BAB III
PENETAPAN HARGA PREMI PADA KONTRAK
PARTISIPASI ASURANSI JIWA ENDOWMEN DENGAN OPSI SURRENDER
Pada bab ini akan ditentukan harga premi pada polis partisipasi yang terdapat opsi surrender pada kontraknya. Tetapi sebelumnya diuraikan tentang kontrak partisipasi dan beberapa nilai pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen.
3.1 Kontrak Partisipasi pada Asuransi Jiwa Endowmen
Pada asuransi jiwa endowmen terdapat beberapa hal yang diperlukan untuk menentukan nilai kontrak partisipasi, yaitu nilai tunai asuransi jiwa endowmen, premi awal pada asuransi jiwa endowmen tanpa surrender, cadangan polis pada asuransi jiwa endowmen, premi dan benefit pada waktu t asuransi jiwa endowmen, nilai bonus pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen dan surrender pada polis partisipasi asuransi endowmen.
3.1.1 Nilai Tunai Asuransi Jiwa Endowmen
Misalkan x adalah usia seseorang saat menjadi peserta asuransi jiwa endowmen dan adalah benefit yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi pada waktu 1 ( 0,1, … , 1), dengan T adalah waktu jatuh tempo kontrak (perjanjian). Jika besarnya benefit yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi endowmen T tahun sebesar satu satuan di akhir tahun kematian tertanggung, maka:
1, 0, 1, … , 1 , 0, 1, … , 1
, , 1, …
(3.1)
, 0, 1, … , 1 , , 1, …
dengan adalah faktor diskon pada waktu 1, Z nilai tunai (present value) dari benefit sebesar satu satuan, adalah peubah acak yang menyatakan sisa
waktu hidup seorang tertanggung dan , dengan adalah tingkat suku bunga.
Berdasarkan persamaan (3.1), maka diperoleh nilai tunai (actuarial present value) dari asuransi jiwa endowmen dengan jangka waktu T tahun pada seorang tertanggung yang berumur x sebagai berikut:
: | , 3.2
dengan | adalah peluang seseorang meninggal antara umur dan 1 serta peluang seseorang berumur x tahun masih hidup pada umur .
(Bowers, 1997)
3.1.2 Premi Awal pada Asuransi Jiwa Endowmen Tanpa Surrender
Menurut Bowers (1997), besarnya premi bersih (premi tanpa memperhitungkan faktor biaya administrasi dan sebagainya) yang dibayarkan oleh pemegang polis pada perusahaan asuransi jiwa endowmen dengan jangka T tahun untuk benefit sebesar satu satuan adalah:
:
: :
. 3.3
Berdasarkan persamaan (3.3), jika benefit awal adalah maka besarnya premi awal pada polis asuransi jiwa adalah:
:
: :
. 3.4
Substitusikan persamaan (2.1) dan (3.2) pada persamaan (3.4), maka diperoleh:
: :
∑ |
∑
∑ |
∑
∑ |
∑
∑ |
∑
∑ 1
1 | 1
1
∑ 1
1
∑ 1 | 1
∑ 1 , 3.5 dengan | adalah peluang seseorang berumur x meninggal antara umur
1 dan serta peluang seseorang berumur x masih hidup pada waktu 1.
3.1.3 Cadangan Polis pada Asuransi Jiwa Endowmen
Misalkan premi yang dibayarkan pemegang polis dinotasikan dengan , benefit dengan untuk ( 1, 2, … , 1 dan cadangan polis dengan . Berdasarkan persamaan (2.2), jika cadangan polis sama dengan cadangan benefit pada asuransi jiwa endowmen, maka diperoleh cadangan polis pada asuransi jiwa endowmen sebagai berikut:
: :
|
1
1 |
1 1
1 1
1 | 1 1
(3.6) dengan | adalah peluang pemegang polis berumur meninggal antara umur 1 dan dan peluang pemegang polis berumur masih hidup sampai umur serta premi yang dibayarkan pada waktu 1.
