Finish

(1)

KINEMATIKA DAN ANALISIS VEKTOR

1.1.

VEKVEKTOTOR R POPOSISISISI

Posisi benda pada waktu t tertentu untuk gerak satu dimensi (gerak lurus) dinyatakan Posisi benda pada waktu t tertentu untuk gerak satu dimensi (gerak lurus) dinyatakan oleh x = x dan (t) atau y (t). Sedangkan posisi partikel untuk gerak benda pada suatu oleh x = x dan (t) atau y (t). Sedangkan posisi partikel untuk gerak benda pada suatu bidang dinyatakan oleh keduanya,

bidang dinyatakan oleh keduanya, x =

x = x(t) dan y = x(t) dan y = y(t)y(t). Dengan demikian suatu vektor posis. Dengan demikian suatu vektor posisi dalam bidang, r, i dalam bidang, r, dapatdapat dinyatakan dalam vektor – vektor satuan i dan

dinyatakan dalam vektor – vektor satuan i dan j j sebagai ; r = xi + sebagai ; r = xi + yjyj 1.2

1.2. . PERPERPINPINDAHDAHANAN Perpi

Perpindahan di ndahan di defindefinisikan sebagai perubahan posisi suatu partikel pada isikan sebagai perubahan posisi suatu partikel pada waktuwaktu tertentu. Perpindahan termasuk besaran vektor. Misalkan sebuah partikel bergerak tertentu. Perpindahan termasuk besaran vektor. Misalkan sebuah partikel bergerak pada bidang XY. Pada saat

pada bidang XY. Pada saat

t1

, vektor posisinya adalah, vektor posisinya adalah

r1

, dan pada saat, dan pada saat

t2

((

t2

>>

t1

)) vektor posisinya adalah

vektor posisinya adalah

r2

, maka perpindahan partikel, maka perpindahan partikel

∆r

dapat dinyatakan oleh :dapat dinyatakan oleh :

∆r

==

r2-r1

di

manamana

r2

= r(t == r(t =

t2

) dan) dan

r1

= r (t== r (t=

t1

)) 1.3.

1.3. KECEPATAN KECEPATAN RATA RATA - RAT- RATAA Kecepatan rata – rata

Kecepatan rata – rata

V

adalah hasil bagi perpindahan dengan selang waktu yangadalah hasil bagi perpindahan dengan selang waktu yang diperlukan.

diperlukan.

V

==

∆r∆t=r2- r1t1-t2

Kecepatan rata- rata partikel dalam bidang dapat juga dinyatakan dalam Kecepatan rata- rata partikel dalam bidang dapat juga dinyatakan dalam komponen-komponennya terhadap sumbu – X dan –Y, yaitu:

komponennya terhadap sumbu – X dan –Y, yaitu:

V=Vxi+Vyj

1.4.

KECEKECEPATAPATAN N SESASESAATAT

Kecepatan sesaat adalah kecepatan eksak suatu partikel pada saat tertentu t, ditulis Kecepatan sesaat adalah kecepatan eksak suatu partikel pada saat tertentu t, ditulis v(t) atau v

v(t) atau v V =

V =

lim∆t →0V

==

lim∆t→0∆s∆t=dsdt

Rumus kecepatan sesaat jika fungsi perpindahan Rumus kecepatan sesaat jika fungsi perpindahan

terhadap waktu di berikan terhadap waktu di berikan G

Geerraak k ssaattu u ddiimmeennssii GGeerraak k dduua a ddiimmeennssii Perpindahan s = s(t) Perpindahan s = s(t) Kecepatansesaat v = Kecepatansesaat v =

dsdt

r (t) =xi + yj r (t) =xi + yj v = v =

drdt

==

vxi+vyj

1.5.

