TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADA RUANG - ITS Repository

TESIS – SM 142501

TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADA RUANG

𝑳

𝒑

₍

ℝ

𝒏

₎

DENGAN FAKTOR DILASI VEKTOR

RIZKY DARMAWAN NRP 1213201052

DOSEN PEMBIMBING: Dr. Mahmud Yunus, M. Si.

PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

THESIS – SM 142501

CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM ON

𝑳

𝒑

₍

ℝ

𝒏

₎

SPACE WITH

VECTOR DILATION

RIZKY DARMAWAN NRP 1213201052

Supervisior:

Dr. Mahmud Yunus, M. Si.

MAGISTER’ S DEGREE

MATHEMATICS DEPARTEMENT

FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA

TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADA RUANG

L

p

₍

_R

n

₎

_{DENGAN FAKTOR DILASI VEKTOR}

Nama Mahasiswa : Rizky Darmawan

NRP : 1213 201 052

Dosen Pembimbing : Dr. Mahmud Yunus, M.Si

ABSTRAK

Transformasi wavelet merupakan pengembangan dari transformasi Fourier.

Transformasi Fourier hanya memberikan informasi mengenai frekuensi dari

suatu data, sedangkan transformasi wavelet tidak hanya memberikan informasi

mengenai frekuensi yang ada, melainkan juga memberikan informasi waktu dari

frekuensi tersebut. Dari sisi teoritis transformasi wavelet kontinu merupakan topik

matematika yang menarik untuk dikembangkan. Salah satu pengembangan tersebut

adalah konsep transformasi wavelet kontinu pada ruang Lp_(Rn_{) dengan faktor}

dilasi vektor yang merupakan perumuman dari transformasi wavelet multivariabel. Disisi lain, identifikasi tentang transformasi linear terbatas dan kontinuitas suatu

fungsi merupakan topik yang menarik untuk dikaji dalam matematika. Suatu

transformasi linier yang terbatas menyatakan bahwa fungsi hasil transformasi

tidak mungkin melebihi penggandaan fungsi asal. Dalam kalkulus, fungsi kontinu

memiliki keterkaitan dengan sifat-sifat limit, integral, dan turunan dari suatu fungsi.

Pada penelitian ini diteliti syarat kontinuitas fungsi hasil transformasi dan diselidiki

bahwa dari transformasi wavelet kontinu pada ruang Lp_(Rn _{) dengan faktor dilasi}

vektor merupakan transformasi linear terbatas. Dalam penelitian ini diketahui

bahwa transformasi wavelet kontinu pada ruangLp(Rn_{) dengan faktor dilasi vektor} merupakan transformasi linear terbatas, serta diketahui bahwa syarat cukup agar

fungsi hasil transformasinya kontinu adalah fungsi wavelet harus berupa fungsi

kontinu bertumpuan kompak.

CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM ON

L

p

₍

_R

n

₎

_SPACE

WITH VECTOR DILATION FACTOR

By : Rizky Darmawan

Student Identity Number : 1213 201 052

Supervisor : Dr. Mahmud Yunus, M.Si

ABSTRACT

Wavelet transform is an enhancement of Fourier transform. Fourier transform

provides information about frequency of data, while wavelet transform is not only

provides information of existing frequencies, but also gives us the information of

time of frequencies. From the theoretical side, the continuous wavelet transform

is a mathematical topics of interest to be developed. One such development is the

concept of continuous wavelet transform on Lp_(Rn_{) space with vector dilation}

factor, that is a generalization of multivariable continuous wavelet transform . On

another hand, the identification of bounded linear transformation and continuity of a function is an interesting topic to be studied in mathematics. A bounded

linier transformation represent that output function of transformation is not

more than multiplication of input function. In calculus, continuous function has

relation with properties of limit, integration, and derivative of a function. In this

research we study condition of continuity of output function and we investigate

also that continuous wavelet transform on Lp_(Rn_{) space with vector dilation}

factor is bounded linear transformation. In this research we show that continuous

wavelet transform on Lp_(Rn_{) space with vector dilation factor is bounded linear}

transformation and we also show that sufficient condition for the output function to be continuous function is wavelet function must be continuous function with

compact support.

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’aalamiin, puji syukur atas kehadirat Allah SWT yang telah

melimpahkan nikmat islam, iman, dan ihsan sehinggan penulis dapat

menyele-saikan Tesis yang berjudul ”Transformasi Wavelet Kontinu pada Ruang Lp(Rn₎ dengan Faktor Dilasi Vektor” secara optimal. Shalawat dan salam penulis haturkan

kepada junjungan Nabi besar Muhammad SAW yang telah membawa manusia dari

zaman kegelapan menuju zaman terang benderang. Tesis ini merupakan salah satu

persyaratan akademis untuk memperoleh gelar magister (S-2) di Program Studi

Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA)

Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini, penulis mendapat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima

kasih yang sebesar-besarnnya kepada:

1. Orang tua dan saudara penulis yang selalu memberikan dukungan, doa dan

motivasi agar penulis dapat meyeleaikan Tesis ini.

2. Bapak Dr. Imam Muklash, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika ITS,

yang telah membantu dan memberi dukungan selama masa perkuliahan dan

penyusunan Tesis ini.

3. Bapak Dr. Mahmud Yunus, M.Si. selaku Koordinator Programa Studi

Pascasarjana Matematika ITS, sekaligus sebagai dosen wali dan dosen

pembimbing penulis yang telah bersedia membimbing, memotivasi, dan

berbagi ilmu dengan sabar kepada penulis sehingga Tesis ini dapat

tersele-saikan.

4. Prof. Erna Aprliani, Dr. Subiono, dan Dr. Dwi Ratna selaku dosen penguji

yang banyak memberikan masukan, kritik, dan saran yang membantu penulis

dalam penyusunan Tesis ini.

5. Seluruh dosen Pascasarjana Matematika ITS yang telah memberikan ilmu

pengetahuan yang bermanfaat selama masa perkuliahan, serta staf

admin-istrasi dan karyawan Program Studi Magister Matematika-ITS atas segala

6. Keluarga besar mahasiswa Pascasarjana Matematika ITS 2013, dan semua

pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah membantu penulis

dalam proses penyusunan Tesis ini.

Semoga Allah SWT selalu memberikan karuniah dan hidayah-Nya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian Tesis ini.

Penulis menyadari bahwa selama masa penelitian dan penyelesaian Tesis ini

masih terdapat kekurangan dan kekeliruan. Oleh karena itu, penulis mengharap

kritik dan saran dari berbagai pihak yang bersifat membangun sebagai bahan

perbaikan dimasa yang akan datang. Semoga Tesis ini dapat bermanfaat bagi semua

pihak.

Surabaya, Juni 2016

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN i

ABSTRAK iii

ABSTRACT v

KATA PENGANTAR vii

DAFTAR ISI ix

DAFTAR GAMBAR xi

DAFTAR SIMBOL xiii

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . 4

1.3 Batasan Masalah . . . 4

1.4 Tujuan Penelitian . . . 5

1.5 Manfaat Penelitian . . . 5

BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI 7 2.1 Kajian Pustaka . . . 7

2.1.1 Wavelet Satu Variabel . . . 7

2.1.2 Wavelet Multivariabel . . . 9

2.2 Dasar Teori . . . 14

2.2.1 Transformasi Linear padaL∞p(Rn +×Rn) . . . 15

2.2.2 Fungsi Kontinu padaRn _{. . . 17}

BAB III METODA PENELITIAN 19 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 21 4.1 Transformasi Wavelet Kontinu pada Ruang Lp(Rn_{) dengan} Dilasi Vektor sebagai Transformasi Linear Terbatas . . . 24

4.2 Kontinuitas Fungsi Hasil Transformasi WaveletWψf . . . 33

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 45 5.1 Kesimpulan . . . 45

DAFTAR PUSTAKA 47

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Grafik Haar . . . 8

Gambar 2.2 Grafik Mexican Hat . . . 9

Gambar 4.1 Grafik B-Spline Order-2 . . . 42

DAFTAR SIMBOL

ψ fungsi wavelet

Rn _{himpunann−tupel bilangan real} Rn

+ himpunann−tupel bilangan real positif Rn

+×Rn himpunan pasangan terurut antara elemen diRndengan elemen diRn+

Lp(Rn_{) ruang fungsi pada}Rn_{dengan modulus pangkatpterintegral Lebesgue}

L∞p(Rn

+×Rn) ruang fungsi dengan modulus pangkatpterintegral Lebesgue padaRn dan terbatas padaRn

+

Wψf Fungsi hasil transformasi wavelet

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bagian ini dijelaskan mengenai hal-hal yang melatar belakangi usulan penelitian, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, dan manfaat

penelitian.

