Transport P henomena Phenomena Dr. Heru Setyawan Jurusan T eknik Teknik K imia Kimia FTI - FTI ITS

Transport Phenomena

Transport Phenomena

Dr. Heru Setyawan

Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Aliran melalui annulus

Distribusi k t

Postulate: v_z = v_z(r), v_θ = 0, v_r = 0, p = p(z) Buat neraca momentum pada kulit

silinder tipis menghasilkan:

( ) (

) (

)

r L r L gL p g p r dr d _{L L} rz ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = 0 ρ 0 ρ P0 P τ κR flux _nol kecepatan Distribusi flux momentum atau shear stress

silinder tipis menghasilkan:

(1) R λR Permukaan momentum z r C r L L rz 0 1 2 ⎟⎠ + ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = P P τ Integralkan diperoleh: (2) r

Distribusi flux momentum dan distribusi

r L

2 ⎠

⎝

• C₁ belum bisa ditentukan karena tidak ada informasi tentang flux momentum

kecepatan untuk aliran keatas dalam sebuah annulus silinder. Ingat bahwa flux momentum berubah tanda pada harga r yang sama dimana kecepatannya

pada r = κR dan r = R.

• Yang kita ketahui hanyalah bahwa ada harga maksimum dalam kurva kecepatan pada suatu bidang (belum diketahui) r =

maksimum. pada suatu bidang (belum diketahui) r

Pada r = λR, τ_rz = 0 Substitusi hukum Newton tentang viskositas ke pers (3) R C R L L λ λ 1 0 2 0 ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = P P P P ⎞ ⎛ viskositas ke pers. (3) dr dv_z rz

µ

τ

= −

(

)

R ⎡_{⎛ ⎞ ⎛ ⎞}⎤ d 2 2 0 1 2L R P P C L _⎟λ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎞ ⎜ ⎛ − ⎞ ⎜ ⎛ − = L r R 0 L 2 2 0 P P P P λ τ

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = r R R r L R dr dv_z 0 _L 2 2µ λ P P

(

)

⎥ ⎤ ⎢ ⎡ _⎞ ⎜ ⎛ ⎞ ⎜ ⎛ − ₂ 2 ₂ 0 PL R r r P ⎠ ⎜ ⎝ − ⎠ ⎜ ⎝ = L r r L rz 2 2 τ

(

)

⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎞ ⎜ ⎛ − ⎞ ⎜ ⎛ − = 0 R r λ2 R τ P PL ₍₃₎

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎠+ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 ₂ 2_{ln 2} 4 R C r R r L R v L z _µ λ P P BC 1: pada r = κR, v_z = 0 BC 2: pada r = R v = 0 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣⎜⎝ R⎠ ⎜⎝ r ⎠ L rz 2 λ τ (3)

• Beda antara persamaan ini dan

persamaan (2) hanya pada konstanta

BC 2: pada r = R, v_z = 0 2 2 2 ln 2 0 =

κ

−

λ

κ

+C

1

0

=

+

C

persamaan (2) hanya pada konstanta integrasi C1 yang telah dieliminasi diganti

dengan konstanta yang berbeda λ.

• Keuntungannya adalah pentingnya

geometri λ diketahui 2

1

0

=

+

C

1

2

=

−

C

κ 1 2

Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

geometri λ diketahui.

( )

κ κ λ 1 ln 1 2 2 = −

(

P P

)

R ⎡_⎛ r _⎞ 1 κ2 _⎛ R_⎞⎤ Laju alir masa adalah

(

)

( )

⎥_⎦⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = r R R r L R L rz _κ κ τ 1 ln 2 1 2 0 P P

(

)

_R2 ⎡ _{⎛ r ⎞}2 _{1 κ}2 _{⎛ R⎞}⎤ P P

(

)

v

z

R

w

π

2

κ

2

ρ

1

−

=

atau

(

)

( )

⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = r R R r L R v_z L ln 1 ln 1 1 4 0 κ κ µ P P Kecepatan maksimum:

(

)

₍

_{) (}

)

( )

_⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ − − − = κ κ κ µ ρ π 1 ln 1 1 8 2 2 4 4 0 L R P P w L

Gaya yang diberikan oleh fluida pada Kecepatan maksimum:

(

)

_[

2

₍

2

₎

_]

2 0 max , 1 1 ln 4µ λ λ λ − − − = = ₌ L R v v L R r z z P P 2

Gaya yang diberikan oleh fluida pada permukaan dinding diperoleh dengan menjumlahkan gaya-gaya yang bekerja pada silinder dalam dan luar, sbb.:

( )

κ κ λ 1 ln 1 2 2 2 = −

Kecepatan rata rata:

(

)

(

rz _{r R}

)

(

)

(

rz _{r R}

)

z RL RL F = 2

πκ

−

τ

_=κ + 2

π

+

τ

₌

(

)

(

L

)

R − P −P = 2 2 ₀ 1 κ π dimana Kecepatan rata-rata:

(

)

( )

⎥_⎦⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ − − − − = =

∫ ∫

∫ ∫

κ κ κ κ µ θ θ π π κ 1 ln 1 1 1 8 2 2 4 2 0 2 2 0 L R rdrd rdrd v v L R R R z z P P

(

)

(

L

)

R 1 κ P₀ P π

Berlaku untuk aliran laminar (Re <2000)

(

)

( )

_⎦ ⎣

∫ ∫

θ µ κ κ κ 1 ln 1 8 0 L rdrd R

(

)

µ ρ κ v_z R − = 2 1 Re

Creeping flow disekitar bola

Creeping flow:

• Aliran sangat lambat • Re (= Dv ρ/µ) < 0,1

Titik dalam ruang Jari-jari bola = R

z

Re ( Dv_∞ρ/µ) < 0,1

• Dikenal juga sebagai “aliran Stokes”

(x,y,z) atau (r,θ,φ)

Pada setiap titik terdapat gaya tekanan dan friksi yang bekerja pada

k b l y z θ Proyeksi titik Pada bidang xy permukaan bola x y φ Fluida mendekati dari bawah dengan kecepatan v_∞

v_∞

Distribusi kecepatan dan tekanan creeping flow disekitar bola: θ θ sin 4 1 4 3 1 3 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = _∞ r R r R v v 3⎤ ⎡ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞}

• p₀ adalah tekanan pada bidang z = 0 yang jauh dari bola.

• -ρgz adalah tekanan hidrostatis

0

=

v

θ

cos 2 1 2 3 1 3 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = _∞ r R r R v v_r

ρgz adalah tekanan hidrostatis

sebagai akibat dari berat fluida. • Suku yang mengandung v_∞ adalah

kontribusi gerak fluida.

θ µ ρ cos 2 3 2 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∞ r R R v gz p p

0

=

φ

v

Komponen stress tensor τ dalam koordinat bola:

(diperoleh dari distribusi kecepatan dengan menggunakan tabel B.1)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = − = ∞ 4 2 3 2 2 r R r R R v rr µ τ τ τ _{θθ φφ}

θ

µ

τ

τ

_{θ θ} sin 2 3 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∞ r R r v r

Integrasi gaya normal

(

p

+

)

−

τ

Gaya oleh fluida per satuan luas pada setiap titik pada permukaan bola:

z

(

p

+

τ

_rr

)

_r=R

(

) (

θ

)

Komponen z gaya ini adalah: Bidang xz

rdθ r sin θ dφ Elemen permukaan diferensial φ (r,θ,φ)

(

p +

τ

_rr

) (

_r=R cos

θ

)

−

Kalikan dengan elemen diferensial permukaan

y

φ

θ

θ

d

d

R sin

2

Integralkan keseluruh permukaan bola untuk memperoleh resultante gaya

x

Integralkan keseluruh permukaan bola untuk memperoleh resultante gaya normal kearah z: ( )

(

(

)

)

∫ ∫

− + = = 2π π τ θ θ φ 0 0 2 sin d d R p F n _{rr r R} (A)

Pada r = R, stress normal τ_rr = 0 → τ_rr bisa diabaikan.

(untuk fluida Newtonian incompressible, semuanya, tiga stress normal adalah nol pada permukaan solid diam dalam semua aliran)

Di t ib i t k d k ( R)

Distribusi tekanan pada permukaan (r = R):

θ

µ

θ

ρ

cos 2 3 cos 0 R v gR p p_{r R} ∞ = = − − θ µ ρ cos 2 3 2 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∞ r R R v gz p p 2 R 2 R ⎝ r ⎠

Substitusi ke persamaan (A) dan diintegralkan:

( )

∫ ∫

2π π ⎜⎛ 3 vµ ⎞ 2 ( )

₌

_R

_g

₊

_Rv

F

n

π

ρ

πµ

2

3 3 4 ( )

∫ ∫

⎜ _⎠⎞ ⎝ ⎛_{− + +} = π π ρ θ µ ∞ θ θ θ φ 0 0 2 0 cos sin 2 3 cos R d d R v gR p F n ∞

+

Rv

g

R

F

₃

π

ρ

2

πµ

Gaya apung

(buoyant force) Form drag (buoyant force)

Integrasi gaya tangential

R r r ₌

+

τ

_θ

Gaya per satuan luas yang diberikan oleh fluida pada arah -θ pada solid adalah:

R r rθ ₌

(

τ

_{rθ r=R}

)

sin

θ

Komponen z gaya ini per satuan luas adalah:

(

_r=R

)

Kalikan dengan luas permukaan elemen R2 _sin θ _dθ _dφ _{dan integralkan} keseluruh permukaan bola menghasilkan gaya resultante pada arah z:

( )

(

)

∫

∫

=

=

π π

τ

_θ

θ

θ

θ

φ

0 2 2 0

sin

R

sin

d

d

F

t _{r r R}

Distribusi shear stress pada permukaan, r = R:p p

θ

µ

τ

τ

_{θ θ} sin 2 3 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∞ r R r v r r

τ

_θ

µ

sin

θ

2 3 R v R r r ₌ = ∞

Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS Substitusi kedalam integral diatas menghasilkan “friction drag”:

( )

∞

=

Rv

Gaya total fluida terhadap bola diberikan oleh penjumlahan komponen normal dan tangential: ∞ ∞

+

+

=

R

g

Rv

Rv

F

₃4

π

3

ρ

2

πµ

4

πµ

Gaya apung Form drag Friction drag

atau ∞

+

=

+

=

F

F

R

g

Rv

F

_{b k 3}4

π

3

ρ

6

πµ

Gaya apung Gaya kinetik

Persamaan Kontinuitas

x+∆x, y+∆y, z+∆z z

Elemen volume tetap ∆x, ∆y, ∆z (ρv_x)|_x (ρv_x)|_x+∆x

∆z

Elemen volume tetap ∆x, ∆y, ∆z melalui mana fluida mengalir. Panah menunjukkan flux masa masuk dan keluar volume pada

d k t i t l t k

(x, y, z) ∆y

∆x

y

dua muka terarsir yang terletak pada x dan x+∆x.

x

Neraca masa pada elemen volume ∆x ∆y ∆z:

{ Laju pertambahan masa } = { Laju masa masuk } – { Laju masa keluar }

( ) ( )

[

vx _x vx _{x x}

]

z y t z y x = ∆ ∆ − _+∆ ∂ ∂ ∆ ∆ ∆ ρ ρ ρ

( ) ( )

[

]

∆ ∆ +

{ Laju pertambahan masa } { Laju masa masuk } – { Laju masa keluar }

Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

( ) ( )

[

vy _y vy _{y y}

]

x z ∆ + − ∆ ∆ + ρ ρ

( ) ( )

[

vz _z vz _{z z}

]

y x∆ − _+∆ ∆ + ρ ρ

Persamaan kontinuitas

Bagi seluruh elemen dengan ∆x ∆y ∆z dan ambil limit ketika ∆x, ∆y, ∆z mendekati nol, kemudian menggunakan definisi turunan parsial, diperoleh:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ z y x v z v y v x t ρ ρ ρ ρ

Persamaan kontinuitas yang menggambarkan laju perubahan waktu densitas fluida pada titik yang tetap dalam ruang

Dengan menggunakan notasi vektor, persamaan diatas dapat ditulis dengan lebih ringkas

(

ρ

v

)

ρ

₌

_∇

_⋅

∂

₍

₎

v

t

=

−

∇

⋅

ρ

∂

Laju pertambahan masa per satuan

Laju bersih

penambahan masa per satuan volume masa per satuan

volume

pe sa ua vo u e oleh konveksi

Persamaan kontinuitas

• (∇⋅ρv) disebut “divergence ρv”, kadang-kadang ditulis sebagai “div ρv”.

• Vektor ρρv adalah flux masa, dan divergence-nya memiliki arti sederhana: laju g y j masa bersih efflux per satuan volume.

• Bentuk khusus yang sangat penting persamaan kontinuitas adalah bahwa untuk fluida yang densitasnya konstan (fluida incompessible), bentuk persamaannya menjadi sederhana yaitu

menjadi sederhana, yaitu

(

∇ v

⋅

)

=

0

Persamaan gerak

x+∆x, y+∆y, z+∆z

z _φ

zx|z+∆z

Elemen volume tetap ∆x, ∆y, ∆z, dengan enam anak panah

menunjukkan flux momentum x φ_xx|_x φ_xx|_x+∆x

melalui muka oleh semua mekanisme. Muka terarsir diletakkan pada x dan x+∆x. (x, y, z)

y _φ

zx|z

Neraca momentum pada elemen volume ∆x ∆y ∆z:

{ Laju pertambahan momentum } = { Laju momentum masuk } – { Laju momentum keluar }

x

(

)

[

]

[

(

)

]

[

(

)

]

{ Laju pertambahan momentum } { Laju momentum masuk } { Laju momentum keluar } + { Gaya luar pada fluida } Laju bersih penambahan momentum x:

(

)

[

xx _x xx _{x x}

]

z x

[

(

yx _y yx _{y y}

)

]

x y

[

(

zx _z zx _{z z}

)

]

z y _+∆ ∆ + ∆ + +∆ ∆ − +∆ ∆ − − ∆ ∆ φ φ φ φ φ φ

Persamaan gerak

z

y

x

g

_x

∆

∆

∆

ρ

Gaya luar (biasanya gaya gravitasi) yang bekerja pada fluida:

Jumlahkan dua persamaan diatas dan samakan dengan laju pertambahan momentum x dalam elemen volume, ∆x ∆y ∆z ∂(ρvx) / ∂t, kemudian dibagi

dengan ∆x ∆y ∆z dan diambil limit ∆x, ∆y, ∆z mendekati nol, maka diperoleh:

x zx yx xx x g z y x v t ρ φ φ φ ⎟⎟_⎠+ ρ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ g y , y, , p y zy yy xy y g v t ρ φ φ φ ⎟_⎠+ρ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂

Dengan cara yang sama, diperoleh neraca momentum untuk komponen y dan z:

y zy yy xy y z y x t ⎜_⎝∂ ∂ ∂ _⎠ ∂ z zz yz xz z g z y x v t ρ φ φ φ ⎟⎟_⎠+ ρ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂

Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

y _⎠

Persamaan gerak

[ ]

g v

ρ

ρ

= − ∇⋅ + ∂ φ

Menggunakan notasi tensor, ketiga persamaan diatas bisa dituliskan:

[ ]

g

v

ρ

ρ

= − ∇⋅ +

∂t φ

Jika komponen ke-i dikalikan dengan satuan vektor kearah i dan ketiga komponen dijumlahkan bersama-sama secara vektorial, diperoleh:

[ ]

g

i

x

y

z

v

t

i

=

−

∇

⋅

i

+

i

=

,

,

∂

∂

_ρ

_φ

_ρ

j

Tensor flux momentum gabungan φ merupakan jumlah dari tensor flux momentum Tensor flux momentum gabungan φ merupakan jumlah dari tensor flux momentum konveksi ρvv dan tensor flux momentum molekuler π, yang merupakan

penjumlahan dari pδ dan τ. Sisipkan φ = ρvv + pδ + τ kedalam persamaan gerak:

[

]

[ ]

∂

_[

_]

_{[ ]}

g

vv

v

p

ρ

t

=

−

∇

⋅

−

∇

−

∇

⋅

+

∂

∂

ρ

τ

ρ

Laju pertambahan Momentum per Laju pertambahan Momentum oleh Laju pertambahan Momentum oleh

Gaya luar pada fluida per

p

Satuan volume Konveksi per Satuan volume

transport molekuler per Satuan volume

p

Persamaan kontinuitas

(

ρv

)

ρ _{= − ∇⋅} ∂ ∂ t

( )

( )

( )

=0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z y x v z v y v x t ρ ρ ρ ρ

Koordinat Cartesian (x,y,z)

∂ ∂ ∂ ∂t x y z 1 1 ∂ ∂ ∂ ∂ Koordinat silinder (r,θ,z)

(

)

1

( )

( )

0 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z r v z v r rv r r t ρ θ ρ ρ ρ θ Koordinat bola (r θ φ)

(

)

(

)

( )

0 sin 1 sin sin 1 1 2 2 ∂ = ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ φ θ θ _{θ φ} ρ ρ θ θ ρ ρ v r v r v r r r t r Koordinat bola (r,θ, φ)

Persamaan gerak dalam τ

[ ]

τ g v ρ ρD Dt = −∇p− ∇⋅ + x x x x _v v _v v _v v p _g v

_τ

_τ

_τ

_ρ

ρ

_⎜⎜⎛∂ + ∂ + ∂ + ∂ ⎞ ∂ _⎢⎡ ∂ + ∂ + ∂ _⎥⎤+ Koordinat Cartesian (x,y,z)

y y y y g p v v v v v v v

ρ

τ

τ

τ

ρ

_⎜⎜⎛∂ + ∂ + ∂ + ∂ ⎞ ∂ _⎢⎡ ∂ + ∂ + ∂ _⎥⎤+ x zx yx xx x z x y x x x _g z y x x p z v y v x v t

τ

τ

τ

ρ

ρ

_⎥+ ⎦ ⎢ ⎣∂ + ∂ + ∂ − ∂ − = ⎠ ⎜⎜ ⎝ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ y zy yy xy y z y y y x y g z y x y z v y v x v t

τ

τ

τ

ρ

ρ

_⎥+ ⎦ ⎢ ⎣∂ + ∂ + ∂ − ∂ − = ⎠ ⎜⎜ ⎝ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ p v v v v ⎞ ∂ ⎡ ∂ ∂ ∂ ⎤ ⎜ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ z zz yz xz z z z y z x z _g z y x z p z v v y v v x v v t v

_τ

_τ

_τ

_ρ

ρ

_⎥+ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

Persamaan gerak dalam τ

[ ]

τ g v ρ ρD Dt = −∇p− ∇⋅ +

( )

r r r r _v v v v _v v v p _{r g} v ρ τ τ τ τ ρ θ θ ₊ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ∂ + ∂ + ∂ ∂ = ⎞ ⎜⎜ ⎛ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ 2 1 1 Koordinat silinder (r,θ,z)

(

)

θ θ θ θ θ θ θ θ v v v v v v p τ τ v _r ⎞ ∂ ⎡ ∂ ∂ ∂ _r − _r ⎤ ⎜ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 ₂ 1

