Bab 3 Pertemuaan Minggu 4 Sifat-sifat Harga Opsi

Sifat-sifat Harga Opsi

1

Bab 3

Pertemuaan Minggu 4

Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini , mahasiswa bisa :

 Menjelaskan tentang

 Batas atas dan bawah harga Opsi Call (Beli)

 Batas atas dan bawah Opsi Put (Jual )

 Menjelaskan strategi arbitrase jika batas bawah harga opsi tidak dipernuhi

Tujuan Pembelajaran

A. Batas Bawah dan Batas Atas Harga Opsi 1. Batas Atas Harga Opsi Call

2. Batas Bawah Harga Opsi Call 3. Batas Atas Harga Opsi Put 4. Batas Bawah Harga Opsi Put B. Put Call Parity

C. Opsi Tipe Amerika

1. Menjalankan Opsi Call pada Awal Periode 2. Menjalankan Opsi Put pada Awal Periode

Batas-batas Harga Opsi

1. Harga suatu opsi yang melebihi batas, akan mengundang kesempatan bagi para arbitraser untuk selalu mengambil keuntungan.

2. Demikian juga jika harga suatu opsi berada di bawah harga minimalnya, akan ada kesempatan bagi para arbitraser untuk menciptakan strategi yang selalu menguntungkan mereka.

3. Untuk itu, harga opsi harus berada di antara interval harga minimal dan maksimalnya, agar tidak muncul para arbitraser yang selalu dapat bermain dalam situasi tersebut.

Arbitrase

Batas Atas Harga Opsi Call (c)

 Secara umum, harga opsi (Eropa dan Amerika) tidak pernah melebihi harga saham pokoknya S_0, mengingat opsi produk derivatif dari saham

 Jadi, harga saham pokok merupakan batas atas dari harga opsi yaitu: c ≤ S₀.

 Jika ada harga opsi call yang tidak sesuai kondisi tersebut, maka Arbitraser akan memanfaatkan

kondisi ini untuk

memperoleh keuntungan dengan cara membeli

saham dan menjual opsi call saham tersebut.

Contoh 1:

Misalkan harga suatu saham (So) adalah $10 dan harga opsi call- nya (c) adalah $12. Dengan membeli saham tersebut seharga $10 dan menjual opsi call dari saham tersebut seharga $12, seorang arbitraser akan selalu memperoleh keuntungan bersih sebesar

$2 + saham/uang sebesar harga saham, bagaimanapun kondisi harga saham tersebut pada saat jatuh tempo.

Batas Bawah Harga Opsi Call

Harga minimal opsi call (tanpa pembayaran dividen) adalah

c ≥ S₀ – Ke^-rT

 Jika kondisi ini dilanggar maka Arbitraser juga

dapat memanfaatkan kondisi tersebut untuk memperoleh

keuntungan dengan cara

Short sell (meminjam untuk menjual saham pokok) dan membeli opsi call.

Contoh 2:

Misalkan ada saham sebagai berikut:

S₀ = $20, K = $18, r = 10% per tahun, dan T = 1 tahun.

dapat dihitung nilai

S₀ - Ke^-rT = 20 - 18e^-0.1*1 =

$3.71.

Sehingga harga opsi minimal adalah $3.71

 Bagaimana jika opsi saham tersebut dijual lebih murah dari harga minimal tersebut?

 Misalkan opsi call saham tersebut dijual seharga

$3.

1. Arbitraser akan meminjam saham untuk dijual (short sell).

2. Dana hasil penjualan itu digunakan u membeli opsi call. Dana $20-$3 = $17.

3. Dana ini kemudian

diinvestasikan dengan

selama 1 tahun dengan suku bunga 10%.

4. Setelah 1 tahun, dana

tersebut bertambah menjadi 17e^0.1 = $18.79

Setelah 1 tahun, ada dua kondisi yang mungkin terjadi,

1. S_T > K, arbitraser

menjalankan opsi call,

membeli saham $18. Saham ini kemudian dikembalikan (sebelumnya ia pinjam ).

Untung $18,79-$18 = $0,79 2. S_T < K,opsi call tidak

dijalankan. Keuntungan

$18,79-S_T (lebih besar dari kondisi pertama).

Sifat-sifat Harga Opsi

11

Bab 3

Pertemuaan Minggu 5

Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini , mahasiswa bisa :

 Menjelaskan argumentasi formal batas bawah harga opsi

 Menjelaskan tentang konsep dan formula Put-Call Parity

 Menjelaskan tentang konsep early exercise opsi call dan put tipe amerika

Tujuan Pembelajaran

Kita lihat dua portofolio berikut:

 Portofolio A : Satu opsi call Eropa dan uang tunai sebesar Ke-^rT, Bernilai c + Ke^-rT

 Portofolio B : Satu saham, bernilai S₀

Dalam portofolio A, uang tunai Ke^-rT jika diinvestasikan pada suku bunga bebas resiko r, pada waktu jatuh

tempo T akan berkembang K.

Argument formal

1. Jika S_T > K, opsi call

dijalankan. Uang sebesar K digunakan untuk

membayar saham, dan portofolio A akan

bernilai S_T .

 Jika S_T < K, opsi call tidak dijalankan sehingga

portofolio A bernilai K.

Jadi pada waktu jatuh tempo T, portofolio A akan bernilai max(S_T, K) dan portofolio B selalu bernilai S_T pada waktu jatuh tempo T.

Dari ilustrasi di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa portofolio A ≥ portofolio B

pada waktu jatuh tempo (Jika S_T > K, maka portofolio A

bernilai S_T = portfolio B, jika S_T< K, maka portofolio A bernilai K > portfolio B).

Selanjutnya dengan menggunakan prinsip tidak ada

kesempatan melakukan arbitrase, kondisi pada waktu jatuh tempo juga akan berlaku pada waktu sekarang.

Jadi

Portofolio A c + Ke^-rT ≥ S₀ Portofolio B atau c ≥ S₀ - Ke^-rT

Karena harga opsi tidak mungkin negatif, c ≥ 0, maka harga call opsi minimal dapat dirumuskan sebagai berikut

c ≥ max(S₀ - Ke^-rT, 0)

Batas Atas Harga Opsi Put

Opsi put tipe Amerika atau Eropa memberikan hak

kepada pemegangnya untuk menjual saham pokok pada harga kontrak tertentu, K.

Tidak peduli seberapa harga saham akan turun, harga opsi put tidak akan lebih besar dari K. Jadi dipunyai hubungan, p ≤ K and P ≤ K

Untuk opsi put tipe Eropa, kita tahu bahwa pada waktu jatuh tempo, opsi put tidak dapat bernilai lebih dari K (Jika S_T = 0, maka opsi put bernilai K-0 = K), sehingga harga opsi put

(sekarang) tidak akan melebihi nilai sekarangnya (present

value K) : p ≤ Ke^-rT

Pelanggaran

maka akan ada seorang arbitraser yang dapat mengambil keuntungan dengan cara menjual opsi put dan menaruh uang hasil penjualan opsinya pada

bunga bebas resiko.

Contoh 3

Misalkan ada opsi put Eropa dengan harga kontrak (K) = 10, T = 0.5 tahun dan r = 1%.

Dipunyai nilai Ke^-rT = 10exp(- 0.5*0.01) = 9.95.

Jadi harga opsi put tidak boleh melebihi 9.95.

Contoh Pelanggaran

Selanjutnya misal ada opsi put untuk kasus di atas dengan harga $10. Investor dapat

mengeluarkan opsi jual untuk mendapat uang $10 dan

menyimpannya di rekening bank dengan bunga 1%. Pada waktu jatuh tempo uang

tersebut menjadi $10.05.

Sekarang kita lihat kondisi pada waktu jatuh tempo

1. Jika opsi put dalam kondisi in the money (opsi put

dijalankan), maka investor tersebut harus membeli saham pokok sebesar $10, dan dia masih mempunyai keuntungan sebesar $0.05 + saham.

2. Jika opsi put dalam kondisi out of the money (opsi put tidak dijalankan),

keuntungannya $10,05,

Untuk opsi put tipe Eropa yang sahamnya tidak

memberikan pembayaran dividen, batas bawah untuk harga opsi tersebut adalah

Ke^-rT - S₀

Misalkan dipunyai opsi put dengan karakteristik sebagai berikut : S₀ = $37, K = $40, r = 5% per tahun, dan T = 0.5 tahun. Pada kasus ini diperoleh,

Ke^-rT - S₀ = 40e^-0.05*0.5 - 37 = $2.01

Batas Bawah Harga Opsi Put

Pelanggaran

Misal harga opsi put Eropa $1.00 <

harga teoritis $2.01.

 Seorang arbitraser dapat

menjalankan strategi meminjam uang $38.00 selama 6 bulan untuk membeli saham dan opsi put.

 Pada waktu jatuh tempo,

arbitraser membutuhkan uang untuk membayar hutang sebesar 38e^0.05*0.5 = $38.96. Sekarang kita lihat kondisi harga saham

1. Jika S_T < K, arbitraser akan menjalankan opsinya dengan menjual saham seharga $40.

Selanjutnya dia membayar hutang, dan memperoleh

untung $40.00-$38.96 = $1.04.

2. Jika S_T > K, opsi put tidak

dijalankan. Dia menjual saham di luar dengan harga di atas K, dan membayar hutangnya.

Keuntungan arbitraser pada kondisi ini > dibandingkan

kondisi I. Sebagai contoh jika S_T

$42.00, keuntungan arbitraser

$42.00-$38.96 = $3.04

Diberikan dua portofolio C dan D. Pada waktu T = 0, atau waktu sekarang atau waktu pembelian kontrak opsi, kedua portofolio di atas adalah sebagai berikut.

 Portfolio C: Beli Satu saham pokok dan satu opsi put Eropa (p + S₀)

 Portfolio D: Uang tunai sebesar Ke^-rT

Argument Formal

Sekarang kita lihat situasi pada waktu jatuh tempo, T.

1. Jika S_T < K, maka opsi put pada portofolio C akan dijalankan, saham dijual seharga K, jadi portofolio C

bernilai K (Opsi put dilaksanakan, saham dijual seharga K).

2. Jika S_T > K, maka opsi put tidak dijalankan, dan saham bernilai S_T. Jadi portofolio C akan bernilai S_T .

Jadi portofolio C berharga max(S_T, K) pada waktu jatuh tempo T.

Selanjutnya kita lihat portofolio D.

1. Uang tunai sebesar Ke^-rT yang diinvestasikan pada suku bunga bebas resiko akan bernilai K pada waktu jatuh tempo T.

2. Kesimpulan : Portofolio C ≥ portofolio D, pada waktu T.

3. Selanjutnya dengan menggunakan prinsip bebas arbitrase, portofolio C harus bernilai lebih besar atau sama dengan portfolio D pada saat sekarang, atau

p + S₀ ≥ Ke^-rT p ≥ Ke^-rT - S₀

Selanjutnya karena harga opsi put tidak mungkin negatif, maka secara matematis harga opsi put tipe Eropa dapat dituliskan sebagai berikut :

p ≥ max(Ke^-rT - S₀, 0)

Sifat-sifat Harga Opsi

25

Bab 3

Pertemuaan Minggu 6

Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini , mahasiswa bisa :

 Menjelaskan argumentasi formal batas bawah harga opsi

 Menjelaskan tentang konsep dan formula Put-Call Parity

 Menjelaskan tentang konsep early exercise opsi call dan put tipe amerika

Tujuan Pembelajaran

Hubungan antara harga opsi call dan harga opsi put dalam suatu persamaan matematis disebut dengan put-call parity.

Untuk menurunkan hubungan tersebut, lihat kembali dua

portofolio yang sudah kita gunakan di atas, yaitu portofolio A dan C, yaitu:

Portofolio A: Satu opsi call Eropa dan uang tunai sebesar Ke-^rT , Bernilai c + Ke^-rT

Portofolio C: Satu saham pokok dan satu opsi put Eropa (p + S₀)

Put-Call Parity

Dari penjelasan di atas, portofolio A dan C bernilai max(S_T, K) pada waktu jatuh tempo. Karena tipe opsi ini adalah opsi

Eropa yang tidak dapat dijalankan sebelum waktu jatuh tempo, maka kedua portofolio ini juga akan bernilai sama pada waktu sekarang. Jadi diperoleh hubungan matematis

c + Ke^-rT = p + S₀

Hubungan matematis ini dikenal dengan nama put-call parity.

Jika put call parity suatu opsi tidak terpenuhi, maka akan mucul kesempatan arbitrase.

Contoh 1

 Misalkan S₀= $31, K = $30, r

=10% per tahun, C = $3, dan p =

$2.25, T=0,25. Pada kasus ini, c + Ke^-rT = $32.26,

dan

p + S₀ = $33.25.

 Portfolio C lebih mahal relatif terhadap portfolio A.

 Stategi arbitrasenya adalah membeli portfolio A dan

melakukan short portfolio C, yaitu membeli opsi call dan shorting opsi put dan saham,

Menghasilkan arus uang positif sebesar $30.25

(jual put $2.25 dan pinjam saham $31, beli call $3)

2.25 + 31 -3 = $30.25. Uang sebesar $30.25 kita taruh di rekening selama 3

bulan dengan bunga 10%

akan menjadi $31.02.

Selanjutnya kita lihat dua kondisi pada waktu jatuh tempo 1. Jika S_T > $30, call dijalankan, dapat saham seharga K =

$30, selanjutnya saham pinjaman dikembalikan. Opsi put yang dikeluarkan tidak dijalankan oleh pihak pembeli. Ia mendapat keuntungan $31.02-$30.00 = $1.02.

2. Jika S_T < $30, Call tidak dijalankan.Pembeli put akan menjalankan opsinya dan menjual saham ke arbitraser seharga $30. Selanjutnya arbitraser mengembalikan saham pinjaman. Dia mendapat keuntungan $31.02-

$30.00 = $1.02 ).

Contoh 2

Misalkan C =$3 dan P= $ 1. K = 30, Pada kasus ini diperoleh hubungan c + Ke-rT = 3 + 30e^-0.1*0.25 = $32.26 dan p + S₀ = 1+31 =$32.00.

Portfolio A ≥ portfolio ^C.

Seorang arbitraser melakukan short portfolio A dan membeli portfolio C

Strategi : Menjual opsi call dan membeli opsi put dan saham

dengan nilai investasi awal $31 + $1 -

$3 = $29. Selanjutnya modal

tersebut selama 3 bulan dengan suku bunga 10% akan menjadi 29*exp(0.10*0.25) = $29.73.

Dua kejadian yang mungkin pada waktu jatuh tempo

1. Jika S_T > $30, maka opsi put-nya tidak dijalankan, sahamnya dibeli oleh

pemegang opsi call seharga $30.

Sang Arbitraser membayar hutang

$29.73 dan mendapat keuntungan

$0.27.

2. Jika S_T < $30, maka arbitraser

menjalankan opsi put-nya, menjual saham seharga $30, membayar

hutang sebesar $29.73 dan mendapat keuntungan $0.27.

Pada dua kondisi di atas, dapat dilihat

keuntungan sang arbitraser adalah $30.00-

$29.73 = $0.27.

Kondisi di atas dapat ditabelkan sebagai berikut:

Table 3.1Peluang Arbitrase ketika put-call parity tidak terpenuhi.Harga saham = $31; interest rate = 10%; harga opsi call = $3. Kedua opsi call dan put mempunyai harga kontrak $30 dan waktu jatuh tempo 3 bulan.

Harga opsi put 3 bulan = $2.25 Harga opsi put 3 bulan = $1

Aksi Sekarang : Aksi Sekarang:

Beli opsi call $3 Pinjam $29 untuk 3 bulan

Short opsi put menghasilkan $2.25 Short opsi callmenghasilkan $3 Short saham menghasilkan $31 Beli opsi put $1

Investasikan $30.25 selama 3 bulan Beli saham $31

Tiga bulan ke depan

Aksi jika S_T> 30: Aksi jika S_T> 30:

Terima $31.02 dari investasi Call dieksekusi: jual saham $30 Eksekusi call untuk beli saham $30 Bayar pinjaman $29.73

Keuntungan bersih = $1.02 Keuntungan bersih = $0.27

Aksi jika S_T< 30: Aksi jika S_T< 30:

Terima $31.02 dari investasi Jalankan opsi put : jual saham $30 Put tereksekusi: beli saham $30 Bayar hutang $29.73

Keuntungan bersih = $1.02 Keuntungan bersih = $0.27

Put-call parity hanya berlaku untuk opsi tipe Eropa.