1.1 Latar Belakang

Gagasan yang mendasari analisis wavelet berasal dari tesis Alfred Haar yang

berjudulThe Theory of Orthogonal Function Systemspada tahun 1909. Sedangkan

kata “wavelet” sendiri diberikan oleh Jean Morlet dan Alex Grossman di awal tahun

1980-an, yang berasal dari bahasa Perancis “ondelette” yang berarti gelombang

kecil. Kata “onde” yang berarti gelombang diterjemahkan kedalam bahasa Inggris

menjadi “wave”, lalu digabung dengan kata aslinya sehingga terbentuk kata baru

“wavelet” (Gunawan, 2014).

Transformasi wavelet merupakan perbaikan dari transformasi Fourier.

Trans-formasi Fourier hanya memberikan inTrans-formasi mengenai frekuensi yang muncul dari suatu sinyal, sedangkan transformasi wavelet tidak hanya memberikan informasi

mengenai frekuensi yang muncul, akan tetapi juga memberikan informasi waktu

dari frekuensi tersebut (Gunawan, 2014).

Dalam kasus satu variabel, wavelet merupakan suatu fungsi ψ ∈L2(R_{), ψ 6= 0} yang memenuhi kondisi

Z

R

ψ(t) dt = 0

sedangkan transformasi wavelet dari fungsif ∈L2_(R)adalah

Wψf(a, b) := 1

a1/2

Z

R

f(t)ψ

t−b a

dt, a∈R_{+, b∈}R

(Daubechies, 1992). Dalam hal ini, notasi ψ(t) menyatakan konjuget dari ψ(t).

Lebih lanjut, parameteradisebut faktor dilasi, sedangkan parameterbdisebut faktor

translasi. Ada dua jenis transformasi wavelet, yaitu transformasi wavelet kontinu

(TWK) dan transformasi wavelet diskrit (TWD). Perbedaan diantara keduanya

adalah pada nilai parameter translasi dan parameter dilasi. Untuk transformasi

bernilai bilangan real positif, sedangkan pada transformasi wavelet diskrit nilai

parameter translasi bilangan bulat dan nilai parameter dilasi bernilai bilangan bulat

positif. Secara fisis, jikaf(t)adalah amplitudo dari sinyal pada waktu ke-t, maka

fungsi hasil transformasi wavelet kontinuWψf(a, b)menyatakan amplitudo sinyal

pada frekuensibdan waktua(Gunawan, 2014).

Analog dengan kasus satu variabel, untuk kasus multivariabel, suatu fungsi

ψ ∈L2(Rn_{),ψ 6= 0disebut wavelet jika memenuhi kondisi}

Z

Rn

ψ(t) dt= 0

sedangkan transformasi wavelet dari fungsif ∈L2(Rn_)adalah

Wψf(a, b) := 1

an/2

Z

Rn

f(t)ψ

t−b a

dt, a∈R_{+, b∈}Rn

denganaadalah faktor dilasi danbadalah faktor translasi (Daubechies, 1992).

Dalam bidang teknologi, transformasi wavelet diskrit memiliki manfaat yang

lebih besar dari transformasi wavelet kontinu , khususnya dalam teknologi

komputasi, hal ini disebabkan semua sinyal atau data yang diolah menggunakan

komputer selalu dalam bentuk sinyal atau data diskrit. Akan tetapi dari sisi

teoritis, transformasi wavelet kontinu merupakan salah satu topik matematika yang

mengalami pengembangan. Salah satu pengembangan tersebut adalah transformasi

wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn_).

Diberikanf ∈ Lp(Rn_{), maka transformasi wavelet darif dengan faktor dilasi} vektor adalah

Wψf(a, b) :=

1 (a1a2· · ·an)ρ

Z

Rn

f(t)ψ

t1−b1

a1

,· · · ,tn−bn an

dt (1.1)

dengana = (a1, a2,· · · , an) ∈ Rn+, b = (b1, b2,· · · , bn) ∈ Rn, dan ρ > 0tetap

(Pathak, 2009). Dengan demikian transformasi wavelet dari fungsi f ∈ Lp_(Rn₎

seperti persamaan (1.1) dapat juga ditulis ulang sebagai berikut

Wψf(a, b) := 1 (Qn

i=1ai)ρ Z

Rn

f(t)ψ

ti−bi

ai n

i=1

dt, a ∈Rn

+, b∈Rn

untuk pangkat ρ > 0 tetap. Disisi lain, sifat kontinuitas suatu fungsi dan

penelitian transformasi wavelet sebagai transformasi linear terbatas merupakan

memiliki sifat-sifat tertentu, antara lain nilai limit kiri dan limit kanan dari fungsi

kontinu adalah sama, fungsi kontinu yang monoton tegas memiliki invers yang juga

fungsi kontinu monoton tegas, fungsi kontinu merupakan fungsi terbatas dalam

R_{, dan fungsi kontinu memiliki nilai absolout maksimum dan minimum.} Konti-nuitas suatu fungsi juga memiliki peranan dalam kalkulus integral dan diferensial,

kontinuitas suatu fungsi pada Rn _{merupakan syarat cukup agar fungsi tersebut} tertintegral Riemann dan merupakan syarat perlu agar fungsi tersebut terdiferensial

padaRn_{. Lebih lanjut, dalam analisis fungsional, himpunan semua fungsi kontinu}

padaRn_{membentuk ruang Banach yang bersifat padat dalamL}p₍Rn_{). Sedangkan,} suatu transformasi linear yang terbatas menunjukkan bahwa transfromasi tersebut

memiliki nilai berhingga dalam norma dan mengakibatkan transformasi tersebut

kontinu di setiap domain transformasi, disamping itu dari himpunan semua

trans-formasi linear terbatas dapat dibentuk suatu ruang Banach tertentu.

Dalam (Pathak, 1998) telah ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu

dari fungsi di L2_{(R) merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L}2_(R) ke ruang L2(R_× R_{+), sedangkan dalam (Grossman dan Morlet, 1984)} diperke-nalkan transformasi wavelet pada ruangLp(R_{), dengan mensubstitusi f ∈ L}2₍R₎ dengan f ∈ Lp(R_{), dan menunjukkan bahwa transformasi wavelet tersebut} merupakan transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn_{)ke ruangL}2₍R_)×Lp₍Rn_). Dalam (Pathak, 2004) juga ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu pada

ruang Lp(Rn_{) merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L}p₍R_{) ke ruang}

L∞p_(R

+×R). Untuk kekontinuan fungsi hasil transformasi wavelet satu variabel di ruangL2_{(R)dapat dilihat dalam (Navarro dan Herrera, 2012).}

Sedangkan penelitian untuk mendapatkan syarat kontinuitas fungsi hasil

trans-formasi dan sifat transformai linear terbatas dari transtrans-formasi wavelet pada

persamaan (1.1) belum pernah dilakukan. Dalam penelitian ini, didapatkan syarat

kontinuitas fungsi hasil transformasi dan diselidiki bahwa transformasi wavelet

dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn_{) merupakan transformasi linear} terbatas. Kontinuitas yang dimaksud adalah kontinuitas padaRn

+×Rn, sedangkan transformasi linear yang dimaksud adalah transformasi linear dari ruangLp_(Rn_)ke

ruangL∞p_(Rn

+×Rn). RuangL∞p(Rn+×Rn)adalah ruang fungsi yang berbentuk

L∞p(Rn

+×Rn) :=

(

f :Rn

+×Rn →C

sup

a∈Rn

+

Z

Rn

|f(a, b)|pdb

1/p

<∞

dengan norma

kfkL∞p := sup a∈Rn

+

Z

Rn

|f(a, b)|pdb

1/p

, f ∈L∞p(Rn

+×Rn)

dan merupakan perumuman untuk kasus multivariabel dari ruang L∞p(R_{+ ×}R₎ dalam (Grossman dan Morlet, 1984).

Dengan demikian, dalam penelitian ini, pekerjaan yang dilakukan adalah

mendapatkan konstanta real positif M > 0 sedemikian hingga Wψf(a, b) pada

persamaan (1.1) memenuhikWψf(a, b)kL∞p ≤ Mkfk_p, dan mendapatkan syarat

agar fungsi Wψf(a, b) pada persamaan (1.1) merupakan fungsi kontinu pada Rn

+×Rn.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang permasalahan di atas, maka rumusan masalah dalam

penelitian ini adalah

1. Apakah transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang

Lp_(Rn_{)merupakan transformasi linear terbatas ?}

2. Bagaimana syarat kekontinuan fungsi hasil transformasi wavelet kontinu

dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn_)?

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi sebagai berikut:

1. NilaipdannpadaLp(Rn_{)masing-masing adalah bilangan asli.}

2. Kekontinuan fungsi hasil transformasi yang dibahas adalah kekontinuan pada

Rn

+×Rn.

3. Transformasi wavelet kontinu yang dibahas merupakan transformasi linear

dari ruangLp_(Rn_{)ke ruangL}∞p_(Rn

+×Rn).

4. Range dari fungsi dalam penelitian ini adalah himpunan bilangan kompleks

C_.

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah yang ada, tujuan penelitian ini adalah

1. Mengidentifikasi bahwa transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi

vektor pada ruangLp(Rn_{)merupakan transformasi linear terbatas dari ruang}

Lp(Rn_{)ke ruangL}∞p₍Rn

+×Rn).

2. Mendapatkan syarat agar fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan

faktor dilasi vektor pada ruangLp_(Rn_{)merupakan fungsi kontinu padaR}n

+×

Rn_.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini antara lain

1. Sebagai tambahan wawasan dan keilmuan dalam matematika khususnya di

bidang transformasi wavelet.

2. Sebagai referensi untuk penelitian selanjutnya mengenai transformasi

wavelet.

BAB II

KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI

Pada bagian ini akan diberikan teori-teori yang menunjang dalam proses

penelitian, yaitu konsep teori ukuran dan integral diRn_{, transformasi linear terbatas,} ruang Lp(Rn_{), ruang L}∞p₍Rn

+ ×Rn), fungsi kontinu di Rn, himpunan kompak, transformasi wavelet kontinu di ruangL2_{(R), transformasi wavelet kontinu di ruang}

L2_(Rn_{), dan transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor di ruang}

Lp_(Rn_).

2.1 Kajian Pustaka

Pada bagian ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dari transformasi wavelet

satu variabel dari fungsi di ruang L2(R_{) dan ruang L}p₍R_{), transformasi wavelet} multivariabel L2(Rn_{) dan L}p₍Rn_{), dan transformasi wavelet di ruang L}p₍Rn₎ dengan faktor dilasi vektor.

2.1.1 Wavelet Satu Variabel

Diberikan L2(R_{) adalah kelas dari fungsi-fungsi bernilai kompleks pada} Rn yang kontinu dan modulus kuadratnya terintegral Lebesgue padaR_{. Dalam kasus} satu variabel, wavelet merupakan suatu fungsiψ ∈L2(R_{), ψ6= 0yang memenuhi} kondisi rata-rata nol, yaitu

Z

R

ψ(t) dt = 0, t∈R

sedangkan definisi dari transformasi wavelet kontinu dari fungsi di ruang L2(R₎ adalah sebagai berikut

Definisi 2.1.1. (Daubechies, 1992) Diberikan ψ ∈ L2_{(R) adalah suatu wavelet.}

Transformasi wavelet kontinu dari fungsif ∈L2_{(R)adalah fungsiW}

ψf dengan

Wψf(a, b) := 1

a1/2

Z

R

f(t)ψ

t−b a

dt, a∈R_{+, b∈}R _(2.1)

Notasiψ(t)menyatakan konjuget dariψ(t). Dalam hal ini, parameteradisebut

faktor dilasi, sedangkan parameterbdisebut faktor translasi. Secara fisis interpetasi

maka fungsi hasil transformasi wavelet kontinuWψf(a, b)menyatakan amplitudo

sinyal pada frekuensibdan waktua(Gunawan, 2014). Waveletψmemenuhi kondisi

admissible, yaitu

Cψ = Z

R

|Ψ(ω)|2

|ω| dω <∞

dengan Ψ(ω) = R

Rψ(t)e

−itω_{dt adalah transformasi Fourier dari ψ. Sedangkan}

invers dari transformasi wavelet satu dimensi tersebut adalah

f(t) = 1

Cψ Z

R

Z

R+

Wψf(a, b)ψ

t−b a

da a3/2db

(Daubechies, 1992) Salah satu contoh wavelet adalah wavelet Haar yang berbentuk

ψ(t) =

  

 

1 untuk 0≤t < 1₂,

−1 untuk 1

2 ≤t <1 0 untuk yang lain

Gambar 2.1: Grafik Haar

dan wavelet Topi Meksiko yang berbentuk

ψ(t) = 1−t2exp(−t

2

2), t∈R

(Chui, 1992).

Dalam (Grossman dan Morlet, 1984), transformasi wavelet satu variabel dari

Gambar 2.2: Grafik Mexican Hat

mendapatkan rumus invers transformasi wavelet kontinu satu variabel di ruang

Lp_{(R) tanpa syarat kekonvergenannya, serta menunjukkan bahwa transformasi}

wavelet satu variabel di ruang Lp_{(R) merupakan transformasi linear terbatas dari}

ruangLp(R_{)ke ruangL}∞p₍R_+×R_{)dengan memenuhi}

kWψf(a,·)k_L∞p ≤ kψk_L1kfk_Lp.

(Grossman dan Morlet, 1984). Dalam hal ini norma yang dimaksud adalah norma

dari ruang fungsi padaR_{. Disisi lain, dalam (Navarro dan Herrera, 2012) diberikan} syarat sehingga fungsi hasil transformasi wavelet di L2_{(R) merupakan fungsi} kontinu pada R_{+ ×}R_{, yaitu wavelet ψ harus berupa fungsi kontinu bertumpuan} kompak, dengan kata lainψ ∈C0(R).

2.1.2 Wavelet Multivariabel

Konsep transformasi wavelet dapat diperluas untuk kasus multivariabel. Dalam hal ini definisi wavelet analog dengan definisi wavelet pada kasus satu variabel.

DiberikanL2(R₎n_{adalah kelas dari fungsi-fungsi bernilai kompleks pada}Rn_yang kontinu dan modulus kuadratnya terintegral Lebesgue padaRn_{, yaitu}

L2(Rn_{) :=}

f :Rn_→C_|

Z

Rn

|f(t)|2dt <∞

Suatu fungsiψ ∈L2(Rn_{), ψ 6= 0disebut wavelet jika memenuhi kondisi rata-rata} nol, yaitu

Z

Rn

ψ(t) dt= 0, t ∈Rn

sedangkan definisi dari transformasi wavelet kontinu dari fungsi di ruang L2(Rn₎ diberikan pada definisi di bawah.

Definisi 2.1.2. (Daubechies, 1992) Diberikan ψ ∈ L2_(Rn_{) adalah suatu wavelet.}

Transformasi wavelet kontinu dari fungsif ∈L2_(Rn_{)adalah fungsiW}

ψf dengan

Wψf(a, b) := 1

an/2

Z

Rn

f(t)ψ

t−b a

dt, a∈R_{+, b∈}Rn _(2.2)

Transformai wavelet di atas merupakan transformasi linear dari L2(Rn_{) ke}

L∞(Rn_)×L2₍Rn_{). Dalam hal ini parametera disebut faktor dilasi danb disebut} faktor translasi. Dari definisi wavelet dan transformasi wavelet di atas, terlihat

jelas bahwa fungsi hasil transformasi wavelet merupakan fungsi bernilai kompleks.

Integral yang digunakan dalam perhitungan transformasi wavelet di atas adalah

integral Lebesgue, hal ini bertujuan agar fungsi asal dapat dihampiri fungsi basis wavelet secara kombinasi linier dalam konsep almost everywhere, sebab pada

kenyataannya terdapat basis wavelet tertentu yang menghampiri fungsi asal secara

kombinasi linier tetapi tidak terintegral Lebesgue, akibatnya hampiran tersebut tidak

dapat dikatakan representasi dari fungsi asal.

Ambil kasus di R3_{, misalkanf(t, x, y)adalah ampliudo dari suatu sinyal citra} hitam putih f yang bergantung pada waktu ke-t, derajat keabuan pada posisi

horizontal x, dan derajat keabuan pada posisi vertikal y, maka Wψf(a, b) pada

persamaan (2.2) merupakan amplitudo sinyal citra pada frekuensib = (b1, b2, b3)

yang terjadi pada posisi waktu a, dengan b1, b2, b3 masing-masing merupakan frekuensi sinyal yang bersesuaian dengan waktu ke-t, derajat warna putih x, dan

derajat warna hitam y berturut-turut. Seperti halnya pada wavelet satu variabel,

waveletψ multivariabel juga memenuhi kondisadmissibleyang berupa

Cψ = Z

Rn

|Ψ(ω)|2

|ω| dω <∞

dengan |ω| = pPn

i=1|ωi|2, dan Ψ(ω) adalah transformasi Fourier dari ψ.

Sedangkan invers transformasi wavelet multivariabel diL2(Rn_)berbentuk

f(t) = 1

Cψ Z

Rn Z

Rn

+

Wψf(a, b)ψ

t−b a

(Daubechies, 1992). Jikaf ∈L1(Rn_)∩L2₍Rn_{), maka transformasi wavelet} multi-variabelnya merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L1(Rn_{) ke ruang}

L1(Rn

+×Rn)dengan memenuhi

kWψf(a,·)k_L1 ≤a

1/2_(2π)−1_kψk

L1kfk_L1.

