TRACE MATRIKS TOEPLITZ TRIDIAGONAL
n n
BERPANGKAT DUA DAN TIGA
TUGAS AKHIR
Dia ju ka n s eba ga i S a la h S a t u S ya ra t untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains
pada Program Studi Matematika
oleh :
HERNITA 11754202066
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU
2023
ii
LEMBAR PERSETUJUAN
TRACE MATRIKS TOEPLITZ TRIDIAGONAL
n n
BERPANGKAT DUA DAN TIGA
TUGAS AKHIR
oleh:
HERNITA 11754202066
Telah diperiksa dan disetujui sebagai laporan tugas akhir di Pekanbaru, pada tanggal 10 Januari 2023
Ketua Program Studi Pembimbing
Wartono, M.Sc. Fitri Aryani, M.Sc
NIP. 19730818 200604 1 003 NIP. 19770913 200604 2 002
LEMBAR PENGESAHAN
TRACE MATRIKS TOEPLITZ TRIDIAGONAL
n n
BERPANGKAT DUA DAN TIGA
TUGAS AKHIR
oleh:
HERNITA 11754202066
Telah dipertahankan di depan sidang dewan penguji sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau di Pekanbaru, pada tanggal 10 Januari 2023
Pekanbaru, 10 Januari 2023 Mengesahkan,
Dekan
Dr. Hartono, M.Pd.
NIP. 19640301 199203 1 003
Ketua Program Studi
Wartono, M.Sc.
NIP. 19730818 200604 1 003
DEWAN PENGUJI :
Ketua : Sri Basriati, M.Sc Sekretaris : Fitri Aryani, M.Sc.
Anggota I : Corry Corazon Marzuki, M.Si.
Anggota II : Zukrianto, M.Si.
LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL
Tugas Akhir yang tidak diterbitkan ini terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau adalah terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta pada penulis. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau ringkasan hanya dapat dilakukan seizin penulis dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.Penggandaan atau penerbitan sebagian atau seluruh Tugas Akhir ini harus memperoleh izin dari Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau. Perpustakaan yang meminjamkan Tugas Akhir ini untuk anggotanya diharapkan untuk mengisi nama, tanda peminjaman dan tanggal pinjam.
LEMBAR PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam Tugas Akhir ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Pekanbaru, 10 Januari 2023 Yang membuat pernyataan,
HERNITA
11754202066
LEMBAR PERSEMBAHAN
"Mereka berkata, ‘Maha suci Engkau, tidak ada yang Kami ketahui selain dari apa yang telah Engkau ajarkan kepada kami; Sesungguhnya Engkaulah
yang Maha mengetahui lagi Maha Bijaksana”
(Al-Baqarah Ayat 32)
Alhamdulillahhirobbil’alamin...
Segala Puji dan syukur yang tak terhingga kuhaturkan kepadaMu ya Allah Tuhan seluruh alam Dengan limpahan Rahmat dan kasih sayangMu Aku bisa terus melangkah hingga menghantarkanku pada suatu titik awal pencapaian dalam hidupku Tiada daya dan upaya melainkan pertolonganMu ya Allah hingga karya
kecil ini bisa terselesaikan.
Tak lupa shalawat dan salam Teruntuk insan yang Mulia kekasih Allah Nabi Muhammad Sholallahu Alaihi Wa Salam Engkaulah cahaya bagi seluruh alam
Memberikan suri tauladan bagi kehidupan Terkhusus kepada:
Kedua orang tuaku Ayahanda Herdison
Terimakasih atasmu untuk Setiap tetesan keringatmu adalah saksi bisu dalam setiap langkahku Keriput di wajahmu gambarkan perjuanganmu untukku Tak kan pernah
terganti setiap waktu yang kau habiskan untuk penghidupanku.
Ibunda Murni
Kasih sayangmu yang tiada tara, kesabaranmu yang tiada batas Doamu yang senantiasa kau kirimkan Tak kan pernah lekang oleh waktu Tak kan terbayar oleh tetesan darahku.
Terimakasih ibu..
Terimakasih ayah…
TRACE MATRIKS TOEPLITZ TRIDIAGONAL
n n
BERPANGKAT DUA DAN TIGA
HERNITA NIM : 11754202066
Tanggal Sidang : 10 Januari 2023 Tanggal Wisuda :
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No. 155 Pekanbaru
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan bentuk umum matriks toeplitz tridiagonal bentuk khusus berpangkat dua dan tiga. Kemudian mendapatkan trace matriks toeplitz tridiagonal bentuk khusus pangkat dua dan tiga. Ada beberapa langkah yang harus dilakukan, langkah pertama mendapatkan bentuk umum matriks toeplitz tridiagonal bentuk khusus pangkat dua dengan mengalikan matriks toeplitz tridiagonal bentuk khusus pangkat satu dengan matriks toeplitz tridiagonal bentuk khusus pangkat satu. Selanjutnya, mendapatkan bentuk umum matriks toeplitz tridiagonal pangkat tiga dengan cara mengalikan matriks toeplitz tridiagonal bentuk khusus pangkat dua dengan matriks tridiagonal bentuk khusus pangkat satu. Trace matriks toeplitz tridiagonal bentuk khusus berpangkat dua dan tiga diperoleh dengan menggunakan definisi trace matriks. Lalu bagian akhir pada penelitian ini ialah diberikan aplikasi dari trace matriks toeplitz tridiagonal bentuk khusus pangkat dua dan tiga.
Kata Kunci: matriks toeplitz tridiagonal, trace matriks, pembuktian langsung.
TRACE OF THE DOUBLE AND THREE POWER
TRIDIAGONAL n n TOEPLITZ MATRIX
HERNITA NIM : 11754202066
Date of Final Exam : January 10th, 2023 Date of Graduation :
Mathematics Program Study Faculty of Science and Technology
State Islamic University of Sultan Syarif Kasim Riau Soebrantas Street No.155 Pekanbaru
ABSTRACT
This study aims to obtain the general form of the tridiagonal Toeplitz matrix with special forms of the second and third powers. Then get the trdiagonal toeplitz matrices of special form powers of two and three. There are several steps that must be done, the first step is to get the general form of the special form power of the tridiagonal toeplitz matrix by multiplying the special power of the tridagonal toeplitz matrix with the special first power of the tridiagonal toeplitz matrix. Next, obtain the general form of the third power of the trdiagonal toeplitz matrix by multiplying the special power of the 2nd power of the tridiagonal toeplitz matrix with the special first power of a tridiagonal matrix. Tridiagonal tridiagonal toeplitz trace matrices of special shapes raised to the power of two and three are obtained by using the definition of a trace matrix. Then the final part of this study is given the application of the tridiagonal toeplitz trace matrix special form powers of two and three.
Keywords: tridiagonal toeplitz matrix, trace matrix, direct proof.
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobbil’alamin segala puji syukur kepada Allah SWT karena atas rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan judul “Trace Matriks Toeplitz Tridiagonal Berpangkat Dua Dan Tiga”. Shalawat beserta salam semoga tercurahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW, mudah-mudahan kita semua mendapat syafa’atnya kelak.
Tugas Akhir ini dapat penulis selesaikan tidak terlepas dari bantuan, support, serta motivasi dari berbagai pihak, terutama kedua orang tua ayahanda Herdison dan ibunda Murni yang selalu hadir dan memberikan sumbangsi baik secara materi maupun bathin, Suci dan Tika sebagai seorang kakak yang selalu ada dan memberikan semangat berupa apapun itu. Pada kesempatan kali ini, penulis juga ingin menyampaikan rasa terimakasih yang mendalam kepada beberapa pihak yang juga telah berkontribusi dalam proses dan peyelesaiaan penelitian penulis di Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim ini, yaitu:
1. Bapak Prof. Dr. Hairunas, M.Ag. selaku Rektor UIN Suska Riau.
2. Bapak Dr. Hartono , M.Ag, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.
3. Bapak Wartono, M.Sc, selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi.
4. Nilwan Andiraja, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi.
5. Ibu Fitri Aryani, M.Sc, selaku pembimbing TA dan Akademik yang telah banyak membantu, memberikan arahan dan bimbingan dengan sabar serta ikhlas selama penulis menyelesaikan tugas akhir ini.
