Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

Penyelesaian Persamaan Linier

Simultan

Persamaan Linier Simultan

„ Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang

secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas

„ Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas

„ a_ij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan

simultan

Persamaan Linier Simultan

„ Penyelesaian persamaan linier simultan adalah

penentuan nilai

x

_i untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.

„ AX = B

„ Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian. „ Vektor x = vektor variabel

„ vektor B = vektor konstanta.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11

Persamaan Linier Simultan

„

Persamaan Linier Simultan

atau Sistem Persamaan

Linier mempunyai

kemungkinan solusi :

„ Tidak mempunyai solusi „ Tepat satu solusi

Augmented Matrix

„ matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan

menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan: „ Augmented (A) = [A B] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ m mn m m m n n b a a a a b a a a a b a a a a ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 2 1 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11

Contoh 1 :

„ Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam

boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing,

sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing.

„ Permasalahannya adalah berapa buah boneka

A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?

Contoh 1

„ Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan :

„ x = jumlah boneka A „ y = jumlah boneka B

„ Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa:

„ Potongan kain

10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82

„ Kancing

6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62

„ Atau dapat dituliskan dengan :

10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62

„ Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang

Contoh 2 :

„ Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai

berikut :

„ Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis

lurus, sehingga tampak kasar.

„ Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva

yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial.

„ Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan

dengan lebih halus.

1

2

3

Contoh 2 :

„ 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini

dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :

„ Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas

akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : Titik 1 Æ 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d

Titik 2 Æ 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d

Titik 3 Æ 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d

Titik 4 Æ 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d

„ Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.

d

cx

bx

ax

Contoh 2 :

„ Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan

polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih halus.

Theorema 4.1.

„

Suatu persamaan linier simultan mempunyai

penyelesaian tunggal bila memenuhi

syarat-syarat sebagai berikut.

„ Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar,

dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas.

„ Persamaan linier simultan non-homogen dimana

minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0.

„ Determinan dari matrik koefisien persamaan linier

Metode Analitik

„

metode grafis

„

aturan Crammer

Metode Numerik

„

Metode Eliminasi Gauss

„

Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Metode Eliminasi Gauss

„ Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang

dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu

menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas

„ matrik diubah menjadi augmented matrik :

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

n nn n n n

b

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

...

...

...

...

...

...

...

2 1 2 n1 2 22 21 1 12 11

Metode Eliminasi Gauss

„ ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau

segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi

Baris Elementer). ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n nn n n n d c d c c d c c c d c c c c ... 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 ... 3 3 33 2 2 23 22 1 1 13 12 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n nn n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a b a a a a ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 2 1 3 3 33 32 31 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11

Operasi Baris Elementer

„ Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem

Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himp

solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan

„ Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step

yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer

1. Multiply an equation through by an nonzero constant.

2. Interchange two equation.

Metode Eliminasi Gauss

„

Sehingga penyelesaian dapat diperoleh

dengan:

(

)

(

)

(

_{n n}

)

n n n n n n n n n nn n n x c x c x c d c x x c x c x c d c x d x c c x c d x 1 13 2 12 1 11 1 2 4 24 3 23 2 22 2 1 , 1 1 , 1 1 ... 3 1 ... 1 ... ... ... ... 1 − − − − = − − − − = + − = = − − − − −

Contoh :

„ Selesaikan sistem persamaan berikut:

„ Augmented matrik dari persamaan linier simultan

tersebut : 10 2 2 2 2 6 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = + + = − + = + + x x x x x x x x x

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

10

2

1

2

2

1

2

1

6

1

1

1

Contoh :

„

Lakukan operasi baris elementer

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − 2 0 1 0 4 2 1 0 6 1 1 1 1 3 1 2 2B B B B − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 6 2 0 0 4 2 1 0 6 1 1 1 2 3

B

B

+

Contoh :

„

Penyelesaian :

(

)

(

6

2

3

)

1

1

1

2

3

)

2

(

4

1

1

3

2

6

1 2 3

=

−

−

=

=

−

−

=

=

−

−

=

x

x

x

Echelon Forms

„ This matrix which have following properties is in reduced

row-echelon form (Example 1, 2).

1. If a row does not consist entirely of zeros, then the first nonzero number in the row is a 1. We call this a leader 1.

2. If there are any rows that consist entirely of zeros, then they are grouped together at the bottom of the matrix.

3. In any two successive rows that do not consist entirely of zeros, the leader 1 in the lower row occurs farther to the right than the leader 1 in the higher row.

