Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati

DERET

Isi Bab

• Pendahuluan

• Barisan tak-hingga

• Deret tak-hingga

• Deret Positif : Uji kekonvergenan

• Deret Ganti Tanda

• Deret Pangkat

• Deret Taylor dan Maclaurin

Kompetensi Dasar

Setelah mengikuti kuliah, peserta dapat membedakan antara baris dan deret,

beberapa deret positif dan deret ganti

tanda yang populer, dan menentukan

kekonvergenan deret tersebut .

PENDAHULUAN

Seorang filsuf dari Yunani Zeno of Elea (495-435 BC) mengemukakan race course paradox.

  ^{1, , , , 1 1 1 1 , , 1 , 1}

2 4 8 16 2 2

n n n

b          

   

Apakah pelari sampai garis finish?

1 1/2

Contoh:

Undian untuk mendapat Uang Belanja setiap tahun sampai dunia kiamat.

- Apakah tidak pernah stop?

- Yang mana yang paling menguntungkan?

Pilihan I: B=Rp 1.000.000

, , , , , , ,

2 4 8 16 2

ⁿ

B B B B B

B

Pilihan II: C=Rp 500.000

, , , , , , , 2 3 4 5

C C C C C

C n

Apakah barisan

 

bn dan

 

c n konvergen?

 

^{1, , , ,1 1 1 1 , , 1 , 1}

2 4 8 16 2 2

n n n

b       

   

 

^{1, , , , ,1 1 1 1 , ,1 1}

2 3 4 5 cn

n n

   

    

   

1 1 1 1 1

1 2 4 8 16 2

n n

b        



1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

c

n

        n



Apakah deret

 b

_n dan

^

^cn konvergen?

Kekonvergenan Baris:

Barisan

  a

n konvergen ke L atau ^{lim n}

n a L

 

jika untuk setiap ε terdapat bilangan positif N sehingga untuk

,

_n

n  N a   L 

Barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan .

disebut Divergen

Sifat-sifat limit barisan yang konvergen

 

 

1.lim ,

2.lim lim ,

3.lim lim lim ,

4.lim lim lim ,

lim

5.lim , asalkan lim 0.

lim

n

n n

n n

n n n n

n n n

n n n n

n n n

n n n

n n n

n n

n

k k

ka k a

a b a b

a b a b

a a

b b b



 

  

  



 







  

  

 

Misal dan adalah barisan konvergen dan K adalah konstanta.

 

^a _n

 

b n

Teorema Apit:

Jika dan barisan yang konvergen ke L dan

maka konvergen juga ke L.

 

^a_n

 

c n

, untuk n K,

n n n

a  b  c 

 

bn

Contoh: Tentukan kekonvergenan barisan konvergen ke 0.

sin n3

n

 

 

 

Teorema limit mutlak:

Jika maka

lim a

_n

0



 lim a

_n

0





Teorema Barisan Monoton:

Jika barisan tak turun dan U adalah batas atas dari barisan tersebut, maka barisan akan konvergen ke suatu limit A, dan A ≤ U.

 

^a_n

 

^a _n

Jika barisan tak naik dan U adalah batas bawah dari barisan tersebut, maka barisan akan konvergen ke

suatu limit A, dan A ≥ U.

 

^a_n

 

^a _n

U

U

DERET TAK-HINGGA

1 2 3

1

k

...

k

a a a a





   



Jumlah parsial:

S n

n

n

a a a a

S

a a

S

a S

















...

, ,

3 2

1

2 1

2

1 1

Definisi kekonvergenan deret Deret tak-hingga

 ^

 1 k

a k

mempunyai jumlah S jika barisan

jumlah parsial

  ^S

_n konvergen ke S.

konvergen dan

Teorema kedivergenan deret

Deret tak-hingga konvergen maka

Jika maka deret divergen.



^

1 k

ak

lim  0



 k

k

a

0 lim 



 k

k

a ^



1 k

ak

Beberapa Deret yang populer

Deret geometri: ^{1 2 3}

1

k

...

k

ar a ar ar ar

 



    



dengan

a  0



²

 

²



,

n n

n n

n

S rS a ar ar ar r a ar ar ar

a ar

          

 

1 ,

n n

S a ar

r

 



| r | < 1 deret konvergen

| r | ≥ 1 deret divergen

S= lim

n

1

n

S a



 r



Deret Harmonik: 1...

3 ...

1 2

1 1 1

1k n

k











^ 



1 1 1

1 ...

2 3

1 1 1 1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1

1 ...

