilai parameterdifferencing dpada data keseluruhan (datainsample), sehingga dalam estimasi parameter dari model-model awal ARFIMA menggunakan nilai d yang sama. Data nilai tukar Rupiah terhadap USD memiliki nilai d sebesar 0,499679. Ini dilihat dari nilai p-value= 0,000 yang lebih kecil dari nilai =0,05. Untuk memodelkan data dilihat terlebih dahulu plot PACF data yang menunjukkan bahwa lag 1, 6,8, 11, 29, 30, dan 31 signifikan (keluar dari batas ). Untuk itu dapat digunakan sebagai pendugaan model awal denganlag yang keluar batas sebagai orde subset model. Pada pendugaan model awal ini diperoleh tiga model yang memiliki paramter sudah signifikan. Model-model tersebut adalah model A merupakan model ARFIMA ([1,6,11,29,31],d,0), model B merupakan model ARFIMA (1,d,1), dan model C merupakan model ARFIMA ([1,6,11,29,31], d,[1,6]). Maka hasil estimasi dan signifikansi parameter model dapat dilihat di Tabel 3 sebagai berikut :

Tabel 3 Signifikansi Parameter Model ARFIMA Data Nilai Tukar Rupiah Model ARFIMA A B C Estimasi 0,5889 0,9558 0,9505 t-hit 18,1 70,6 31,5 p-value [0,000] [0,000] [0,000] Estimasi 0,1234 -0,0989 t-hit 3,42 -2,76 p-value [0,001] [0,006] Estimasi 0,1651 0,1172 t-hit 5,02 3,72 p-value [0,000] [0,000] Estimasi -0,1223 -0,1465 t-hit -3,67 -5,63 p-value [0,000] [0,000] Estimasi 0,0756 0,1173 t-hit 2,27 4,49 p-value [0,024] [0,000] Estimasi -0,6129 -0,6198 t-hit -15,1 -12,2 p-value [0,000] [0,000] Estimasi 0,1489 t-hit 2,57 p-value [0,000]

Keterangan: […] : p-value uji-t dengan =0.05

Analisis dilanjutkan dengan uji asumsi residual white noise, berdistribusi normal, dan kehomogenan varians residual. Berdasarkan hasil Ljung Box dapat diketahui bahwa semua model tidak memenuhi asumsi residual yang white noise. Begitu juga dengan uji asumsi residual normal dan varians homogen yang tidak terpenuhi oleh semua model. Terlebih dahulu dilakukan pemilihan model terbaik dengan menggunakan kriteria AIC daan MSE untuk data in-sample dan kriteria MAPE untuk dataout-sample. Maka hasil pemilihan model dilihat pada Tabel 4 berikut:

Tabel 4 Pemilihan Model ARFIMA Terbaik

Dari Tabel 4 di atas dapat diketahui model C yaitu model ARFIMA ([1,6,11,29,31],d,[1,6]) memiliki nilai AIC, MSE, dan MAPE yang paling kecil dengan model lainnya. Maka model ARFIMA dapat dituliskan sebagai berikut :

(1) dengan

= =

Pada uji kenormalan residual model (1), Kolmogorov Smirnov sebesar 0,170 dengan p-value sebesar <0,001 yang berarti H0 ditolak pada nilai =0,05. Untuk mengatasi residual yang tidakwhite noisedan

berdistribusi normal, maka analisis dilanjutkan dengan deteksi outlier.

Model In-Sample Out-Sample

AIC MSE MAPE

A 8041,99 9913,51 1,5783

B 8009,65 9534,28 1,9268

Pemodelan ARFIMA dengan Deteksi Outlier

Adanya outlier pada data dapat menyebabkan ketidaknormalan. Outlier dapat dideteksi dengan menggunakan Boxplot seperti pada Gambar 4. Bila data bernilai lebih dari Q3+3IQR maka dianggap sebagai ekstrim outlier.Q3 merupakan nilai kuartil tiga residual model, sedangkanIQRmerupakan jarak antara kuartil tiga dengan kuartil satu. Pada penelitian ini diambil dua buah outlier yang paling ekstrim yaitu data ke-442 dan ke-443.