( )

rr r zr r z r g z r r r r r r z v r r v t θ τ θτ τ τ ρ ρ _{θ θθ} + ⎥⎦ ⎢⎣ ∂ + ∂ + ∂ − − ∂ − = ⎠ ⎜⎜ ⎝ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ −

(

θ

)

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ _{τ τ ρ} θ τ θ θ ρ g r z r r r r p r r z v r r v t r r z r r z r ⎥⎦+ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ ∂ + ∂ + ∂ − ∂ − = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ 2 2

( )

p v v v v v _θ ⎞ ∂ ⎡ ∂ ∂ ∂ ⎤ ⎜ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ 1

_{( )}

1 z zz z rz z z z z r z _g z r r r r z p z v v v r v r v v t v _{τ τ ρ} θ τ θ ρ θ _{θ +} ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 1 1

Persamaan gerak untuk fluida Newtonian dengan

ρ

dan

µ

konstan

g v v µ ρ ρ_{D Dt} = −∇_p+ ∇2 + x x x x x x x _v v _v v _v v p v v v _g v

_µ

_ρ

ρ

_⎜⎜⎛∂ + ∂ + ∂ + ∂ ⎞ ∂ + ⎡_⎢∂2 + ∂2 + ∂2 ⎤_⎥+ Koordinat Cartesian (x,y,z)

z y y y y y y g v v v p v v v v v v v ρ µ ρ⎛_⎜⎜∂ + ∂ + ∂ + ∂ ⎞ ∂ + ⎡_⎢∂ + ∂ + ∂2 ⎤_⎥+ 2 2 x x x x x z x y x x x _g z y x x p z v y v x v t

µ

ρ

ρ

_⎥+ ⎦ ⎢ ⎣ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ − = ⎠ ⎜⎜ ⎝ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ 2 2 2 y z y y y z y y y x y g z y x y z v y v x v t µ ρ ρ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ − = ⎠ ⎜⎜ ⎝ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ 2 2 2 v v v p v v v v ⎞ ∂ ⎡∂ ∂ ∂ ⎤ ⎜ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 z z z z z z z y z x z _g z v y v x v z p z v v y v v x v v t v ρ µ ρ _⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2

Persamaan gerak untuk fluida Newtonian dengan

ρ

dan

µ

konstan

g v v µ ρ ρ_{D Dt} = −∇_p+ ∇2 + r r r r r r _v v v v _v v v p _rv v v v _g v ρ µ ρ θ θ θ ₊ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ∂ ∂ + ∂ + ⎞ ⎜ ⎛ ∂ ∂ + ∂ = ⎞ ⎜⎜ ⎛ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ 2 2 2 2 1 1 Koordinat silinder (r,θ,z) ( ) θ θ θ θ θ θ θ θ v v v v v v p v v v v _{r r} ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ∂ _⎜⎛ ∂ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 1 1 1 r r z r g r z r rv r r r r r z v r r v t θ µ θ θ ρ ρ _⎥+ ⎦ ⎢ ⎣∂ ⎜⎝ ∂ ⎠+ ∂ + ∂ − ∂ + ∂ − = ⎠ ⎜⎜ ⎝ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ − 2 2 2 2 ( )θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ _ρ θ θ µ θ θ ρ v g r z v v r rv r r r p r r v v z v v v r v r v v t v _{r r} z r ⎥+ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 1 1 v v v p v v v v v ⎡ ⎞ ∂ ∂ ⎤ ⎜ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 1 1 z z z z z z z z r z _g z v v r r v r r r z p z v v v r v r v v t v _ρ θ µ θ ρ θ ₊ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 1 1

Aliran tergantung waktu fluida Newtonian

Aliran didekat dinding yang bergerak mendadak

y

t < 0

Fluida diam

Untuk sistem ini: • v_x = v_x(y,t) • v_y = 0 y v₀ t = 0 Dinding digerakkan v_y 0 • v_z = 0

• Persamaan kontinuitas terpenuhi • Suku persamaan gerak yang tersisa:

y vx(y,t) t > 0

Fluida dalam

• Suku persamaan gerak yang tersisa:

2 2

y

v

t

v

_{x x}

∂

∂

=

∂

∂

_ν

v₀ aliran unsteady

Aliran viscous fluida didekat dinding

y

t

∂

∂

dimana ν = µ/ρ g

Aliran tergantung waktu fluida Newtonian

Kondisi awal dan kondisi batas:

K di i l d t 0 0 t k

Kondisi awal: pada t = 0, v_x = 0 untuk semua y Kondisi batas 1: pada y = 0, v_x = v₀ untuk semua t > 0 Kondisi batas 2: pada y = ∞, v_x = 0 untuk semua t > 0

2 2

y

t

∂

∂

=

∂

∂

φ

_ν

φ

Masukkan kecepatan tak berdimensi φ = v_x/v₀:

φ(y,0) = 0; φ(0,t) = 1; φ(∞,t) = 0

y

t

∂

∂

Kondisi awal dan batas mengandung

Penyelesaiannya berbentuk

( )

φ fungsi tak batas mengandung

hanya bilangan murni φ = φ(y,t; ν) berdimensi

y t dan ν harus muncul dalam Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

y, t dan ν harus muncul dalam kombinasi tak berdimensi

t

Aliran tergantung waktu fluida Newtonian

( )

η

φ

φ

= η = y

Kita simpulkan penyelesaiannya berupa: dimana

( )

η

φ

φ

= t ν η 4 dimana

• Disebut metoda kombinasi variabel (bebas)

• Angka “4” dimasukkan agar hasil akhirnya terlihat lebih rapi

2 2 y t ∂ ∂ = ∂

∂

φ

_ν

φ

_{Rubah menjadi turunan}

terhadap variabel gabungan

η

φ

η

η

η

φ

φ

d d t t d d t 2 1 − = ∂ ∂ = ∂ ∂ y t d d y d d y

η

ν

φ

η

η

φ

φ

4 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ t d d y

η

ν

φ

φ

4 1 2 2 2 2 = ∂ ∂ dan Substitusi 0 2 2 2 = +

η

φ

η

η

φ

d d d d _{• BC 1: pada η = 0, φ = 1} • BC 2: pada η = ∞, φ = 0

η

η

d d BC 2: pada η ∞, φ 0 (PD biasa tipe C.1-8)

Aliran tergantung waktu fluida Newtonian

0 2 = + ηψ ψ d

ψ

_η

_η

d d 2 − = 1 2

ln

ln

ψ

=

−

η

+

C

Ambil: dφ/dη = ψ _{PD orde satu yang bisa dipisahkan:}

0 2 = + ηψ η d

ψ

= −2

η

d

η

ln

ψ

η

+

ln

C

1

( )

2 1

exp

η

η

φ

ψ

=

=

C

−

d

d

( )

2 0 2 1

exp

d

C

C

−

+

=

∫

η

η

η

φ

P ilih 0 k b b h i l d l h b ilih l i

( )

η ₂

∫

d

• Pemilihan 0 untuk batas bawah integral adalah sembarang; pilihan yang lain

menghasilkan nilai C₂ yang berbeda, yang masih belum ditentukan.

• Aplikasi dua kondisi batas menghasilkan

( )

( )

( )

_{η η} π

( )

η η η η η η φ 1 2 ηexp 1 erf exp exp 1 0 2 0 2 0 2 − = − − = − − − =

∫

∫

∫

∞ d d d

( )

y

t

y

y

v

Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

( )

t

y

t

y

v

t

y

v

_x

ν

ν

erfc

4

4

erf

1

,

0

=

−

=

Aliran tergantung waktu fluida Newtonian

1.0 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0 2 0.3 0.4 0.5 vx /v 0 0.0 0.1 0.2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 (y /4vt )1/2

Distribusi kecepatan, dalam bentuk tak berdimensi, untuk aliran didekat dinding yang digerakkan secara mendadak