2 2 2

Sn

n

n

n

    

   

            

   

     

S= lim

_n

n

S



 

deret divergen

Deret Kolaps/Telescoping Deret



^

1 k

a

k yang tiap sukunya dapat dibentuk menjadi

1





_{k k}

k

b b

a

, k=1,2,3,… sehingga

n n

k

k k

n b b b b

S     

  1

1

1) (

Kekonvergenan deret tergantung pada

lim

_n

n

S



Deret p:

1

1 1 1 1

1 2 3 4

p p p p

k

k





    



Uji Integral:

Jika f fungsi kontinu, positif dan tak naik pada selang [1,∞) dan andaikan

untuk semua bilangan positif k maka

k

( )

a  f k



^

1 k

a

k konvergen jika hanya jika

1

( )

f x dx





^konvergen

p > 1 deret konvergen, p ≤ 1 deret divergen

Sifat-sifat deret konvergen

Jika dan keduanya konvergen dan c adalah konstanta, maka

^

1 k

ak

1 k k

b







1 1

dan ( ) konvergen

k k k

k k

ca a b

 

 

 



dan

1 1

1 1 1

1. ,

2. ( ) .

k k

k k

k k k k

k k k

ca c a

a b a b

 

 

  

  



  

 

  

Sifat deret divergen

Jika divergen dan c ≠0 maka divergen.a







^{ ca}

UJI KEKONVERGENAN DERET 1.



^an merupakan deret terkenal:

1.Deret Geometrik: | r | < 1 konvergen,

r S a

  1

| r | > 1 divergen 2. Deret Harmonik: divergen

3. Deret yang Mengecil (collapsing series) 4. Deret-p: p > 1 konvergen, p ≤ 1 divergen

2. Uji suku ke-n untuk divergensi Jika lim  0



 n

n a atau tidak ada maka divergen.

3. Jika

 ^a

ⁿ deret positif 1. Uji jumlah terbatas 2. Uji Integral

3. Membandingkan dengan deret lain yang terkenal - Uji Perbandingan Biasa

- Uji Perbandingan Limit

4. Membandingkan suku-suku sendiri - Uji Rasio

4. Deret Berganti Tanda

5. Membandingkan dengan



^{| an |}

1. Konvergensi Mutlak:

Jika



^{| an |} konvergen maka



^{an konvergen}

2. Uji Rasio Mutlak

3. Konvergensi bersyarat



^an konvergen tapi



^{| an | divergen}

6. Susun Ulang

Membandingkan dengan deret lain yang

terkenal (sudah diketahui kekonvergenannya) Uji Perbandingan Biasa:

Andaikan

0  a

_n

 b

_n

, untuk n  N ,

1. Jika konvergen maka konvergen



^bn



^an

2. Jika divergen maka divergen



^an



^bn

Uji Perbandingan Limit:

Andaikan dan

a

_n

 0, >0, b

_n

1. Jika 0 < L <∞ maka dan sama-sama konvergen atau divergen.



^an



^bn

2. Jika L=0 dan konvergen maka konvergen



^bn



^an

lim

ⁿ

n n

a L



b 

Membandingkan suku-suku sendiri Uji Rasio:

Jika adalah deret positif dan



^an

lim

ⁿ 1

n n

a

a

^







1. Jika ρ < 1 maka deret konvergen.

2. Jika ρ > 1 atau ρ = ∞ maka deret divergen.

3. Jika ρ = 1 maka tidak ada kesimpulan (harus cari uji lain)

Gunakan uji ini jika melibatkan

a

_n

n n

Uji deret berganti tanda:

Misalkan

adalah deret berganti tanda dengan

Jika maka deret tersebut konvergen.

1 2 3 4

...

a     a a a

1

0.

n n

a  a

_



lim

_n

0

n

a





Contoh: tunjukkan deret konvergen

2 1

1

( 1) 2

n

n n



n





 

Uji Rasio Mutlak:

Jika adalah deret dengan suku-suku taknol dan

un



lim

ⁿ 1

n n

u

u

^







1. Jika ρ < 1 maka deret konvergen mutlak.

2. Jika ρ > 1 atau ρ = ∞ maka deret divergen.

3. Jika ρ = 1 maka tidak ada kesimpulan (harus cari uji lain)

DERET PANGKAT

Deret fungsi



u x_n

( )

Contoh:

2

sin( ) sin sin 2 sin 3

1 4 9

nx x x x

n    



Pertanyaan penting:

1. Untuk x yang bagaimana deret akan konvergen?

2. Pada fungsi yang bagaimanakah deret tersebut akan konvergen? Atau berapa S(x) dari deret?

Deret Pangkat:

2 3

0 1 2 3

1

n

...

n n

a x a a x a x a x





    



Himpunan kenvergensi:

Himpunan x dimana sebuah deret pangkat akan konvergen.