6. Sri Basriati, M.Sc selaku ketua sidang, Ibu Corry Corazon Marzuki, M.Si selaku penguji 1 dan Bapak Zukrianto, M.Si selaku penguji 2 yang sudah meluangkan waktunya dan sudah membimbing penulis untuk menjadi lebih baik lagi.
7. Segenap civitas akademik Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau terutama seluruh dosen terimakasih atas ilmu dan bimbingannya.
8. Rekan-rekan seperjuangan dari awal kuliah hingga nanti (Rahima Dina, Risca Amelya, Puspa Indah Herliati, Novi Andriani, Nurjannah) yang sama- sama berjuang dan tak pernah lupa untuk saling megingatkan.
9. Teman seperjuangan Tugas Akhir (Ratih Julianti, Fitri Kurnia Wati) terimakasih untuk waktu dan semangat yang selelu diberikan kepada penulis.
10. Kepada diri sendiri yang sudah sangat berjuang sejauh ini.
11. Semua pihak yang namanya tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada kesempatan ini, yang telah banyak membantu dalam penyelesaian tugas akhir ini.
Semoga kebaikan yang telah mereka berikan kepada penulis menjadi amal kebaikan dan mendapat balasan yang setimpal dari Allah SWT. Selanjutnya, dalam penyusunan Tugas Akhir ini penulis menyadari bahwa masih adanya kekurangan oleh karena itu penulis berharap agar pembaca dapat memberikan kritik dan saran yang membangun. Semoga Tugas Akhir ini dapat memberikan manfaat kepada pihak-pihak yang memerlukannya.
Wassalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh
Pekanbaru, 10 Januari 2023
Hernita
DAFTAR ISI
LEMBAR PERSETUJUAN ... ii
LEMBAR PENGESAHAN ... iii
LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL ... iv
LEMBAR PERNYATAAN ... v
LEMBAR PERSEMBAHAN ... vi
ABSTRAK ... vii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xi
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 4
1.3 Tujuan Penelitian ... 4
1.4 Batasan Masalah ... 5
1.5 Manfaat Penelitian ... 5
1.6 Sistematika Penelitian ... 5
BAB II LANDASAN TEORI ... 7
2.1 Jenis-Jenis Matriks ... 7
2.2 Perpangkatan Matriks ... 9
2.3 Trace Matriks Berpangkat ... 10
2.4 Trace Matriks Toeplitz Pentadiagonal Simetris Kuadrat ... 15
BAB III METODE PENELITIAN ... 18
BAB IV PEMBAHASAN ... 19
4.1 Matriks Toeplitz Tridiagonal Bentuk Khusus
n n
Berpangkat Dua ... 194.2 Matriks Toeplitz Tridiagonal Bentuk Khusus
n n
Berpangkat Tiga ... 424.3 Bentuk Umum Trace Matriks Toeplitz Tridiagonal Bentuk Khusus
n n
Berpangkat Dua dan Tiga ... 654.4 Aplikasi Bentuk Umum Matriks
An2 dan tr
An2 ... 684.5 Aplikasi Bentuk Umum Matriks
An3 dan tr
An3 ... 74BAB V KESIMPULAN... 85
5.1 Kesimpulan ... 85
5.2 Saran ... 86
DAFTAR PUSTAKA ... 87
DAFTAR RIWAYAT HIDUP ... 88
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Ada banyak jenis matriks bujur sangkar, satu diantaranya yaitu matriks Toeplitz [1]. Matriks toeplitz merupakan matriks nn
] 1 , , 1 , 0 ,
;
[ ,
t k j n
Tn kj dengan tk,j tkj, yaitu matriks berbentuk:
0 3
2 1
3 ( 0
1 2
) 2 ( 1
0 1
) 1 ( 2
1 0
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
T
n n n
n n n
n
Matriks toeplitz terdiri dari beberapa jenis, salah satu jenisnya yaitu matriks toeplitz tridiagonal [2], dengan bentuk umum sebagai berikut.
