Fungsi Analitik (Bagian Kedua)

Fungsi Analitik (Bagian Kedua)

Supama

Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA

Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu V)

Outline

1 Limit Menuju Tak Hingga

2 Fungsi Kontinu

3 Turunan (Derivative) Rumus-rumus Turunan

Limit menuju tak hingga

Pada kuliah terdahulu telah dijelaskan titik di tak hingga di dalam bidang kompleks diperluas (extended complex plane).

Apabila w = ¹_z dan  > 0 konstanta real cukup kecil, maka himpunan {z : |z| < } akan berkorespondensi 1-1 dengan himpunan {w : |w | > ¹_}.

Karena di dalam bidang kompleks diperluas, titik 0 oleh w = ¹_z dipetakan ke titik ∞, maka himpunan

{w : |w | > ¹_} disebut persekitaran titik ∞.

Dengan adanya pengertian persekitaran titik ∞ ini, selanjutnya dapat didefinisikan pengertian limit f (z) untuk z menuju titik tak hingga.

Limit Menuju Tak Hingga

Definition

limz→∞f (z) = L jika untuk setiap bilangan real  > 0 terdapat bilangan M > 0 sehingga untuk setiap z ∈ D_f dengan |z| > M berakibat

|f (z) − L| < 

Contoh

Example

Tunjukkan lim_z→∞ ¹_z =0.

Bukti: Diberikan bilangan real  > 0 sebarang. Jika M = ¹_, maka M > 0 dan untuk setiap z dengan |z| > M berlaku

|1

z − 0| = |1 z| < 1

M = . 

Sifat-sifat

Theorem

lim_z→∞f (z) = L jika dan hanya jika lim_z→0f (¹_z) =L.

Limit Menuju Tak Hingga

Example

(i) lim_z→∞ ^z+1_z−i =1 sebab

z→0lim

1 z +1

1

z − i = lim

z→0

1 + z

1 − iz = 1 + 0 1 − 0 =1 (ii) limz→∞ z²+z−1

3z²−i = ¹₃ sebab

z→0lim

1

z² +¹_z − 1

3

z² − i = lim

z→0

1 + z − z²

3 − iz² = 1 + 0 − 0 3 − 0 = 1

3

Limit Menuju Tak Hingga Definition

lim_z→z0f (z) = ∞ jika untuk setiap bilangan real M > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ D_f dengan

0 < |z − z₀| < δ berakibat

|f (z)| > M Example

Tunjukkan lim_{z→i z−i}¹ = ∞.

Bukti: Diberikan bilangan real M > 0. Jika diambil δ = _M¹, maka untuk setiap z dengan 0 < |z − i| < δ berakibat

| 1

z − i| = 1

|z − i| > 1

δ =M. 

Limit Menuju Tak Hingga

Theorem

limz→z₀f (z) = ∞ jika dan hanya jika limz→z₀ 1 f (z) =0 Example

lim_{z→2i z−2i}^z+1 = ∞ sebab lim

z→2i

1

(_z−2i^z+1) = lim

z→2i

z − 2i z + 1 =0

Limit Menuju Tak Hingga Definition

lim_z→∞f (z) = ∞ jika untuk setiap bilangan real M > 0 terdapat bilangan N > 0 sehingga untuk setiap z ∈ D_f dengan |z| > N berakibat |f (z)| > M.

Theorem

limz→∞f (z) = ∞ jika dan hanya jika lim_z→0 ¹

f (¹_z) =0 Example

lim_z→∞(z²+2i) = ∞ sebab

z→0lim 1

1

z² +2i = lim

z→0

z²

1 + 2iz² = 0 1 + 0 =0

Fungsi Kontinu

Pada pengertian limit, dapat dilihat meskipun lim_z→z0f (z) ada, namun f (z₀)belum tentu terdefinisikan, dan kalaupun f (z₀)ada, maka nilainya belum tentu sama dengan

lim_z→z0f (z).

Pada bagian ini, akan dipelajari fungsi f sehingga memenuhi sifat-sifat

i. f (z₀)ada (terdefinisikan), ii. lim_z→z0f (z) ada, dan iii. lim_z→z0f (z) = f (z₀).

Fungsi f yang demikian dikatakan kontinu di z₀.

Fungsi Kontinu

Definition

Fungsi f dikatakan kontinu di z₀∈ D_f jika untuk setiap bilangan real  > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ D_f dengan |z − z₀| < δ berlaku

|f (z) − f (z₀)| < 

Fungsi f dikatakan kontinu pada A ⊂ D_f jika f kontinu di setiap z ∈ A.

Example

Fungsi f (z) = z²kontinu di setiap c ∈ C.

Fungsi Kontinu

Dalam kaitannya dengan fungsi real dua perubah, maka diperoleh teorema sebagai berikut.

Theorem

Diketahui f (z) = u(x , y ) + iv (x , y ) dan z₀=x₀+iy₀. Fungsi f kontinu di z₀jika dan hanya jika u(x , y ) dan v (x , y ) keduanya kontinu di (x₀,y₀).

Lebih lanjut, jika f dan g kontinu di z₀dan c ∈ C, maka dapat ditunjukkan bahwa f + g, cf , dan fg kontinu di z₀. Demikian pula, _g^f kontinu di z₀asalkan g(z₀) 6=0.

Turunan

Diberikan fungsi f dengan domain definisi D_f dan titik z₀∈ D_f. Turunan f di titik z₀, ditulis dengan notasi f⁰(z₀),

didefinisikan sebagai f⁰(z₀) = lim

∆z→0

f (z₀+ ∆z) − f (z₀)

∆z , (1)

asalkan nilai limit di ruas kanan ada.