Beberapa contoh wavelet multivariabel antara lain wavelet Haar multivariabel yang

berbentuk

ψ(t) = n Y

i=1

ψi(ti), t= (t1,· · · , tn)∈Rn

dengan ψi adalah wavelet Haar satu variabel, serta wavelet Topi Meksiko

multi-variabel yang berbentuk

ψ(t) = 1− ktk2

exp(−ktk

2

2 ), t= (t1,· · · , tn)∈R n

(Chui, 1992). Untuk transformasi wavelet kontinu pada ruangLp(Rn_{), yaitu} trans-formasi wavelet pada persamaan (2.2) dengan mensubstitusi f ∈ L2_(Rn_{) dengan}

f ∈Lp_(Rn_{)dengan dilasi skalara > 0, dapat dilihat dalam (Pathak, 2009).}

Selan-jutnya Pathak memperkenalkan transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi

vektor pada ruangLp(Rn_).

Definisi 2.1.3. (Pathak, 2009) Diberikanψ ∈L2(Rn_{)adalah suatu wavelet.}

Trans-formasi wavelet kontinu dari fungsif ∈Lp(Rn_{)adalah fungsiWψf dengan}

Wψf(a, b) :=

1 (a1a2· · ·an)ρ

Z

Rn

f(t)ψ

t1−b1

a1

,· · · ,tn−bn an

dt (2.3)

dengana = (a1, a2,· · · , an)∈Rn+, b= (b1, b2,· · · , bn)∈Rn, danρ >0tetap.

Transformasi wavelet dari fungsi f ∈Lp_(Rn_{)pada persamaan (2.3) dapat juga}

ditulis ulang sebagai berikut

Wψf(a, b) := 1 (Qn

i=1ai)ρ Z

Rn

f(t)ψ

ti−bi

ai n

i=1

dt, a∈Rn

+, b∈Rn

untuk pangkatρ >0tetap.

Sebagai contoh perhitungan ambil kasus diR2_{untuk pangkatρ = 1. Diberikan}

f ∈L2_(R2_)dengan

f(t) =

(

1

t1t2 untuk 1≤t1 <∞, 1≤t2 <∞

akan dihitung transformasi waveletnya menggunakan wavelet Haar dua variabel

ψ(t) =ψ1(t1) ψ2(t2), t= (t1, t2)∈R2

denganψi adalah wavelet Haar satu variabel

ψi(ti) = 0 untuk yang lain

Untuki= 1,2jelas bahwa 0 untuk yang lain

danf(t)dapat ditulis

Selanjutnya perhitungan transformasi wavelet dengan dilasi vektor dari fungsi f

adalah

dengan menggunakan teorema Fubini maka perhitungannya dapat dilakukan secara

bertahap untuk masing-masingi= 1,2.

• Untuk 1

berikutnya, misalkan untuki= 1,2

Wif(ai, bi) =

0 untuk yang lain

dengan demikian

atau dapat ditulis

0 untuk yang lain

Secara intuitif, faktor dilasi vektor a pada wavelet ψ menunjukkan bahwa nilai

fungsi wavelet ψ(t − b) pada masing-masing elemen dari variabel vektor t − b

mengalami dilasi dengan nilai yang berbeda, yaitu sebesar _a1

i untuk setiap elemen

vektorti−bi, untuki= 1,2,· · · , n. Hal ini berbeda dengan wavelet yang memiliki

faktor dilasi bilangan real pada transformasi wavelet pada persamaan (2.2), dengan

nilai fungsi waveletψ(t−b)mengalami dilasi dengan nilai yang sama untuk setiap

elementi−bidari variabel vektort−b.

Dalam (Pathak, 1998) telah ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu

dari fungsi diL2(R_{) merupakan transformasi linear terbatas dari ruangL}2₍R_{) ke} ruang L2(R _×R_{+). Selain itu dalam buku tersebut diperoleh syarat agar} trans-formasi wavelet pada ruangLp_{(R)dengan dilasi vektor mempunyai invers, dengan}

syaratnya adalahψ ∈Lp_(Rn_{), dan rumus inversnya berbentuk}

f(t) = (−1)n 1

. Akan tetapi penelitian untuk mendapatkan syarat

konti-nuitas fungsi hasil transformasi dan syarat transformasi wavelet kontinu pada ruang

Lp(Rn_{)dengan dilasi vektor sebagai transformasi linear terbatas belum dilakukan.}

2.2 Dasar Teori

Pada bagian ini diberikan teori-teori pendukung yang berguna dalam penelitian

ini, antara lain konsep transformasi linear terbatas, ruangLp(Rn_{), ruangL}∞p₍Rn

+×

2.2.1 Transformasi Linear padaL∞p(Rn

+×Rn)

Pada bagian ini diberikan definisi ruang bernorma, transformasi linear terbatas

pada ruang bernorma, ruangLp(Rn_{), dan ruangL}∞p₍Rn

+×Rn).

Definisi 2.2.1. (Yunus, 2005) MisalkanV danW adalah dua ruang vektor atasF_.

Transformasi linear dariV keW adalah pemetaanT :V →W yang memenuhi

(TL1) Untuk setiapx, y ∈V berlakuT(x+y) =T(x) +T(y)

(TL2) Untuk setiapc∈F_{danx∈V berlakuT(cx) =cT(x)}

Selanjutnya berikut ini diberikan definisi transformasi linear terbatas pada ruang

bernorma.

Definisi 2.2.2. (Yunus, 2005) MisalkanV danW adalah dua ruang bernorma atas

F_{. Transformasi linearT :V →W dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real}

M ≥0sedemikian hingga

kT(x)kW ≤MkxkV, ∀x∈V

Karena pembahasan mengenai transformasi linear terbatas pada transformasi

wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor di ruang Lp_(Rn_{) dalam penelitian ini}

merupakan transformasi linear dariLp(Rn_{)ke ruangL}∞p₍Rn

+×Rn), maka terlebih dahulu diberikan definisi dari ruangLp(Rn_{)dan ruangL}∞p₍Rn

+×Rn).

Diberikan nilai p yang memenuhi 1 ≤ p ≤ ∞, ruang Lp(Rn_{) didefinisikan} sebagai

Lp(Rn_{) :=}

f :Rn_→C_|

Z

Rn

|f(t)|pdt <∞

, untuk 1≤p <∞

dan

Lp(Rn_{) :={f :}Rn _→C_{|esssup|f(t)|<∞}, untuk p=∞}

dengan untukf ∈Lp_(Rn_{)didefinisikan norma baku padaL}p_(Rn_{)sebagai berikut}

kfkLp := Z

Rn

|f(t)|pdt

1/p

, untuk 1≤p <∞

dan

kfkLp :=esssup|f(t)|<∞, untuk p=∞.

tidak didefinisikan Hasil Kali Dalam yang bersesuaian pada Lp(Rn_{), sedangkan} untukp= 2, yaitu ruangL2(Rn_{)adalah ruang Hilbert dengan Hasil Kali Dalam}

hf, giL2 :=

Z

Rn

f(x)g(x)dx, x∈Rn

(Jones, 1993). Selanjutnya, diperkenalkan ruangL∞p(Rn

+×Rn)yang merupakan perumuman untuk kasus multivariabel dari ruangL∞p(R_+×R_{)dalam (Grossman} dan Morlet, 1984), yaitu ruang fungsi yang berbentuk

L∞p(Rn

+×Rn) :=

(

f :Rn

+×Rn→C

sup

a∈Rn

+

Z

Rn

|f(a, b)|pdb

1/p

<∞

)

dengan norma

kfkL∞p := sup a∈Rn

+

Z

Rn

|f(a, b)|pdb

1/p

, f ∈L∞p(Rn

+×Rn)

Berikut ini diberikan beberapa teorema yang terkait dengan penelitian ini.

Teorema 2.2.1. (Jones, 1993) Diberikanp, q ∈R_{dengan1≤p≤ ∞danqadalah}

konjuget eksponen darip, yaitu

1

p +

1

q = 1.

Misalkanf dan g masing-masing adalah fungsi padaE ⊆ Rn _{bernilai kompleks.}

Jikaf ∈Lp_{(E)dang ∈L}q_{(E), maka fungsif g ∈L}1_{(E), serta berlaku}

kf gkL1 ≤ kfk_Lpkgk_Lq.

Ketaksamaan di atas dikenal juga dengan Ketaksamaan Holder.