4. Each column that contains a leader 1 has zeros everywhere else.

„ A matrix that has the first three properties is said to be in

row-echelon form (Example 1, 2).

„ A matrix in reduced echelon form is of necessity in

Example 1

Row-Echelon & Reduced Row-Echelon form

„ reduced row-echelon form:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 1 0 2 1 0 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 1 1 0 0 7 0 1 0 4 0 0 1 „ row-echelon form: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 6 2 1 0 , 0 0 0 0 1 0 0 1 1 , 5 1 0 0 2 6 1 0 7 3 4 1

Example 2

More on Row-Echelon and Reduced

Row-Echelon form

„ All matrices of the following types are in row-echelon form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ * 1 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 * * 1 0 0 0 0 0 * 0 * * 0 1 0 0 0 0 * 0 * * 0 0 1 0 0 0 * 0 * * 0 0 0 * 1 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 * * 1 0 * * 0 1 , 0 0 0 0 * 1 0 0 * 0 1 0 * 0 0 1 , 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ * 1 0 0 0 0 0 0 0 0 * * * * 1 0 0 0 0 0 * * * * * 1 0 0 0 0 * * * * * * 1 0 0 0 * * * * * * * * 1 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 * * 1 0 * * * 1 , 0 0 0 0 * 1 0 0 * * 1 0 * * * 1 , 1 0 0 0 * 1 0 0 * * 1 0 * * * 1

„ All matrices of the following types are in reduced

Contoh

Solusi dari Sistem Pers Linier

Anggaplah ini adalah matrik dari Sistem Persamaan

Linier yang telah direduksi dengan bentuk row echelon.

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 4 1 0 0 2 0 1 0 5 0 0 1 (a) Solution (a) 4 2 5 = = = z y x

Example 3

Solutions of Four Linear Systems (b1)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 3 1 0 0 6 2 0 1 0 1 4 0 0 1 (b) Solution (b) 2 3 6 2 1 -4 4 3 4 2 4 1 = + = + = + x x x x x x free variables leading variables

Example 3

Solutions of Four Linear Systems (b2)

4 3 4 2 4 1 3 -2 2 -6 4 -1 -x x x x x x = =

= Free variabel kita misalkan dengan t.

Sehingga selanjutnya dapat kita tentukan leading variabelnya. t x t x t x t x , 3 2 , 2 6 , 4 1 4 3 2 1 = − = − = − − =

Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusi

Example 3

Solutions of Four Linear Systems (c1)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 0 0 0 0 0 0 2 5 1 0 0 0 1 3 0 1 0 0 2 4 0 0 6 1 (c) Solution (c)

1. Pada baris ke-4 semuanya nol sehingga persamaan ini dapat diabaikan 2 5 1 3 2 -4 6 5 4 5 3 5 2 1 = + = + = + + x x x x x x x

Example 3

Solutions of Four Linear Systems (c2)

Solution (c)

2. Selesaikan leading variabel dengan free variabel

3. Free variabel kita misalkan

dengan t (sembarang value). Sehingga Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusi 5 4 5 3 5 2 1 5 -2 3 -1 4 -6 -2 -x x x x x x x = = = t x t x t x s x t s x = = = = = 4 4 3 2 1 , 5 -2 3 -1 , 4 -6 -2

-Example 3

Solutions of Four Linear Systems (d)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 (d) Solution (d):

Persamaan terakhir pada Sistem Persamaan Linier

Karena persamaan ini tidak konsisten, maka Sistem ini tidak mempunyai solusi

1 0

0

Example 3

Solutions of Four Linear Systems (d)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 (d) Solution (d):

the last equation in the corresponding system of equation is

Since this equation cannot be satisfied, there is

no solution to the system.

1 0

0

Elimination Methods (1/7)

„ We shall give a step-by-step elimination

procedure that can be used to reduce any matrix to reduced row-echelon form.

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

1

5

6

5

4

2

28

12

6

10

4

2

12

7

0

2

0

0

Elimination Methods (2/7)

„ Step1. Locate the leftmost column that does not consist

entirely of zeros.

„ Step2. Interchange the top row with another row, to

bring a nonzero entry to top of the column found in Step1.

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 1 5 6 5 4 2 28 12 6 10 4 2 12 7 0 2 0 0

Leftmost nonzero column

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 1 5 6 5 4 2 12 7 0 2 0 0 28 12 6 10 4 2

The 1th and 2th rows in the preceding matrix were

Elimination Methods (3/7)

„ Step3. If the entry that is now at the top of the column

found in Step1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1.