KETIKETINGGNGGIAN IAN MAKMAKSIMSIMUMUM

Untuk gerak partikel dalam bidang di mana x menyatakan perpindahan mendatar dan Untuk gerak partikel dalam bidang di mana x menyatakan perpindahan mendatar dan y

y menyatmenyatakan akan perpinperpindahan vertikal atau dahan vertikal atau ketinketinggian terhadap suatu ggian terhadap suatu acuan,acuan, bagaim

bagaimana ana kita menentukakita menentukan n ketinketinggian maksimum yang ggian maksimum yang dicapadicapai i partikpartikel? Kitael? Kita dapatkan bahwa ketinggian maksimum,

dapatkan bahwa ketinggian maksimum,

ymaks

, dicapai jika di penuhi syarat turunan, dicapai jika di penuhi syarat turunan komponen perpindahan vertikal terhadap waktu

komponen perpindahan vertikal terhadap waktu

dydt

, sama dengan nol., sama dengan nol.

dydt

=0 atau=0 atau

vy=0

Dari pers

Dari persamaamaan an diadiatas kita peroletas kita peroleh h t, dan t, dan jika nilai t, jika nilai t, ini masukini masukan an ke dalamke dalam persamaan kompoen perpindahan vertikal

persamaan kompoen perpindahan vertikal y = y(y = y(t), maka nilai ketingt), maka nilai ketinggian maksimumgian maksimum

ymaks

MEN

MENENTENTUKAN UKAN POSIPOSISISI DADARI RI FUNFUNGSGSII KECEPATANKECEPATAN.. Jika fungsi kec

Jika fungsi kecepatan terhadap waktu epatan terhadap waktu v = v = v (t) v (t) diberikan maka posisi pdiberikan maka posisi partikel dapatartikel dapat ditentukan dengan mengintregralkan fungsi

(2)

KINEMATIKA DAN ANALISIS VEKTOR

PERCEPATAN RATA – RATA .

Percepatan rata – rata

a

adalah hasil bagi perubahan kecepatan

∆v

selang dengan selang waktunya

a=∆v∆t=v2-v1t2-t1=axi+ayj

Dimana

v2

= v (t =

t2)dan v1= v(t=t1)

PERCEPATAN SESAAT.

Percepatan sesaat adalah percepatan eksak suatu partikel pada saat tertentu t, ditulis a(t) atau a.

a =

lim∆t→0a= lim∆t→0∆v∆t=dvdt

Rumus kecepatan sesaat jika fungsi perpindahan terhadap waktu di berikan

Gerak satu dimensi Gerak dua dimensi Kecepatan v = v(t)

Percepatansesaat a =

dsdt

v = v (t) =xi + yj a =

drdt

=

axi+ayj

Perhatikan, percepatan sesaat a, adalah kecepatan dari turunan v terhadap waktu; sedangkan kecepatan sesaat v adalah turunan dari perpindahan r terhadap waktu. Dapatlah disimpulkan bahwa percepatan sesaat adalah turunan kedua dari perpindahan r terhadap waktu, ditulis:

a =

lim∆t→0 ∆v∆t=d2rdt2

MENENTUKAN KECEPATAN DARI FUNGSI PERCEPATAN.

Jika fungsi percepatan, a = a(t) diberikan maka kecepatan partikel dapat ditentukan dengan mengintregralkan fungsi a = a(t) terhadap peubah waktu t.

Rumus posisi partakel jika fungsi kecepatan terhadap waktu di berikan

Gerak satu dimensi Gerak dua dimensi Kecepatan v = v (t) Posisi s =

s0+v dt

s0

= posisiawalpartikel v = v(t) =

vxi+vyj

r =

r0+v dt=vi+yj

r0

=

x0i+y0j

= posisi partikel

Rumus posisi partikel jika fungsi percepatan terhadap waktu di berikan

Gerak satu dimensi Gerak dua dimensi Percepatan a = a (t) Kecepatan s =

v0+a dt

v0

= kecepatanawalpartikel a = a(t) =

axi+ayj

v =

v0+a dt=vxi+vyj

v0

=

v0xi+v0yj

(3)

(4)

KINEMATIKA DAN ANALISIS VEKTOR

1.

Gerak sebuah benda memiliki

persamaan posisi:

r=

( - 6 – 3t ) + ( 8 + 4t)

j

Sebuah besaran menggunakan satuan dasar SI. Dari persamaan tersebut, disimpulkan sebagai berikut :

(1)

Koordinat awal (-6,8)m (2) Kelajuan awal 10 m/s (3) Lintasannya lurus

(4) Perpindahannya 7 m tiap sekon Kesimpulan yang benar adalah………..

a.