b b
a c b a
c b a
c b
An
0 0 0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0
Penelitian ini menjelaskan matriks toeplitz yang dirancang untuk menghitung trace dari matriks toeplitz tridiagonal dari pangkat dua dan tiga.
Jumlah elemen diagonal utama matriks bujur sangkar juga disebut matriks trace.
Banyak peneliti sebelumnya telah membahas trace matriks. Tahun 2015, [3]
menggambarkan matriks real ukuran 22 pangkat bilangan bulat positif dan memperoleh persamaan bentuk umum untuk trace matriks.
Jika n genap, maka:
/2
0
det 2
. 2
! 1 ) 1 ) (
( n
r
r n r r
n nn r n r uptorterms A tr A
A r
tr
2 dan jika 𝑛 ganjil, maka:
( 1)/2
0
)) 2
( ( )) .(det(
2
! 1 ) 1 ) (
( n
r
r n r r
n nn r n r uptorterms A tr A
A r
tr
Pada 2018, [4] membahas mengenai trace matriks. Yaitu, trace matriks toeplitz kompleks khusus berukuran 33 pangkat bilangan bulat positif dan bentuk matriks toeplitz kompleks khusus, yaitu:
; 0 0
0
0 0
3
bi a
bi a bi
a
bi a
A a,b,R dan iimajiner
Diperoleh trace matriks pada matriks diatas pangkat bilangan bulat positif untuk 𝑛 genap dan 𝑛 ganjil, yaitu:
, untuk n genap , untuk n ganjil
Selanjutnya pada tahun 2019 [5], membahas tentang Trace matriks toeplitz tridiagonal 33 pangkat bilangan bulat positif. Dengan bentuk matriks toeplitz tridiagonal 33 sebagai berikut :
a c
b a c
b a A
0
0
3 dengan b0,c0,a,b,cR.
hasil yang didapat untuk 𝑛 genap dan 𝑛 ganjil yaitu :
, untuk 𝑛 ganjil
, untuk 𝑛 genap
Pada tahun 2019, [6] menyinggung bentuk khusus dari trace matriks toeplitz simetris ordo 33 ordo berpangkat bilangan bulat positif. Matriks urutan formulir digunakan sebagai berikut:
r r r n r n
r n
n
r
r r r n r n
n
c b r a
a n
c b r a
a n
A tr
2 2 1
1 2
1
1
2 1
3
2 2 4
3
2 2 4
3 ) (
n n n
bi a A
tr
) .(
) 2 ( 0 )
( 1
2 3
3
0 0
0 0 0
3
a a a
a
A , dengan aR
Dari matriks tersebut diperoleh bentuk khusus perpangkatan matriks toeplitz simetris untuk ngenap dan n ganjil yaitu:
untuk 𝑛 genap :
n n n
n
n n
n n n
n
n
a a
a
a a
A
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
3
2 0 2
0 2
0
2 0 2
untuk 𝑛 ganjil :
0 2
0
2 0 2
0 2
0
2 1
2 1 2
1
2 1
3
n n
n n n
n
n n
n
a
a a
a A
Dan diperoleh juga bentuk umum dari trace matriks toeplitz simetris bentuk khusus di atas dengan entri bilangan real berpangkat bilangan bulat positif, yaitu:
, untuk n genap
, untuk n ganjil
Selanjutnya pada 2020 penelitian [7] yang masih membahas tentang trace yaitu trace matriks toeplitz pentadiagonal simetris kuadrat. Dengan bentuk umum matriks toeplitz pentadiagonal simetris sebagai berikut:
0 ) 2 (
2 1
3
n n
n a
A tr
4
a b c
b a b c
c b a b c
c b a b c
c b a b
c b a a
b c
b a b c
c b a b c
c b a b c
c b a b
c b a
c b a P Pm m
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0 0
) , , (
dan diperoleh:
2 2
2
2 2( 1) 2( 2)
)
(P ma m b m c
tr m
Dari hasil penelitian-penelitian terkait, penulis tertarik untuk menyelesaikan bentuk umum dari trace matriks toeplitz tridiagonal. Sehingga pada tugas akhir ini penulis memberi judul “Trace Matriks Toeplitz Tridiagonal 𝒏 × 𝒏 Berpangkat Dua dan Tiga”.