Apabila di dalam persamaan (1) didefinisikan z₀+ ∆z = z, maka definisi turunan f di titik z₀dapat pula ditulis sebagai

f⁰(z₀) = lim

z→z₀

f (z) − f (z₀)

z − z₀ , (2)

Turunan

Apabila pada persamaan (1) titik z₀diambil sebarang di dalam D_f dan indeks ditanggalkan, maka diperoleh

f⁰(z) = lim

∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)

∆z , (3)

yaitu turunan f di sebarang titik z.

Apabila w = f (z) dan

∆w = f (z + ∆z) − f (z)

maka persamaan (3) dapat ditulis kembali sebagai f⁰(z) = lim

∆z→0

∆w

∆z Selanjutnya, lim_∆z→0^∆w_∆z dinotasikan ^dw_dz.

Jadi, selain f⁰(z), turunan w = f (z) juga dapat dinotasikan dengan ^dw_dz. Notasi ini dikenal dengan nama notasi Liebniz.

Turunan

Example

Diberikan fungsi f (z) = ¹_z. Di sebarang titik z ∈ D_f,

∆z→0lim

∆w

∆z = lim

∆z→0 1 z+∆z −¹_z

∆z = lim

∆z→0

−∆z

(z + ∆z)z∆z = − 1 z² Jadi, f⁰(z) = −_z¹2.

Example

Tunjukkan bahwa f (z) = |z|²tidak mempunyai turunan di setiap z 6= 0.

Bukti:

Perhatikan bahwa

∆w

∆z = |z + ∆z|²− |z|²

∆z = (z + ∆z)(z + ∆z) − zz

∆z =z+∆z+z(∆z

∆z) Andaikan f⁰(z) ada, maka lim_∆z→0 ^∆w_∆z ada dan nilainya tidak

bergantung kepada cara pendekatannya. Apabila limit diambil sepanjang kurva ∆y = 0, maka

∆z→0lim

∆w

∆z =z + 0 + z (4)

Sedangkan, disepanjang kurva ∆x = 0, diperoleh

∆z→0lim

∆w

∆z =z + 0 − z (5)

Karena lim_∆z→0 ^∆w_∆z ada, maka dari (4) dan (5) diperoleh z = 0.

Jadi, f⁰(z) ada hanya di titik z = 0.

Turunan

Pada Contoh kedua telah ditunjukkan bahwa untuk z 6= 0, f⁰(z) tidak ada, tetapi dapat ditunjukkan bahwa f kontinu di manapun, khususnya di z 6= 0.

Sedangkan pada Contoh yang pertama, f⁰(z) ada untuk setiap z ∈ D_f dan dapat ditunjukkan bahwa f kontinu pada D_f.

Adakah hubungan antara turunan dan kekontinuan?

Jawaban dari pertanyaan ini diberikan di dalam teorema berikut.

Theorem

Jika f⁰(z₀)ada, maka f kontinu di z₀.

Turunan

Example

Fungsi f dengan rumus

f (z) =







xy

x²+2y² +i(x²+2xy ) , z 6= 0

2

3 ,z = 0

tidak mempunyai turunan di z = 0, karena f tidak kontinu di z = 0.

Rumus-rumus Turunan

Rumus-rumus Turunan

Theorem

(i) ^{d (c)}_dz =0 untuk setiap c ∈ C.

(ii) ^{d (z}_dzⁿ⁾ =nzⁿ⁻¹ untuk setiap n ∈ N .

Rumus-rumus Turunan

Rumus-rumus Turunan Theorem

Jika f dan g keduanya mempunyai turunan di titik z dan c ∈ C, maka f + g, cf , fg, dan _g^f mempunyai turunan di z asalkan untuk yang terakhir g(z) 6= 0, dan

(i) d (f (z)+g(z))

dz = ^{df (z)}_dz + ^dg(z)_dz , (ii) ^{d (cf (z))}_dz =c ^{df (z)}_dz ,

(iii) ^{df (z)g(z)}_dz =f (z)^dg(z)_dz +g(z)^{df (z)}_dz , dan (iv) ^{d (}

f (z) g(z)) dz = ^g(z)

df (z)

dz −f (z)^dg(z)_dz (g(z))² .

Berdasarkan definisi turunan dan Teorema terdahulu, dapat ditunjukkan

d (zⁿ)

dz =nzⁿ⁻¹ , n ∈ Q

Rumus-rumus Turunan

Contoh

Example

(a) Jika f (z) =√

z(z²+1) maka f⁰(z) = df (z)

dz =√

z(2z+0)+(z²+1)(1

2)(z⁻¹²) =2z√

z+z²+1 2√

z (b) Diberikan f (z) = _z+1^z , maka

f⁰(z) = df (z)

dz = (z + 1).1 − z.(1 + 0)

(z + 1)² = 1

(z + 1)²

Rumus-rumus Turunan

Rumus-rumus Turunan

Sebagaimana halnya di dalam kalkulus, di dalam fungsi kompleks ini juga dikenal konsep turunan fungsi bersusun (aturan rantai).

Theorem

(Aturan Rantai) Jika g mempunyai turunan di z dan f mempunyai turunan di g(z), maka fungsi w (z) = f (g(z)) mempunyai turunan di z, dan

w⁰(z) = f⁰(g(z))g⁰(z)

Rumus-rumus Turunan

Contoh

Example

Tentukan turunan dari f (z) =√

z⁴+z²+3.

Penyelesaian: Namakan u = z⁴+z²+3 dan w = f (z) =√ u, maka dengan Teorema sebelumnya, diperoleh

f⁰(z) = dw du

du dz = 1

2√

u(4z³+2z + 0) = 2z³+z

√

z⁴+z²+3.