re si 7 1500 1000 500 0 -500 180 0 -112 Boxplot of resi7

Gambar 4Boxplot Residual Model ARFIMA ([1,6,11,29,31],d,[1,6])

Variabel dummy dimasukkan pada model ARFIMA ([1,6,11,29,31],d,[1,6]), hingga diperoleh hasil pada Tabel 5. Setelah dilakukan beberapa pemodelan didapatkan model ARFIMA (1,d,[1,3,17,51]) dengan variabeldummyoutliert=442 dan 443.

Tabel 5 Signifikansi Parameter Model ARFIMA (1,d,[1,3,17,51]) Dengan Outlier t=442,443

Model

ARFIMA Estimasi t-hit P-value

0,9717 90,7 0,000 -0,4475 -11,9 0,000 -0,0978 -2,51 0,012 -0,1194 -3,68 0,000 0,1024 2,82 0,005 1359,21 24,9 0,006 358,807 6,57 0,000 Maka model ARFIMA di atas dapat dituliskan sebagai berikut :

(2) dengan

= =

Model (2) di atas sudah memenuhi asumsi residual yangwhite noise. Ini dapat dilihat dari nilai uji portmanteau sebesar 25,1 dengan p-value sebesar 0,1976 yang berarti H0 gagal ditolak pada nilai

=0,05. Nilai AIC dan MSE model (2) di atas juga lebih kecil dari AIC dan MSE model (1) yaitu sebesar 7594,399 dan 5020,09. Pada uji kenormalan Kolmogorov Smirnov sebesar 0,128 dengan p-value sebesar <0,001 sehingga H0 ditolak pada nilai =0,05. Ini berarti bahwa residual model (2) tidak berdistribusi

normal. Diketahui pula bahwa nilai skewness yaitu -0,255. Ketidaknormalan data juga dapat dilihat dari nilai kurtosis yaitu 9,166 (berdistribusi normal bila nilai kurtosis adalah nol). Pada penelitian ini residual model ARFIMA (1,d,[1,3,17,51]) denganoutlier t=442,443 memiliki kurtosis positif, yang biasa disebut denganleptokurtic.

Pemodelan ARFIMA dengan Metode GARCH

Selanjutnya dilakukan uji untuk mengetahui adanya kasus heteroskedastisitas pada data. Untuk mendeteksi ada tidaknya heteroskedastisitas pada data dapat dilihat dengan plot ACF dan PACF kuadrat residual seperti pada Gambar 5 (a) dan (b) berikut :

Lag A ut o co rr e la ti o n 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0

Autocorr elation Function for resi ^2

(w ith 5% significance limits for the autocor relations )

Lag Pa rt ia lA u to co rr el a ti o n 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0

Par tial Autocorrelation Function for resi^2

(with 5% significa nce limits for the partial autocorrelations)

(a) (b)

Gambar 5 (a) Plot ACF dan (b) Plot PACF Kuadrat Residual

Dari Gambar 5 di atas dapat diketahui bahwa varian residual tidak homogen. Ini dapat dilihat darilag-lag pada plot yang masih keluar batas. Ketidakhomogenitasnya varian residual juga dapat dilihat dari hasil uji Lagrange Multiplier. Untuk mengatasi kasus heteroskedastisitas, maka analisis dilanjutkan dengan pemodelan kuadrat residual dengan menggunakan metode GARCH. Berdasarkan plot ACFlag-lagyang signifikan adalahlag 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8, sedangkan untuk plot PACFlag yang signifikan adalahlag 1, 4, 6, 8, 12, 17, 18, 23, dan 26. Menurut Novianti (2009), pembentukan model GARCH ini tidak dapat dilakukan dengan menggunakan perintah AUTOREG pada software SAS karena GARCH residual mempunyai ordesubset. Maka analisis dilakukan seperti model ARMA.