1.2 Rumusan Masalah
Dari penjelasan latar belakang di atas, dapat disimpulkan bahwa rumusan masalah untuk tugas akhir yaitu bagaimana bentuk umum dari trace matriks toeplitz tridiagonal 𝑛 × 𝑛 pangkat dua dan tiga?
1.3 Tujuan Penelitian
Dari rumusan masalah dalam penelitian ini, tujuan dari penelitian ini adalah mencari dari trace matriks toeplitz tridiagonal 𝑛 × 𝑛 pangkat dua dan tiga.
5 1.4 Batasan Masalah
Agar topik tugas akhir ini lebih terkhusus dan tidak melebar, oleh karena itu penulis akan membatasi topik tugas akhir yaitu:
1. Penelitian ini menggunakan matriks (An)2 dan (An)3.
2. Penelitian ini menggunakan matriks toeplitz tridiagonal bentuk khusus sebagai berikut.
1 0
0 0 0
0 1
0 0
0 1
0
0 0
1
0 0
0 1
a c a
c a
c
An (1.1)
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat yang diharapkan dari penelitian ini sebagai berikut.
1. Penelitian tentang matriks dan trace matriks ini menjadi bahan referensi ataupun pedoman dalam bidang matematika murni.
2. Ilmu yang terdapat pada penelitian ini dapat dimanfaatkan pembaca dan berguna di dunia akademik dan di dunia kerja.
1.6 Sistematika Penelitian
Sistematika penelitian tugas akhir ini terdiri dari pokok pokok permasalahan yang akan diuraikan menjadi beberapa bagian, sebagai berikuti :
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini membahas tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II LANDASAN TEORI
Bab ini membahas tentang teori-teori yang berkaitan dengan matriks, jenis-jenis matriks, perpangkatan matriks dan trace matriks.
6 BAB III METODE PENELITIAN
Bab ini membahas tentang langkah-langkah dalam menentukan bentuk umum trace matriks toeplitz tridiagonal 𝑛 × 𝑛 berpangkat dua dan tiga.
BAB IV PEMBAHASAN
Bab ini membahas bagaimana mendapatkan bentuk umum dari trace matriks toeplitz tridiagonal 𝑛 × 𝑛 berpangkat dua dan tiga.
BAB V KESIMPULAN
Bab ini membahas tentang kesimpulan dari semua pembahasan dan saran saran untuk pembaca.
7
BAB II
LANDASAN TEORI
Bab ini menyajikan materi dan teori pendukung yang digunakan dalam menyelesaikan trace matriks toeplitz tridiagonal nn berpangkat dua dan tiga.
Adapun materi-materi pendukungnya yaitu jenis-jenis matriks, perpangkatan matriks, trace matriks berpangkat dan trace matriks toeplitz pentadiagonal simetris kuadrat.
