METODE PENENTUAN TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN ELASTIS
TESIS
Oleh
ROSSI PETER SIMANJUNTAK 137021002/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2015
METODE PENENTUAN TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN ELASTIS
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
ROSSI PETER SIMANJUNTAK 137021002/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2015
Judul Tesis : METODE PENENTUAN TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN ELASTIS Nama Mahasiswa : Rossi Peter Simanjuntak
Nomor Pokok : 137021002
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) (Prof. Dr. Muhammad Zarlis)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus : 01 Juni 2015
Telah diuji pada tanggal 01 Juni 2015
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Muhammad Zarlis
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang 3. Dr. Mardiningsih, M.Si
PERNYATAAN
METODE PENENTUAN TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN ELASTIS
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kuti- pan dan ringkasan yang masing - masing dituliskan sumbernya
Medan, Juni 2015 Penulis,
Rossi Peter Simanjuntak
ABSTRAK
Persoalan Traffic Assignment Problem (TAP) ditujukan untuk mengalokasikan per- jalanan asal-tujuan menjadi rute pada jaringan transportasi, untuk memperkirakan volume lalu lintas dan biaya perjalanan di jalan raya. Asumsi dasar dari traffic assign- ment problem tradisional merupakan penambahan (yaitu biaya yang terjadi pada se- tiap rute hanya jumlah biaya pada jaringan yang merupakan rute). General traffic assignment problem dengan permintaan elastis dapat dirumuskan sebagai Nonlinear Complementarity Problem (NCP) yang merupakan model berbasis rute. Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan NCP adalah dengan metode power penalty. Dengan terselesaikannya persoalan penugasan dengan metode power penalty, yakni diperolehnya dari persamaan bahwa x∞ merupakan penyelesaian dari NCP (F ), maka dari persamaan yang telah dikembangkan, metode power penalty yang digunakan dalam penelitian ini, diaplikasikan dengan NCP dapat digunakan untuk menyelesaikan traffic assignment problem dengan permintaan elastis.
Kata kunci : Traffic assignment problem, Nonlinear complementarity problem, Metode power penalty, Permintaan elastis
ABSTRACT
Issue of Traffic Assignment Problem (TAP) is intended to allocate origin-destination trip into service on the transport network, to estimate the volume of traffic and costs of travel on highway. Basic assumption of traditional traffic assignment problem of additions (costs incurred on each route only the amount of charge on the network which is the route). General traffic assignment with elastic demand problem can be formulated as a nonlinear complementarity problem (NCP), which is a service based model. This method can be used to resolve the issue of the NCP is with the method of power penalty.
With the completion of issue of the assignment by method of power penalty, which is obtained from the equation that x∞ is the completion of a NCP (F ), then from equation has been developed, methods of power penalty used in this study, applied with NCP can be used to solve the problem of traffic assignment with elastic demand.
Keyword: Traffic assignment problem, Nonlinear complementarity problem, Power Penalty method, Elastic demand
KATA PENGANTAR
Ucapan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa yang telah memberikan berkat dan ridhonya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul Metode Penentuan Traffic Assignment dengan Permintaan Elastis.
Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Stu- di Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada : Prof. Subhilhar, Ph.D selaku Pejabat Rektor Universitas Sumatera Utara.
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan, serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMI- PA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Teristimewa kepada istri (Eka Risnawati) dan anak-anakku (Daniel Christofel Simanjuntak dan David Ferdinand Simanjuntak) yang telah memberikan dukungan dan dorongan kepada penulis agar tesis ini dapat selesai.
Terkhusus kepada Ayahanda dan Ibunda (A. Simanjuntak dan L. Napitupulu) dan kepada mertua (P. Saragih dan B. Peranginangin) yang telah memberikan arahan dalam kehidupan ini dan sosok orang tua yang penulis kagumi dan cintai.
Seluruh Rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU Tahun 2013 yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu.
Semua pihak yang telah banyak membantu baik langsung maupun tidak langsung, hanya Tuhan Yang Maha Kuasa yang mampu memberikan balasan terbaik. Mudah- mudahan tesis ini dapat memberi sumbangan yang berharga bagi perkembangan dunia ilmu dan bermanfaat bagi orang banyak. Semoga Tuhan senantiasa memberi kasih dan karunianya kepada kita semua.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya, Terimakasih.
Medan, Juni 2015 Penulis,
Rossi Peter Simanjuntak
RIWAYAT HIDUP
Rossi Peter Simanjuntak dilahirkan di Gundar pada tanggal 15 Juli 1982 dari pasangan Bapak Abiden Simanjuntak dan Ibu Lontang Napitupulu. Penulis mena- matkan Pendidikan sekolah Dasar di SD Negeri No. 091537 Hutabayu, Simalungun, tahun 1993, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri Hutabayu, Simalungun tahun 1996 dan Sekolah Menengah Umum (SMU) Swasta Teladan Pematang siantar tahun 1999. Kemudian pada tahun 1999 memasuki Universitas Sumatera Utara Fakul- tas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan Matematika pada Strata Satu (S-1) dan lulus pada tahun 2003.
Pada Desember 2009, penulis diangkat menjadi PNS di lingkungan Kementerian Perhubungan. Kemudian tahun 2013 penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika Universitas Sumatera Utara.
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR GAMBAR ix
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
1.5 Metodologi Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
2.1 Definisi Traffic Assignment Problem 5
2.1.1 Baraess paradox 7
2.1.2 Permintaan tetap (fixed demand) 8
2.1.3 Permintaan elastis 9
2.2 Model Matematika Masalah Deterministik 10
2.2.1 Pendekatan optimisasi 11
2.2.2 Pendekatan variational inequality 14
2.2.3 Pendekatan nonlinear complementarity problem 16
BAB 3 LANDASAN TEORI 18
3.1 Algoritma 18
3.1.1 Variational inequalities 18
3.1.2 Penyelesaian nonlinear complementarity problems 20 3.1.3 Stochastic traffic equilibrium problem 22
3.1.4 Rumus expected value 26
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 27
4.1 Traffic Assignment Problem dengan Permintaan Elastis 27
4.2 Metode Power Penalty untuk NCP 29
4.3 Traffic Assignment Problem dengan Permintaan Elastis Menggu-
nakan Formulasi NCP 33
4.4 Source Codes 34
BAB 5 KESIMPULAN 37
DAFTAR PUSTAKA 38
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
2.1 Jaringan lalu lintas sederhana dengan pasangan O−D dan biaya busur
perjalanan konstan 5
2.2 Jaringan lalu lintas sederhana dengan fungsi biaya perjalanan arus
dependen pada busur 6
2.3 Jaringan demonstrasi baraess paradox 7
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Transportasi merupakan media yang sangat krusial dalam menunjang aktivitas masya- rakat setiap harinya. Transportasi menjadi jantung bagi seluruh aktivitas masyarakat, baik dalam aktivitas pekerjaan, sekolah, perdagangan, perindustrian, dan lain-lain.
Transportasi memberikan manfaat yang luar biasa terlebih dalam mata pencaharian masyarakat. Masyarakat yang berdagang dan berindustri tentu sangat butuh dengan wahana transportasi. Apabila dalam satu hari saja ada permasalahan dengan wa- hana transportasi, tidak bisa terbayangkan kerugian yang akan masyarakat tanggung walaupun hanya satu hari.
Penugasan lalu lintas merupakan proses interaktif antara permintaan perjalan- an dan ketersediaan transportasi. Permintaan merupakan keinginan orang (pengguna) untuk bergerak dari satu tempat (asal) ke tempat yang lain (tujuan). Ketersedian transportasi merupakan himpunan fasilitas seperti jalan dan persimpangan jalan dalam jaringan jalan raya. Representasi dari permintaan perjalanan dan ketersediaan trans- portasi menyebabkan pola arus lalu lintas dan biaya perjalanan sebagai titik kesetim- bangan. Prinsip pertama, dinyatakan kesetimbangan jenis ini sebagai keadaan dimana untuk setiap pasangan asal-tujuan tidak ada pengguna yang dapat mengurangi biaya melalui pemilihan rute yang berbeda. Prinsip kedua diidentifikasi keadaan dimana total biaya perjalanan pengguna minimum sehubungan dengan pemilihan rute.
Traffic Assignment Problem (TAP) ditujukan untuk mengalokasikan perjalanan asal-tujuan menjadi rute pada jaringan transportasi, untuk memperkirakan volume lalu lintas dan biaya perjalanan di jalan raya. Model pemilihan rute yang paling banyak di- gunakan adalah prinsip User-Equilibrium (UE). Penugasan UE menemukan pola peng- guna yang dioptimumkan, digolongkan dengan propert yang ada, tidak ada pengguna yang dapat mengurangi biaya perjalanan dengan menggunakan rute alternatif. Dalam general traffic assignment problem, dengan permintaan elastis, biaya perjalanan pada jaringan diperbolehkan tergantung pada pola seluruh arus lalu lintas dan permintaan perjalanan terkait dengan pasangan asal-tujuan diperbolehkan.
2
Oleh karena itu, fungsi biaya perjalanan Jacobi dan fungsi permintaan perjalanan dapat menjadi simetris atau asimetris. Asumsi dasar dari traffic assignment problem tradisional merupakan penambahan (yaitu biaya yang terjadi pada setiap rute hanya jumlah biaya pada jaringan yang merupakan rute). Dengan penambahan asumsi memu- ngkinkan masalah diselesaikan tanpa membutuhkan penyimpanan rute. Meskipun demikian Gabriel dan Bernstein (1997) mengemukakan, dengan penambahan asumsi mungkin tidak tepat dalam pemodelan aplikasi tertentu. Sehingga dengan memper- timbangkan biaya rute sebagai fungsi umum, smooth function, dan fungsi monoton dari rute arus lalu lintas, general traffic assignment problem dengan permintaan elastis da- pat dirumuskan sebagai Nonlinear Complementarity Problem (NCP) yang merupakan model berbasis rute. Dalam hal ini, smooth function merupakan suatu fungsi yang mempunyai turunan kontiniu sampai ke beberapa orde yang diinginkan atas beberapa domain.
Berkaitan dengan persoalan NCP, Wang dan Yang (2008), mengemukakan penye- lesaian linear dan nonlinear complementarity problem yang merupakan model berbasis rute dapat digunakan pada dimensi terbatas dan dimensi tidak terbatas. Kemudian, Huang dan Wang (2012), menjelaskan metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan mixed nonlinear complementary problem, yakni dengan pendekatan aproksimasi com- plementary problem dengan persamaan nonlinear dalam teorema power penalty. Untuk rumus NCP berbasis rute untuk traffic assignment problem dengan permintaan elastis, asumsi ξ monoton, gagal meskipun fungsi biaya ξ monoton. Tetapi fungsi biaya dapat diasumsikan menjadi monoton karena efek kemacetan, yang mengarah kepada rumus NCP monoton.
Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan NCP adalah dengan metode power penalty. Metode ini telah ditemukan oleh Chen dan Huang pada tahun 2014. Pada penelitiannya, mereka menyatakan, menghitung persoalan penugasan lalu lintas dengan permintaan elastis dan menghasilkan hasil yang numerik sebagai penyele- saian dalam persoalan lalu lintas dengan permintaan elastis. Dengan demikian, dalam penelitian ini penulis mengembangkan metode power penalty untuk NCP, dengan mem- berikan batas atas pada jarak dari penyelesaian NCP dengan persamaan penalty ketika fungsi kontiniu dan ξ monoton. Selanjutnya, penelitian dilanjutkan dengan membuk- tikan metode ini dapat menyelesaikan NCP monoton secara umum. Metode power penalty yang digunakan juga dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan rumus NCP
3
monoton berbasis rute. Bahkan, menghindari enumerasi rute, dengan menggunakan skema generasi kolom untuk menghasilkan rute yang dibutuhkan, dan permasalahan kesetimbangan akan diselesaikan dengan metode power penalty. Kemudian metode ini dapat menghasilkan permintaan elastis pada permasalahan penugasan lalu lintas yang ada dalam menentukan permalasahan rute terpendek dan persamaan nonlinear pada setiap perulangan.
1.2 Perumusan Masalah
Penggunaan metode power penalty pada literatur-literatur sebelumnya belum mem- bahas persoalan TAP (Traffic Assignment Problem). Persoalan TAP perlu dibahas karena bertujuan bagaimana mengalokasikan perjalanan asal-tujuan, memperkirakan volume lalu lintas, dan biaya perjalanan agar optimum. Oleh karena itu, diperlukan pembahasan persoalan TAP dengan permintaan elastis menggunakan NCP (Nonlinear Complementarity Problem).
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah mengembangkan metode power penalty yang telah dite- mukan dalam penelitian sebelumnya. Metode power penalty yang digunakan dalam penelitian ini, diaplikasikan dengan NCP (Nonlinear Complementarity Problem) di- gunakan untuk menyelesaikan permasalahan traffic assignment problem dengan per- mintaan elastis.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat pada persoalan yang berhubung- an dengan jaringan lalu lintas dalam menentukan jaringan sebagai rute alternatif untuk menghindari kemacetan lalu lintas, yakni dengan meminimumkan waktu perjalanan dan biaya.
4
1.5 Metodologi Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpulkan infor- masi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Mempelajari teori-teori yang berhubungan dengan traffic assignment problem;
2. Menentukan model traffic assignment problem;
3. Membuat kendala traffic assignment problem dengan permintaan elastis;
4. Menyelesaikan persoalan penugasan dengan metode power penalty.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Traffic Assignment Problem
Traffic Assignment Problem (TAP) adalah aplikasi transportasi dalam menentukan jalur pengemudi pada jaringan transportasi dengan memberikan titik asal dan titik tujuannya. Jaringan lalu lintas terdiri dari titik dan busur. Busur merupakan jaringan yang menghubungkan antar titik dan menyatakan sebagai jalan. Titik menyatakan titik pertemuan, dimana masih dimungkinkan untuk mengubah dari satu jalan ke jalan yang lain seperti gambar berikut (Winkler et al., 2010):
Gambar 2.1 Jaringan lalu lintas sederhana dengan pasangan O− D dan biaya busur perjalanan konstan
Gambar 2.1 merupakan contoh jaringan lalu lintas yang mempunyai empat titik dan empat busur yang menghubungkannya. Andaikan titik 1 merupakan titik asal dan titik 4 merupakan titik tujuan pada arus lalu lintas. Terdapat dua jalur yang menghubungkan pasangan O− D (1,4) yaitu 1-2-4 dan 1-3-4. Diasumsikan biaya per- jalanan pada semua busur adalah konstan. Setiap pengemudi akan memutuskan untuk menggunakan jalur terpendek 1-2-4. Pada kenyataannya jaringan lalu lintas di jalan terdapat kemacetan ketika arus lalu lintas meningkat, yang mengakibatkan fungsi biaya arus dependen, ditunjukkan dalam gambar 2.2 berikut (Winkler et al., 2010):
6
Gambar 2.2 Jaringan lalu lintas sederhana dengan fungsi biaya perjalanan arus de- penden pada busur
Dalam kasus ini, arus lalu lintas optimum ketika terdapat banyak pengguna pada jalur 1-2-4 sama seperti pada jalur 1-3-4. Jika terdapat lebih banyak pengguna pada satu jalur, maka jalur yang lain akan lebih murah. Akhirnya akan menyebabkan kese- timbangan dimana kedua jalur sama-sama murah. Sehingga tidak ada pengguna yang memiliki alasan untuk mengubah jalurnya secara sepihak. Situasi ini dikenal dengan kesetimbangan pengguna, ketika setiap pengguna memilih jalur yang terbaik baginya.
Kemudian, Babonneau dan Vial (2008) memperkenalkan terdapat dua prinsip pa- da pemanfaatan jaringan transportasi. Keunggulan keduanya lebih secara umum pada kriteria performance. Prinsip pertama, atau user optimum, mengungkapkan bahwa pengemudi memilih jalur secara bebas dan waktu tempuh dari semua jalur yang di- gunakan adalah kurang atau sama dengan yang akan dialami oleh pengemudi tunggal pada jalur yang tidak digunakan. User optimum disebut juga sebagai jaringan lalu lintas setimbang. Prinsip kedua, atau sistem optimum, mencerminkan sudut pandang sosial. Pengemudi memilih jalur mereka untuk meminimalkan total waktu tempuh pada jaringan secara keseluruhan.
7
2.1.1 Baraess paradox
Andaikan terdapat permintaan lalu lintas dari 100 kendaraan di jaringan pada gambar 2.2 dari titik 1 ke titik 4. Arus optimum akan dicapai ketika 50 kendaraan menggunakan jalur 1-2-4 dan 50 kendaraan menggunakan jalur 1-3-4. Biaya kedua jalur masing-masing adalah 2 + 1 + 0,5 = 3,5. Jika jalan baru dibangun antara titik 2 dan titik 3 yang hanya memiliki biaya perjalanan 0,25. Lebih jelasnya ditunjukkan pada gambar 2.3 berikut (Winkler et al., 2010):
Gambar 2.3 Jaringan demonstrasi baraess paradox
Arus optimum masih sama tanpa jalan baru. Meskipun demikian, jika terdapat 50 kendaraan pada jalur 1-2-4 dan 50 kendaraan pada jalur 1-3-4 maka hanya 1,5 + 0,25 + 1,5 = 3,25 lebih murah dibandingkan dengan biaya 3,5 pada jalur terluar. Akibatnya, beberapa pengemudi akan mengubah jalurnya menjadi 1-2-3-4 sampai kesetimbangan tercapai ketika semua jalur memiliki biaya yang sama lagi. Terdapat 25 kendaraan pada jalur 1-2-4, dan 50 kendaraan pada jalur 1-2-3-4 serta 25 kendaraan pada jalur 1-3-4 sehingga semua jalur memiliki biaya yang sama yaitu 3,75, yang mana lebih mahal dari pada kasus dimana tidak ada pengguna menggunakan jalan yang baru.
8
2.1.2 Permintaan tetap (fixed demand)
Menurut Patriksson (2004), dalam merumuskan kondisi user equilibrium secara matematis, dipertimbangkan pola arus yang layak dan pasangan asal-tujuan (p, q)∈ C.
Andaikan cpqr dinotasikan sebagai waktu perjalanan pada jalur r dari asal titik p ke tu- juan titik q hasil yang diberikan arus, dengan asumsi, tanpa ada kerugian secara umum, bahwa jalur antara p dan q sudah diatur, bahwa jalur pertama l benar-benar digunakan yaitu memuat arus jalur positif. Kemudian arus jaringan adalah user equilibrium jika dan hanya jika hal tersebut benar bahwa:
cpq1 = cpq2= . . . = cpql
dan jalur yang tidak digunakan pada pasangan O− D (jalur l + 1,. . . ) memiliki waktu perjalanan yang setidaknya sama besar dengan jalur yang digunakan.
Andaikan Rpq dinotasikan himpunan indeks dari jalur sederhana pada pasangan asal-tujuan (p, q) ∈ C, hpqr merupakan arus pada jalur r, dan πpq merupakan waktu perjalanan pada jalur terpendek dari p menuju q, diberikan arus h = (hpqr)r∈Rpq,(p,q)∈C, kondisi Wardrop user equilibrium dapat ekuivalen dinyatakan sebagai berikut:
hpqr > 0⇒ cpqr = πpqr, ∀r ∈ Rpq (2.1)
hpqr > 0⇒ cpqr ≥ πpqr, ∀r ∈ Rpq (2.2)
dengan memisalkan untuk semua pasangan (p, q) ∈ C. Termasuk batasan yang layak untuk arus h, kondisi ini untuk user equilibrium dapat diringkas sebagai berikut:
hpqr(cpqr− πpqr) = 0 ∀r ∈ Rpq,∀(p, q) ∈ C (2.3)
cpqr− πpq ≥ 0 ∀r ∈ Rpq,∀(p, q) ∈ C (2.4)
X
r∈Rpq
hpqr = dpq ∀(p, q) ∈ C (2.5)
hpqr ≥ 0 ∀r ∈ Rpq,∀(p, q) ∈ C (2.6)
πpqr ≥ 0 ∀(p, q) ∈ C (2.7)
9
dimana persamaan (2.3)-(2.4) merupakan uraian dari persamaan awal, persamaan (2.5) merupakan persamaan yang menjamin kelayakan sehubungan dengan permintaan tetap dan persamaan (2.6)-(2.7) menjamin arus jalur tidak negatif dan sesuai biaya perjalan- an.
2.1.3 Permintaan elastis
Persoalan ini berkaitan dengan pengembangan kondisi user equilibrium untuk kasus permintaan elastis. Andaikan permintaan transportasi antara titik p dan titik q menjadi fungsi p dari biaya jalur terendah, yaitu (Chen dan Huang, 2014):
dpq = gpq(π), ∀(p, q) ∈ C
Kemudian kondisi yang sesuai untuk jalur arus dan permintaan dapat dinyatakan:
hpqr > 0⇒ cpqr = πpqr, ∀(p, q) ∈ Rpq (2.8)
hpqr = 0 ⇒ cpqr ≥ πpqr, ∀(p, q) ∈ Rpq (2.9)
dpq > 0⇒ dpq = gpq(π), (2.10)
dpq = 0⇒ gpq = gpq ≤ 0, (2.11) Memenuhi untuk semua pasangan (p, q)∈ C.
Kondisi (2.8)-(2.9) sesuai dengan kondisi permintaan tetap (2.1); kondisi (2.10)- (2.11) menyatakan permintaan transportasi dalam pasangan O− D sama dengan nilai fungsi permintaan pada biaya jalur terpendek, dan bahwa permintaan nol jika biaya perjalanan terlalu tinggi untuk menimbulkan arus pada setiap O− D.
Diasumsikan bahwa fungsi permintaan gpq(π) tidak negatif pada R|C|+, untuk semua (p, q) ∈ C. Termasuk batas kelayakan untuk arus h dan permintaan d, kondisi untuk permintaan elastis user equilibrium dapat dinyatakan sebagai berikut:
hpqr(cpqr− πpqr) = 0 ∀r ∈ Rpq,∀(p, q) ∈ C (2.12)
cpqr− πpq ≥ 0 ∀r ∈ Rpq,∀(p, q) ∈ C (2.13)
10 X
r∈Rpq
hpqr = gpq(π) ∀(p, q) ∈ C (2.14)
hpqr ≥ 0 ∀r ∈ Rpq,∀(p, q) ∈ C (2.15)
πpqr ≥ 0 ∀(p, q) ∈ C (2.16)
Dimana ekuivalen dengan persamaan (2.3)-(2.7) dengan pengecualian bahwa per- mintaan yang diberikan oleh fungsi permintaan pada biaya jalur terpendek.
2.2 Model Matematika Masalah Deterministik
Model user equilibrium akan dikembangkan kedalam jaringan deterministik lalu lintas. Dengan menggunakan notasi, Facchinei dan Pang (2003) mengemukakan:
Keterangan notasi:
N : Himpunan titik
A : Himpunan busur
xa, a∈ A : Arus lalu lintas melalui busur a
x = (xa)a∈A : Vektor arus pada busur dengan total arus lalu lintas pada semua busur
ca(x), a∈ A : Biaya perjalanan pada busur a, tergantung pada semua arus pada busur
c(x) = (ca(x))a∈A : Vektor biaya perjalanan pada busur dengan semua perjalanan pada busur
O : Himpunan titik asal
D : Himpunan titik tujuan
W ⊂ OXD : Himpunan pasangan asal-tujuan
PW, w ∈ W : Himpunan semua jalur yang terhubung dengan w pasangan O− D
P =S
w=W PW : Himpunan semua jalur yp, p∈ P : Arus yang melalui jalur p y = (yp)p∈P : Vektor arus pada jalur
Cp(y) : Biaya perjalanan pada jalur p, tergantung pada semua arus pada jalur
uw, w ∈ W : Biaya perjalanan minimum antara w pasangan O− D u = (uw)w∈W : Vektor biaya minimum perjalanan
dw, w ∈ W : Permintaan perjalanan antara w pasangan O− D, tergantung pada biaya perjalanan
11
Biaya perjalanan di jalan tergantung pada jumlah arus pada perjalanan tersebut.
Model matematika Bureau Public Road untuk biaya perjalanan dapat ditulis sebagai berikut:
cαxα = cα0
1 + α(xα
ϕα
)β
dengan:
cα0 : Biaya perjalanan pada jaringan α ketika arus lalu lintas nol ϕα : Ukuran kapasitas lalu lintas pada busur α
α, β : Parameter positif
Variabel prinsip equilibrium:
yp > 0⇒ Cp(y) = uw, p∈ Pw yp = 0⇒ Cp(y)≥ uw, p∈ Pw
2.2.1 Pendekatan optimisasi
Pada beberapa kasus lalu lintas, user equilibrium dapat diselesaikan dengan optimisasi.
Bertsekas dan Dimitri P (2003) mengungkapkan masalah optimisasi melibatkan kendala persamaan dan pertidaksamaan:
minimum f(x)
kendala h(x) = 0, g(x)≤ 0
dimana:
h(x) =
h1(x) . . . hm(x)
T
g(x) =
g1(x) . . . gj(x)
T
1. Kondisi optimal karush-kuhn-tucker
Vektor x layak jika memenuhi kendala persamaan dan pertidaksamaan. Untuk se- tiap vektor yang layak himpunan kendala petidaksamaan aktif dinotasikan dengan
12
Ax(x) ={j : gj(x) = 0}. Jika x∗ reguler dan optimum, terdapat Lagrange multi- plier (pengali Lagrange) λ∗1. . . λ∗m dan µ∗j, j ∈ A(x∗) sehingga:
∇f(x∗) +
m
X
i=1
λ∗1∇hi(x∗) +
r
X
j=1
µ∗j∇gj(x∗) = 0
µ∗j ≥ 0 ∇j ∈ A(x∗) µ∗j = 0 ∇j * A(x∗)
Kondisi ini disebut dengan kondisi optimal Karush-Kuhn-Tucker orde pertama.
Asumsi bahwa f, h, dan g adalah turunan kedua yang kontiniu dan andaikan x∗ ∈ Rr memenuhi kondisi di atas. Jika kondisi dipenuhi, maka:
µ∗j ≥ 0, j = 1, . . . , r, µ∗j = 0, ∇j * A(x∗) µ∗j ≥ 0, ∇j ∈ A(x∗)
dan beberapa kondisi orde dua yang dipenuhi, sehingga x∗ minimum lokal f dari kendala h(x) = 0, g(x) ≥ 0. Kondisi komplementer dapat dituliskan dengan µ∗ ⊥ g(x∗).
2. Aplikasi traffic equilibrium (path formulation)
Fukushima (2010) menyatakan traffic equilibrium problem dapat dirumuskan ter- gantung pada arus pada jalur atau arus pada busur. Asumsi bahwa biaya perja- lanan pada busur hanya tergantung pada total arus yang melalui busur tersebut.
Untuk itu dibutuhkan matriks insiden jalur-busur sebagai berikut:
M{δpa} dengan:
δpa =
1, jika a∈ P
0, jika a* P (2.17)
Oleh karena itu x =MTy dan C(y) =M c(MTy). Andaikan k(x) dan f(y) didefinisikan dengan
k(x) =X
a∈A
Z xa
0
ca(ζ)d(ζ), f (y) = k(MTy)
13
Kemudian, ketika 5k(x) = c(x), diperoleh
C(y) = 4c(MTy) =5 4 k(MTy) =5f(y) Masalah optimisasi
minimum f(y) kendala P
p∈Pyp = d, yp ≥ 0 ∀p ∈ P
Kendala ini menghasilkan fakta bahwa permintaan harus dipenuhi dengan men- jumlahkan semua arus pada jalur dan arus pada jalur tidak pernah negatif.
Kendala ini dapat ditulis sebagai berikut:
h(y) := d−X
p∈P
yp = 0, gp(y) =−yp ≤ 0
Dengan memperhatikan kondisi KKT orde pertama pada masalah optimisasi:
5yL(y∗, λ∗, µ∗) = 0⇒ f(y∗) +
m
X
i=1
λ∗i 5 hi(y∗) +
r
X
j=1
µ∗j 5 gj(y∗) = 0
⇒ Cp(y∗)− λ∗− µ∗p = 0
h(y∗) = 0⇒X
p∈P
y∗p = d g(y∗)≤ 0 ⇒ yp∗≥ 0 µ∗p ≥ 0, µ∗ ⊥ g(y∗)⇒ µ∗p ⊥ y∗p
⇒
yp∗ ≥ 0 ⇒ µ∗p = 0⇒ Cp(y∗)− λ∗ = 0⇒ Cp(y∗) = λ∗ yp∗ = 0⇒ µ∗p ≥ 0 ⇒ Cp(y∗)− λ∗ = µ∗p ⇒ Cp(y∗)≥ λ∗
(2.18)
Kemudian, dengan menganggap λ∗ sebagai biaya minimum perjalanan, hal ini sama dengan kondisi equilibrium diatas. Sehingga traffic user equilibrium da- pat diselesaikan dengan menyelesaikan masalah optimisasi. Matriks Jacobian
∇c(x)=diag
c0a(xa)
a∈A
adalah matriks diagonal dan definit positif. Ini berarti fungsi objektif matriks Hessian ∇2f(y) =4 5 c(∇Ty)∇T setidaknya semidefinit positif. Oleh karena itu masalah optimisasi adalah konveks dan kondisi KKT orde
14
pertama menjamin kondisi global minimum. Hal ini juga berlaku untuk pasangan berganda O− D, tetapi bergantung pada asumsi bahwa fungsi biaya perjalanan pada busur untuk busur tunggal hanya tergantung pada arus yang melalui busur tersebut. Dengan asumsi fungsi vektor Jacobian adalah diagonal, sehingga ma- triks Hessian adalah simetrik. Hal ini memungkinkan untuk merumuskan traffic equilibrium problem sebagai masalah optimisasi. Namun, biaya pada suatu busur sering terpengaruh oleh arus pada busur yang lainnya.
