TESIS – SM 142501
TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADA RUANG
𝑳
𝒑(
ℝ
𝒏)
DENGAN FAKTOR DILASI VEKTOR
RIZKY DARMAWAN NRP 1213201052
DOSEN PEMBIMBING: Dr. Mahmud Yunus, M. Si.
PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
THESIS – SM 142501
CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM ON
𝑳
𝒑(
ℝ
𝒏)
SPACE WITH
VECTOR DILATION
RIZKY DARMAWAN NRP 1213201052
Supervisior:
Dr. Mahmud Yunus, M. Si.
MAGISTER’ S DEGREE
MATHEMATICS DEPARTEMENT
FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA
TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADA RUANG
L
p(
R
n)
DENGAN FAKTOR DILASI VEKTOR
Nama Mahasiswa : Rizky Darmawan
NRP : 1213 201 052
Dosen Pembimbing : Dr. Mahmud Yunus, M.Si
ABSTRAK
Transformasi wavelet merupakan pengembangan dari transformasi Fourier.
Transformasi Fourier hanya memberikan informasi mengenai frekuensi dari
suatu data, sedangkan transformasi wavelet tidak hanya memberikan informasi
mengenai frekuensi yang ada, melainkan juga memberikan informasi waktu dari
frekuensi tersebut. Dari sisi teoritis transformasi wavelet kontinu merupakan topik
matematika yang menarik untuk dikembangkan. Salah satu pengembangan tersebut
adalah konsep transformasi wavelet kontinu pada ruang Lp(Rn) dengan faktor
dilasi vektor yang merupakan perumuman dari transformasi wavelet multivariabel. Disisi lain, identifikasi tentang transformasi linear terbatas dan kontinuitas suatu
fungsi merupakan topik yang menarik untuk dikaji dalam matematika. Suatu
transformasi linier yang terbatas menyatakan bahwa fungsi hasil transformasi
tidak mungkin melebihi penggandaan fungsi asal. Dalam kalkulus, fungsi kontinu
memiliki keterkaitan dengan sifat-sifat limit, integral, dan turunan dari suatu fungsi.
Pada penelitian ini diteliti syarat kontinuitas fungsi hasil transformasi dan diselidiki
bahwa dari transformasi wavelet kontinu pada ruang Lp(Rn ) dengan faktor dilasi
vektor merupakan transformasi linear terbatas. Dalam penelitian ini diketahui
bahwa transformasi wavelet kontinu pada ruangLp(Rn) dengan faktor dilasi vektor merupakan transformasi linear terbatas, serta diketahui bahwa syarat cukup agar
fungsi hasil transformasinya kontinu adalah fungsi wavelet harus berupa fungsi
kontinu bertumpuan kompak.
CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM ON
L
p(
R
n)
SPACE
WITH VECTOR DILATION FACTOR
By : Rizky Darmawan
Student Identity Number : 1213 201 052
Supervisor : Dr. Mahmud Yunus, M.Si
ABSTRACT
Wavelet transform is an enhancement of Fourier transform. Fourier transform
provides information about frequency of data, while wavelet transform is not only
provides information of existing frequencies, but also gives us the information of
time of frequencies. From the theoretical side, the continuous wavelet transform
is a mathematical topics of interest to be developed. One such development is the
concept of continuous wavelet transform on Lp(Rn) space with vector dilation
factor, that is a generalization of multivariable continuous wavelet transform . On
another hand, the identification of bounded linear transformation and continuity of a function is an interesting topic to be studied in mathematics. A bounded
linier transformation represent that output function of transformation is not
more than multiplication of input function. In calculus, continuous function has
relation with properties of limit, integration, and derivative of a function. In this
research we study condition of continuity of output function and we investigate
also that continuous wavelet transform on Lp(Rn) space with vector dilation
factor is bounded linear transformation. In this research we show that continuous
wavelet transform on Lp(Rn) space with vector dilation factor is bounded linear
transformation and we also show that sufficient condition for the output function to be continuous function is wavelet function must be continuous function with
compact support.
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirabbil’aalamiin, puji syukur atas kehadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan nikmat islam, iman, dan ihsan sehinggan penulis dapat
menyele-saikan Tesis yang berjudul ”Transformasi Wavelet Kontinu pada Ruang Lp(Rn) dengan Faktor Dilasi Vektor” secara optimal. Shalawat dan salam penulis haturkan
kepada junjungan Nabi besar Muhammad SAW yang telah membawa manusia dari
zaman kegelapan menuju zaman terang benderang. Tesis ini merupakan salah satu
persyaratan akademis untuk memperoleh gelar magister (S-2) di Program Studi
Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA)
Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini, penulis mendapat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima
kasih yang sebesar-besarnnya kepada:
1. Orang tua dan saudara penulis yang selalu memberikan dukungan, doa dan
motivasi agar penulis dapat meyeleaikan Tesis ini.
2. Bapak Dr. Imam Muklash, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika ITS,
yang telah membantu dan memberi dukungan selama masa perkuliahan dan
penyusunan Tesis ini.
3. Bapak Dr. Mahmud Yunus, M.Si. selaku Koordinator Programa Studi
Pascasarjana Matematika ITS, sekaligus sebagai dosen wali dan dosen
pembimbing penulis yang telah bersedia membimbing, memotivasi, dan
berbagi ilmu dengan sabar kepada penulis sehingga Tesis ini dapat
tersele-saikan.
4. Prof. Erna Aprliani, Dr. Subiono, dan Dr. Dwi Ratna selaku dosen penguji
yang banyak memberikan masukan, kritik, dan saran yang membantu penulis
dalam penyusunan Tesis ini.
5. Seluruh dosen Pascasarjana Matematika ITS yang telah memberikan ilmu
pengetahuan yang bermanfaat selama masa perkuliahan, serta staf
admin-istrasi dan karyawan Program Studi Magister Matematika-ITS atas segala
6. Keluarga besar mahasiswa Pascasarjana Matematika ITS 2013, dan semua
pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah membantu penulis
dalam proses penyusunan Tesis ini.
Semoga Allah SWT selalu memberikan karuniah dan hidayah-Nya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian Tesis ini.
Penulis menyadari bahwa selama masa penelitian dan penyelesaian Tesis ini
masih terdapat kekurangan dan kekeliruan. Oleh karena itu, penulis mengharap
kritik dan saran dari berbagai pihak yang bersifat membangun sebagai bahan
perbaikan dimasa yang akan datang. Semoga Tesis ini dapat bermanfaat bagi semua
pihak.
Surabaya, Juni 2016
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN i
ABSTRAK iii
ABSTRACT v
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR SIMBOL xiii
BAB I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . 4
1.3 Batasan Masalah . . . 4
1.4 Tujuan Penelitian . . . 5
1.5 Manfaat Penelitian . . . 5
BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI 7 2.1 Kajian Pustaka . . . 7
2.1.1 Wavelet Satu Variabel . . . 7
2.1.2 Wavelet Multivariabel . . . 9
2.2 Dasar Teori . . . 14
2.2.1 Transformasi Linear padaL∞p(Rn +×Rn) . . . 15
2.2.2 Fungsi Kontinu padaRn . . . 17
BAB III METODA PENELITIAN 19 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 21 4.1 Transformasi Wavelet Kontinu pada Ruang Lp(Rn) dengan Dilasi Vektor sebagai Transformasi Linear Terbatas . . . 24
4.2 Kontinuitas Fungsi Hasil Transformasi WaveletWψf . . . 33
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 45 5.1 Kesimpulan . . . 45
DAFTAR PUSTAKA 47
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Grafik Haar . . . 8
Gambar 2.2 Grafik Mexican Hat . . . 9
Gambar 4.1 Grafik B-Spline Order-2 . . . 42
DAFTAR SIMBOL
ψ fungsi wavelet
Rn himpunann−tupel bilangan real Rn
+ himpunann−tupel bilangan real positif Rn
+×Rn himpunan pasangan terurut antara elemen diRndengan elemen diRn+
Lp(Rn) ruang fungsi padaRndengan modulus pangkatpterintegral Lebesgue
L∞p(Rn
+×Rn) ruang fungsi dengan modulus pangkatpterintegral Lebesgue padaRn dan terbatas padaRn
+
Wψf Fungsi hasil transformasi wavelet
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bagian ini dijelaskan mengenai hal-hal yang melatar belakangi usulan penelitian, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, dan manfaat
penelitian.