2.1 Jenis-Jenis Matriks
Ada beberapa jenis matriks seperti toeplitz, tridiagonal, dan toeplitz tridiagonal. Di bawah ini adalah matriks yang digunakan dalam pembuatan tugas akhir ini:
1. Matriks Toeplitz
Secara sederhana menurut [1] matriks toeplitz dapat didefenisikan sebagai berikut :
a. Berbentuk matriks kuadrat yang simetris berorde n
b. Semua entri pada diagonal utama bernilai sama, dinotasikan dengan
j k j
k t
t , untuk k j dan k,j1,2,3,,n
c. Semua entri pada subdiagonal atau unsur diatas diagonal dan dibawah diagonal bernilai sama, dinotasikan dengan tk,j tkj untuk k j dan
n j
k, 1,2,3,,
Definisi 2.1 [1] Matriks teoplitz adalah sesuatu matriks nn
] 1 , , 1 , 0 ,
;
[ ,
t k j n
Tn k j dengan tk,j tkj, yaitu matriks berbentuk:
0 3
2 1
3 ( 0
1 2
) 2 ( 1
0 1
) 1 ( 2
1 0
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
T
n n n
n n n
n
8
Contoh 2.1 Diberikan matriks toeplitz berordo 33 sebagai berikut:
1 4 5
2 1 4
3 2 1 A
Contoh 2.2 Diberikan matriks toeplitz berordo 55sebagai berikut:
1 5 4 3 2
5 1 5 4 3
4 5 1 5 4
3 4 5 1 5
2 3 4 5 1
A
2. Matriks Tridiagonal
Dikatakan tridiagonal karena sesuai dengan arti matriks tridiagonal dalam the concise oxford dictionary of mathematicsit, matriks tridiagonal adalah matriksi persegi dengan entri nol dimana-mana selain pada tiga diagonal utama [8] . Bentuk matriks tridiagonal sebagai berikut:
aij
a a
a a a
a a
A
0 0 0
0 0
0 0 0
33 32
23 22 21
12 11
Contoh 2.3 Diberikan matriks tridiagonal berordo 4 × 4 sebagai berikut:
3 4 0 0
3 4 2 0
0 3 2 1
0 0 2 1 A
3. Matriks Toeplitz Tridiagonal
Salah satu jenis matriks toeplitz adalah matriks toeplitz tridiagonal. Suatu matriks toeplitz tridiagonal berorde n adalah matriks yang berbentuk:
9
b b
a c b a
c b a
c b
An
0 0 0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0
di mana a0 dan c0 pada matriks diatas [2].
Contoh 2.4 Diberikan matriks toeplitz tridiagonal berordo 44sebagai berikut :
1 1 0 0
2 1 1 0
0 2 1 1
0 0 2 1 A
2.2 Perpangkatan Matriks
Dalam operasi matriks perpangkatan yang dimaksud adalah perkalian berulang dengan matriks itu sendiri. Syarat agar suatu matriks bisa dipangkatkan adalah matriks tersebut harus matriks persegi atau matriks bujur sangkar. Jadi, perpangkatan suatu matriks persegi adalah perkalian matriks persegi dengan matriks itu sendiri sebanyak pangkatnya.
Definisi 2.2 [9] Jika A merupakan matriks persegi, maka didefinisikan pangkat bilangan bulat tak negatif A menjadi:
I
A0 dan
faktor n
n AA A
A
dan jika A dapat dibalik, maka didefinisikan pangkat bilangan bulat negatif dari A yaitu :
faktor n n
n A A A A
A ( 1) 1 1 1
Contoh 2.5 Jika diberikan matriks
1 2 1
4 1 0
3 2 1
A maka A yaitu : 3
10
42 34 14
56 33 12
66 46 18
1 2 1
4 1 0
3 2 1
12 6 2
8 9 4
14 10 4
1 2 1
4 1 0
3 2 1
1 2 1
4 1 0
3 2 1
1 2 1
4 1 0
3 2 1
3 AAA A
2.3 Trace Matriks Berpangkat
Sebelum membahas mengenai trace matriks berpangkat, akan dijelaskan definisi trace matriks dan teorema yang menjelaskan sifat-sifat trace matriks sebagai berikut.