2.2.2 Pendekatan variational inequality
Fukushima (2010) mengungkapkan general variational inequality diperoleh dengan menentukan vektor x∈ S sehingga:
F (x)T(y− x) ≥ 0 ∇y ∈ S
Dimana : Rn → R adalah pemetaan kontinu dan S = {x : h(x) = 0, g(x) ≥ 0}
adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dengan h(x) =
(h1(x), . . . , hl(x)
T
dan g(x) =
(g1(x), . . . , gm(x)
T
.
Asumsi vektor x∗ adalah reguler untuk kendala g dan h. Kemudian untuk x∗, jika x∗ bersama dengan beberapa Lagrange multiplier λ = (λ1, . . . , λl) dan µ = (µ1, . . . , µm) memenuhi kondisi KKT berikut:
F (x∗) +
l
X
i=1
λ∗1∇hi(x∗) +
m
X
j=1
µ∗j∇gj(x∗) = 0
hi(x∗) = 0, i = 1, . . . , l, gj(x∗)≥ 0, j = 1, . . . , m µ∗j ≥ 0, j = 1, . . . , m, µ∗ ⊥ (g∗)
1. Formulasi arus pada jalur
Andaikan F (y) = C(y) dan S didefinisikan dengan:
S ={y : yp≥ 0, X
yp = d, p∈ P } Kemudian kondisi KKT dituliskan:
Cp(y∗)− λ∗− µ∗p = 0, y∗p = 0, µ∗p = 0, y∗ ⊥ µ∗, X
yp∗= d, p∈ P
15
Yang berarti sesuai prinsip equilibrium:
yp ≥ 0 ⇒ Cp(y) = λ yp = 0⇒ Cp(y)≥ λ
Oleh karena itu, user equilibrium dapat diperoleh dengan menghitung penyelesai- an y ∈ S pada variational inequality:
C(y)T(z− y) ≥ 0 ∀z ∈ S
Hal ini dapat diperoleh untuk jaringan dengan multiple pasangan O− D.
2. Formulasi arus pada busur
Dalam merumuskan arus pada busur, tidak dibutuhkan untuk menghitung setiap jalur yang menghubungkan pasangan O− D. Jika menggunakan biaya simetrik, arus pada busur dapat dirumuskan sebagai masalah optimisasi sebagai berikut:
E ={εna}, n ∈ N, a∈ A
εna =
1, jika dimulai di n
−1, jika berakhir di n 0, lainnya
(2.19)
Vektor permintaan Dw,w ∈ W untuk setiap pasangan. Andaikan Dw didefin- isikan:
Dw ={dnw}n∈N, dnw =
dw, jika n adalah titik asal w dw, jika n adalah titik tujuan w 0, lainnya
(2.20)
Total arus xa dalam busur a terdiri dari komponen xwa dari arus parsial yang dihasilkan dari pasangan O− D yang berbeda pada w ∈ W , sehingga diperoleh:
xa= X
w∈W
xwa
Setiap arus xa pada busur harus memenuhi prinsip arus konservatif. Prinsip ini menyatakan bahwa jumlah semua arus yang masuk kedalam titik harus sama
16
dengan jumlah arus yang muncul dari titik. Selanjutnya permintaan untuk setiap pasangan O− D harus memenuhi:
ExW − DW
Prinsip user equilibrium bersama dengan persamaan arus konservatif mengandung kondisi KKT untuk ketidaksamaan variasi berikut:
F (x)T
X
w∈WzW
− X
w∈WxW
≥ 0 ∀z ∈ S
dimana:
F (x) :=
ca( X
w∈WxW
)
a∈A
S :={x = (xw)w∈W : Exw= Dw, xw ≥ 0, w∈ W }
2.2.3 Pendekatan nonlinear complementarity problem
Andaikan F : Rn→ Rn. Nonlinear complementarity problem (NCP) digunakan untuk menentukan vektor x∗ sehingga (Huang dan Wang, 2012):
x∗ ≥ 0, F (x∗)≥ 0, F (x∗)Tx∗ = 0
Complementarity dimaksudkan sebagai fakta bahwa dari kondisi complementarity F (x∗)Tx∗ = 0, diperoleh:
Fi(x∗) > 0⇒ x∗i
x∗i > 0⇒ Fi(x∗) = 0 NCP dapat dituliskan:
0≤ F (x∗)⊥ x∗ ≥ 0
Dengan menggunakan y vektor arus pada jalur dan ∆ sebagai matriks insiden jalur- busur. Arus pada busur dan arus pada jalur dapat dihubungkan dengan persamaan:
x = ∆Ty
Diasumsikan bahwa fungsi biaya pada jalur c(y) adalah aditif. Total biaya Cp(y) pada jalur p ∈ P merupakan jumlah biaya Ca(x) dari semua yang melalui busur a:
C(y) = ∆c(x) = ∆c(∆Ty)
17
Prinsip user equilibrium menyatakan bahwa untuk semua p ∈ P dan w ∈ W : yp≥ 0
yp = 0⇒ Cp(y)≥ uw ⇒ Cp(y)− uw = 0 yp > 0 ⇒ Cp(y) = uw ⇒ Cp(y)− uw = 0 atau
0≥ Cp(y)− uw⊥ yp ≥ 0 Selanjutnya permintaan perjalanan harus memenuhi:
X
p∈Pw
yp = dw(u) ∀w ∈ W Biaya perjalanan minimum harus tidak negatif:
uw ≥ 0 ∀w ∈ W
Kemudian, menggabungkan tiga kondisi ini ke dalam NCP dengan menggunakan ma- triks insiden jalur-pasangan O− D, diperoleh:
Γ ={γwp} dimana:
γwp =
1, jika p∈ Pw 0, lainnya
(2.21)
Dengan asumsi menggunakan biaya perjalanan dan permintaan, kondisi diatas ekui- valen dengan NCP yang didefenisikan dalam fungsi F berikut:
F (y, u) :=
C(y)− ΓTu Γy− d(u)
Andaikan bahwa fungsi biaya perjalanan dan fungsi permintaan tidak negatif dan untuk setiap pasangan O− D, berlaku:
X
p∈Pw
ypCw(y) = 0, y≥ 0
⇒ [yp = 0 ∇p ∈ Pw]
Jumlah pada bagian kiri adalah total biaya perjalanan dari w pasangan O − D dan disebut juga dengan sistem biaya pada pasangan tersebut. Sehingga asumsi yang me- nyatakan bahwa jika semua biaya perjalanan tidak negatif, kemudian sistem biaya pada setiap pasangan O− D harus positif, kecuali apabila terdapat tidak ada arus lalu lintas antara pasangan.
BAB 3
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan peneli- tian ini, sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir serta akan mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya.
3.1 Algoritma
Terdapat beberapa kemungkinan untuk menyelesaikan variational inequalities dan comp- lementarity problem.
3.1.1 Variational inequalities
Facchinei dan Pang (2003), menyatakan terdapat dua pendekatan mendasar untuk menyelesaikan variational inequalities. Pertama, yakni dengan menyelesaikan kondisi KKT, yang memiliki beberapa keuntungan seperti konvergen yang baik yang disebabkan oleh struktur dari kondisi KKT. Selanjutnya algoritma dibuat lebih menarik, sehingga metode ini umumnya lebih disukai.