GARCH ([1,4,6,8,12,17,18,23,26],[1,2,3,4,5,6,7,8]) memi-liki parameter yang masih belum signifikan. Setelah dilakukan pemodelan kembali, maka model GARCH yang memiliki parameter yang sudah signifikan adalah GARCH dengan orde p=[4,6,12,18,23,36] dan q=[1,4,5,6,7,8]. Maka hasil estimasi model GARCH ([4,6,12,18,23,36],[1,4,5,6,7,8]) adalah

(3)

Model (3) di atas belum memenuhi asumsi residual yang berdistribusi normal. Ini dilihat dari nilai uji Kolmogorov Smirnov sebesar 0,274 dengan nilai p-value=0,01 yang berarti H0 ditolak pada nilai =0,05.

Ketidaknormalan residual disebabkan oleh nilai kurtosis sebesar 46,89. Bila kurtosis bernilai nol maka residual berdistribusi normal. Karena nilai kurtosis bernilai positif, maka disebut pula dengan leptokurtik. Leptokurtik berarti residual model (3) dapat menghasilkan nilai MSE yang lebih kecil dibandingkan bila residual model berdistribusi normal. Ini disebabkan karena nilai residual disekitar mean sangat banyak dan bahwa nilai residual banyak yang mendekati nilai nol. Berdasarkan pengujian Lagrange Multiplier dapat diketahui bahwa asumsi kehomogenan varians residual model (3) sudah terpenuhi.

Peramalan Pada Nilai Tukar Rupiah

Setelah didapatkan model GARCH di atas lalu model digunakan untuk peramalan 22 periode kedepan. Pada Tabel 6 dapat dilihat hasil peramalan nilai tukar Rupiah dan selang kepercayaan yang didapat dari model GARCH. Dengan model GARCH diperoleh satu nilai ramalan yang negatif, hal ini dapat disebabkan karena model (3) memiliki koefisien yang negatif pula. Dengan terdapatnya koefisien yang bernilai negatif, maka syarat kecukupan model (3) tidak terpenuhi. Model GARCH yang tidak memenuhi syarat kecukupan model tersebut tetap digunakan, karena model GARCH dengan ordesubset belum ada yang terbentuk darisoftware manapun (Novianti, 2009).

Batas bawah dan batas atas peramalan diperoleh dari pera-malan model GARCH, dengan perhitungan , sedangkanforecast yang digunakan tetap menggunakan hasil peramalan model (2). merupakan hasilforecastdari peramalan model (2) tersebut. Maka hasil peramalan dapat dilihat sebagai berikut :

Tabel 6 Peramalan Nilai Tukar Rupiah 22 Periode No _AktualNilai Forecast_{ARFIMA Bawah}Batas Batas_Atas 1 9673 9722,2 10196,2 9524,29 9920,1 2 9694 9714,2 6466,2 9556,59 9871,8 3 9623 9706,3 7715,2 9534,14 9878,5 4 9510 9719,2 1001,3 9657,18 9781,2 5 9503 9712,3 -67 * * 6 9415 9718,3 3822,8 9597,12 9839,5 7 9468 9721,7 13094,4 9497,42 9946 8 9537 9715,3 3264,7 9603,31 9827,3 9 9492 9705,4 3819,4 9584,27 9826,5 10 9427 9699,9 5237,8 9558,05 9841,7 11 9339 9711,8 2510,1 9613,6 9810 12 9407 9745,7 7462,4 9576,38 9915 13 9524 9745,9 17454,7 9486,95 10004,8 14 9412 9735,1 6132,5 9581,61 9888,6 15 9522 9728,3 8733,5 9545,13 9911,5 16 9527 9730,4 916,1 9671,08 9789,7 17 9535 9734 1962,9 9647,16 9820,8 18 9470 9739,8 8114,8 9563,24 9916,4 19 9613 9743,4 1183,2 9675,98 9810,8 20 9733 9748,7 6689,6 9588,39 9909 21 9643 9754,2 7463,7 9584,87 9923,5 22 9593 9758,7 4995,1 9620,18 9897,2

Pada Gambar 6 dapat dilihat plot dari datain sample, out sample, forecast22 periode mendatang, serta batas atas dan batas bawah forecast. Pola hasil fitted model sudah menyerupai data in sample, sedangkan pola hasilforecast memiliki perbedaan dengan dataout sample.