(1), (2),dan (3) D. (2) dan (4)

b.

(1),(2),(3), dan (4) E (4) c. (1) dan (3)

1. Lintasan sebuah jarah dinyatakan dengan :

x = A + Bt + Ct2

dalam rangkaian itu x menunjukan tempat kedudukan dalam cm, t waktu dalam detik A, B, C masing–masing konstanta, satuan C adalah…

a.

cm/detik c.

cm.detik e. cm

b.

cm/detik2 _d.

detik/cm

1.

Persamaan vektor posisi sebuah materi dinyatakan dengan r = (t3 _{– 2t}2_{) I +}

(3t2_{)j. jika satuanr dalam meter dan t}

dalm sekon ,besar percepatan materi tepat setelah 2 sekon dari awal pengamatan adalah ……….ms-2

a. 4 c. 6 e.

12

b. 8 d. 10

1.

Sebuah perahu menyebrangi sungai yang lebarnya 180 meter dan kecepatan arus airnya 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s, maka setelah sampai di sebrang perahu telah menempuh lintasan sejauh ………….

a. 180 m c. 300 m e. 360 m

b. 240 m d. 320 m

1.

Bila posisi sebuah benda dinyatakan persmaan

x = 5 t3 _{+ 2t – 3t, maka percepatan}

benda tersebut adalah…..

a. 30 t c. 45 t e.

60 t

(5)

KINEMATIKA DAN ANALISIS VEKTOR

1.

Perpindahan yang ditempuh sebuah

partikel dalam waktu t diberikan oleh : s = t3_{+ 1.s dalam meter dan t dalam}

sekon, percepatan partikel setelah 4 s adalah …………

a.

10 ms-2 _{c. 30 ms}-2

e. 20 ms-2

b.

24 ms-2 _{d. 40 ms}+2

7.

Sebuah benda bergerak dengan persamaan lintasan y = (27 t – t3₎

meter, jika y adalah arah vertikal, berapakah ketinggian maksimum benda tersebut …..

a.

10 m c. 40 m e . 60 m

b. 32 m d. 54 m

7.

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu Y dengan percepatan a = (1,5t ₎

ms-2_{. Jika pada t= 0, V = 2,0 ms}-1_.

Berapakah percepatan pada saat t= 2,0 s adalah …….

a.

5 ms -1 _{c. 26ms} -1 _{e. 27}

ms-1

b.

10 m s-1 _{d. 30 ms-}2

7.

Posisi sebuah benda yang bergerak searah sumbu X dinyatakan dengan grafik di bawah ini:

X (m) 10

5

T (dt) 4 8 12 14 16

Kecepatan benda pada 14 detik adalah ………..

a.

4 m -1 _{c. ¾ ms} -1 e. 5 m s-1

b. -52ms-1

d. 2 m s-1

7. Vx

400 m 80 m

Vx

Vy

V1

x

Pada gambar diatas sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan

(6)

KINEMATIKA DAN ANALISIS VEKTOR

mendatar sebesar 400 m/s dari ujung

sebuah gedung setinggi 80 m. bila g = 10 m/s2_{. Berapakah waktu yang}

diperlukan untuk mengenai dasar gedung ……..

a. 30 detik c. 5 detik e. 15 detik

(7)

(8)

KINEMATIKA DAN ANALISIS VEKTOR

1.

Diketahui A = 2i + 2j dan B = 3i – 4j

hitunglah besar dan arah; (a) A+B (b) A- B

2.

Sebuah partikel bergerak dalam bidang XOY dari suatu titik dengan koordinat (-3,-5) m ke titik dengan koordinat (-1, 8) m.

(a)

Tulis vektor posisi kedua titik ini dalam vektor-vektor satuan.

(b)

Berapakah vektor

perpindahannya ?

1.

Sebuah benda melakukan tiga perpindahan berturut-turut, yaitu A = (9i + 4j)m, B(6i–2j)m, dan C = (-3i + 3j)m. Tentukan besar dan arah perpindahan totalnya.

2.