3.1.4 Premi dan Benefit pada Waktu t untuk Asuransi Jiwa Endowmen
Pada kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen, benefit mengalami perubahan setiap tahun. Hal ini menyebabkan perubahan pada besarnya premi tahunan dan cadangan polis. Perubahan benefit dinotasikan dengan Δ , perubahan premi dengan Δ dan perubahan cadangan polis dengan Δ . Perubahan ini mempunyai proporsi masing-masing dan dinyatakan dengan:
Δ , 1, 2, … , 1,
Δ , 1, 2, … , 1, 3.7 Δ , 1, 2, … , 1,
dengan adalah nilai peningkatan dari benefit, nilai peningkatan dari premi dan nilai bonus atau keuntungan yang dibagikan oleh perusahaan asuransi pada pemegang polis dan rentang nilai , dan antara 0 dan 1. Jika cadangan polis pada persamaan (3.6) disesuaikan dengan masing-masing perubahan yang terdapat pada persamaan (3.7), maka diperoleh:
: :
: :
Δ Δ : Δ :
Δ Δ : Δ : , 1, 2, … , – 1. 3.8 Berdasarkan persamaan (3.7), total premi dan total benefit berturut-turut adalah:
Δ Δ Δ
Δ
1 .
Δ Δ Δ
Δ
1 , 3.9
dengan 1, 2, … , 1.
3.1.5 Nilai Bonus pada Polis Partisipasi Asuransi Jiwa
Menurut Bacinello (2001), nilai bonus dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai:
1 , 0 , 1, 2, … , 1, 3.10 dengan adalah nilai perubahan dalam portofolio selama t tahun kontrak dan koefisien partisipasi yang nilainya antara 0 dan 1 serta suku bunga jaminan minimum.
3.1.6 Surrender pada Polis Partisipasi Asuransi Jiwa
Surrender adalah suatu hak pemegang polis untuk mengakhiri kontrak. Pada kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen keputusan surrender diambil pada awal tahun, setelah pengumuman benefit dan sebelum pembayaran premi. Nilai surrender yang diterima pemegang polis pada tahun t dinotasikan dengan dan nilainya bergantung pada benefit .
3.2 Penilaian pada Polis Partisipasi
Pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen, polis tahunan terdiri atas N periode dan masing-masing periode ditentukan beberapa nilai, sehingga nilai kontrak menjadi wajar. Nilai-nilai tersebut adalah nilai hasil pada portofolio, peluang risiko netral, nilai hasil portofolio pada N + 1 dan nilai bonus pada tiap periode.
1. Nilai Hasil pada Portofolio
Kontrak partisipasi pada asuransi jiwa endowmen dipengaruhi oleh kematian dan risiko keuangan. Risiko keuangan yang mempengaruhi polis diakibatkan oleh nilai portofolio. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa portofolio kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen divariasikan dengan baik (well diversified) dan dipisahkan menjadi unit. Kemudian semua nilai yang dihasilkan oleh aset diinvestasikan kembali dan akan meningkatkan harga unit.
Nilai pada portofolio ditentukan oleh perubahan dari nilai unit. Jika adalah harga unit pada waktu , maka nilai perubahan portofolio adalah:
1, 1, 2, … , 1, 3.11
2. Peluang Risiko Netral
Harga unit pada waktu diskret ∆ 0, 1, … ; 0, 1, … , 1 mempunyai dua nilai yang mungkin, yaitu harga unit pada waktu naik dan harga unit pada waktu turun. Misalkan periode dalam 1 tahun dinotasikan dengan N dan Δ . Dalam perubahan harga pada waktu Δ, peluang p pada persamaan (2.7) merupakan peluang risiko netral. Sehingga diperoleh:
∆ dan 1 ∆ , (3.12) dengan adalah tingkat bunga bebas risiko.
Misalkan parameter volatilitas √Δ 1 dan harga unit meningkat bebas dan menyebar normal maka standar deviasi dari nilai unit dalam jarak waktu ∆ adalah √∆ . Menurut Hull (2006) ragam dari harga unit adalah ∆, kemudian diperoleh:
1 1 ∆.
Substitusi nilai persamaan (3.12) sehingga diperoleh:
1 ∆ 1 ∆ ∆,
faktor naik √Δ dan faktor turun √Δ .
3. Nilai Portofolio pada N + 1
Peubah acak menyatakan perubahan nilai portofolio yang diasumsikan menyebar bebas stokastik dan identik. Pada 1 diambil satu nilai yang mungkin untuk nilai portofolio dan dinotasikan dengan . Berdasarkan persamaan (3.11), maka diperoleh:
1 1, 0, 1, … ,
dengan peluang 1 , 0, 1, … , . (3.13)
4. Nilai Bonus pada Tiap Periode
Menurut Bacinello (2003), nilai bonus untuk 1, 2, … , 1 menyebar bebas dan identik, sehingga pada tiap periode dalam waktu setahun dapat diambil 1 nilai yang mungkin, dinotasikan dengan ζ dan diberikan oleh:
ζ ; untuk 0,1, … , 1 dengan peluang 0; untuk dengan peluang 1 ∑
dengan 1 , (3.14)
dan bagian bilangan bulat dari angka real y dan n merupakan angka minimum.
3.3 Harga Premi pada Kontrak
Bacinello (2003) menentukan nilai tunai (wajar) dari asuransi jiwa endowmen dengan kontrak partisipasi yang mengandung opsi surrender yang dibedakan atas tiga bagian. Dengan demikian harga premi dengan opsi surrender pada kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen dibagi atas tiga bagian, yaitu:
1. Harga premi pada kontrak dasar.
2. Harga premi pada kontrak partisipasi nonsurrenderable.
3. Harga premi pada keseluruhan kontrak.
3.3.1 Harga Premi pada Kontrak Dasar
Kontrak dasar pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen merupakan kontrak tanpa keuntungan dan tanpa surrender. Nilai kontrak ditentukan dengan tipe Eropa, yang hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo perjanjian.
Pada kontrak dasar polis endowmen, benefit adalah konstan dan premi dinotasikan dengan . Berdasarkan persamaan (3.5) premi yang dibayarkan pemegang polis adalah:
:
:
∑ 1 | 1
∑ 1 . 3.15
dengan adalah tingkat bunga pasar.
3.3.2 Harga Premi pada Kontrak Partisipasi Nonsurrenderable
Kontrak partisipasi nonsurrenderable pada asuransi jiwa endowmen merupakan kontrak dengan keuntungan dan tanpa surrender, yang nilainya ditentukan dengan tipe Eropa dan hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo perjanjian.
Pada kontrak partisipasi nonsurrenderable, benefit yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi mengalami perubahan setiap tahun. Nilai benefit pada waktu
0 dinotasikan dengan dan nilainya adalah:
1 untuk 1,
1 untuk 1 (3.16) dengan adalah nilai harapan dari pembayaran benefit.
Harga premi awal pada kontrak partisipasi nonsurrenderable ditentukan untuk dua kasus, yaitu harga premi jika besarnya premi dan benefit mengalami perubahan tiap tahun dengan nilai penyesuaiannya sama dan harga premi jika benefit mengalami perubahan sedangkan besarnya premi tiap tahun konstan.
1. Harga Premi Awal jika Besarnya Premi dan Benefit Mengalami Perubahan Tiap Tahun dengan Nilai Penyesuaian Sama
Nilai penyesuaian yang sama pada kontrak partisipasi nonsurrenderable adalah . Dengan menggunakan persamaan (3.9) diperoleh:
1 1
1 1 … 1 1
1 . 3.17 Substitusikan persamaan (3.17) pada persamaan (3.16), maka diperoleh nilai benefit pada waktu 0 sebagai berikut:
1
1 1
1 1
1 1 . 3.18 Berdasarkan persamaan (3.14), dengan nilai untuk 1, 2, … , 1 yang menyebar identik maka didefinisikan nilai ζ ∑ ζ . Selanjutnya substitusikan nilai ζ pada persamaan (3.18) sehingga diperoleh:
1 1 ζ
1 ζ
1
1 ζ , 2, 3, … , . 3.19 Jika benefit mengalami perubahan setiap tahun, maka nilai tunai (wajar) asuransi jiwa endowmen disesuaikan dengan nilai benefit. Berdasarkan persamaan (3.19) maka diperoleh nilai tunai asuransi sebagai berikut:
:
1 | 1
|
1 ζ
1
1 ζ 1 ζ
1
1 ζ
|
1 ζ
1
1 ζ
1
1 ζ
|
1 ζ 1 ζ
1 ζ 1 ζ
1 ζ
|
1 ζ 1 | 1
1 ζ : 3.20 dengan ζζ adalah tingkat suku bunga.
Pada kontrak partisipasi nonsurrenderable, premi tahunan dinotasikan dengan . Dengan menggunakan persamaan (3.9) dan nilai penyesuaian sama ( ) diperoleh besarnya premi sebagai berikut:
1 1
1 1 … 1
1
1 , 1,2, … , 1. 3.21 Berdasarkan persamaan (3.14), (3.16) dan (3.21), nilai premi adalah:
1
1 1
1 1 .
Dengan mensubstitusikan ζ , maka diperoleh nilai sebagai berikut:
1 1 ζ
1
1 ζ
1
1 ζ
1 ζ
1 ζ
1 , 1, 2, … , 1. 3.22 dengan ζζ adalah tingkat suku bunga.
Dengan menggunakan persamaan (3.22), maka diperoleh:
1
1
: .
Jika nilai tunai asuransi pada persamaan (3.20) sama dengan : , maka diperoleh:
1 ζ : :
1 ζ
: :
1 ζ :
1 ζ
∑ 1 | 1
∑ 1 . 3.23
2. Harga Premi Awal Jika Benefit Mengalami Perubahan Tiap Tahun dan Besarnya Premi Konstan
Pada kasus besarnya premi konstan maka benefit adalah:
1 1 1 , 2, 3, … ,
dengan 1 1. 3.24 (Bukti: lihat lampiran 1 sub 1.1)
Pada kontrak partisipasi nonsurrenderable, jika premi tahunan konstan ( 0) maka nilai benefit pada waktu 0 sebagai berikut:
1
1 1 1
ζ 1
1
ζ 1
1 1 ,
2, 3, … , . (3.25) (Bukti: lihat lampiran 1 sub 1.2).
Berdasarkan persamaan (3.25), maka diperoleh nilai wajar asuransi jiwa endowmen sebagai berikut:
: 1 | 1
|
1 1
ζ 1
ζ 1
1 1 1
ζ 1
ζ 1 1
|
1 1
ζ 1 1 1
ζ 1
|
ζ 1
ζ 1
|
1 | 1
1 1
ζ : ζ : : ,
dengan
: 1 | 1 . 3.26
Harga premi pada kontrak partisipasi nonsurrenderable dinotasikan dengan dan dengan menggunakan persamaan (3.26) diperoleh nilainya sebagai berikut:
: :
1 1
ζ : ζ : :
:
1 1
ζ :
:
ζ : :
:
1 1
ζ :
:
ζ : ζ
ζ :
:
1 1
ζ :
:
: ζ :
ζ :
1 1
ζ
: ζ :
ζ : . 3.27 Berdasarkan persamaan (3.15) dan (3.26) maka diperoleh premi partisipasi sebagai berikut:
∑ 1 | 1
∑ 1 1 1
ζ
∑ 1 | 1
ζ ∑ 1
ζ ∑ 1 | 1
ζ ∑ 1 . 3.28 3.3.3 Harga Premi pada Keseluruhan Kontrak
Kontrak keseluruhan adalah kontrak yang memberikan keuntungan dan memberikan hak surrender, yang nilainya ditentukan dengan tipe Amerika dan dapat dieksekusi kapan saja selama kontrak atau pada waktu jatuh tempo.
Pada kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen yang mengandung opsi surrender, terdapat beberapa nilai, yaitu nilai surrender, nilai lanjutan (continuation), nilai kontrak keseluruhan dan besarnya premi pada keseluruhan kontrak.
1. Nilai Surrender
Nilai surrender pada kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen yang mengandung opsi surrender (keseluruhan kontrak) diberikan jika pemegang polis
tidak melanjutkan kontrak. Nilai surrender pada keseluruhan kontrak dinotasikan dengan , yang nilainya diberikan oleh:
0 , 1, 2
1 , 3, 4, … , 1, 3.29 dengan adalah tingkat diskon tahunan.