„ Step4. Add suitable multiples of the top row to the rows

below so that all entires below the leading 1 become zeros.

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 1 5 6 5 4 2 12 7 0 2 0 0 14 6 3 5 2 1

The 1st row of the preceding matrix was multiplied by 1/2.

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 29 17 0 5 0 0 12 7 0 2 0 0 14 6 3 5 2 1

-2 times the 1st row of the preceding matrix was added to the 3rd row.

Elimination Methods (4/7)

„ Step5. Now cover the top row in the matrix and begin

again with Step1 applied to the submatrix that remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 29 17 0 5 0 0 12 7 0 2 0 0 14 6 3 5 2 1

The 1st row in the submatrix was multiplied by -1/2 to introduce a leading 1. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 29 17 0 5 0 0 6 0 1 0 0 14 6 3 5 2 1 2 7 Leftmost nonzero

Elimination Methods (5/7)

„ Step5 (cont.) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 2 1 0 0 0 0 6 0 1 0 0 14 6 3 5 2 1 2 7

-5 times the 1st row of the

submatrix was added to the 2nd row of the submatrix to introduce a zero below the leading 1.

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 0 0 0 0 6 0 1 0 0 14 6 3 5 2 1 2 1 2 7 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 0 0 0 0 6 0 1 0 0 14 6 3 5 2 1 2 1 2 7

The top row in the submatrix was

covered, and we returned again Step1.

The first (and only) row in the new submetrix was multiplied by 2 to introduce a leading 1.

Leftmost nonzero column in the new submatrix

Elimination Methods (6/7)

„ Step6. Beginning with las nonzero row and working upward, add

suitable multiples of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s.

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 7 0 3 0 2 1

7/2 times the 3rd row of the preceding matrix was added to the 2nd row. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 14 6 3 5 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 3 5 2 1

-6 times the 3rd row was added to the 1st row.

„ The last matrix is in reduced row-echelon form.

5 times the 2nd row was added to the 1st row.

Elimination Methods (7/7)

„ Step1~Step5: the above procedure produces a

row-echelon form and is called Gaussian

elimination.

„ Step1~Step6: the above procedure produces a

reduced row-echelon form and is called

Gaussian-Jordan elimination.

„ Every matrix has a unique reduced

row-echelon form but a row-row-echelon form of a given

Algoritma Metode

Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss

Jordan

„ Metode ini merupakan pengembangan metode

eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal

„ Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai

d1,d2,d3,…,dn dan atau: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n nn n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a b a a a a ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 2 1 3 3 33 32 31 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n d d d d 1 ... 0 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 ... 1 0 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 0 1 3 2 1 n n

d

x

d

x

d

x

d

x

₁

=

₁

,

₂

=

₂

,

₃

=

₃

,....,

=

Contoh :

8

4

2

3

2 1 2 1

=

+

=

+

x

x

x

x

„ Selesaikan persamaan linier simultan:

„ Augmented matrik dari

persamaan linier simultan „ Lakukan operasi baris elementer

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

8

4

2

3

1

1

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 1 0 2 0 1 1 1 0 3 1 1 2 / 2 2 2 0 3 1 1 2 2 1 1 2 B B B b B

Penyelesaian persamaan linier simultan :

Contoh :

0 5 6 3 1 3 4 2 9 2 = − + = − + = + + z y x z y x z y x 0 5 6 3 7 1 7 2 9 2 = − + − = − = + + z y x z y z y x B₂-2B₁ B₃-3B₁ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 0 5 6 3 17 7 2 0 9 2 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 0 5 6 3 1 3 4 2 9 2 1 1 _B 3-3B1 B₂-2B₁

Example 3

Using Elementary row Operations(2/4)

½ B₂ 0 11 3 9 2 2 17 2 7 = − − = − = + + z y z y z y x 27 11 3 17 7 2 9 2 − = − − = − = + + z y z y z y x _B 3-3B2 ½ B₂ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 27 11 3 0 1 0 9 2 1 1 2 17 2 7 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 27 11 3 0 17 7 2 0 9 2 1 1 B 3-3B2

Example 3

Using Elementary row Operations(3/4)