Sebuah mobil melaju dan menempuh 7 km ke Timur dan kemudian menempuh 5

2

km ke Tenggara dan akhirnya 3 km ke utara. Tentukan besar dan arah perpindahan mobil terhadap titik berangkatnya.

3.

Kedudukan sebuah partikel yang sedang bergerak pada bidang XY dinyatakan oleh:

x =(1,40 m/s)t

y = 19,0 m – (0,800 m/s2_)t2

Untuk selang waktu mulai dari t = 0 sampai dengan t = 2,00 s, tentukan ;

(a)

Vektor kecepatan rata-rata dinyatakan dalam vektor satuan

(b)

Komponen-komponen kecepatan rata- rata

(c)

Besar dan arah kecepatan rata-rata.

1.

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-X dan kedudukannya dinyatakan oleh

x = t3 _{– 6t}2_{+ 9t +4}

Dimana x dalam m dan t dalam s, Tentukan :

(a)

Kedudukan awal partikel

(b)

Kecepatan partikel pada saat t

(c)

Kecepatan awal partikel

(d)

Kecepatan pada t = 1 s

(e)

Kecepatan pada t = 2 s

1.

Sebuah batu dilempar vertikal ke atas dari suatu titik O setelah t sekon dinyatakan oleh y = 20t -5t2_{, y dalam}

m, Tentukan

(a)

Kecepatan awal

(9)

KINEMATIKA DAN ANALISIS VEKTOR

(c)

Ketinggian maksimum yang dicapai

batu diukur dari O

1.

Sebuah model roket bergerak pada bidang-XY dalam suatu sistem koordinat dengan arah sumbu–Y positif adalah vertikal ke atas posisi roket memiliki komponen x= 2,00t

+at412

y= 6,00t

βt22-yt36

dengan a = 2, 50 m/s4 _,

_β=12,0

_m/s2 dan y = 2,00m/s3

(a)

Nyatakan vektor posisinya sebagai fungsi waktu t

(b)

Nyatakan vektor kecepatannya sebagai fungsi waktu t

(c)

Tentukan vektor dan besar kecepatan awal

(d)

Tentukan vektor dan besar kecepatan pada t = 1s

(e)

Hitung ketinggian maksimum yang dapat dicapai

1.

Tuti melakukan suatu perjalanan dan menentukan suatu persamaan geraknya. Dia tidak menentukan posisinya terhadap waktu melainkan kecepatanya terhadap waktu. Tuti menemukan bahwa kecepatannya dapat didekati dengan rumus v = 0,01 (t2_{–50t + 625), dimana t dalam sekon}

v dalam m/s.

(a)

Tentukan rumus untuk s(t), yaitu posisi tuti pada waktu kapan saja. Anda dapat menganggap posisi posisi awal tuti

s0

= 0

(b)

Berapakah kecepatan rata- rata tuti antara t = 0 dan t = 60,0 s ?

1.

Seekor kelinci berlari menyebrangi suatu tempat parkir. Komponen-komponen kecepatan lari kelinci terhadap sistem koordinat – XY dinyatakan oleh:

vx= -0,06 t+7,2 dan vy=0,44t-92

dengan t dalam sekon dan

vx dan vy

dalam meter persekon2_{. Posisi awal}

kelinci

x0

= 28 m dan y

y0

= 30 m.

(a)

Tentukan vektor posisi kelinci

(b)

Tentukan besar dan arah vektor posisi kelinci pada t = 10 s

(10)

KINEMATIKA DAN ANALISIS VEKTOR

oleh.

V= 4t2 _{+2t-6, dengan t dalam sekon}

dan v dalam meter per sekon. Tentukan :

(a) Percepatan rata-rata antara t = 0 dan t = 4 sekon,

(b)

Percepatan pada saat kapansaja

(c)

Percepatan awal

(d)

Percepatan pada saat t = 4 sekon; apakah nilainya sama dengan (a)? Berikan komentar anda.

1.

Kecepatan v adalah sebuah dari

partikel yang sedang bergerak dalam bidang–XY di berikan oleh V = (6,0t – 4,0t2_{)i +8,0 j}

Dimana v dalam meter per sekon dan (t

>0)

dalam sekon

(a)

Berapa percepatan rata-rata antara t = 0 dan t = 3,0 s?