Nilai surrender pada waktu t diberikan oleh perusahaan asuransi bergantung pada benefit , yang didiskon dari saat jatuh tempo untuk tanggal surrender dengan nilai . Kontrak surrender dimulai pada tahun kedua, yaitu setelah pemegang polis membayarkan premi tahunan yang ketiga.
2. Nilai Lanjutan (Continuation)
Pada keseluruhan kontrak, jika pemegang polis tidak menggunakan hak surrender maka kontrak dilanjutkan, yang nilainya dinotasikan dengan dengan
1, 2, … , 1. Pada waktu 1 nilai lanjutan dari kontrak adalah:
1 , (3.30) dengan adalah tingkat suku bunga pasar, adalah benefit pada waktu T dan
adalah harga premi pada waktu 1.
Polis partisipasi asuransi jiwa endowmen yang mengandung opsi surrender, alur kontraknya membentuk binomial tree yang recombining dan nilainya ditentukan dengan prosedur mundur yang dimulai dari waktu 1. Pada simpul K 1 dari tree, nilai lanjutannya dinotasikan dengan yang nilainya sebagai berikut:
1 1 ,
0, 1, 2, … , 2, (3.31) dengan = nilai lanjutan pada waktu t di simpul K,
= benefit pada waktu t + 1 di simpul K,
= nilai keseluruhan kontrak pada waktu t + 1 di simpul K ketika ζ (dengan peluang ),
= nilai keseluruhan kontrak pada waktu t + 1 di simpul K ketika 0 (dengan peluang 1 ∑ ),
= premi pada waktu t di simpul K,
= peluang seseorang berumur meninggal dalam waktu 1 tahun, 1 = peluang seseorang berumur masih hidup selama
1 tahun.
Nilai lanjutan pada 1 merupakan perbedaan antara harapan risiko netral dari keuntungan terakhir yang didiskon untuk satu tahun dengan nilai bebas risiko, dan premi tahunan. Jika pemegang polis meninggal dunia maka akan menerima benefit atau jika masih hidup pemegang polis akan diberi hak atas nilai total kontrak yang sama dengan .
3. Nilai Keseluruhan Kontrak
Nilai keseluruhan kontrak dinotasikan dengan untuk 1, 2, … , 1.
Pada waktu 1 nilai keseluruhan kontrak adalah:
, , dengan adalah nilai surrender pada waktu 1.
Pada simpul K dari tree, nilai kontrak dinotasikan dengan dan nilainya adalah:
, , 1, 2, … , 2
dengan adalah nilai surrender.
4. Harga Premi pada Keseluruhan Kontrak
Harga premi awal pada keseluruhan kontrak bergantung pada nilai keseluruhan kontrak. Jika nilai lanjutan lebih besar daripada nilai surrender, maka nilai keseluruhan kontrak sama dengan nilai lanjutan. Jika sebaliknya, nilai surrender yang lebih besar, maka nilai keseluruhan kontrak sama dengan nilai surrender. Dalam hal ini harga premi awal didefinisikan sebagai berikut:
.
Pada waktu 0, jika nilai kontrak bernilai wajar maka kewajiban perusahaan asuransi sama dengan kewajiban pemegang polis. Dengan demikian keseluruhan kontrak bernilai wajar jika 0, sehingga diperoleh:
0. 3.32 Berdasarkan persamaan (3.31), nilai lanjutan awal (t = 0) adalah sebagai berikut:
1 1 , 3.33
dengan , 0,1, … , adalah nilai kontrak keseluruhan dalam setiap simpul pada waktu 1.
Berdasarkan persamaan (3.32) dan (3.33), harga premi awal pada keseluruhan kontrak asuransi jiwa diperoleh sebagai berikut:
1 1 . 3.34
Misalkan selama kontrak nilai surrender lebih kecil daripada nilai lanjutan, maka pemegang polis tidak menggunakan hak surrender, sehingga besarnya premi yang dibayarkan pada perusahaan asuransi sama dengan besarnya premi pada kontrak partisipasi nonsurrenderable.