1.1 Latar Belakang
Gagasan yang mendasari analisis wavelet berasal dari tesis Alfred Haar yang
berjudulThe Theory of Orthogonal Function Systemspada tahun 1909. Sedangkan
kata “wavelet” sendiri diberikan oleh Jean Morlet dan Alex Grossman di awal tahun
1980-an, yang berasal dari bahasa Perancis “ondelette” yang berarti gelombang
kecil. Kata “onde” yang berarti gelombang diterjemahkan kedalam bahasa Inggris
menjadi “wave”, lalu digabung dengan kata aslinya sehingga terbentuk kata baru
“wavelet” (Gunawan, 2014).
Transformasi wavelet merupakan perbaikan dari transformasi Fourier.
Trans-formasi Fourier hanya memberikan inTrans-formasi mengenai frekuensi yang muncul dari suatu sinyal, sedangkan transformasi wavelet tidak hanya memberikan informasi
mengenai frekuensi yang muncul, akan tetapi juga memberikan informasi waktu
dari frekuensi tersebut (Gunawan, 2014).
Dalam kasus satu variabel, wavelet merupakan suatu fungsi ψ ∈L2(R), ψ 6= 0 yang memenuhi kondisi
Z
R
ψ(t) dt = 0
sedangkan transformasi wavelet dari fungsif ∈L2(R)adalah
Wψf(a, b) := 1
a1/2
Z
R
f(t)ψ
t−b a
dt, a∈R+, b∈R
(Daubechies, 1992). Dalam hal ini, notasi ψ(t) menyatakan konjuget dari ψ(t).
Lebih lanjut, parameteradisebut faktor dilasi, sedangkan parameterbdisebut faktor
translasi. Ada dua jenis transformasi wavelet, yaitu transformasi wavelet kontinu
(TWK) dan transformasi wavelet diskrit (TWD). Perbedaan diantara keduanya
adalah pada nilai parameter translasi dan parameter dilasi. Untuk transformasi
bernilai bilangan real positif, sedangkan pada transformasi wavelet diskrit nilai
parameter translasi bilangan bulat dan nilai parameter dilasi bernilai bilangan bulat
positif. Secara fisis, jikaf(t)adalah amplitudo dari sinyal pada waktu ke-t, maka
fungsi hasil transformasi wavelet kontinuWψf(a, b)menyatakan amplitudo sinyal
pada frekuensibdan waktua(Gunawan, 2014).
Analog dengan kasus satu variabel, untuk kasus multivariabel, suatu fungsi
ψ ∈L2(Rn),ψ 6= 0disebut wavelet jika memenuhi kondisi
Z
Rn
ψ(t) dt= 0
sedangkan transformasi wavelet dari fungsif ∈L2(Rn)adalah
Wψf(a, b) := 1
an/2
Z
Rn
f(t)ψ
t−b a
dt, a∈R+, b∈Rn
denganaadalah faktor dilasi danbadalah faktor translasi (Daubechies, 1992).
Dalam bidang teknologi, transformasi wavelet diskrit memiliki manfaat yang
lebih besar dari transformasi wavelet kontinu , khususnya dalam teknologi
komputasi, hal ini disebabkan semua sinyal atau data yang diolah menggunakan
komputer selalu dalam bentuk sinyal atau data diskrit. Akan tetapi dari sisi
teoritis, transformasi wavelet kontinu merupakan salah satu topik matematika yang
mengalami pengembangan. Salah satu pengembangan tersebut adalah transformasi
wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn).
Diberikanf ∈ Lp(Rn), maka transformasi wavelet darif dengan faktor dilasi vektor adalah
Wψf(a, b) :=
1 (a1a2· · ·an)ρ
Z
Rn
f(t)ψ
t1−b1
a1
,· · · ,tn−bn an
dt (1.1)
dengana = (a1, a2,· · · , an) ∈ Rn+, b = (b1, b2,· · · , bn) ∈ Rn, dan ρ > 0tetap
(Pathak, 2009). Dengan demikian transformasi wavelet dari fungsi f ∈ Lp(Rn)
seperti persamaan (1.1) dapat juga ditulis ulang sebagai berikut
Wψf(a, b) := 1 (Qn
i=1ai)ρ Z
Rn
f(t)ψ
ti−bi
ai n
i=1
dt, a ∈Rn
+, b∈Rn
untuk pangkat ρ > 0 tetap. Disisi lain, sifat kontinuitas suatu fungsi dan
penelitian transformasi wavelet sebagai transformasi linear terbatas merupakan
memiliki sifat-sifat tertentu, antara lain nilai limit kiri dan limit kanan dari fungsi
kontinu adalah sama, fungsi kontinu yang monoton tegas memiliki invers yang juga
fungsi kontinu monoton tegas, fungsi kontinu merupakan fungsi terbatas dalam
R, dan fungsi kontinu memiliki nilai absolout maksimum dan minimum. Konti-nuitas suatu fungsi juga memiliki peranan dalam kalkulus integral dan diferensial,
kontinuitas suatu fungsi pada Rn merupakan syarat cukup agar fungsi tersebut tertintegral Riemann dan merupakan syarat perlu agar fungsi tersebut terdiferensial
padaRn. Lebih lanjut, dalam analisis fungsional, himpunan semua fungsi kontinu
padaRnmembentuk ruang Banach yang bersifat padat dalamLp(Rn). Sedangkan, suatu transformasi linear yang terbatas menunjukkan bahwa transfromasi tersebut
memiliki nilai berhingga dalam norma dan mengakibatkan transformasi tersebut
kontinu di setiap domain transformasi, disamping itu dari himpunan semua
trans-formasi linear terbatas dapat dibentuk suatu ruang Banach tertentu.
Dalam (Pathak, 1998) telah ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu
dari fungsi di L2(R) merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L2(R) ke ruang L2(R× R+), sedangkan dalam (Grossman dan Morlet, 1984) diperke-nalkan transformasi wavelet pada ruangLp(R), dengan mensubstitusi f ∈ L2(R) dengan f ∈ Lp(R), dan menunjukkan bahwa transformasi wavelet tersebut merupakan transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn)ke ruangL2(R)×Lp(Rn). Dalam (Pathak, 2004) juga ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu pada
ruang Lp(Rn) merupakan transformasi linear terbatas dari ruang Lp(R) ke ruang
L∞p(R
+×R). Untuk kekontinuan fungsi hasil transformasi wavelet satu variabel di ruangL2(R)dapat dilihat dalam (Navarro dan Herrera, 2012).
Sedangkan penelitian untuk mendapatkan syarat kontinuitas fungsi hasil
trans-formasi dan sifat transformai linear terbatas dari transtrans-formasi wavelet pada
persamaan (1.1) belum pernah dilakukan. Dalam penelitian ini, didapatkan syarat
kontinuitas fungsi hasil transformasi dan diselidiki bahwa transformasi wavelet
dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) merupakan transformasi linear terbatas. Kontinuitas yang dimaksud adalah kontinuitas padaRn
+×Rn, sedangkan transformasi linear yang dimaksud adalah transformasi linear dari ruangLp(Rn)ke
ruangL∞p(Rn
+×Rn). RuangL∞p(Rn+×Rn)adalah ruang fungsi yang berbentuk
L∞p(Rn
+×Rn) :=
(
f :Rn
+×Rn →C
sup
a∈Rn
+
Z
Rn
|f(a, b)|pdb
1/p
<∞
dengan norma
kfkL∞p := sup a∈Rn
+
Z
Rn
|f(a, b)|pdb
1/p
, f ∈L∞p(Rn
+×Rn)
dan merupakan perumuman untuk kasus multivariabel dari ruang L∞p(R+ ×R) dalam (Grossman dan Morlet, 1984).
Dengan demikian, dalam penelitian ini, pekerjaan yang dilakukan adalah
mendapatkan konstanta real positif M > 0 sedemikian hingga Wψf(a, b) pada
persamaan (1.1) memenuhikWψf(a, b)kL∞p ≤ Mkfkp, dan mendapatkan syarat
agar fungsi Wψf(a, b) pada persamaan (1.1) merupakan fungsi kontinu pada Rn
+×Rn.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang permasalahan di atas, maka rumusan masalah dalam
penelitian ini adalah
1. Apakah transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang
Lp(Rn)merupakan transformasi linear terbatas ?
2. Bagaimana syarat kekontinuan fungsi hasil transformasi wavelet kontinu
dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn)?
1.3 Batasan Masalah
Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi sebagai berikut:
1. NilaipdannpadaLp(Rn)masing-masing adalah bilangan asli.
2. Kekontinuan fungsi hasil transformasi yang dibahas adalah kekontinuan pada
Rn
+×Rn.
3. Transformasi wavelet kontinu yang dibahas merupakan transformasi linear
dari ruangLp(Rn)ke ruangL∞p(Rn
+×Rn).
4. Range dari fungsi dalam penelitian ini adalah himpunan bilangan kompleks
C.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan perumusan masalah yang ada, tujuan penelitian ini adalah
1. Mengidentifikasi bahwa transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi
vektor pada ruangLp(Rn)merupakan transformasi linear terbatas dari ruang
Lp(Rn)ke ruangL∞p(Rn
+×Rn).
2. Mendapatkan syarat agar fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan
faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn)merupakan fungsi kontinu padaRn
+×
Rn.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini antara lain
1. Sebagai tambahan wawasan dan keilmuan dalam matematika khususnya di
bidang transformasi wavelet.
2. Sebagai referensi untuk penelitian selanjutnya mengenai transformasi
wavelet.
BAB II
KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI
Pada bagian ini akan diberikan teori-teori yang menunjang dalam proses
penelitian, yaitu konsep teori ukuran dan integral diRn, transformasi linear terbatas, ruang Lp(Rn), ruang L∞p(Rn
+ ×Rn), fungsi kontinu di Rn, himpunan kompak, transformasi wavelet kontinu di ruangL2(R), transformasi wavelet kontinu di ruang
L2(Rn), dan transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor di ruang
Lp(Rn).
2.1 Kajian Pustaka
Pada bagian ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dari transformasi wavelet
satu variabel dari fungsi di ruang L2(R) dan ruang Lp(R), transformasi wavelet multivariabel L2(Rn) dan Lp(Rn), dan transformasi wavelet di ruang Lp(Rn) dengan faktor dilasi vektor.
2.1.1 Wavelet Satu Variabel
Diberikan L2(R) adalah kelas dari fungsi-fungsi bernilai kompleks pada Rn yang kontinu dan modulus kuadratnya terintegral Lebesgue padaR. Dalam kasus satu variabel, wavelet merupakan suatu fungsiψ ∈L2(R), ψ6= 0yang memenuhi kondisi rata-rata nol, yaitu
Z
R
ψ(t) dt = 0, t∈R
sedangkan definisi dari transformasi wavelet kontinu dari fungsi di ruang L2(R) adalah sebagai berikut
Definisi 2.1.1. (Daubechies, 1992) Diberikan ψ ∈ L2(R) adalah suatu wavelet.
Transformasi wavelet kontinu dari fungsif ∈L2(R)adalah fungsiW
ψf dengan
Wψf(a, b) := 1
a1/2
Z
R
f(t)ψ
t−b a
dt, a∈R+, b∈R (2.1)
Notasiψ(t)menyatakan konjuget dariψ(t). Dalam hal ini, parameteradisebut
faktor dilasi, sedangkan parameterbdisebut faktor translasi. Secara fisis interpetasi
maka fungsi hasil transformasi wavelet kontinuWψf(a, b)menyatakan amplitudo
sinyal pada frekuensibdan waktua(Gunawan, 2014). Waveletψmemenuhi kondisi
admissible, yaitu
Cψ = Z
R
|Ψ(ω)|2
|ω| dω <∞
dengan Ψ(ω) = R
Rψ(t)e
−itωdt adalah transformasi Fourier dari ψ. Sedangkan
invers dari transformasi wavelet satu dimensi tersebut adalah
f(t) = 1
Cψ Z
R
Z
R+
Wψf(a, b)ψ
t−b a
da a3/2db
(Daubechies, 1992) Salah satu contoh wavelet adalah wavelet Haar yang berbentuk
ψ(t) =
1 untuk 0≤t < 12,
−1 untuk 1
2 ≤t <1 0 untuk yang lain
Gambar 2.1: Grafik Haar
dan wavelet Topi Meksiko yang berbentuk
ψ(t) = 1−t2exp(−t
2
2), t∈R
(Chui, 1992).
Dalam (Grossman dan Morlet, 1984), transformasi wavelet satu variabel dari
Gambar 2.2: Grafik Mexican Hat
mendapatkan rumus invers transformasi wavelet kontinu satu variabel di ruang
Lp(R) tanpa syarat kekonvergenannya, serta menunjukkan bahwa transformasi
wavelet satu variabel di ruang Lp(R) merupakan transformasi linear terbatas dari
ruangLp(R)ke ruangL∞p(R+×R)dengan memenuhi
kWψf(a,·)kL∞p ≤ kψkL1kfkLp.
(Grossman dan Morlet, 1984). Dalam hal ini norma yang dimaksud adalah norma
dari ruang fungsi padaR. Disisi lain, dalam (Navarro dan Herrera, 2012) diberikan syarat sehingga fungsi hasil transformasi wavelet di L2(R) merupakan fungsi kontinu pada R+ ×R, yaitu wavelet ψ harus berupa fungsi kontinu bertumpuan kompak, dengan kata lainψ ∈C0(R).
2.1.2 Wavelet Multivariabel
Konsep transformasi wavelet dapat diperluas untuk kasus multivariabel. Dalam hal ini definisi wavelet analog dengan definisi wavelet pada kasus satu variabel.
DiberikanL2(R)nadalah kelas dari fungsi-fungsi bernilai kompleks padaRnyang kontinu dan modulus kuadratnya terintegral Lebesgue padaRn, yaitu
L2(Rn) :=
f :Rn→C|
Z
Rn
|f(t)|2dt <∞
Suatu fungsiψ ∈L2(Rn), ψ 6= 0disebut wavelet jika memenuhi kondisi rata-rata nol, yaitu
Z
Rn
ψ(t) dt= 0, t ∈Rn
sedangkan definisi dari transformasi wavelet kontinu dari fungsi di ruang L2(Rn) diberikan pada definisi di bawah.
Definisi 2.1.2. (Daubechies, 1992) Diberikan ψ ∈ L2(Rn) adalah suatu wavelet.
Transformasi wavelet kontinu dari fungsif ∈L2(Rn)adalah fungsiW
ψf dengan
Wψf(a, b) := 1
an/2
Z
Rn
f(t)ψ
t−b a
dt, a∈R+, b∈Rn (2.2)
Transformai wavelet di atas merupakan transformasi linear dari L2(Rn) ke
L∞(Rn)×L2(Rn). Dalam hal ini parametera disebut faktor dilasi danb disebut faktor translasi. Dari definisi wavelet dan transformasi wavelet di atas, terlihat
jelas bahwa fungsi hasil transformasi wavelet merupakan fungsi bernilai kompleks.
Integral yang digunakan dalam perhitungan transformasi wavelet di atas adalah
integral Lebesgue, hal ini bertujuan agar fungsi asal dapat dihampiri fungsi basis wavelet secara kombinasi linier dalam konsep almost everywhere, sebab pada
kenyataannya terdapat basis wavelet tertentu yang menghampiri fungsi asal secara
kombinasi linier tetapi tidak terintegral Lebesgue, akibatnya hampiran tersebut tidak
dapat dikatakan representasi dari fungsi asal.
Ambil kasus di R3, misalkanf(t, x, y)adalah ampliudo dari suatu sinyal citra hitam putih f yang bergantung pada waktu ke-t, derajat keabuan pada posisi
horizontal x, dan derajat keabuan pada posisi vertikal y, maka Wψf(a, b) pada
persamaan (2.2) merupakan amplitudo sinyal citra pada frekuensib = (b1, b2, b3)
yang terjadi pada posisi waktu a, dengan b1, b2, b3 masing-masing merupakan frekuensi sinyal yang bersesuaian dengan waktu ke-t, derajat warna putih x, dan
derajat warna hitam y berturut-turut. Seperti halnya pada wavelet satu variabel,
waveletψ multivariabel juga memenuhi kondisadmissibleyang berupa
Cψ = Z
Rn
|Ψ(ω)|2
|ω| dω <∞
dengan |ω| = pPn
i=1|ωi|2, dan Ψ(ω) adalah transformasi Fourier dari ψ.
Sedangkan invers transformasi wavelet multivariabel diL2(Rn)berbentuk
f(t) = 1
Cψ Z
Rn Z
Rn
+
Wψf(a, b)ψ
t−b a
(Daubechies, 1992). Jikaf ∈L1(Rn)∩L2(Rn), maka transformasi wavelet multi-variabelnya merupakan transformasi linear terbatas dari ruang L1(Rn) ke ruang
L1(Rn
+×Rn)dengan memenuhi
kWψf(a,·)kL1 ≤a
1/2(2π)−1kψk
L1kfkL1.