1. Simple projection method
Gurken et al., (2000) mengungkapkan penyelesaian (S, F ) adalah penyelesaian yang disebut persamaan alami berikut:
FS,Dnat(x) := x−Y
S,D
x− D−1F (x)) = 0
dan sebaliknya, dimana D merupakan matriks simetrik definit positif nxn, dan Q
S,D adalah proyektor pada S yang didefinisikan dengan D, yaitu untuk setiap x ∈ Rn proyektor Q
S,D(x) merupakan penyelesaian masalah minimum dalam variable y:
minimum 1
2(y− x)TD(y− x) kendala y∈ S
Dengan demikian penyelesaian bentuk di atas dapat dihitungkan sebagai iterasi simple fixed point. Konvergensi dapat ditingkatkan dengan memilih matriks D yang cocok, atau dengan menggunakan matriks yang berbeda dalam setiap iterasi.
19
2. Projection on the convex set
Teori ini memiliki asumsi bahwa dimiliki model arus-jalur dan terdapat hanya satu pasangan O− D. Untuk matriks D, digunakan matriks identitas. Kemudian himpunan layak untuk vektor arus-jalur adalah:
S ={x ∈ Rn: x≥ 0,
n
X
i=1
xi= d}
Jika p adalah titik yang harus diproyeksikan, proyeksi dapat dirumuskan sebagai masalah optimasi:
Minimum 1
2kx − pk2 −1 2
n
X
i=1
(xi− pi)2, x∈ S
Kendala h(x) :=
n
X
i=1
xi− d = 0 gi :=−xi ≥ 0 i = 1, . . . , n
Kondisi KKT untuk masalah ini mengakibatkan sistem persamaan nonlinear da- pat diselesaikan dengan iterasi. Jika formulasi busur dilakukan dengan multiple pasangan O−D, proyeksi yang diperoleh lebih kompleks. Persamaan arus konserva- si harus dipenuhi dan vektor penyelesaian terdiri dari komponen yang berbeda tidak hanya untuk busur yang berbeda, tetapi juga untuk arus yang berbeda yang melalui setiap busur (yang dihasilkan dari beberapa pasangan O− D). Sehingga persamaan untuk masalah ini adalah:
F (x)T
X
w∈WzW
− X
w∈WxW
≥ 0 ∀z ∈ S
F (x) :=
ca( X
w∈WxW
)
a∈A
S :={x = (xw)w∈W : Exw= Dw, xw ≥ 0, w∈ W }
Kondisi KKT untuk menghasilkan masalah minimum menyebabkan sistem per- samaan nonlinear yang lebih besar.
Sehingga diperoleh fungsi penalty:
Fungsi Penalty:
Minimum 1
2kx − pk2 + ρh2(x) +
n
X
j=1
βj(x)gj2(x)
20
Dengan ρ >> 0 dan βj(x) memiliki syarat:
βj(x) =
ρ, jika gj(x) > 0 0, yang lainnya
(3.1)
3. Extragradient Method
Diberikan algoritma Extragradient Method sebagai berikut (Winkler et al., 2010):
Extragradient Algoritma for Variational inequalities Langkah 0. Misal k = 0
Langkah 1. Jika xk merupakan penyelesaian dari (S, F ), berhenti Langkah 2. Hitung xk+0.5=Q
S
xk− τF (xk)
dan xk+1 =Q
S
xk− τF (xk+0.5)
Ulangi kembali ke langkah 1.
3.1.2 Penyelesaian nonlinear complementarity problems
Winkler et al., (2010) mengungkapkan, NCP dapat menentukan vektor x∗ ∈ Rn+
yang memenuhi 0 ≤ x∗ ⊥ F (x∗) ≥ 0. Pada metode ini, fungsi F harus differensial secara kontiniu. Untuk memenuhi kondisi inequality pada NCP, persoalan dapat diru- muskan dengan persamaan. Salah satu persamaan yang dikenal adalah fungsi minimum dan fungsi Fischer-Burmeister yang didefinisikan dengan:
ϕmin(a, b) := min{a, b}
ϕF B(a, b) :=√
a2+ b2− (a + b)
Dengan menggunakan fungsi FB untuk komponen NCP, diperoleh:
0≤ x∗ ⊥ F (x∗)≥ 0 ⇒ ϕF B
x∗i, Fi(x∗)
:=
s
(x∗i)2 +
Fi(x∗)
2
−
x∗i + Fi(x∗)
= 0 Penggabungan fungsi ini, disajikan dalam satu vektor:
FF B =
ϕF B(x1, F1(x)) ϕF B(xn..., Fn(x))
21
Untuk meningkatkan algoritma digunakan fungsi merit. Fungsi merit terkait dengan squared Euclidean norm dari FF B(x), yaitu:
φF B(x) := 1
2(x)TFF B(x)
Lebih lanjut ϕF B(a, b) adalah konveks, subaditif, homogen positif, global Lipschitz kontinu dan differensial kontinu dimana-mana kecuali pada titik dimana xi = Fi(x) = 0 (karena akar pangkat dua). φF B(x) differensial kontinu dan tidak negatif dimana-mana pada Rn.
Setelah itu dilanjutkan dengan menentukan titik stasioner dari φF B(x), untuk memperoleh hal ini digunakan metode tipe Newton. Metode standar Newton bertujuan untuk menentukan akar dari fungsi nilai scalar f(x), yakni:
f(xk) + f0(xk)(xk+1− xk) = 0⇒ xk+1 = xk− f(xk) f0(xk) Untuk menentukan akar dari FF B(x) diubah menjadi:
FF B(xk) + ∂FF B(xk)T(xk+1− xk) = 0
FF B(x) merupakan fungsi dari vektor ∂FF B(x), yang mana ∂FF B(x) merupakan ma- triks Jacobian, sehingga sebagai gantinya harus diselesaikan dengan sistem persamaan.
FF B(x) tidak terdifferensial, dengan demikian tidak mungkin dapat menghitung Jaco- bian. Oleh karena itu, digunakan generalisasi Jacobian untuk ∂FF B(x). Jika diasum- sikan bahwa F (x) terdifferensial kontinu dengan jacobian J F (x), generalisasi Jacobian dari FF B(x) memenuhi:
∂FF B(x)⊂ Da(x) +Db(x)J F (x),
dimanaDa(x) danDb(x) adalah himpunan matriks diagonal nxn diag
a1(x), . . . , an(x)
dan diag
b1(x), . . . , bn(x)
, dengan:
ai(x), . . . , bi(x)
=
:=
xi,Fi(x)
√x2i+Fi2(x) − (1, 1), jika
xi, Fi(x)
6= (0, 0)
∈ c1B(0, 1) − (1, 1), jika
xi, Fi(x)
= (0, 0)
(3.2)
22
Untuk penggunaan algoritma Line Search Part dibutuhkan fungsi gradient merit.
Hal ini disebabkan oleh struktur yang sesuai dari fungsi yang dikenalkan gradien dapat dihitung sebagai berikut:
∇φFF B(x) = ∂FF B(x)FF B(x) Algoritma dengan Armijo line search (Winkler et al., 2010):
Algoritma FB Line Search untuk NCP
Data : x0 ∈ Rn, ρ > 0, ρ > 1, γ ∈ (0, 1) Langkah 0. Ambil k = 0
Langkah 1. Jika xk adalah titik stasioner dari φFF B(x) kemudian stop
Langkah 2. Pilih elemen Hk ∈ ∂FF B(xk) dan temukan penyelesaian dari sistem persamaan FF B(x) + Hkd = 0. Jika sistem tidak dapat diselesaikan atau jika kondisi∇φFF B(xk)Tdk ≤ −ρkdkkp tidak dipenuhi,(re)set d =
−∇φFF B(xk)
Langkah 3. Temukan bilangan bulat positif terkecil ik sehingga, i = ik
FF B(xk+ 2−idk)≤ FF B(xk) + γ2−i∇φFF B(xk)Tdk
Langkah 4. Misal xk+1 = xk+ 2−idk, k← k + 1 dan kembali ke langkah 1.
3.1.3 Stochastic traffic equilibrium problem
Kall dan Wallace, (2003) menyatakan program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi probabili- tas.
Deterministic traffic equilibrium problem dapat dirumuskan sebagai variational inequality untuk menentukan vektor x ∈ S sehingga diperoleh bentuk (Gurken et al., 2000):
F (x)T(y− x) ≥ 0 ∀y ∈ S
Ketidakpastian stokastik dapat terjadi dalam mendefinisikan fungsi F dan him- punan konveks S dari suatu masalah dengan asumsi bahwa terdapat pengaruh l yang harus dipertimbangkan dan menggabungkannya dalam vektor ω. Rumus stochastic variational inequality dapat dituliskan:
menentukan x ∈ S(ω) sehingga F (x, w)T(y − x) ≥ 0 ∇y ∈ S(ω) dimana S(ω) adalah
23
himpunan konveks, ω ∈ Ω dan (Ω, F, P) adalah ruang probablitas Ω ⊂ Rl. Dalam kasus khusus, S(ω) = Rn+ masalah ini direduksi menjadi stochastic nonlinear comp- lementarity problem (SNCP), menentukan vektor x sehingga 0 ≤ F (x, ω) ⊥ x ≥ 0, yakni:
1. Stochastic nonlinear complementarity problem Metode deskripsi secara umum:
Zhang dan Chen (2008) merumuskan formula complementarity problem pada equilibrium problem. Dengan menggunakan sthochastic nonlinear complement- arity problem untuk memasukkan ketidaktentuan, diperoleh:
x ≥ 0, F (x, ω) ≥ 0, xTF (x, ω) = 0, ω ∈ Ω
dimana ω ∈ Rl adalah vektor acak dengan diberikan distribusi probabilitas P dan F :RnxΩ⇒ Rn adalah fungsi vektor yang bernilai. Masalah ini dinotasikan dengan SNCP
F (x, ω)
. Jika Ω hanya terdiri satu elemen, masalah ini dire- duksi menjadi NCP. Ketika F fungsi affine dari x untuk setiap ω ∈ Ω yaitu:
F (x, ω) = M(ω)x + q(ω), ω ∈ Ω,
dimana M(ω) ∈ Rnxn, q(ω) ∈ Rn, SNCP direduksi menjadi stochastic linear complementarity problem, dinotasikan dengan SLCP
M(ω), q(ω)
.
Lebih lanjut, Fang et al., (2007) memperkenalkan rumus expected valuae (EV ), sedangkan Chen dan Fukushima (2005) memperkenalkan rumus expected resi- dual minimization (ERM), yang mana kedua rumus tersebut merupakan dua rumus deterministic untuk SNCP . Rumus EV menyelesaikan single nonlinear complementarity problem NCP (E[F (x, ω)]). Rumus ERM meminimalkan fungsi residu dari NCP (F (x, ω)) untuk semua ω ∈ Ω. Versi rumus ERM menggunakan fungsi NCP adalah untuk menentukan penyelesaian optimal:
x∈Rminn+
:= E[kφ(x, ω)k2] dimana:
φ(x, ω) =
ϕ(F1(x, ω), x1) ...
ϕ(Fn(x, ω), xn)
24
Adalah fungsi residu dan ϕ :R2 → R adalah fungsi NCP yang memenuhi:
ϕ(a, b) = 0 ⇒ a ≥ 0, b ≥ 0, ab = 0
Lebih lanjut Zhang dan Chen (2008), memperkenalkan fungsi min dan fungsi FB, didefinisikan dengan:
ϕ1(a, b) = min(a, b) ϕ2(a, b) =√
a2+ b2− (a + b) 2. Condition for existence of solution
Andaikan permasalahan min pada Rn+ merupakan himpunan konveks Rn+ tak ter- batas, fungsi objektif tidak mungkin memiliki sebuah lokal atau global minimum bahkan jika fungsi objektif tersebut konveks.
Fungsi f :Rn→ Rn adalah koersif jika memenuhi:
kxk→∞lim
f(x)Tx
kxk = +∞
Fungsi Ro pada himpunan D ⊂ Rn didefinisikan sebagai fungsi F : Rn → Rn sehingga untuk setiap {xk} ⊂ D memenuhi:
k→∞lim kxkk = ∞, lim sup
k→∞k(−xk+)k < ∞ lim sup
k→∞
(−F (xk))+
<∞ Terdapat i∈ (1, . . . , n) sehingga
lim sup
k→∞
min
xki, Fi(xk)
<∞
Fungsi F : RnxΩ → Rn disebut fungsi stokastik Ro pada D ⊂ Rn jika untuk setiap {xk} ⊂ D memenuhi:
k→∞lim kxkk = ∞, lim sup
k→∞k(−xk+)k < ∞ lim sup
k→∞
(−F (xk))+
<∞ Terdapat i∈ (1, . . . , n) sehingga
P
ω : lim sup
k→∞{min
xki, Fi(xk, ω)
=∞ > 0
25
F : RnxΩ → R adalah equicoercive pada D ⊂ Rn jika, untuk setiap {xk} ⊂ D memenuhi lim
k→∞kxkk = ∞, {ωk} ≤ supp{Ω} dengan lim
k→∞{Fi(xk, ω)} = ∞, i ∈ {1, . . . , n} dengan syarat {xkj} ⊂ {xk} sehingga:
P
ω : lim
kj→∞Fi(xkj, ω) =∞
> 0
Hal ini dapat ditunjukkan bahwa F : RnxΩ → R adalah equicoercive jika Ω adalah himpunan kompak dan terdapat konstanta L > 0 dan δ > 0, sehingga jika kω1− ω2k < δ, maka diperoleh:
kF (x, ω1)− F (x, ω2)k < L ∀x ∈ Rn+
3. Model ERM-SNCP untuk TEP under uncertainly
Andaikan permintaan dω dibatasi untuk hampir semua ω ∈ Ω. Jaringan (N , A) terhubung kuat jika untuk setiap pasangan O− D, w ∈ W terdapat paling sedikit satu jalur terhubung dari asal ke tujuan. Kemudian setiap baris pada Γ ma- triks insiden jalur-pasangan O− D adalah vektor tidak nol. Bahkan, ketika satu rute terhubung hanya satu pasangan O − D, Γ menjadi full row-rank. Dengan demikian, jaringan yang menggunakan matriks insiden jalur-busur adalah deter- ministik.
Diberikan kondisi equilibrium sebagai berikut:
Cp(y(ω), ω)− uw(ω)≥ 0, yp ≥ 0, ∀p ∈ Pw, ∀w ∈ W
Cp(y(ω), ω)− uw(ω)
yp
= 0
Kondisi ini memenuhi permintaan perjalanan sebagai berikut:
X
p∈Pw
yp(ω)− dw(ω)≥ 0, uw(ω) ≥ 0,
X
p∈Pw
yp(ω)
uw(ω) = 0
Seperti dalam deterministik sesuai asumsi biaya perjalanan dan permintaan, kon- disi ini ekuivalen dengan SNCP dimana fungsi F didefenisikan:
F (y, u, ω) :=
C(y, ω)− ΓTu Γy− d(u, ω)
Namun, vektor (y, u)T yang equilibrium untuk setiap vektor acak ω ∈ Ω, tidak ada secara umum. Zhang dan Chen (2008) membuktikan proposisi berikut:
26
Andaikan bahwa jaringan (N, A) adalah terhubung kuat dan bahwa fungsi biaya perjalanan C(y, ω) merupaka fungsi yang tidak menurun pada arus dan terbatas untuk setiap y. Kemudian, F (y, u, ω) adalah fungsi stokastik R0 pada Rn+. Hal ini berarti rumus ERM menghasilkan fungsi objektif koersif. Dengan demikian himpunan penyelesaian tidak kosong dan terbatas. Namun, hal ini tidak men- jamin bahwa masalah ini konveks. Oleh karena itu, algoritma berulang dapat menemukan minimum lokal bahwa penyelesaiannya tidak global optimal.
3.1.4 Rumus expected value Diketahui ekspektasi S = E
S(ω)
dan F (x) = E
F (x, ω)
. Huang dan Chen (2014) menyatakan rumus expected value untuk variational inequality:
menemukan vektor x ∈ S sehingga F (x)T(y − x) ≥ 0 ∀y ∈ S. Kemudian, untuk S akan menggunakan himpunan dengan ekspektasi dengan fungsi kendala, yaitu:
S(ω) = y ∈ Rn+ : A(ω)y = b(ω)⇒ S = {y ∈ Rn+ : E[A(ω)y] = Eb(ω)}
Untuk kasus S himpunan konveks tidak acak, perhatikan urutan{Fk} dari fungsi deterministik yang kovergen ke ekspektasi fungsi F (x) = E(F (x, ω)). Sehingga penye- lesaian untuk S dapat diperoleh dengan menyelesaikan urutan deterministik.
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Traffic Assignment Problem dengan Permintaan Elastis
Traffic assignment problem berkaitan dengan persoalan bagaimana menentukan rute untuk ditetapkan ke pengemudi transportasi yang melakukan perjalanan pada jaringan transportasi dari tempat asal ke tempat tujuan.
Babonneau dan Vial, (2008) menjelaskan, misalkan G = (N, A) merupakan suatu graph berarah, dimana N merupakan himpunan titik dan A menyatakan himpunan busur. Dalam hal ini, graph merepresentasikan suatu jaringan pada pengemudi mana atau komoditas mana yang harus dikirimkan dari tempat asal ke tempat tujuan. Dino- tasikan K merupakan kumpulan komoditas. Pada traffic assignment problem, tiap-tiap komoditas dikarakterisasi oleh sebuah pasangan unik dari tempat asal dan titik tujuan.
Misalkan N merupakan titik-busur dari matriks insidens dari G dan x menyatakan vektor jalur. Ditentukan himpunan yang layak dari vektor jalur sebagai berikut:
X ={x ≥ 0|NxK = dK, k∈ K} (4.1)
Diberikan sebuah jalur yang layak dengan notasi x ∈ X. Kemudian, dapat di- evaluasi untuk tiap-tiap pengemudi perjalanan menghabiskan waktu untuk menutupi jarak perjalanan dari tempat asal ke tempat tujuan. Waktu perjalanan ini merupakan penjumlahan dari waktu perjalanan dikalikan dengan busur yang digunakan. Diasum- sikan bahwa waktu perjalanan diasumsikan dengan tta. Kemudian, untuk fungsi yang konveks dan tidak menurun dari jumlah aliran pada busur a, dinotasikan dengan ya. Misalkan Rk menyatakan himpunan dari semua rute yang mungkin dari tempat asal si pengemudi K ke tempat tujuan nya. Didefinisikan waktu perjalanan dari rute r ∈ Rk sehingga:
λrK =X
a∈r
tta(ya)
Dengan demikian, dari persamaan (4.1), asumsi standar dengan permintaan elastis dapat diberikan sebagai berikut:
28
Asumsi 4.1 Permintaan δK untuk komoditas K hanya bergantung pada waktu per- jalanan terpendek dari titik penawaran ke titik permintaan. Fungsi permintaan dino- tasikan dengan δK(λ), dimana λ menyatakan waktu perjalanan sepanjang lintasan ter- pendek, yang merupakan suatu fungsi dari R+keR+.
Dari Asumsi 4.1, diimplikasikan bahwa total fungsi permintaan dipisahkan ke dalam komoditas fungsi permintaan. Implikasi lainnya adalah bahwa fungsi kebalikan dari δK ada. Dapat dinotasikan bahwa λK(s) = δK−1(s), dimana s merupakan suatu permintaan.
Lebih lanjut, perkembangan selanjutnya difokuskan pada persoalan user equilib- rium. Kasus sistem equilibrium ini sudah sangat sering dibahas. Berdasarkan prinsip user equilibrium, para pengemudi memilih rute mereka masing-masing dan waktu per- jalanan yang digunakan kurang atau sama dengan rute yang telah dipilih yang akan dialami oleh seorang pengemudi pada tiap rute yang tidak terpakai. Kondisi sesperi ini dapat ditulis dalam bentuk berikut:
xrK > 0⇒ λrK = min
p∈RK
λpK, r∈ RK, k∈ K (4.2)
xrK = 0⇒ λrK = min
p∈RK
λpK, r∈ RK, k∈ K (4.3)
Kemudian, ketika waktu perjalanan dan fungsi permintaan dapat dipisahkan dan di- integralkan, kondisi equilibrium (dari persamaan 4.1 dan 4.2) merupakan solusi dari persoalan optimisasi berikut:
minx,y,δ
X
a∈A
Z ya
0
tta(s)ds−X
k∈K
Z δK
0
λK(s)ds (4.4)
y = X
k∈K
xK, (4.5)
x∈ X(δ) (4.6)
dimana, X(δ) menyatakan himpunan jalur yang layak dalam persamaan (4.1). Dengan demikian, kondisi traffic assignment problem dengan permintaan elastis dapat diketahui pada persamaan (4.4)-(4.6).
29
4.2 Metode Power Penalty untuk NCP
Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan NCP adalah dengan metode power penalty. Dengan demikian, terdapat beberapa kendala yang menjelaskan formulasi NCP untuk permintaan elastis pada persoalan Traffic Assignment Problem (TAP).
Kendala 4.1 Diberikan F :Rn → Rn, NCP (F ) menentukan vektor x∈ Rnmemenuhi 0≤ x ⊥ F (x) ≥ 0.
Definisi 4.1 F : Rn→ Rn dikatakan (Chen dan Huang, 2014):
1. Monoton pada Rn jika:
(x− y)T
F (x)− F (y)
≥ 0, ∀x, y ∈ Rn;
2. ξ monoton pada Rn untuk ξ ∈ (1, 2] jika terdapat konstanta a > 0 sehingga (x− y)T
F (x)− F (y)
≥ akx − ykξ2,∀x, y ∈ Rn;
3. Sangat monoton pada Rn jika terdapat konstanta a > 0 sehingga (x− y)T
F (x)− F (y)
≥ akx − yk22,∀x, y ∈ Rn.
Untuk setiap ξ monoton, fungsi pasti monoton dan setiap fungsi sangat monoton pasti ξ monoton,
Kendala 4.2 Tentukan xλ ∈ Rn sehingga F (xλ)− λ[xλ]
1 k
− = 0, (4.7)
dimana k > 0 merupakan parameter power, λ > 1 adalah parameter penalty, [v]− =
−min{v, 0} dan yk1 = (y
1 k
1, y
1 k
2, . . . , y
1
nk)T untuk setiap y = (y1, y2, . . . , yn)T ∈ Rn, dapat dikatakan bahwa F (xλ)− λ[xλ]
1 k
− = 0 merupakan pendekatan persamaan power penalty NCP (F ). Dengan memisalkan F (xλ) > 0, dan penalty λ[xλ]
1
−k menjadi bagian negatif xλ, ketika xλ > 0 tidak dipenuhi. Diharapkan bahwa solusi dari persamaan power penalty konvergen dengan NCP (F ) pada saat λ→ ∞.