Walaupun begitu, masih dimungkinkan menurunkan sifat-sifat harga opsi tipe Amerika. Dapat ditunjukkan bahwa selisih harga opsi call dan put tipe Amerika adalah sebagai berikut:

S₀ –K ≤ C- P ≤ S₀ - Ke^-rT

Opsi Tipe Amerika

Contoh

Diketahui Opsi call tipe Amerika dengan harga kontrak K= $20 dan waktu jatuh tempo 5 bulan serta harga opsi sebesar $1.50.

Misalkan harga saham S₀ = $19 dan suku bunga bebas resiko adalah r = 10% per tahun. Dari persamaan di atas, diperoleh -1 ≤ C- P ≤-0.18 atau 0.18 ≤P-C≤1,

menunjukkan bahwa P-C terletak diantara $1dan $0.18.

Dengan nilai harga opsi call $1.50, harga opsi put amerika P harus terletak diantara $1.68 dan $2.50. Dengan kata lain, batas atas dan bawah harga opsi put tipe amerika di atas adalah $2.50 dan $1.68.

Menjalankan Opsi Call Pada Awal Periode

Opsi call tipe amerika tidak akan pernah optimal dijalankan sebelum waktu jatuh tempo.

Untuk argumen formal, digunakan persamaan :

c ≥ S₀ – Ke^-rT

Selanjutnya, karena pemilik opsi call amerika mempunyai semua

keuntungan untuk mengexercise opsi kapan saja dibanding tipe eropa,

diperoleh

C ≥ S₀ – Ke^-rT. Dengan nilai r > 0, dan nilai e^-rT> 1, diperoleh C > S₀ - K. (Misal S₀ = 40, K = 30, e^-rT =1,1)

.

C ≥ 33, mesti akan berlaku C ≥ 30.

Jika menjalankan opsi amerika di awal itu adalah tindakan

yang optimal, maka C akan sama dengan S₀ - K.

Dapat kita simpulkan di sini bahwa menjalankan opsi tipe amerika di awal waktu tidak akan pernah optimal

Ada dua alasan opsi tipe amerika seharusnya tidak dijalankan di awal waktu.

1. Nilai waktu atas uang. Dari perspektif pemegang kontrak opsi, membayar harga kontrak opsi di akhir

lebih bernilai dibandingkan dengan membayar di awal.

2. Jaminan perlindungan dari penurunan harga saham.

Sekali opsi call tersebut dijalankan, dan harga kontrak ditukar dengan harga saham, jaminan perlindungan dari penurunan harga saham akan hilang.

Menjalankan Opsi Put Pada Awal Periode

Menjalankan opsi put tipe Amerika di periode awal

sebelum jatuh tempo dapat menjadi pilihan yang

optimal. Untuk opsi put tipe Amerika, disarankan jika

kondisi in the money sudah terpenuhi, maka kontrak opsi put segera dijalankan.

Seperti opsi call, opsi put juga dapat dipandang sebagai

perlindungan bagi investor dari penurunan harga saham dibawah level tertentu. Ada beberapa

kondisi dimana menjalankan kontrak opsi put tipe Amerika di awal periode lebih disukai. Hal ini menuntun pada konsekuensi

logis, harga opsi put tipe Amerika selalu lebih mahal dibandingkan dengan opsi put tipe Eropa.

Sebagai ilustrasi, pandanglah situasi ekstrim sebagai berikut.

Misalkan suatu opsi put tipe Amerika mempunyai harga kontrak $10 dan harga saham sekarang $0. Dengan

menjalankan kontrak opsi sesegera mungkin, investor

tersebut akan mendapatkan keuntungan $10. Jika investor menunggu, keuntungannya kemungkinan menjadi berkurang karena harga saham naik, dan juga keuntungannya tidak

mungkin lebih dari $10, karena tidak ada harga saham negatif.Lebih jauh, menerima $10 sekarang lebih disukai dibandingkan menerimanya nanti.Ini menunjukkan bahwa opsi harus sesegera mungkin dijalankan.

Terima Kasih