In d e x D a ta 6 2 1 5 5 2 4 8 3 4 1 4 3 4 5 2 7 6 2 0 7 1 3 8 6 9 1 1 3 0 0 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 9 0 0 0 V ar ia b le o u tsa m p le fo r e c a sta r B B fo r e B A fo r e fitte d a r f in sa m p le T i m e S e r i e s P l o t o f fi tt e d a r f; i ns a m p l e ; o u t s a m p l e ; f o r e c a s ta r ; . ..

Gambar 6 (a) Plot PlotForecast Nilai Tukar Rupiah Terhadap USD

Kesimpulan yang dapat diambil dari hasil dan pembahasan pada bab IV adalah :

a. Dari plot ACF, periodogram dan pengujianlong memory, dapat diketahui bahwa data nilai tukar Rupiah terhadap USD memiliki ketergantungan jangka panjang dan sudah stasioner, sehingga dapat dilanjutkan dengan analisis model ARFIMA.

b. Model ARFIMA-GARCH yang diperoleh untuk data nilai tukar Rupiah terhadap USD adalah

dengan

= =

c. Dari model ARFIMA-GARCH diperoleh error ramalan out sample yang cukup besar. Hal ini disebabkan fluktuasi yang tinggi pada data dan terdapat banyak outlier. Hal ini juga menyebabkan asumsi kenormalan residual tidak terpenuhi.

6. SARAN

Karena selain terdapat ketergantungan jangka panjang pada data juga terdapat perubahan pola pada data dan asumsi kenormalan residual belum terpenuhi, maka untuk penelitian selanjutnya dapat dicoba pemodelan dengan structural change, non linear time series, atau intervensi yang digabungkan dengan model ARFIMA.

7. DAFTAR PUSTAKA

Assaf, A. (2006). Persistance and Long Memory Dependence In The Emerging Stock Market of Kuwait,The Middle East Business and Economic Review, Volume 18 No.1, Windsor. Engle, R. F. (1982). Autoregressive Conditional heteoskedasticity with Estimates of The Variance of

Uniited Kingdom Inflation,Journal of Econometica,Volume 50 No.4, halaman 987-1007. Hosking, J. R. M. (1981). Fractional Differencing,Biometrika, Volume 68, hal. 165-176.

Novianti, P. W. (2009). Pemodelan IHK Umum Nasional dengan Metode Intervensi Multi Input dan Generalized Autoregressive Conditional Heterokedasticity (GARCH). Tugas Akhir, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

Olberman, B. P., Lopes, S. R. C., dan Reisen, V. A. (2006). Invariance of The First Difference in ARFIMA Models.

Rustiaty, E. (2004).Pemodelan Nilai Tukar Mata Uang di Negara-Negara Asia Tenggara Terhadap Us Dollar Dengan Menggunakan Metode Vektor Autoregression (VAR). Tugas Akhir, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

Shittu, O. I., dan Yaya, O. S. (2009). Measuring Forecast Performance of ARMA and ARFIMA Models : An Application to US Dollar/ UK Pound Foreign Exchange Rate, European Journal of Scientific Researc,Volume 32 No.2, hal. 167-176. Euro Journals Publishing, Inc.

Sugandi, L. (2003). Pemodelan Nilai Tukar Mata Uang Negar-Negara Asia Tenggara Dengan Menggunakan Metode VARMAX. Tugas Akhir, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Tsay, R. S. (2002).Analysis of Financial Time Series. John Wiley and Sons, Inc., New Jersey.

Wei, W. W. S. (1990). Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Addison-Wesley Company Inc., New York.

Zickus, M., Leipus, R. dan Kuietkus, K. (1999). Estimation of Long Range Dependence in Wind Speed. Time Series Data. Vilnius University, Lithuania.