Beberapa contoh wavelet multivariabel antara lain wavelet Haar multivariabel yang
berbentuk
ψ(t) = n Y
i=1
ψi(ti), t= (t1,· · · , tn)∈Rn
dengan ψi adalah wavelet Haar satu variabel, serta wavelet Topi Meksiko
multi-variabel yang berbentuk
ψ(t) = 1− ktk2
exp(−ktk
2
2 ), t= (t1,· · · , tn)∈R n
(Chui, 1992). Untuk transformasi wavelet kontinu pada ruangLp(Rn), yaitu trans-formasi wavelet pada persamaan (2.2) dengan mensubstitusi f ∈ L2(Rn) dengan
f ∈Lp(Rn)dengan dilasi skalara > 0, dapat dilihat dalam (Pathak, 2009).
Selan-jutnya Pathak memperkenalkan transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi
vektor pada ruangLp(Rn).
Definisi 2.1.3. (Pathak, 2009) Diberikanψ ∈L2(Rn)adalah suatu wavelet.
Trans-formasi wavelet kontinu dari fungsif ∈Lp(Rn)adalah fungsiWψf dengan
Wψf(a, b) :=
1 (a1a2· · ·an)ρ
Z
Rn
f(t)ψ
t1−b1
a1
,· · · ,tn−bn an
dt (2.3)
dengana = (a1, a2,· · · , an)∈Rn+, b= (b1, b2,· · · , bn)∈Rn, danρ >0tetap.
Transformasi wavelet dari fungsi f ∈Lp(Rn)pada persamaan (2.3) dapat juga
ditulis ulang sebagai berikut
Wψf(a, b) := 1 (Qn
i=1ai)ρ Z
Rn
f(t)ψ
ti−bi
ai n
i=1
dt, a∈Rn
+, b∈Rn
untuk pangkatρ >0tetap.
Sebagai contoh perhitungan ambil kasus diR2untuk pangkatρ = 1. Diberikan
f ∈L2(R2)dengan
f(t) =
(
1
t1t2 untuk 1≤t1 <∞, 1≤t2 <∞
akan dihitung transformasi waveletnya menggunakan wavelet Haar dua variabel
ψ(t) =ψ1(t1) ψ2(t2), t= (t1, t2)∈R2
denganψi adalah wavelet Haar satu variabel
ψi(ti) = 0 untuk yang lain
Untuki= 1,2jelas bahwa 0 untuk yang lain
danf(t)dapat ditulis
Selanjutnya perhitungan transformasi wavelet dengan dilasi vektor dari fungsi f
adalah
dengan menggunakan teorema Fubini maka perhitungannya dapat dilakukan secara
bertahap untuk masing-masingi= 1,2.
• Untuk 1
berikutnya, misalkan untuki= 1,2
Wif(ai, bi) =
0 untuk yang lain
dengan demikian
atau dapat ditulis
0 untuk yang lain
Secara intuitif, faktor dilasi vektor a pada wavelet ψ menunjukkan bahwa nilai
fungsi wavelet ψ(t − b) pada masing-masing elemen dari variabel vektor t − b
mengalami dilasi dengan nilai yang berbeda, yaitu sebesar a1
i untuk setiap elemen
vektorti−bi, untuki= 1,2,· · · , n. Hal ini berbeda dengan wavelet yang memiliki
faktor dilasi bilangan real pada transformasi wavelet pada persamaan (2.2), dengan
nilai fungsi waveletψ(t−b)mengalami dilasi dengan nilai yang sama untuk setiap
elementi−bidari variabel vektort−b.
Dalam (Pathak, 1998) telah ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu
dari fungsi diL2(R) merupakan transformasi linear terbatas dari ruangL2(R) ke ruang L2(R ×R+). Selain itu dalam buku tersebut diperoleh syarat agar trans-formasi wavelet pada ruangLp(R)dengan dilasi vektor mempunyai invers, dengan
syaratnya adalahψ ∈Lp(Rn), dan rumus inversnya berbentuk
f(t) = (−1)n 1
. Akan tetapi penelitian untuk mendapatkan syarat
konti-nuitas fungsi hasil transformasi dan syarat transformasi wavelet kontinu pada ruang
Lp(Rn)dengan dilasi vektor sebagai transformasi linear terbatas belum dilakukan.
2.2 Dasar Teori
Pada bagian ini diberikan teori-teori pendukung yang berguna dalam penelitian
ini, antara lain konsep transformasi linear terbatas, ruangLp(Rn), ruangL∞p(Rn
+×
2.2.1 Transformasi Linear padaL∞p(Rn
+×Rn)
Pada bagian ini diberikan definisi ruang bernorma, transformasi linear terbatas
pada ruang bernorma, ruangLp(Rn), dan ruangL∞p(Rn
+×Rn).
Definisi 2.2.1. (Yunus, 2005) MisalkanV danW adalah dua ruang vektor atasF.
Transformasi linear dariV keW adalah pemetaanT :V →W yang memenuhi
(TL1) Untuk setiapx, y ∈V berlakuT(x+y) =T(x) +T(y)
(TL2) Untuk setiapc∈Fdanx∈V berlakuT(cx) =cT(x)
Selanjutnya berikut ini diberikan definisi transformasi linear terbatas pada ruang
bernorma.
Definisi 2.2.2. (Yunus, 2005) MisalkanV danW adalah dua ruang bernorma atas
F. Transformasi linearT :V →W dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real
M ≥0sedemikian hingga
kT(x)kW ≤MkxkV, ∀x∈V
Karena pembahasan mengenai transformasi linear terbatas pada transformasi
wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor di ruang Lp(Rn) dalam penelitian ini
merupakan transformasi linear dariLp(Rn)ke ruangL∞p(Rn
+×Rn), maka terlebih dahulu diberikan definisi dari ruangLp(Rn)dan ruangL∞p(Rn
+×Rn).
Diberikan nilai p yang memenuhi 1 ≤ p ≤ ∞, ruang Lp(Rn) didefinisikan sebagai
Lp(Rn) :=
f :Rn→C|
Z
Rn
|f(t)|pdt <∞
, untuk 1≤p <∞
dan
Lp(Rn) :={f :Rn →C|esssup|f(t)|<∞}, untuk p=∞
dengan untukf ∈Lp(Rn)didefinisikan norma baku padaLp(Rn)sebagai berikut
kfkLp := Z
Rn
|f(t)|pdt
1/p
, untuk 1≤p <∞
dan
kfkLp :=esssup|f(t)|<∞, untuk p=∞.
tidak didefinisikan Hasil Kali Dalam yang bersesuaian pada Lp(Rn), sedangkan untukp= 2, yaitu ruangL2(Rn)adalah ruang Hilbert dengan Hasil Kali Dalam
hf, giL2 :=
Z
Rn
f(x)g(x)dx, x∈Rn
(Jones, 1993). Selanjutnya, diperkenalkan ruangL∞p(Rn
+×Rn)yang merupakan perumuman untuk kasus multivariabel dari ruangL∞p(R+×R)dalam (Grossman dan Morlet, 1984), yaitu ruang fungsi yang berbentuk
L∞p(Rn
+×Rn) :=
(
f :Rn
+×Rn→C
sup
a∈Rn
+
Z
Rn
|f(a, b)|pdb
1/p
<∞
)
dengan norma
kfkL∞p := sup a∈Rn
+
Z
Rn
|f(a, b)|pdb
1/p
, f ∈L∞p(Rn
+×Rn)
Berikut ini diberikan beberapa teorema yang terkait dengan penelitian ini.
Teorema 2.2.1. (Jones, 1993) Diberikanp, q ∈Rdengan1≤p≤ ∞danqadalah
konjuget eksponen darip, yaitu
1
p +
1
q = 1.
Misalkanf dan g masing-masing adalah fungsi padaE ⊆ Rn bernilai kompleks.
Jikaf ∈Lp(E)dang ∈Lq(E), maka fungsif g ∈L1(E), serta berlaku
kf gkL1 ≤ kfkLpkgkLq.
Ketaksamaan di atas dikenal juga dengan Ketaksamaan Holder.
Teorema 2.2.2. (Jones, 1993) Jikaf ∈Lp(Rn)dengan1≤p <∞, maka berlaku
lim
|h|→0kf(·+h)−fkL
p = 0
dengan|h|= (Pn i=1h2i)
1/2
.
teorema di atas disebut sebagai teorema Kekontinuan Operator Translasi pada
f. Sebagai catatan, nilai p pada definisi ruang Lp(Rn) dan sifat-sifatnya di atas merupakan bilangan real yang memenuhi1≤p <∞, sedangkan dalam penelitian
2.2.2 Fungsi Kontinu padaRn
Tujuan penelitian ini, selain untuk menunjukkan bahwa transformasi wavelet
dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) merupakan transformasi linear terbatas, juga bertujuan untuk memberikan syarat cukup sehingga fungsi hasil
trans-formasi wavelet tersebut merupakan fungsi kontinu. Oleh karena itu perlu diberikan
definisi dan sifat-sifat dari fungsi kontinu padaRn.
Definisi 2.2.3. (Webb, 1991) Diberikan fungsi f : A ⊆ Rn → Rm. Fungsi f
dikatakan kontinu pada titika ∈Ajika dan hanya jika untuk setiapε >0terdapat
δ > 0sedemikian hingga kf(x)−f(a)kRm untuk x ∈ A dan kx−akRn. Jika f
kontinu pada setiap titik padaA, makaf dikatakan kontinu padaA.
Berdasarkan definisi di atas, fungsif dikatakan kontinu padaAjika dan hanya
jika
kf(t+h)−f(t)kRm →0, untuk khkRn →0.
Salah satu contoh fungsi kontinu adalah fungsi konstan dan fungsi linear(Apostol,
1996). Beberapa sifat fungsi kontinu antara lain jumlahan, pengurangan, perkalian,
pembagian, dan komposisi dua atau lebih fungsi kontinu menghasilkan fungsi yang
juga kontinu.
Teorema 2.2.3. (Webb, 1991) Misalkan fungsif : A⊆ Rn→ Rmdapat ditulis ke
dalam bentuk(f1, f2,· · · , fn). Fungsif kontinu padaa∈Ajika dan hanya jikafi
kontinu padaa.
teorema di atas menjamin bahwa setiap fungsi kontinu bernilai Rm yang komponen-komponennya dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi bernilai real,
berakibat komponen-komponennya juga merupakan fungsi kontinu, begitu juga
sebaliknya. Berikut ini diberikan teorema yang menyatakan hubungan antara
himpunan kompak dengan fungsi kontinu.
Teorema 2.2.4. (Yunus, 2005) Jika X himpunan kompak, maka untuk sebarang
fungsif : X → X yang kontinu diX mempunyai rangef(X)yang juga kompak.
Lebih lanjut, jikafadalah fungsi kontinu bijektif, maka inversnya, yaituf−1adalah
fungsi kontinu.
Tumpuan dari fungsif :A ⊆Rn→Cyang dinotasikan dengan supp(f)adalah closure suatu himpunan bagian dari domainf sedemikian hingga nilai fungsif di
himpunan tersebut tidak bernilai nol, dengan kata lain supp(f) adalah himpunan
yang berbentuk
Diberikan himpunan C0(Rn), yaitu himpunan semua fungsi kontinu bernilai real yang bertumpuan kompak, yaitu
C0(Rn) ={f :A⊆Rn→C:f kontinu, dan supp(f) kompak}
HimpunanC0(Rn)merupakan himpunan bagian dari Lp(Rn)dan bersifat padat di
BAB III
METODA PENELITIAN
Pada bagian ini diberikan tahapan yang digunakan untuk melakukan penelitian
ini.
1. Studi Literatur.
Pada tahap ini, ditelusuri dan dipelajari literatur tentang dasar teori dan
referensi terbaru yang terkait dalam penelitian ini, yaitu pembahasan
mengenai transformasi linear pada ruang bernorma, ruang Lp(Rn),
trans-formasi wavelet kontinu di ruang L2(R), transformasi wavelet kontinu di ruangL2(Rn), dan transformasi wavelet kontinu pada ruangLp(Rn) dengan
faktor dilasi vektor. Pembahasan ini bertujuan untuk menunjukkan bahwa
transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn) merupakan transformasi linear pada ruangL∞p(Rn
+×Rn).
2. Menunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu merupakan transformasi
linear terbatas.
Pada bagian ini diuraikan tahap-tahap yang berupa teorema beserta
pembuk-tiannya untuk menunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu dengan
faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) merupakan transformasi linear
terbatas pada ruangL∞p(Rn
+×Rn).
3. Mendapatkan syarat kekontinuan fungsi hasil transformasi.
Pada tahap ini diuraikan syarat kekontinuan fungsi padaRn
+×Rndari fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang
Lp(Rn).
4. Menulispaper.
Pada tahap ini, dilakukan penulisan paper dari hasil penelitian yang telah didapatkan.
5. Mengikuti seminar nasional.
Paper yang telah ditulis selanjutnya dipresentasikan dalam suatu seminar
6. Membuat kesimpulan.
Berdasarkan hasil penelitian terhadap transformasi wavelet kontinu dengan
faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) sebagai transformasi linear terbatas dan syarat kekontinuan fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan
faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn), maka dibuat suatu kesimpulan yang akan menjawab rumusan masalah yang diberikan sebelumnya.
7. Menulis laporan.
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini diberikan proses, penjabaran, dan pembuktian untuk membentuk
teorema yang memaparkan hasil dari penelitian ini, yaitu teorema yang menyatakan
bahwa transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn) merupakan transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn)ke ruangL∞p(Rn
+×Rn), serta teorema yang memberikan syarat cukup agar fungsi hasil transformasi wavelet
kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn)merupakan fungsi kontinu
padaRn
+×Rn. Pada pembahasan ini diasumsikan nilaipadalah bilangan asli, akan tetapi nilai konjuget darip, yaitu q, memenuhi 1 ≤ q ≤ ∞. Disamping itu, pada penelitian ini selalu diasumsikan notasiψ menyatakan fungsi wavelet.
Sebelumnya, untuk mempermudah penulisan, diberikan notasi-notasi
berikut. Diberikan ψ adalah wavelet, serta a= (a1, a2,· · · , an)∈Rn+,
b = (b1, b2,· · · , bn)∈Rn, didefinisikan fungsiψa,b, ψa, sebagai berikut
ψa,b(t) := 1 (Qn
i=1ai) ρ ψ
ti−bi
ai n
i=1
ψa, (t) := 1 (Qn
i=1ai) ρ ψ
ti
ai n
i=1
untuk setiap t= (t1, t2,·, tn)∈Rn dan ρ > 0 adalah tetap. Dengan demikian
transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn)yang
bersesuaian dengan waveletψdapat ditulis
Wψf(a, b) = 1 (Qn
i=1ai)ρ Z
Rn
f(t)ψ
ti−bi
ai n
i=1
dt
=
Z
Rn
f(t)ψa,b(t)dt
=
Z
Rn
f(t)ψa,(t−b)dt
Jelas bahwa notasi-notasi di atas ekivalen, akan tetapi penggunaanya disesuaikan
dengan penulisan agar penjabaran dan pembuktian pada lemma-lemma dan
diketahui bahwa fungsi wavelet ψ, disamping berada di L2(Rn) juga berada di
L1(Rn), hal ini disebabkan sifatR
Rnψ(t) = 0yang berakibat|ψ|terintegral.
Disamping itu fungsi ψa,b juga merupakan elemen di L1(Rn), untuk
menun-jukkan hal ini, pandangzi = ti−aibi untuki= 1,2· · · , n, karenaψ ∈L1(Rn), maka
dengan teknik integral substitusi didapat
Z
Suatu transformasi akan bermakna jika memiliki nilai berhingga, oleh karena
dalam hal ini perlu ditunjukkan bahwa fungsi hasil transformasi wavelet kontinu
dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn), yaitu W
ψf(a, b) memiliki nilai
berhingga. Dari kenyataanf ∈ Lp(Rn)dan ψa,b ∈ L1(Rn), maka fungsif ψa,b
merupakan fungsi terukur dan memiliki nilai berhingga. Berikutnya akan
ditun-jukkan nilai integral dari f ψa,b
adalah berhingga. Untuk menunjukkan hal ini,
akibatnya dari sifat integral didapat
∞, akibatnya dari sifat integral didapat
Disisi lain, karena RRn
terdapat konstanta real positifK sedemikian hingga
hal ini berakibat
Dengan demikian, dari sifat integral diperoleh
Ini artinya, nilai fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dari fungsi
f ∈Lp(Rn) dengan faktor dilasi vektor, yaitu Wψf(a, b)adalah berhingga, untuk setiapa∈Rn
+, b∈Rn.
4.1 Transformasi Wavelet Kontinu pada RuangLp(Rn)dengan Dilasi Vektor sebagai Transformasi Linear Terbatas
Telah dijelaskan sebelumnya pada bab 2 bahwa transformasi linear merupakan
pemetaan atau fungsi dari suatu ruang vektor ke ruang vektor yang lain yang
memenuhi sifat linearitas (additif dan homogen). Pada subbab ini akan ditunjukkan
bahwa transformasi wavelet dengan dilasi vektor dari fungsi f ∈ Lp(Rn), yaitu
Wψf merupakan transformasi linier terbatas, khususnya dengan domain Lp(Rn)
serta kodomainL∞p(Rn
+×Rn), dengan L∞p(Rn+×Rn)merupakan ruang fungsi yang berbentuk
L∞p(Rn
+×Rn) :=
(
f :Rn
+×Rn→C
sup
a∈Rn
+
Z
Rn
|f(a, b)|pdb
1/p
<∞
)
dengan norma
kfkL∞p := sup a∈Rn
+
Z
Rn
|f(a, b)|pdb
1/p
, f ∈L∞p(Rn
+×Rn)
Sebelumnya, untuk menunjukkan suatu relasi merupakan transformasi linear
terbatas atau tidak, terlebih dahulu perlu ditunjukkan bahwa relasi tersebut
merupakan pemetaan yang bersifat linear(additif dan homogen). Oleh karena itu,
terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa transformasi wavelet dengan dilasi vektor
Wψfmerupakan transformasi yang linier, yaitu bersifat additif dan homogen. Akan
tetapi sebelum itu, akan ditunjukkan bahwa transformasi waveletWψf merupakan
well-define. Ambil sebarang f1, f2 ∈ Lp(Rn), dengan f1(t) =f2(t), ∀t ∈ Rn, maka
Wψf1(a, b) =
Z
Rn
f1(t)ψa,b(t)dt
=
Z
Rn
f2(t)ψa,b(t)dt
=Wψf2(a, b), a∈Rn+, b∈Rn
Jadi, transformasi waveletWψf adalah well define
Selanjutnya akan ditunjukkan Wψf memenuhi sifat additif dan homogen.
a∈Rn
+, b∈Rnberlaku
Wψ(f1+f2)(t) =
Z
Rn
(f1+f2)(t)ψa,b(t)dt
=
Z
Rn
(f1(t) +f2(t))ψa,b(t)dt
=
Z
Rn
f1(t)ψa,b(t) +f2(t)ψa,b(t)dt
=
Z
Rn
f1(t)ψa,b(t)dt+ Z
Rn
f2(t)ψa,b(t)dt
=Wψf1(a, b) +Wψf2(a, b)
Ini berartiWψf bersifat additif. Berikutnya dari sifat integral, juga diperoleh
Wψ(cf1)(t) =
Z
Rn
(cf1)(t)ψa,b(t)dt
=
Z
Rn
cf1(t)ψa,b(t)dt
=c
Z
Rn
f1(t)ψa,b(t)dt
=cWψf1(a, b)
Ini artinyaWψf bersifat homogen. Jadi transformasi wavelet kontinu dengan dilasi
vektor dari fungsi di Lp(Rn)merupakan transformasi linear dari ruang Lp(Rn) ke ruangL∞p(Rn
+×Rn).
Berdasarkan definisi transformasi linear terbatas yang dijelaskan di bab 2,
untuk menunjukkan transformasi linearT :Lp(Rn)→L∞p(Rn
+×Rn)merupakan suatu transformasi linear terbatas, harus didapatkan suatu konstanta real positifM
sedemikian hingga
kT(f)kL∞p ≤MkfkLp
Dalam hal ini, nilaiM tidak bergantung padaf.
Nilai konstantaM pada ketaksamaan dalam definisi transformasi linier terbatas
di atas menunjukkan bahwa norma fungsi hasil transformasi di domain trans-formasi tidak mungkin melebihi penggandaan norma fungsi asal di domain asal
fungsi. Dalam bidang terapan, dapat dikatakan bahwa sinyal hasil transformasi
tidak mungkin sama dengan sinyal asal, melainkan menghampiri sinyal asal.
Dilain pihak fungsi hasil transformai wavelet kontinu dengan dilasi vektor dari
didapat
hal ini juga berarti
Z
akibatnya dari teorema Fubini, diperoleh
Z
dengan demikian diperoleh
Z
Rn
|Wψf(a, b)|db <∞
positif A sehingga |Wψf(a, b)| < A, ∀ b ∈ Rn dengan a ∈ Rn+ tetap. Oleh
Secara intuitif dapat dikatakan bahwa transformasi wavelet dengan dilasi vektor
Wψf merupakan elemen diLp(Rn)terhadap faktor translasinya, sebab pada (4.2)
terlihat bahwa faktor translasibmengalami integral, sedangkan faktor dilasiahanya
bertindak sebagai konstanta.
Dengan mengunakan kenyataan bahwa Wψf(a,·) merupakan elemen di
Lp(Rn), maka dapat diperoleh beberapa sifat dari transformasi wavelet kontinu pada ruangLp(Rn)dengan dilasi vektor, yaituWψf, yang dinyatakan dalam lemma berikut
Lemma 4.1.1. Diberkan f ∈ Lp(Rn), a ∈ Rn
+ dan W ψf adalah transformasi
wavelet darif. Misalkanqadalah konjuget eksponen darip, maka
(a) Fungsif(t)ψa, (t− ·)elemenLp(Rn).
Lp terintegral pada
Rn.
terdapat konstanta real positifC sedemikian hingga
hal ini berakibat
maka dari sifat integral diperoleh
oleh karena itu
(b) Karenaq konjuget eksponen darip,maka (p−1)q = p, akibatnya berdasarkan (4.2) diperoleh
Lemma 4.1.1 di atas merupakan sifat khusus dari transformasi wavelet dengan
dilasi vektor Wψf. Terlihat bahwa faktor translasi b merupakan variabel yang
dikenai operator integral pada sifat-sifat pada Lemma 4.1.1 di atas, sedangkan faktor translasiahanya bertindak sebagai konstanta.
Lemma 4.1.1 dan (4.2) di atas menunjukkan keterkaitan antara fugnsi hasil
transformasi wavelet kontinu dengan dilasi vektor, yaitu Wψf dengan ruang dari
fungsi asalnya, yaitu ruang Lp(Rn). Pada (4.2) menunjukkan bahwa fungsi hasil transformasi wavelet dengan dilasi vektorWψfberada di ruangLp(Rn), sedangkan
pada Lemma 4.1.1 a) menyatakan bahwa hasil kali fungsi dengan waveletnya yg
dalam ruang Lp(Rn). Untuk Lemma 4.1.1 b) menunjukkan keterkaitan antara fungsi hasil transformasi wavelet dengan dilasi vektor Wψf dengan ruang fungsi
konjuget dari fungsi asal, yaitu ruang Lq(Rn), dengan fungsi hasil transformasi
Wψf berada dalam ruangLq(Rn)jika fungsi hasil transformasiWψf dipangkatkan
sebesar p − 1. Sedangkan Lemma 4.1.1 c) dapat dikatakan sebagai kelanjutan
dari Lemma 4.1.1 a), jika dalam Lemma 4.1.1 a) ditunjukkan bahwa perkalian
fungsi dengan wavelet berada dalamLp(Rn), maka dalam lema 4.1.1 c) ditunjukkan
bahwa norma dalamLp(Rn)dari perkalian fungsi dengan waveletnya berada dalam
Lp(Rn)atau terintegral.
Berdasarkan Lemma 4.1.1 di atas, dapat dibentuk suatu lemma lain yang
memberikan suatu ketaksamaan pada transformasi wavelet kontinu dari fungsi
f ∈Lp(Rn)dengan dilasi vektor yang nantinya berguna untuk membuktikan bahwa transformasi wavelet kontinu pada ruang Lp(Rn)dengan dilasi vektor merupakan transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn)ke ruangL∞p(Rn
+×Rn).
Lemma 4.1.2. Diberikanf ∈Lp(Rn),ψwavelet,a∈Rn
+danW ψf adalah
trans-formasi wavelet darif. Misalkanqadalah konjuget eksponen darip, maka
selanjutnya dengan menggunakan ketaksamaan Holder yang berlaku pada
Lemma 4.1.1 (a) dan (b) serta dari teorema Fubini, maka diperoleh
maka diperoleh
ruas kanan ketaksamaan (4.3) di atas adalah berhingga sebab dari Lemma 4.1.1 (b)
nilai
adalah berhingga dan dari Lemma 4.1.1 (c)
nilai RRn
Lpdt juga berhingga. Berikutnya asumsikan
nilai dari
= 0, lalu bagi kedua ruas dengan
maka ruas kanan ketaksamaan (4.3) di atas
sedangkan ruas kiri ketaksamaan (4.3) menjadi
akibatnya ketaksamaan (4.3) menjadi
kWψf(a,·)kLp ≤
Dengan menggunakan sifat ketaksamaan pada Lemma 4.1.2 di atas dapat
dibentuk teorema yang menyatakan bahwa transformasi kontinu pada ruangLp(Rn) dengan dilasi vektor merupakan transformasi linear terbatas, dengan kata lain,
dibentuk teorema yang menunjukkan terdapat konstanta real positifM sedemikian
hingga transformasi linear terbatasT :Lp(Rn)→L∞p(Rn
+×Rn)memenuhi
kT(f)kL∞p ≤MkfkLp
Teorema 4.1.1. Transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor dari
fungsif ∈Lp(Rn)untukρ= 1merupakan transformasi linear terbatas dari ruang
Lp(Rn)ke ruangL∞p(Rn
+×Rn)dengan memenuhi
Bukti. Diberikan a = (ai)n
akibatnya, dengan menerapkan teorema Fubini, didapat
Z
dengan demikian, dari Lemma 4.1.2 diperoleh
dengan demikian
sup a∈Rn
+
Z
Rn
Wψf(a,·)
Lp
≤ kψkL1kfkLp.
Jadi
kWψf(·,·)kL∞p ≤ kψkL1kfkLp.
karena
T(f) = Wψf(a,·)
maka didapat
kT(f)kL∞p ≤ kψkL1kfkLp.
Ini artinya transformasi wavelet kontinu Wψf dengan faktor dilasi vektor
merupakan transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn)ke ruangL∞p(Rn
+×Rn), sebab terdapat konstantaM >0denganM =kψkL1 sedemikian hingga
kT(f)kL∞p ≤MkfkLp.
Teorema di atas menyatakan bahwa transformasi wavelet kontinu dengan faktor
dilasi vektor pada ruangLp(Rn)merupakan transformasi linear terbatas dari ruang
Lp(Rn) ke ruang L∞p(Rn
+ × Rn). Ini secara tidak langsung telah membuktikan asumsi sebelumnya bahwa fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan dilasi
vektor dari fungsif ∈Lp(Rn), yaituWψf merupakan elemen di ruangL∞p(Rn
+×
Rn). Hal ini merupakan perumuman dari hasil yang diperoleh Grossman yang menyatakan bahwa transformasi wavelet satu variabel dari fungsi f ∈ Lp(R)
merupakan transformasi linier terbatas dari ruangLp(R)ke ruangL∞(R)×Lp(R).
4.2 Kontinuitas Fungsi Hasil Transformasi WaveletWψf
Pada bagian ini diberikan syarat agar fungsi hasil transformasi wavelet pada
ruangLp(Rn)dengan dilasi vektor merupakan fungsi kontinu padaRn
+×Rn, akan tetapi terlebih dahulu perlu diberikan lemma-lemma yang berguna untuk membantu
Lemma 4.2.1. Jikaψ ∈C0(Rn)makaψa,b∈C0(Rn)untuka∈Rn+danb ∈Rn.
Bukti. Diberikanψ ∈C0(Rn), ini berartiψkontinu dan bertumpuan kompak pada Rn. Terlebih dahulu akan ditunjukkan ψ
a,b kontinu. Jelas bahwaψa,b : Rn → Rn
dan berbentuk
ψa,b(t) = 1 (Qn
i=1ai) ρψ
ti−bi
ai n
i=1
, ∀t = (t1,· · · , tn)∈Rn
dengana = (a1,· · · , an) ∈ Rn+, b = (b1,· · · , bn) ∈ Rn dan ρ > 0adalah tetap.
Selanjutnya, untuki= 1,2, ..., n, didefinisikan fungsiri :R→Rdengan
ri(ti) =
ti−bi
ai
, ∀ti ∈R
dengan ai ∈ R+, bi ∈ R adalah konstanta. Jelas ri adalah fungsi kontinu pada Runtuk setiap i = 1,2, ..., n, sebab ri fungsi linier. Dilain pihak pandang fungsi
r:Rn→Rnyang didefinisikan dengan
r(t) = (r1(t1), r2(t2),· · · , rn(tn))
=
t1−b1
a1
,t2−b2 a2
, ...,tn−bn an
, ∀t ∈Rn (4.4)
Karena ri kontinu pada R untuk setiap i = 1,2, ..., n, maka r kontinu pada Rn.
Berikutnya, pandang fungsi komposisiψ◦ryang berbentuk
(ψ◦r)(t) =ψ(r(t))
=ψ
t1 −b1
a1
,t2−b2 a2
, ...,tn−bn an
=ψ
ti−bi
ai n
i=1
, ∀t ∈Rn (4.5)
karena wavelet ψ kontinu pada Rn dan r kontinu pada Rn, maka dari sifat fungsi komposisi, diperoleh ψ◦r kontinu padaRn. Sementara itu, dari persamaan (4.4) dan (4.5) diperloeh
ψa,b(t) = 1 (Qn
i=1ai)
ρ(ψ◦r)(t), ∀t∈Rn
ini berartiψa,b= (Qn1 i=1ai)
ρψ◦r. Dengan demikian,ψa,bkontinu padaRn.
A⊆Rn
Misalkan dalam hal ini domain dari fungsir dibatasi hanya padaA ⊆Rn
+. Karena
ψ bertumpuan kompak, maka dari definisi fungsi 1 (Qn
i=1ai)
ρψ ◦r di atas, didapat
range dari r yaitu r(A) adalah himpunan kompak. Di lain pihak jelas bahwaa r
adalah fungsi injektif (sebab r fungsi linier), maka r mempunyai invers, dengan
demikian, dari sifat himpunan kompak, diperolehr−1(A) =Aadalah kompak. Ini
artinya tumpuan dari 1 (Qn
i=1ai)
ρψ ◦r, yaitu A adalah kompak. Mengingat bahwa
ψa,b = (Qn1 i=1ai)
ρψ◦r, maka tumpuan dariψa,badalah kompak.
Jadi ψa,b kontinu dan bertumpuan kompak pada Rn, dengan kata lain
ψa,b ∈C0(Rn).
Lemma 4.2.1 di atas menunjukkan bahwa kekontinuan dan tumpuan kompak
dari fungsi wavelet berakibat kekontinuan dan tumpuan kompak pada fungsi
wavelet setelah mengalami translasi dan dilasi. Dengan kata lain, translasi dan
dilasi pada wavelet tidak merubah kekontinuan dan tumpuan kompak dari wavelet
tersebut, jika wavelet tersebut kontinu dan bertumpuan kompak.
Selanjutnya, teorema di bawah ini menyatakan bahwa transformasi wavelet
kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn)yaituWψf, bersifat kontinu terhadap faktor translasinya jika wavelet yang bersesuaian merupakan fungsi
kontinu bertumpuan kompak. Kekontinuan yang dimaksud adalah kekontinuan atas
Bukti. Jelas bahwa
maka dari definisi fungsi ψa,b dan dari teorema kekontinuan operator translasi
berlaku
Lemma di atas mirip dengan Teorema Kekontinuan Operator Translasi pada
fungsi di ruang Lp(Rn, hanya saja perbedaannya, pada lemma di atas nilai q
memenuhi 1 ≤ q ≤ ∞, sedangkan pada teorema kekontinuan operator translasi
Di bawah ini diberikan lemma yang menunjukkan bahwa fungsi wavelet bersifat
kontinu terhadap faktor dilasinya.
Lemma 4.2.3. Didefinisikan fungsiG:Rn
+ →Rndengan
G(a) = Qn1 i=1a
ρ i
ψ
ti−bi
ai n
i=1
∀a= (a1,· · · , an)∈Rn+
dengan t = (t1,· · · , tn), b = (b1,· · · , bn) ∈ Rn dan ρ > 0 adalah tetap. Jika
waveletψ kontinu padaRnmakaGkontinu padaRn +.
Bukti. Diberikan ψ kontinu pada Rn. Selanjutnya, Untuk i = 1,2, ..., n,
didefinisikan fungsivi :R+→Rdengan
vi =
ti−bi
ai
, ∀ai ∈R+
denganti, bi ∈Radalah tetap. Jelasvi adalah fungsi kontinu padaR+untuk setiap
i = 1,2, ..., n, sebabvi fungsi rasional. Dilain pihak pandang fungsiv :Rn+ →Rn yang didefinisikan dengan
v(a) = (v1(a1), v2(a2), ..., vn(an))
=
t1−b1
a1
,t2−b2 a2
, ..., tn−bn an
, ∀a∈Rn
+ (4.6)
dengan t, b ∈ Rn adalah tetap. Karena vi kontinu pada R+ untuk setiap
i= 1,2,· · · , n, maka v kontinu padaRn
+. Selanjutnya, karena wavelet ψ kontinu pada Rn, maka ψ juga kontinu padaRn
+, dengan demikian, jika diberikan fungsi komposisiψ◦v yang berbentuk
(ψ◦v)(a) =ψ(r(a))
=ψ
t1−b1
a1
,t2−b2 a2
,· · · ,tn−bn an
=ψ
ti−bi
ai n
i=1
(4.7)
maka ψ ◦ v kontinu pada setiap a ∈ Rn
+. Sementara itu, jelas fungsi rasional
p:Rn
+→Ryang berbentuk
p(a) = Qn1 i=1a
ρ i
adalah kontinu padaRn
+. Dengan demikian, dari persamaan (4.6) dan (4.7) fungsi
Gberbentuk
Terlihat bahwaGadalah komposisi dari fungsi-fungsi kontinu, akibatnyaGkontinu
disetiap titik∀a∈Rn
+. JadiGkontinu padaRn+.
Dari Lemma 4.2.2 dan Lemma 4.2.3 di atas, dapat dikatakan bahwa fungsi wavelet ψ bersifat kontinu terhadap faktor translasi dan dilasinya, jika wavelet ψ
merupakan fungsi kontinu dan bertumpuan kompak padaRn. Perbedaan dengan Lemma 4.2.1, jika pada Lemma 4.2.1 waveletψ yang telah dikenai translasi dan
dilasi, yaitu ψa,b bersifat kontinu pada Rn, maka pada Lemma 4.2.2 dan Lemma
4.2.3 waveletψ kontinu padaRnterhadap faktor translasi dan dilasinya. Tenu saja dengan syarat cukup yang diberikan, yaitu waveletψharus kontinu dan bertumpuan
kompak padaRn.
Selanjutnya, lemma di bawah ini merupakan akibat dari Lemma 4.2.3.
Lemma 4.2.4. Jika waveletψ ∈C0(Rn),ha = (ha1,· · · , han)∈R fungsiGdapat ditulis sebagai
G(a) = Qn1
KarenaGkontinu padaRn
+(dari Lemma 4.2.3), maka
akibatnya
lim
|ha|→0
1 (Qn
i=1(ai +hai)) ρψ
ti−bi (ai +hai)
n
i=1
= 1
(Qn i=1ai)
ρψ
ti−bi
ai n
i=1
Berdasarkan Lemma 4.2.1 sampai Lemma 4.2.4 sebelumnya, maka dibentuk
teorema yang memberikan syarat cukup agar fungsi hasil transformasi wavelet
dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn) merupakan fungsi kontinu pada Rn
+×Rn.
Perhatikan kembali ha = (ha1,· · ·, han) ∈ R n
+ dan hb = (hb1,· · · , hbn) ∈
Rn. Diberikan h ∈ R2n dengan h = (h
a1,· · · , han, hb1,· · · , hbn). Selanjutnya,
misalkanH adalah fungsi sedemikian hingga
H(a, b, t) = 1 (Qn
i=1ai)ρ
ψ
ti−bi
ai n
i=1
dengan demikian dari Lemma 4.2.2 dan Lemma 4.2.4 masing-masing berlaku
lim
|hb|→0
kH(a, b+hb,·)kLq =H(a, b,·) dan lim
|ha|→0
|H(a+ha, b,·)|=H(a, b,·)
ini berarti, untuk setiapε >0terdapatδb >0danδa >0sedemikian hingga
kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)kLq < ε, jika |hb|< δb.
dan
|H(a+ha, b,·)−H(a, b,·)|< ε, jika |ha|< δa.
Disisi lain, telah diketahuih= (ha1,· · · , han, hb1,· · · , hbn), maka diperoleh
|h|<(δa+δb)1/2.
Ini artinya, untuk|h| →0berlaku
kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)kLq = 0, dan |H(a+ha, b,·)−H(a, b,·)|= 0
tanpa mengurangi keumuman maka juga berlaku
Dengan demikian dari ketaksamaan Holder diperoleh
untuk|h| →0. Hasil tersebut membawa pada teorema berikut.
Teorema 4.2.1. Diberikan ψ adalah wavelet. Jika wavelet ψ ∈ C0(Rn), maka
fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dari fungsi f ∈ Lp(Rn) dengan dilasi
vektor, yaituWψf, merupakan fungsi kontinu padaRn+×Rn.
maka transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn)
dapat ditulis
Dengan demikian, dari ketaksamaan Holder diperoleh
|Wψf(a+ha, b+hb)−Wψf(a, b)|=
dengan menerapkan ketaksamaan segitiga didapat
kH(a+ha, b+hb,·)−H(a, b,·)kLq
=kH(a+ha, b+hb,·)−H(a+ha, b,·) +H(a, b+hb,·)−H(a, b,·)kLq
≤ kH(a+ha, b+hb,·)−H(a+ha, b,·)kLq +kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)kLq
(4.9)
dari ruas kanan ketaksamaan (4.9) di atas. Dari Lemma 4.2.4, untuk|ha| →0maka
berlaku
kH(a+ha, b+hb,·)−H(a+ha, b,·)kLq =kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)kLq
(4.10)
Berikutnya dari Lemma 4.2.2, untuk|hb| → 0, maka pada ketaksamaan (4.9) dan
persamaan (4.10) berlaku
kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)kLq = 0.
Dengan demikian untuk |h| → 0dengan h = (ha1,· · · , han, hb1,· · · , hbn) ∈ R
2n
berlaku
kH(a+ha, b+hb,·)−H(a+ha, b,·)kLq =kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)kLq
(4.11)
dan
kH(a, b+hb,·)−H(a, b,·)kLq = 0. (4.12)
akibatnya dari persamaan (4.11) dan (4.12) ruas kanan pada ketaksamaan (4.9)
menjadi nol. Dengan demikian dari ketaksamaan (4.8) berlaku
lim
|h|→0|Wψf(a+ha, b+hb)−Wψf(a, b)|= 0
Ini artinya fungsi hasil transformasi wavelet dengan dilasi vektor dari fungsi
f ∈Lp(Rn), yaituW
ψ, kontinu padaRn+×Rn.
Teorema 4.2.1 di atas menyatakan bahwa syarat cukup sehingga fungsi
trans-formasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor dari fungsi f ∈ Lp(Rn) merupakan fungsi kontinu pada Rn
+ × Rn adalah wavelet ψ merupakan fungsi kontinu bertumpuan kompak pada domain Rn. Salah satu contoh wavelet satu variabel yang kontinu dan bertumpuan kompak adalah wavelet Daubechies dan
wavelet B-Spline dengan order lebih dari1, misalnya saja wavelet B-Spline order-2
0 untuk yang lain
atau wavelet B-Spline order-3 yang berbentuk
Gambar 4.1: Grafik B-Spline Order-2
ψ(t) =
0 untuk yang lain
Gambar 4.2: Grafik B-Spline Order-3
B-Spline order lebih dari padaR2, yaitu
ψ(t) = ψ1(t1)ψ2(t2), t= (t1, t2)∈R2
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini, diberikan kesimpulan dari hasil penelitian yang telah dilakukan.
Selain itu, diberikan saran untuk penelitian selanjutnya
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, diperoleh kesimpulan
sebagai berikut
1. Transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn)
adalah transformasi linear terbatas dari ruangLp(Rn)ke ruangL∞p(Rn +×Rn) untukρ= 1dengan konstantaM =kψkL1.
2. Syarat cukup fungsi hasil transformasi wavelet kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruang Lp(Rn)merupakan fungsi kontinu pada Rn
+×Rn adalah waveletψ merupakan fungsi kontinu bertumpuan kompak padaRn.
5.2 Saran
Saran yang diberikan untuk penelitian berikutnya khususnya yang berkaitan
dengan transformasi wavelet kontinu pada ruangLp(Rn)dengan dilasi vektor antara lain:
1. Pada penelitian berikutnya dapat diteliti tentang invers transformasi wavelet
kontinu dengan faktor dilasi vektor pada ruangLp(Rn).
2. Pada penelitian berikutnya dapat diteliti mengenai terapan dari transformasi