2 3 2 1 2 17 2 7 9 2 − = − − = − = + + z z y z y x 3 9 2 2 17 2 7 = − = − = + + z z y z y x -2 B₃ B₁- B₂ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 3 1 0 0 1 0 9 2 1 1 2 17 2 7 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 2 3 2 1 2 17 2 7 0 0 1 0 9 2 1 1 -2 B 3 B1- B2

Example 3

Using Elementary row Operations(4/4)

3 2 17 2 7 2 35 2 11 = − = − = + z z y z x 3 2 1 = = = z y x B₂ + 7/2 B₃ B₁ - 11/2 B₃ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 3 1 0 0 1 0 0 1 2 17 2 7 2 35 2 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 B₂ + 7/2 B₃ B₁ - 11/2 B₃

Algoritma Metode

Metode Iterasi

Gauss-Seidel

„ Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang

menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.

„ Bila diketahui persamaan linier simultan

n n nn n n n n n n n n n b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 3 2 2 1 1 3 3 3 33 2 32 1 31 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11

Metode Iterasi

Gauss-Seidel

„

Berikan nilai awal dari setiap x

_i

(i=1 s/d n)

kemudian persamaan linier simultan diatas

dituliskan menjadi:

„

(

)

(

)

(

1 1 2 2 1 1

)

2 3 23 1 21 2 2 2 1 3 13 2 12 1 11 1 .... 1 ... ... ... ... ... ... ... .... 1 .... 1 2 − − − − − − = − − − − = − − − − = n nn n n n nn n n n n n x a x a x a b a x x a x a x a b a x x a x a x a b a x

Metode Iterasi

Gauss-Seidel

„ Dengan menghitung nilai-nilai

x

_i (i=1 s/d n)

menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap

xi

(i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai x_i pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut.

„ Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila

selisih nilai

x

_i (i=1 s/d n) dengan nilai

x

_i pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang

ditentukan.

Catatan

„ Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier

ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini.

„ Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing x_i

pada semua persamaan di diagonal utama (a_ii).

„ Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk

setiap x_i pada diagonal utama.

„ Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus

benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.

Contoh

„ Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0 „ Susun persamaan menjadi:

14 4 2 5 2 1 2 1 = + = + x x x x

(

₁

)

2 2 1 2 14 4 1 5 x x x x − = − = (5,1) (4,3/2) (7/2,7/4)

Contoh

(13/4 , 15/8)

(25/8 , 31/16)

(49/16 , 63/32 )

Contoh :

„ Selesaikan sistem persamaan berikut:

„ Augmented matrik dari persamaan linier simultan

tersebut : 10 2 2 2 2 6 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = + + = − + = + + x x x x x x x x x

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

10

2

1

2

2

1

2

1

6

1

1

1

6 2 2 10 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = + + = − + = + + x x x x x x x x x

Hasil Konvergen

Algoritma Metode Iterasi

Gauss-Seidel

Soal

„ Selesaikan dg Eliminasi Gauss-Jordan x1 + x2 + 2x3 = 8

-x1 – 2x1 + 3x3 = 1 3x1 – 7x2 + 4x3 = 10 „ x – y + 2z – w = -1 2x + y - 2z -2w = -2 -x + 2y – 4z + w = 1 3x - 3w = -3 0 5 6 3 1 3 4 2 9 2 = − + = − + = + + z y x z y x z y x

„

Selesaikan dg Gauss Seidel

„

5x1 + 2x2 + 6x3 = 0

-2x1 + x2 + 3x3 = 0

„

X1 – 2x2 + x3 – 4x4 = 1

X1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2

X1 – 12x2 – 11x3 – 16x4 = 5

Contoh Penyelesaian Permasalahan

Persamaan Linier Simultan

„ Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10

blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.

„ Model Sistem Persamaan Linier :

„ Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:

x1 adalah jumlah boneka A

x2 adalah jumlah boneka B

„ Perhatikan dari pemakaian bahan :

B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80 B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36

„ Diperoleh model sistem persamaan linier

10 x1 + 5 x2 = 80 2 x1 + 6 x2 = 36

Contoh 1 :

„ metode eliminasi Gauss-Jordan

„ Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat

Contoh 2 :Penghalusan Kurva Dengan

Fungsi Pendekatan Polinomial

„ Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis

lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi

pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.

1

2

3

Contoh 2 :

„ Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk

adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :

„ Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam

persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :

„ Titik 1 Æ 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d

„ Titik 2 Æ 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d „ Titik 3 Æ 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d

„ Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan a = -0,303 b = 6,39 c = -36,59 d = 53,04 y = -0,303 x3 + 6,39 x2 – 36,59 x + 53,04