Definisi 2.3 [10] Misalkan jika 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] matriks bujur sangkar nn dengan j
i maka trace yang dihasilkan matriks A dinotasikan tr( A), didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen diagonal utama A, yaitu :
n
i ii
nn a
a a
a A tr
1 22
) 11
( (2.1)
Contoh 2.6 Diberikan matriks
2 3 4
1 5 3
0 2 1
A
Entri-entri diagonal utama pada matriks 𝐴 yaitu : a111,a22 5,a33 2,
sehingga
3
1
8 2 5 1 )
(
I
aii
A tr
Sifat-sifat trace matriks akan dijelaskan pada Teorema (2.1) sebagai berikut:
Teorema 2.1 [11] Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan orde yang sama dan c adalah skalar, maka berlaku:
1. tr(A)tr(AT) 2. tr(cA)ctr(A)
3. tr(AB)tr(A)tr(B) 4. tr(AB)tr(BA)
11
Bukti. Diberikan matriks A dan B sebagai berikut:
nn n
n n n
n n n n
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
A
4 3 2 1
4 44
43 42 41
3 34
33 32 31
2 24
23 22 21
1 14
13 12 11
maka tr
A a11a22a33a44ann (2.2)dan
nn n
n n n
n n n n
b b
b b b
b b
b b b
b b
b b b
b b
b b b
b b
b b b
B
4 3 2 1
4 44
43 42 41
3 34
33 32 31
2 24
23 22 21
1 14
13 12 11
maka tr
B b11b22b33b44bnn (2.3) i. Akan ditunjukkan bahwa tr(A)tr(AT). Transpos dari matriks A adalah
nn n
n n n
n n n n
T
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
A
4 3 2 1
4 44
43 42 41
3 34
33 32 31
2 24
23 22 21
1 14
13 12 11
sehingga tr
A a11a22a33a44ann (2.4) Berdasarkan Persamaan (2.2) dan (2.4) maka tr(A)tr(AT) terbukti.ii. Akan ditunjukkan bahwa tr(cA)ctr(A) untuk c adalah sebarang skalar, diperoleh :
12
nn n
n n n
n n n n
ca ca
ca ca ca
ca ca
ca ca ca
ca ca
ca ca ca
ca ca
ca ca ca
ca ca
ca ca ca
cA
4 3 2 1
4 44
43 42 41
3 34
33 32 31
2 24
23 22 21
1 14
13 12 11
sehingga
CA ca ca ca ca canntr 11 22 33 44 maka terbukti tr(cA)ctr(A).
iii. Akan ditunjukkan bahwa tr(AB)tr(A)tr(B). Berdasarkan matriks A dan B, maka
nn nn n
n n n n n n n
n n
n n
n n
n n
nn n
n n n
n n n n
nn n
n n n
n n n n
b a b
a b a b a b a
b a b
a b a b a b a
b a b
a b a b a b a
b a b
a b a b a b a
b a b
a b a b a b a
b b
b b b
b b
b b b
b b
b b b
b b
b b b
b b
b b b
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
B A
4 4 3 3 2 2 1 1
4 4 44
44 43 43 42 42 41 41
3 3 34
34 33 33 32 32 31 31
2 2 24
24 23 23 22 22 21 21
1 1 14
14 13 13 12 12 11 11
4 3 2 1
4 44
43 42 41
3 34
33 32 31
2 24
23 22 21
1 14
13 12 11
4 3 2 1
4 44
43 42 41
3 34
33 32 31
2 24
23 22 21
1 14
13 12 11
sehingga
A B
a b a b a b a b ann bnntr 11 11 22 22 33 33 44 44 (2.5) maka dari Persamaan (2.5), (2.2) dan (2.3) diperoleh :
) ( ) (
) (
) (
) (
44 33 22 11 44
33 22 11
44 44 33 33 22 22 11 11
B tr A tr
b b
b b b a
a a a a
b a b
a b a b a b a B A tr
nn nn
nn nn
Oleh karena itu, telah terbukti bahwa bahwa tr(AB)tr(A)tr(B).