Teorema 2.2.2. (Jones, 1993) Jikaf ∈Lp(Rn_{)dengan1≤p <∞, maka berlaku}

lim

|h|→0kf(·+h)−fkL

p = 0

dengan|h|= (Pn i=1h2i)

1/2

.

teorema di atas disebut sebagai teorema Kekontinuan Operator Translasi pada

f. Sebagai catatan, nilai p pada definisi ruang Lp(Rn_{) dan sifat-sifatnya di atas} merupakan bilangan real yang memenuhi1≤p <∞, sedangkan dalam penelitian

2.2.2 Fungsi Kontinu padaRn

Tujuan penelitian ini, selain untuk menunjukkan bahwa transformasi wavelet

dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn_{) merupakan transformasi linear} terbatas, juga bertujuan untuk memberikan syarat cukup sehingga fungsi hasil

trans-formasi wavelet tersebut merupakan fungsi kontinu. Oleh karena itu perlu diberikan

definisi dan sifat-sifat dari fungsi kontinu padaRn_.

Definisi 2.2.3. (Webb, 1991) Diberikan fungsi f : A ⊆ Rn _→ Rm_{. Fungsi f}

dikatakan kontinu pada titika ∈Ajika dan hanya jika untuk setiapε >0terdapat

δ > 0sedemikian hingga kf(x)−f(a)kRm untuk x ∈ A dan kx−akRn. Jika f

kontinu pada setiap titik padaA, makaf dikatakan kontinu padaA.

Berdasarkan definisi di atas, fungsif dikatakan kontinu padaAjika dan hanya

jika

kf(t+h)−f(t)kRm →0, untuk khkRn →0.

Salah satu contoh fungsi kontinu adalah fungsi konstan dan fungsi linear(Apostol,

1996). Beberapa sifat fungsi kontinu antara lain jumlahan, pengurangan, perkalian,

pembagian, dan komposisi dua atau lebih fungsi kontinu menghasilkan fungsi yang

juga kontinu.

Teorema 2.2.3. (Webb, 1991) Misalkan fungsif : A⊆ Rn_→ Rm_{dapat ditulis ke}

dalam bentuk(f1, f2,· · · , fn). Fungsif kontinu padaa∈Ajika dan hanya jikafi

kontinu padaa.

teorema di atas menjamin bahwa setiap fungsi kontinu bernilai Rm _yang komponen-komponennya dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi bernilai real,

berakibat komponen-komponennya juga merupakan fungsi kontinu, begitu juga

sebaliknya. Berikut ini diberikan teorema yang menyatakan hubungan antara

himpunan kompak dengan fungsi kontinu.

Teorema 2.2.4. (Yunus, 2005) Jika X himpunan kompak, maka untuk sebarang

fungsif : X → X yang kontinu diX mempunyai rangef(X)yang juga kompak.

Lebih lanjut, jikafadalah fungsi kontinu bijektif, maka inversnya, yaituf−1adalah

fungsi kontinu.

Tumpuan dari fungsif :A ⊆Rn_→C_{yang dinotasikan dengan supp(f)adalah} closure suatu himpunan bagian dari domainf sedemikian hingga nilai fungsif di

himpunan tersebut tidak bernilai nol, dengan kata lain supp(f) adalah himpunan

yang berbentuk

Diberikan himpunan C0(Rn), yaitu himpunan semua fungsi kontinu bernilai real yang bertumpuan kompak, yaitu

C0(Rn) ={f :A⊆Rn→C:f kontinu, dan supp(f) kompak}

HimpunanC0(Rn)merupakan himpunan bagian dari Lp(Rn)dan bersifat padat di

BAB III

METODA PENELITIAN

Pada bagian ini diberikan tahapan yang digunakan untuk melakukan penelitian

ini.

1. Studi Literatur.

Pada tahap ini, ditelusuri dan dipelajari literatur tentang dasar teori dan

referensi terbaru yang terkait dalam penelitian ini, yaitu pembahasan

mengenai transformasi linear pada ruang bernorma, ruang Lp_(Rn_),

trans-formasi wavelet kontinu di ruang L2_{(R), transformasi wavelet kontinu di} ruangL2_(Rn_{), dan transformasi wavelet kontinu pada ruangL}p_(Rn_{) dengan}

faktor dilasi vektor. Pembahasan ini bertujuan untuk menunjukkan bahwa

transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn₎ merupakan transformasi linear pada ruangL∞p(Rn

+×Rn).

2. Menunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu merupakan transformasi

linear terbatas.

Pada bagian ini diuraikan tahap-tahap yang berupa teorema beserta

pembuk-tiannya untuk menunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu dengan

faktor dilasi vektor pada ruang Lp_(Rn_{) merupakan transformasi linear}

terbatas pada ruangL∞p(Rn

+×Rn).

3. Mendapatkan syarat kekontinuan fungsi hasil transformasi.

Pada tahap ini diuraikan syarat kekontinuan fungsi padaRn

+×Rndari fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang

Lp_(Rn_).

4. Menulispaper.

Pada tahap ini, dilakukan penulisan paper dari hasil penelitian yang telah didapatkan.

5. Mengikuti seminar nasional.

Paper yang telah ditulis selanjutnya dipresentasikan dalam suatu seminar

6. Membuat kesimpulan.

Berdasarkan hasil penelitian terhadap transformasi wavelet kontinu dengan

faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn_{) sebagai transformasi linear terbatas} dan syarat kekontinuan fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan

faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn_{), maka dibuat suatu kesimpulan yang} akan menjawab rumusan masalah yang diberikan sebelumnya.

7. Menulis laporan.

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini diberikan proses, penjabaran, dan pembuktian untuk membentuk

teorema yang memaparkan hasil dari penelitian ini, yaitu teorema yang menyatakan

bahwa transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn₎ merupakan transformasi linear terbatas dari ruangLp_(Rn_{)ke ruangL}∞p_(Rn

+×Rn), serta teorema yang memberikan syarat cukup agar fungsi hasil transformasi wavelet

kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp_(Rn_{)merupakan fungsi kontinu}

padaRn

+×Rn. Pada pembahasan ini diasumsikan nilaipadalah bilangan asli, akan tetapi nilai konjuget darip, yaitu q, memenuhi 1 ≤ q ≤ ∞. Disamping itu, pada penelitian ini selalu diasumsikan notasiψ menyatakan fungsi wavelet.

Sebelumnya, untuk mempermudah penulisan, diberikan notasi-notasi

berikut. Diberikan ψ adalah wavelet, serta a= (a1, a2,· · · , an)∈Rn+,

b = (b1, b2,· · · , bn)∈Rn, didefinisikan fungsiψa,b, ψa, sebagai berikut

ψa,b(t) := 1 (Qn

i=1ai) ρ ψ

ti−bi

ai n

i=1

ψa, (t) := 1 (Qn

i=1ai) ρ ψ

ti

ai n

i=1

untuk setiap t= (t1, t2,·, tn)∈Rn dan ρ > 0 adalah tetap. Dengan demikian

transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp_(Rn_)yang

bersesuaian dengan waveletψdapat ditulis

Wψf(a, b) = 1 (Qn

i=1ai)ρ Z

Rn

f(t)ψ

ti−bi

ai n

i=1

dt

=

Z

Rn

f(t)ψa,b(t)dt

=

Z

Rn

f(t)ψa,(t−b)dt

Jelas bahwa notasi-notasi di atas ekivalen, akan tetapi penggunaanya disesuaikan

dengan penulisan agar penjabaran dan pembuktian pada lemma-lemma dan

diketahui bahwa fungsi wavelet ψ, disamping berada di L2(Rn_{) juga berada di}

L1(Rn_{), hal ini disebabkan sifat}R

Rnψ(t) = 0yang berakibat|ψ|terintegral.

Disamping itu fungsi ψa,b juga merupakan elemen di L1(Rn), untuk

menun-jukkan hal ini, pandangzi = ti−_aibi untuki= 1,2· · · , n, karenaψ ∈L1(Rn), maka

dengan teknik integral substitusi didapat

Z

Suatu transformasi akan bermakna jika memiliki nilai berhingga, oleh karena

dalam hal ini perlu ditunjukkan bahwa fungsi hasil transformasi wavelet kontinu

dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp_(Rn_{), yaitu W}

ψf(a, b) memiliki nilai

berhingga. Dari kenyataanf ∈ Lp(Rn_{)dan ψa,b ∈ L}1₍Rn_{), maka fungsi}f ψ_a,b

merupakan fungsi terukur dan memiliki nilai berhingga. Berikutnya akan

ditun-jukkan nilai integral dari f ψ_a,b

adalah berhingga. Untuk menunjukkan hal ini,

akibatnya dari sifat integral didapat

∞, akibatnya dari sifat integral didapat

Disisi lain, karena R_Rn

terdapat konstanta real positifK sedemikian hingga

hal ini berakibat

Dengan demikian, dari sifat integral diperoleh

Ini artinya, nilai fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dari fungsi

f ∈Lp(Rn_{) dengan faktor dilasi vektor, yaitu Wψf(a, b)adalah berhingga, untuk} setiapa∈Rn

+, b∈Rn.

4.1 Transformasi Wavelet Kontinu pada RuangLp(Rn_{)dengan Dilasi Vektor} sebagai Transformasi Linear Terbatas

Telah dijelaskan sebelumnya pada bab 2 bahwa transformasi linear merupakan

pemetaan atau fungsi dari suatu ruang vektor ke ruang vektor yang lain yang

memenuhi sifat linearitas (additif dan homogen). Pada subbab ini akan ditunjukkan

bahwa transformasi wavelet dengan dilasi vektor dari fungsi f ∈ Lp(Rn_{), yaitu}

Wψf merupakan transformasi linier terbatas, khususnya dengan domain Lp(Rn)

serta kodomainL∞p(Rn

+×Rn), dengan L∞p(Rn+×Rn)merupakan ruang fungsi yang berbentuk

L∞p(Rn

+×Rn) :=

(

f :Rn

+×Rn→C

sup

a∈Rn

+

Z

Rn

|f(a, b)|pdb

1/p

<∞

)

dengan norma

kfkL∞p := sup a∈Rn

+

Z

Rn

|f(a, b)|pdb

1/p

, f ∈L∞p(Rn

+×Rn)

Sebelumnya, untuk menunjukkan suatu relasi merupakan transformasi linear

terbatas atau tidak, terlebih dahulu perlu ditunjukkan bahwa relasi tersebut

merupakan pemetaan yang bersifat linear(additif dan homogen). Oleh karena itu,

terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa transformasi wavelet dengan dilasi vektor

Wψfmerupakan transformasi yang linier, yaitu bersifat additif dan homogen. Akan

tetapi sebelum itu, akan ditunjukkan bahwa transformasi waveletWψf merupakan

well-define. Ambil sebarang f1, f2 ∈ Lp(Rn), dengan f1(t) =f2(t), ∀t ∈ Rn, maka

Wψf1(a, b) =

Z

Rn

f1(t)ψa,b(t)dt

=

Z

Rn

f2(t)ψa,b(t)dt

=Wψf2(a, b), a∈Rn+, b∈Rn

Jadi, transformasi waveletWψf adalah well define

Selanjutnya akan ditunjukkan Wψf memenuhi sifat additif dan homogen.

a∈Rn

+, b∈Rnberlaku

Wψ(f1+f2)(t) =

Z

Rn

(f1+f2)(t)ψa,b(t)dt

=

Z

Rn

(f1(t) +f2(t))ψa,b(t)dt

=

Z

Rn

f1(t)ψa,b(t) +f2(t)ψa,b(t)dt

=

Z

Rn

f1(t)ψa,b(t)dt+ Z

Rn

f2(t)ψa,b(t)dt

=Wψf1(a, b) +Wψf2(a, b)

Ini berartiWψf bersifat additif. Berikutnya dari sifat integral, juga diperoleh

Wψ(cf1)(t) =

Z

Rn

(cf1)(t)ψa,b(t)dt

=

Z

Rn

cf1(t)ψa,b(t)dt

=c

Z

Rn

f1(t)ψa,b(t)dt

=cWψf1(a, b)

Ini artinyaWψf bersifat homogen. Jadi transformasi wavelet kontinu dengan dilasi

vektor dari fungsi di Lp(Rn_{)merupakan transformasi linear dari ruang L}p₍Rn_{) ke} ruangL∞p(Rn

+×Rn).

Berdasarkan definisi transformasi linear terbatas yang dijelaskan di bab 2,

untuk menunjukkan transformasi linearT :Lp(Rn_)→L∞p₍Rn

+×Rn)merupakan suatu transformasi linear terbatas, harus didapatkan suatu konstanta real positifM

sedemikian hingga

kT(f)k_L∞p ≤Mkfk_Lp

Dalam hal ini, nilaiM tidak bergantung padaf.

Nilai konstantaM pada ketaksamaan dalam definisi transformasi linier terbatas

di atas menunjukkan bahwa norma fungsi hasil transformasi di domain trans-formasi tidak mungkin melebihi penggandaan norma fungsi asal di domain asal

fungsi. Dalam bidang terapan, dapat dikatakan bahwa sinyal hasil transformasi

tidak mungkin sama dengan sinyal asal, melainkan menghampiri sinyal asal.

Dilain pihak fungsi hasil transformai wavelet kontinu dengan dilasi vektor dari

didapat

hal ini juga berarti

Z

akibatnya dari teorema Fubini, diperoleh

Z

dengan demikian diperoleh

Z

Rn

|Wψf(a, b)|db <∞

positif A sehingga |Wψf(a, b)| < A, ∀ b ∈ Rn dengan a ∈ Rn+ tetap. Oleh

Secara intuitif dapat dikatakan bahwa transformasi wavelet dengan dilasi vektor

Wψf merupakan elemen diLp(Rn)terhadap faktor translasinya, sebab pada (4.2)

terlihat bahwa faktor translasibmengalami integral, sedangkan faktor dilasiahanya

bertindak sebagai konstanta.

Dengan mengunakan kenyataan bahwa Wψf(a,·) merupakan elemen di

Lp(Rn_{), maka dapat diperoleh beberapa sifat dari transformasi wavelet kontinu} pada ruangLp(Rn_{)dengan dilasi vektor, yaituWψf, yang dinyatakan dalam lemma} berikut

Lemma 4.1.1. Diberkan f ∈ Lp_(Rn_{), a ∈ R}n

+ dan W ψf adalah transformasi

wavelet darif. Misalkanqadalah konjuget eksponen darip, maka

(a) Fungsif(t)ψa, (t− ·)elemenLp(Rn).

Lp terintegral pada

Rn_.

terdapat konstanta real positifC sedemikian hingga

hal ini berakibat

maka dari sifat integral diperoleh

oleh karena itu

(b) Karenaq konjuget eksponen darip,maka (p−1)q = p, akibatnya berdasarkan (4.2) diperoleh

Lemma 4.1.1 di atas merupakan sifat khusus dari transformasi wavelet dengan

dilasi vektor Wψf. Terlihat bahwa faktor translasi b merupakan variabel yang

dikenai operator integral pada sifat-sifat pada Lemma 4.1.1 di atas, sedangkan faktor translasiahanya bertindak sebagai konstanta.

Lemma 4.1.1 dan (4.2) di atas menunjukkan keterkaitan antara fugnsi hasil

transformasi wavelet kontinu dengan dilasi vektor, yaitu Wψf dengan ruang dari

fungsi asalnya, yaitu ruang Lp(Rn_{). Pada (4.2) menunjukkan bahwa fungsi hasil} transformasi wavelet dengan dilasi vektorWψfberada di ruangLp(Rn), sedangkan

pada Lemma 4.1.1 a) menyatakan bahwa hasil kali fungsi dengan waveletnya yg

dalam ruang Lp(Rn_{). Untuk Lemma 4.1.1 b) menunjukkan keterkaitan antara} fungsi hasil transformasi wavelet dengan dilasi vektor Wψf dengan ruang fungsi

konjuget dari fungsi asal, yaitu ruang Lq(Rn_{), dengan fungsi hasil transformasi}

Wψf berada dalam ruangLq(Rn)jika fungsi hasil transformasiWψf dipangkatkan

sebesar p − 1. Sedangkan Lemma 4.1.1 c) dapat dikatakan sebagai kelanjutan

dari Lemma 4.1.1 a), jika dalam Lemma 4.1.1 a) ditunjukkan bahwa perkalian

fungsi dengan wavelet berada dalamLp_(Rn_{), maka dalam lema 4.1.1 c) ditunjukkan}

bahwa norma dalamLp_(Rn_{)dari perkalian fungsi dengan waveletnya berada dalam}

Lp(Rn_{)atau terintegral.}

Berdasarkan Lemma 4.1.1 di atas, dapat dibentuk suatu lemma lain yang

memberikan suatu ketaksamaan pada transformasi wavelet kontinu dari fungsi

f ∈Lp(Rn_{)dengan dilasi vektor yang nantinya berguna untuk membuktikan bahwa} transformasi wavelet kontinu pada ruang Lp(Rn_{)dengan dilasi vektor merupakan} transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn_{)ke ruangL}∞p₍Rn

+×Rn).

Lemma 4.1.2. Diberikanf ∈Lp(Rn_{),ψwavelet,a∈}Rn

+danW ψf adalah

trans-formasi wavelet darif. Misalkanqadalah konjuget eksponen darip, maka

selanjutnya dengan menggunakan ketaksamaan Holder yang berlaku pada

Lemma 4.1.1 (a) dan (b) serta dari teorema Fubini, maka diperoleh

maka diperoleh

ruas kanan ketaksamaan (4.3) di atas adalah berhingga sebab dari Lemma 4.1.1 (b)

nilai

adalah berhingga dan dari Lemma 4.1.1 (c)

nilai R_Rn

Lpdt juga berhingga. Berikutnya asumsikan

nilai dari

= 0, lalu bagi kedua ruas dengan

maka ruas kanan ketaksamaan (4.3) di atas

sedangkan ruas kiri ketaksamaan (4.3) menjadi

akibatnya ketaksamaan (4.3) menjadi

kWψf(a,·)kLp ≤

Dengan menggunakan sifat ketaksamaan pada Lemma 4.1.2 di atas dapat

dibentuk teorema yang menyatakan bahwa transformasi kontinu pada ruangLp(Rn₎ dengan dilasi vektor merupakan transformasi linear terbatas, dengan kata lain,

dibentuk teorema yang menunjukkan terdapat konstanta real positifM sedemikian

hingga transformasi linear terbatasT :Lp_(Rn_)→L∞p_(Rn

+×Rn)memenuhi

kT(f)k_L∞p ≤Mkfk_Lp

Teorema 4.1.1. Transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor dari

fungsif ∈Lp_(Rn_{)untukρ= 1merupakan transformasi linear terbatas dari ruang}

Lp_(Rn_{)ke ruangL}∞p_(Rn

+×Rn)dengan memenuhi

Bukti. _{Diberikan a = (ai)}n

akibatnya, dengan menerapkan teorema Fubini, didapat

Z

dengan demikian, dari Lemma 4.1.2 diperoleh

dengan demikian

sup a∈Rn

+

Z

Rn

Wψf(a,·)

Lp

≤ kψk_L1kfk_Lp.

Jadi

kWψf(·,·)k_L∞p ≤ kψk_L1kfk_Lp.

karena

T(f) = Wψf(a,·)

maka didapat

kT(f)k_L∞p ≤ kψk_L1kfk_Lp.

Ini artinya transformasi wavelet kontinu Wψf dengan faktor dilasi vektor

merupakan transformasi linear terbatas dari ruangLp_(Rn_{)ke ruangL}∞p_(Rn

+×Rn), sebab terdapat konstantaM >0denganM =kψk_L1 sedemikian hingga

kT(f)k_L∞p ≤Mkfk_Lp.

Teorema di atas menyatakan bahwa transformasi wavelet kontinu dengan faktor

dilasi vektor pada ruangLp(Rn_{)merupakan transformasi linear terbatas dari ruang}

Lp(Rn_{) ke ruang L}∞p₍Rn

+ × Rn). Ini secara tidak langsung telah membuktikan asumsi sebelumnya bahwa fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan dilasi

vektor dari fungsif ∈Lp(Rn_{), yaituWψf merupakan elemen di ruangL}∞p₍Rn

+×

Rn_{). Hal ini merupakan perumuman dari hasil yang diperoleh Grossman yang} menyatakan bahwa transformasi wavelet satu variabel dari fungsi f ∈ Lp_(R)

merupakan transformasi linier terbatas dari ruangLp_{(R)ke ruangL}∞_(R)×Lp_(R).

4.2 Kontinuitas Fungsi Hasil Transformasi WaveletWψf

Pada bagian ini diberikan syarat agar fungsi hasil transformasi wavelet pada

ruangLp(Rn_{)dengan dilasi vektor merupakan fungsi kontinu pada}Rn

+×Rn, akan tetapi terlebih dahulu perlu diberikan lemma-lemma yang berguna untuk membantu

Lemma 4.2.1. Jikaψ ∈C0(Rn)makaψa,b∈C0(Rn)untuka∈Rn+danb ∈Rn.

Bukti. _{Diberikanψ ∈C0(}Rn_{), ini berartiψkontinu dan bertumpuan kompak pada} Rn_{. Terlebih dahulu akan ditunjukkan ψ}

a,b kontinu. Jelas bahwaψa,b : Rn → Rn

dan berbentuk

ψa,b(t) = 1 (Qn

i=1ai) ρψ

ti−bi

ai n

i=1

, ∀t = (t1,· · · , tn)∈Rn

dengana = (a1,· · · , an) ∈ Rn+, b = (b1,· · · , bn) ∈ Rn dan ρ > 0adalah tetap.

Selanjutnya, untuki= 1,2, ..., n, didefinisikan fungsiri :R→Rdengan

ri(ti) =

ti−bi

ai

, ∀ti ∈R

dengan ai ∈ R+, bi ∈ R adalah konstanta. Jelas ri adalah fungsi kontinu pada R_{untuk setiap i = 1,2, ..., n, sebab ri fungsi linier. Dilain pihak pandang fungsi}

r:Rn_→Rn_{yang didefinisikan dengan}

r(t) = (r1(t1), r2(t2),· · · , rn(tn))

=

t1−b1

a1

,t2−b2 a2

, ...,tn−bn an

, ∀t ∈Rn _(4.4)

Karena ri kontinu pada R untuk setiap i = 1,2, ..., n, maka r kontinu pada Rn.

Berikutnya, pandang fungsi komposisiψ◦ryang berbentuk

(ψ◦r)(t) =ψ(r(t))

=ψ

t1 −b1

a1

,t2−b2 a2

, ...,tn−bn an

=ψ

ti−bi

ai n

i=1

, ∀t ∈Rn _(4.5)

karena wavelet ψ kontinu pada Rn _{dan r kontinu pada} Rn_{, maka dari sifat fungsi} komposisi, diperoleh ψ◦r kontinu padaRn_{. Sementara itu, dari persamaan (4.4)} dan (4.5) diperloeh

ψa,b(t) = 1 (Qn

i=1ai)

ρ(ψ◦r)(t), ∀t∈Rn

ini berartiψa,b= ₍Qn1 i=1ai)

ρψ◦r. Dengan demikian,ψ_a,bkontinu padaRn.

A⊆Rn

Misalkan dalam hal ini domain dari fungsir dibatasi hanya padaA ⊆Rn

+. Karena

ψ bertumpuan kompak, maka dari definisi fungsi 1 (Qn

i=1ai)

ρψ ◦r di atas, didapat

range dari r yaitu r(A) adalah himpunan kompak. Di lain pihak jelas bahwaa r

adalah fungsi injektif (sebab r fungsi linier), maka r mempunyai invers, dengan

demikian, dari sifat himpunan kompak, diperolehr−1_{(A) =Aadalah kompak. Ini}

artinya tumpuan dari 1 (Qn

i=1ai)

ρψ ◦r, yaitu A adalah kompak. Mengingat bahwa

ψa,b = ₍Qn1 i=1ai)

ρψ◦r, maka tumpuan dariψ_a,badalah kompak.

Jadi ψa,b kontinu dan bertumpuan kompak pada Rn, dengan kata lain

ψa,b ∈C0(Rn).

Lemma 4.2.1 di atas menunjukkan bahwa kekontinuan dan tumpuan kompak

dari fungsi wavelet berakibat kekontinuan dan tumpuan kompak pada fungsi

wavelet setelah mengalami translasi dan dilasi. Dengan kata lain, translasi dan

dilasi pada wavelet tidak merubah kekontinuan dan tumpuan kompak dari wavelet

tersebut, jika wavelet tersebut kontinu dan bertumpuan kompak.

Selanjutnya, teorema di bawah ini menyatakan bahwa transformasi wavelet

kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn_{)yaituWψf, bersifat kontinu} terhadap faktor translasinya jika wavelet yang bersesuaian merupakan fungsi

kontinu bertumpuan kompak. Kekontinuan yang dimaksud adalah kekontinuan atas

Bukti. _{Jelas bahwa}

maka dari definisi fungsi ψa,b dan dari teorema kekontinuan operator translasi

berlaku

Lemma di atas mirip dengan Teorema Kekontinuan Operator Translasi pada

fungsi di ruang Lp_(Rn_{, hanya saja perbedaannya, pada lemma di atas nilai q}

memenuhi 1 ≤ q ≤ ∞, sedangkan pada teorema kekontinuan operator translasi

Di bawah ini diberikan lemma yang menunjukkan bahwa fungsi wavelet bersifat

kontinu terhadap faktor dilasinya.

Lemma 4.2.3. Didefinisikan fungsiG:Rn

+ →Rndengan

G(a) = Qn1 i=1a

ρ i

ψ

ti−bi

ai n

i=1

∀a= (a1,· · · , an)∈Rn+

dengan t = (t1,· · · , tn), b = (b1,· · · , bn) ∈ Rn dan ρ > 0 adalah tetap. Jika

waveletψ kontinu padaRn_{makaGkontinu padaR}n +.

Bukti. _{Diberikan ψ kontinu pada} Rn_{. Selanjutnya, Untuk i = 1,2, ..., n,}

didefinisikan fungsivi :R+→Rdengan

vi =

ti−bi

ai

, ∀ai ∈R+

denganti, bi ∈Radalah tetap. Jelasvi adalah fungsi kontinu padaR+untuk setiap

i = 1,2, ..., n, sebabvi fungsi rasional. Dilain pihak pandang fungsiv :Rn+ →Rn yang didefinisikan dengan

v(a) = (v1(a1), v2(a2), ..., vn(an))

=

t1−b1

a1

,t2−b2 a2

, ..., tn−bn an

, ∀a∈Rn

+ (4.6)

dengan t, b ∈ Rn _{adalah tetap. Karena vi kontinu pada} R_{+ untuk setiap}

i= 1,2,· · · , n, maka v kontinu padaRn

+. Selanjutnya, karena wavelet ψ kontinu pada Rn_{, maka ψ juga kontinu pada}Rn

+, dengan demikian, jika diberikan fungsi komposisiψ◦v yang berbentuk

(ψ◦v)(a) =ψ(r(a))

=ψ

t1−b1

a1

,t2−b2 a2

,· · · ,tn−bn an

=ψ

ti−bi

ai n

i=1

(4.7)

maka ψ ◦ v kontinu pada setiap a ∈ Rn

+. Sementara itu, jelas fungsi rasional

p:Rn

+→Ryang berbentuk

p(a) = Qn1 i=1a

ρ i

adalah kontinu padaRn

+. Dengan demikian, dari persamaan (4.6) dan (4.7) fungsi

Gberbentuk

Terlihat bahwaGadalah komposisi dari fungsi-fungsi kontinu, akibatnyaGkontinu

disetiap titik∀a∈Rn

+. JadiGkontinu padaRn+.

Dari Lemma 4.2.2 dan Lemma 4.2.3 di atas, dapat dikatakan bahwa fungsi wavelet ψ bersifat kontinu terhadap faktor translasi dan dilasinya, jika wavelet ψ

merupakan fungsi kontinu dan bertumpuan kompak padaRn_{. Perbedaan dengan} Lemma 4.2.1, jika pada Lemma 4.2.1 waveletψ yang telah dikenai translasi dan

dilasi, yaitu ψa,b bersifat kontinu pada Rn, maka pada Lemma 4.2.2 dan Lemma

4.2.3 waveletψ kontinu padaRn_{terhadap faktor translasi dan dilasinya. Tenu saja} dengan syarat cukup yang diberikan, yaitu waveletψharus kontinu dan bertumpuan

kompak padaRn_.

Selanjutnya, lemma di bawah ini merupakan akibat dari Lemma 4.2.3.

Lemma 4.2.4. Jika waveletψ ∈C0(Rn),ha = (ha1,· · · , han)∈R fungsiGdapat ditulis sebagai

G(a) = Qn1

KarenaGkontinu padaRn

+(dari Lemma 4.2.3), maka

akibatnya

lim

|ha|→0

1 (Qn

i=1(ai +hai)) ρψ

ti−bi (ai +hai)

n

i=1

= 1

(Qn i=1ai)

ρψ

ti−bi

ai n

i=1

Berdasarkan Lemma 4.2.1 sampai Lemma 4.2.4 sebelumnya, maka dibentuk

teorema yang memberikan syarat cukup agar fungsi hasil transformasi wavelet

dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp_(Rn_{) merupakan fungsi kontinu pada} Rn

+×Rn.

Perhatikan kembali ha = (ha1,· · ·, han) ∈ R n

+ dan hb = (hb1,· · · , hbn) ∈

Rn_{. Diberikan h ∈ R}2n _{dengan h = (h}

a1,· · · , han, hb1,· · · , hbn). Selanjutnya,

misalkanH adalah fungsi sedemikian hingga

H(a, b, t) = 1 (Qn

i=1ai)ρ

ψ

ti−bi

ai n

i=1

dengan demikian dari Lemma 4.2.2 dan Lemma 4.2.4 masing-masing berlaku

lim

|hb|→0

kH(a, b+hb,·)k_Lq =H(a, b,·) dan lim

|ha|→0

|H(a+ha, b,·)|=H(a, b,·)

ini berarti, untuk setiapε >0terdapatδb >0danδa >0sedemikian hingga

kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)k_Lq < ε, jika |hb|< δb.

dan

|H(a+ha, b,·)−H(a, b,·)|< ε, jika |ha|< δa.

Disisi lain, telah diketahuih= (ha1,· · · , han, hb1,· · · , hbn), maka diperoleh

|h|<(δa+δb)1/2.

Ini artinya, untuk|h| →0berlaku

kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)kLq = 0, dan |H(a+ha, b,·)−H(a, b,·)|= 0

tanpa mengurangi keumuman maka juga berlaku

Dengan demikian dari ketaksamaan Holder diperoleh

untuk|h| →0. Hasil tersebut membawa pada teorema berikut.

Teorema 4.2.1. Diberikan ψ adalah wavelet. Jika wavelet ψ ∈ C0(Rn), maka

fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dari fungsi f ∈ Lp(Rn_{) dengan dilasi}

vektor, yaituWψf, merupakan fungsi kontinu padaRn+×Rn.

maka transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp_(Rn₎

dapat ditulis

Dengan demikian, dari ketaksamaan Holder diperoleh

|Wψf(a+ha, b+hb)−Wψf(a, b)|=

dengan menerapkan ketaksamaan segitiga didapat

kH(a+ha, b+hb,·)−H(a, b,·)kLq

=kH(a+ha, b+hb,·)−H(a+ha, b,·) +H(a, b+hb,·)−H(a, b,·)k_Lq

≤ kH(a+ha, b+hb,·)−H(a+ha, b,·)k_Lq +kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)k_Lq

(4.9)

dari ruas kanan ketaksamaan (4.9) di atas. Dari Lemma 4.2.4, untuk|ha| →0maka

berlaku

kH(a+ha, b+hb,·)−H(a+ha, b,·)kLq =kH(a, b+h_b,·)−H(a, b,·)k_Lq

(4.10)

Berikutnya dari Lemma 4.2.2, untuk|hb| → 0, maka pada ketaksamaan (4.9) dan

persamaan (4.10) berlaku

kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)k_Lq = 0.

Dengan demikian untuk |h| → 0dengan h = (ha1,· · · , han, hb1,· · · , hbn) ∈ R

2n

berlaku

kH(a+ha, b+hb,·)−H(a+ha, b,·)kLq =kH(a, b+h_b,·)−H(a, b,·)k_Lq

(4.11)

dan

kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)k_Lq = 0. (4.12)

akibatnya dari persamaan (4.11) dan (4.12) ruas kanan pada ketaksamaan (4.9)

menjadi nol. Dengan demikian dari ketaksamaan (4.8) berlaku

lim

|h|→0|Wψf(a+ha, b+hb)−Wψf(a, b)|= 0

Ini artinya fungsi hasil transformasi wavelet dengan dilasi vektor dari fungsi

f ∈Lp_(Rn_{), yaituW}

ψ, kontinu padaRn+×Rn.

Teorema 4.2.1 di atas menyatakan bahwa syarat cukup sehingga fungsi

trans-formasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor dari fungsi f ∈ Lp(Rn₎ merupakan fungsi kontinu pada Rn

+ × Rn adalah wavelet ψ merupakan fungsi kontinu bertumpuan kompak pada domain Rn_{. Salah satu contoh wavelet satu} variabel yang kontinu dan bertumpuan kompak adalah wavelet Daubechies dan

wavelet B-Spline dengan order lebih dari1, misalnya saja wavelet B-Spline order-2

0 untuk yang lain

atau wavelet B-Spline order-3 yang berbentuk

Gambar 4.1: Grafik B-Spline Order-2

ψ(t) =

0 untuk yang lain

Gambar 4.2: Grafik B-Spline Order-3

B-Spline order lebih dari padaR2_{, yaitu}

ψ(t) = ψ1(t1)ψ2(t2), t= (t1, t2)∈R2

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini, diberikan kesimpulan dari hasil penelitian yang telah dilakukan.

Selain itu, diberikan saran untuk penelitian selanjutnya

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, diperoleh kesimpulan

sebagai berikut

1. Transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp_(Rn₎

adalah transformasi linear terbatas dari ruangLp_(Rn_{)ke ruangL}∞p_(Rn +×Rn) untukρ= 1dengan konstantaM =kψk_L1.

2. Syarat cukup fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn_{)merupakan fungsi kontinu pada} Rn

+×Rn adalah waveletψ merupakan fungsi kontinu bertumpuan kompak padaRn_.

5.2 Saran

Saran yang diberikan untuk penelitian berikutnya khususnya yang berkaitan

dengan transformasi wavelet kontinu pada ruangLp(Rn_{)dengan dilasi vektor antara} lain:

1. Pada penelitian berikutnya dapat diteliti tentang invers transformasi wavelet

kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn_).

2. Pada penelitian berikutnya dapat diteliti mengenai terapan dari transformasi