Himpunan konvergensi untuk deret pangkat berupa salah satu dari 3 jenis selang berikut:

n

a x

n



(1). Titik tunggal x = 0

(2). Selang (-R,R) dengan/tanpa 2 titik ujung selang (harus dicek di titik ujung selang)

(3). Seluruh garis bilangan Real.

Jari-jari kekonvergenan: (1) 0 (2) R (3)

∞

Contoh:

0

( 1)2

n

n n

x n









1. Tentukan himpunan kekonvergenan nya.

2. Tentukan jari-jari kekonvergenannya.

Himpunan konvergensinya berupa salah satu dari 3 jenis selang berikut:

(1). Titik tunggal x = a

(2). Selang (a-R,a+R) dengan/tanpa 2 titik ujung selang (harus dicek di titik ujung selang)

(3). Seluruh garis bilangan Real.

Deret Pangkat:

2 3

0 1 2 3

1

( )

ⁿ

( ) ( ) ( ) ...

n n

a x a a a x a a x a a x a





        



Pendiferensialan dan pengintegralan pada deret pangkat

Misal S(x) adalah jumlah deret pangkat pada selang I

2 3

0 1 2 3

( ) ...

S x  a  a x a x   a x 

Jika x berada dalam selang I, maka

 

^{1 2 3 2}

0

1 1

1. '( ) 2 3 ...

n

x n

n

n n n

S x D a x a a x a x

na x





 



    







2 3 4

1 1 1

0 2 1 3 2 4 3

0 0 0

1 0

2. ( ) ...

1

x x

n n n

n n n

S t dt a t dt a x a x a x a x a x

n





 



     

 

  



Manfaat:

- Mendapatkan deret baru dari deret pangkat yang ada - Melakukan hampiran nilai dari fungsi di suatu titik.

Contoh:

3 5 7

tan

1

...

3 5 7

x x x

x x



    

32

Ingat: ¹

2 0

tan 1

1

x

x dt

t





 

Dari deret geometri terhadap x, dimana:

1 2 3

1

1 ... 1

1

k k

x x x x

x

 



     

  ¹

S a

 r



Ganti x dengan sehingga

 t

²

2 4 6

2

1 1 ...

1 t t t

t     



2



^{2 4 6}



0 0

3 5 7

1

1 1 ...

1

tan ...

3 5 7

x x

t t t dt

t

x x x

x x



    



    

 

Contoh: Tentukan deret pangkat dari

1. ( ) 1

1

2. ( ) ln(1 )

x

x

f x e

x

f x e







 

DERET TAYLOR DAN DERET MACLAUREN

Deret pangkat yang terkenal adalah Deret Taylor dan Deret Maclaurin. Deret Taylor adalah deret pangkat dalam x-a dengan koefesiennya adalah koefesien polinom Taylor.

Jika

f

^memenuhi

...

) (

) (

) (

)

( x  c

₀

 c

₁

x  a  c

₂

x  a

²

 c

₃

x  a

³

 f

untuk semua x di sekitar a, maka

! )

)(

(

n a c f

n n 

.

Kekonvergenan deret Taylor:

Deret Taylor:

...

)

! ( 3

) (

)

! ( 2

) ( ) ''

)(

( ' )

(

) 3 3 (

2















a a x

f

a a x

a f x

a f a

f

menggambarkan fungsi

f

sebenarnya pada selang (a-r,a+r) jika

0 )

lim

( ^



 R_n x

n

dengan ^{( 1)} _{( )} ¹

)!

1 (

) ) (

( ^

 

 ⁿ ⁿ

n x a

n

c x f

R

(suku sisa) di mana c titik antara x dan a.

Deret Maclaurin yang penting:

1.

1

^{2 3}

1 ...

1 x x x

x     



2.

2 3 4

ln(1 ) ...

2 3 4

x x x

x x

     

3.

4.

2 3 4

1 ...

2! 3! 4!

x

x x x

e    x   

3 5 7

tan 1 ...

3 5 7

x x x

x x

     

5.

6.

7.

3 5 7

sinh ...

3! 5! 7!

x x x

x  x   

8.

2 4 5

cosh 1 ...

2! 4! 5!

x x x

x     

9. (1 ) 1 ^{2 3} ...

1 2 3

p p p p

x   x   x   x

           

     

2 4 5

cos 1 ...

2! 4! 5!

x x x

x     

3 5 7

sin ...

3! 5! 7!

x x x

x   x   