(b)

Tentukan percepatan pada kapan saja.

(c)

Kapan (jika ada) percepatan sama dengan nol ?

(d)

Berapa percepatan pada saat t = 3,0s ?

(e)

Kapan (jika ada) kecepatan sama dengan nol ?

1.

Posisi sebuah partikel diberikan oleh x = 4 – 27t + t3 _{dimana satuan koefisien}

masing- masing adalah m, m/s2_{, dan}

sumbu x berarah vertikal.

(a)

Tentukan kecepatan partikel pada t =2 s

(b)

Tentukan percepatan partikel pada t = 5 s

1.

Posisi sebuah bola hoki ( dalam meter) sejak bergerak dalam bidang – XY dinyatakan oleh;

x = -3t3 _{-4t dan y = -5t}2_{+ 6}

tentukan besar percepatan yang dialami bola hoki pada t = 5 s

2.

Sebuah roket diluncurkan. Setelah t menit, percepatan a dalam km/ menit2

dinyatakan oleh a = t2 _-

_112t

3 _{, 0}

≤t≤12 menit

Tentukan :

(a)

Kelajuan setelah 6 menit

(b)

Jarak yang telah ditempuhnya setelah 10 menit

1.

Sebuah materi mulai bergerak dari keadaan diam. Vektor percepatannya dinyatakan oleh;

a =(6t- 4)I + 6j

(11)

KINEMATIKA DAN ANALISIS VEKTOR

Tentukan jarak yang telah ditempuh

materi itu setelah t = 6 sekon.

2.

Sebuah benda bermassa 3,0 kg di gerakan mendatar di meja licin dengan kelajuan awal 1 m/s oleh sebuah gaya mendatar f yang berubah terhadap waktu menurut f = 30 + 6t , dengan t dalam sekon dan f dalam Newton. Tentukan percepatan benda pada saat

t = 2 sekon. !

3.

Percepatan partikel pada saat t adalah a (t)=(4 -12t)i-36t2_{j dengan t dalam}

sekon dan a dalam m/s2_{. Pada saat t =}

1 partikel berada di titik –i -5j dan sedang bergerak dengan kecepatan 3i+ 2j. Tentukan; a. r(t =1)=-3i – 5j dan , v(t=1)=3i + 2j

b.

v(t=2)=…….? r(t=2)=……? v(t)= (4t- 6t2_+5)i+(-12t3 ₊₁₄₎

1.

Benda bergerak lurus dengan persmaan kecepatan v = (3t2 _{– 4 ) m/s,}

jika t dalam detik maka perpindahan selama 2 detik pertama .

2.

Benda bergerak dalam bidang XY dengan percepatan a = (2t – 4)I + (12 – 6t)j. Satuan dalam SI. Jika kecepatan awal 11i – 5j,maka kecepatan akan memiliki arah 450 _{terhadap sumbu X}

pada saat.

3.

Kecepatan sudut sebuah benda yang berotasi dinytakan dengan

ω

= (t2 _{– 2t}

– 8 ) rad/s. Putaran benda tersebut akan berbalik arah pada detik …

4.

Persamaan posisi suatu partikel yang sedang bergerak melingkar adalah ….

θ

= (12t – t3_{) rad. Berapakah}

percepatan sudut pada detik detik kedua (rad/s2_{) ?}

5. Gerak sebuah benda memiliki persamaan posisi:

r=8t-4i+36t2+6tj

Semua besaran menggunakan satuan dasar SI. Dari pernyataaan berikut:

1)

Benda bergerak lurus berubah beraturan

(12)

KINEMATIKA DAN ANALISIS VEKTOR

3) Setelah 1 s, kecepatannya

menjadi 8i m/s

4) Setelah 1 s, perpindahannya 5 m

Yang berkaitan dengan gerak pada persamaan di atas adalah….

1.

Sebuah bola dilemparkan dengan kecepatan v0 dan sudut elevasi α. Jika vector kecepatan bola pada saat t = 12 sekon adalah 60i – 40j, maka tentukan: