APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM FORWARD CONTRACT
DAN FORWARD EXCHANGE RATE CONTRACT
HARYANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
ABSTRAK
HARYANTO. Aplikasi Model Binomial dalam Forward Contract dan Exchange Rate Forward
Contract. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RETNO BUDIARTI.
Dalam berinvestasi, investor pasti berharap memperoleh return yang maksimum namun investor harus menanggung risiko tertentu yang membuat investor berhati-hati dalam menanamkan uangnya. Oleh sebab itu, berkembanglah produk-produk yang digunakan untuk memperkecil risiko yang sering disebut produk derivatif. Terdapat berbagai macam bentuk produk derivatif diantaranya adalah forward contract dan forward exchange rate contract. Forward contract adalah perjanjian di mana investor diwajibkan untuk menjual atau membeli sebuah aset pada waktu yang telah ditentukan di waktu yang akan datang dengan harga yang telah disepakati.
Forward exchange rate contract adalah perjanjian di mana investor mempunyai kewajiban untuk
membeli atau menjual uang dengan exchange rates yang telah ditentukan pada waktu yang telah disepakati, tidak memperhatikan besarnya exchange rate pada waktu waktu yang telah disepakati.
Dalam karya ilmiah ini dikaji cara menentukan harga dari produk derivatif pada waktu dan keadaan diskret menggunakan struktur model binomial. Model binomial adalah model sederhana yang memodelkan pergerakan harga aset dengan mengasumsikan bahwa terdapat dua kemungkinan pergerakan harga aset di masa mendatang yaitu harga akan naik atau turun. Model binomial yang mendasari ini adalah one-step binomial model di mana harga yang diketahui hari ini dapat menjadi dua kemungkinan nilai di masa depan. Struktur dalam one-step binomial model dapat diperluas menjadi multi-step binomial model. Dalam karya ilmiah ini model one-step
binomial dan multi-step binomial digunakan untuk menentukan harga forward contract, dan forward exchange rate contract, kemudian diaplikasikan pada studi kasus transaksi luar negeri PT
Bina Pertiwi periode Januari-September 2012. Hasil terbaik yang diperoleh dalam studi kasus PT Bina pertiwi adalah ketika menggunakan forward exchange rate contract dengan mengurangi kerugian sebesar Rp280.783.944,55.
ABSTRACT
HARYANTO. Aplication of Binomial Model in Forward Contract and Forward Exchange Rate Contract. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RETNO BUDIARTI.
Investors have purposed to obtain a maximum return, but they must be carefull to put the money because they would take a risk. Therefore, products are introduced to reduce the risk. They are called derivative products. There are many kinds of derivative products, such as forward contract and forward exchange rate contract. A forward contract is an agreement or a contract to buy or sell assets with delivery at a specified time and price. A forward exchange rate contract is an agreement or a contract to buy or sell a specified amount of money with a specified exchange rate at a specified time, no matter what the actual exchange rate is at specified time.
In this paper, the price of derivative products at a discrete time will be determined using binomial model. A binomial model is a model that describes asset price movements by assuming two possibilities of asset price movements in the future that is, up or down. An underlying of binomial model is one-step binomial model, which is the known prices today can be two possible value in the future. One-step binomial model can be expanded to become multi-step binomial model. In this paper, one-step binomial and multi-step binomial model are used to determining the price of forward contract, and forward exchange rate contract. This model can be applied to the case study of overseas transaction at PT Bina pertiwi on the periode of Januari-September 2012. The best result that is obtained in the case of overseas transaction at PT Bina Pertiwi is the model using forward exchange rate contract. Model using forward exchange rate contract is able to decrease compensation as big as Rp280.783.944,55.
APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM FORWARD CONTRACT
DAN FORWARD EXCHANGE RATE CONTRACT
HARYANTO
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul
: Aplikasi Model Binomial dalam Forward Contract dan Forward
Exchange RateContract
Nama
: Haryanto
NIM
: G54080033
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S.
Ir. Retno Budiarti, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004
NIP. 19610729 198903 2 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004
PRAKATA
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini dengan baik. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari peranan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluargaku tercinta: Ayah dan Ibu (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, kasih sayang, motivasi dan segalanya), Nenek (atas doa dan dukungan yang terus menerus), Kakakku (terima kasih atas doa, dukungan dan kasih sayang), serta keluarga besar baik dari Ayah maupun Ibu (terima kasih atas doa, kasih sayang, dan motivasinya),
2. Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S. selaku dosen pembimbing I atas segala kesabaran, ilmu dan masukannya selama membimbing penulis,
3. Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku dosen pembimbing II atas segala kesabaran, ilmu dan masukannya selama membimbing penulis,
4. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku dosen penguji dan seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB,
5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Mas Heri, Mas Deni, Bu Ade, Bu Susi, Alm. Pak Bono, Pak Acep, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya),
6. Teman-teman satu bimbingan: Putri Utari, Novri Hendri dan M. Izzudin yang selalu saling mengingatkan dan memberi motivasi dalam penyusunan skripsi ini.
7. Isna Aldilla, atas doa, kasih sayang, motivasi, dan bantuannya.
8. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45: Vivi, Rischa, Wulan, Ana, Fenny, Aci, Gita, Bolo, Mega, Dina, Nurul, Yunda, Fitryah, Anggun, Finata, Dewi, Mya, Rini, Dono, Prama, Chastro, Fuka, Ade, Tiwi, Pipin, Fikri, Irwan, Ari, Herlan, Arbi, Dimas, Beni, Ito, Ryan, Risman, Wahidi, Ridwan, Nurhadi, Rianiko, Agustina, Haya, Nova, Dini, Heru, Aisyah, Bram, Anisa, Kunedi, Khafidz, Irma dan semua atas doa, dukungan semangatnya serta kebersamaannya selama 3,5 tahun di Math’45,
9. Kakak-kakak Matematika angkatan 44: Kak Ruhiyat, Kak Ririh, Kak Yuyun, Kak Nurul, Kak Imam, Kak Ali, Kak Rofi, Kak Mutia, Kak Ima, Kak Della, Kak Tyas, Kak Fitri, Kak Denda, Kak Wenti, Kak Deva, Kak Ayum, Kak Istiti, Kak Cepy, dkk, yang telah memberi bantuan serta dukungannya,
10. Adik-adik Matematika angkatan 46, 47, dan 48: Syukrio, Nurul, Evy, Qowi, Hendra, Rudi, Dian, Dio, Bari, Ihsan, Tita, Fenny, Uwie, Irma, Rahmi, Melisa, Windi, Putri, Yoyok, Andri, Reni, Dayat, dkk, yang telah memberi dukungan, doa, dan dukungannya, 11. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moral maupun material.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan, oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.
Bogor, Maret 2013
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Bogor pada tanggal 22 Oktober 1991 sebagai anak kedua dari dua bersaudara, anak dari pasangan Bapak Parno Siswanto dan Ibu Kokom. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) pada tahun 2002 di SDN Bantarjati V Bogor, dilanjutkan pendidikan menengah pertama (SMP) diselesaikan pada tahun 2005 di SMPN 3 Bogor dan pendidikan lanjutan menengah atas (SMA) diselesaikan pada tahun 2008 di SMAN 7 Bogor. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) sebagai staf Departemen Keilmuan periode 2009/2010 dan ketua Departemen Keilmuan periode 2010/2011. Berbagai kegiatan kepanitiaan penulis ikuti selama menjadi mahasiswa seperti Matematika Ria 2010 sebagai Sekretaris dan Matematika Ria 2011 sebagai Ketua.
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR GAMBAR ……… ix DAFTAR LAMPIRAN .……… ix I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ……… 1 1.2 Tujuan………. 1 1.3 Sistematika Penulisan ……… 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Teori Peluang………... 22.2 Matematika Keuangan ………... 3
2.3 Jenis–jenis Contract ……….. 4
III MODEL BINOMIAL UNTUK CONTINGENT CLAIM 3.1 Model Binomial satu langkah……….. 5
3.2 Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR).………... 7
3.3 Model Binomial Multiperiode………..……… 8
3.3.1 Binomial tree dua langkah ………. 8
3.3.2 Binomial tree tiga langkah ……….. 9
3.3.3 Model Binomial n-langkah ……… 9
IV APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM CONTRACT 4.1 Forward Contract ……… 11
4.2 Exhange Rate ………... 19
4.3 Forward Exchange Rate Contract ……… 20
V APLIKASI MODEL BINOMIAL PADA FORWARD CONTRACT & FORWARD EXCHANGE RATE CONTRACT STUDI KASUS : PT BINA PERTIWI 5.1 PT Bina Pertiwi ………... 24
5.2 Data ……….. 24
5.3 Perhitungan transaksi luar negeri ………... 26
5.4 Aplikasi Forward Contract ………. 28
5.5 Aplikasi Forward Exchange Rate Contract ……… 30
VI SIMPULAN DAN SARAN 6.1 Simpulan ………. 32
6.2 Saran ……… 2 32
DAFTAR PUSTAKA ………...… 33
LAMPIRAN……….….. 34
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Binomial tree satu langkah ...………...………... 7
2 Binomial tree satu langkah dalam model CRR ……….. 7
3 Binomial tree dua langkah ...……….. 8
4 Binomial tree dua langkah dalam model CRR ……….. 8
5 Binomial tree tiga langkah ...………...………... 9
6 Binomial tree tiga langkah dalam model CRR ……….. 9
7 Binomial tree n langkah ………. 9
8 Distribusi nilai dari 𝑆 10 ………..………. 10
9 Imbal hasil long forward contract …...………..……….. 11
10 Imbal hasil short forward contract ….……….... 11
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Pembuktian persamaan (3.13) dan persamaan (3.14) ……… 282 Pembuktian persamaan (3.15), (3.16), dan (3.17)……….……….. 30
3 Pembuktian persamaan (3.2) ...………....……… 32 4 Pembuktian persamaan (3.22) ………. 33 5 Pembuktian persamaan (3.26) ………. 34 6 Pembuktian persamaan (3.27) ………. 35 7 Pembuktian persamaan (3.28) ………. 36 8 Pembuktian persamaan (3.29) ………. 37 9 Pembuktian persamaan (4.2) ………... 39 10 Pembuktian persamaan (4.4) ………... 43
11 Perhitungan forward contract two-step ………..……… 44
Perhitungan forward contract three-step ………...………. 45
Perhitungan forward contract four-step ………. 46
Perhitungan forward contract five-step ……….. 47
12 Perhitungan forward exchange rate contract two-step ……….. 48
Perhitungan forward exchange rate contract three-step ……… 49
Perhitungan forward exchange rate contract four-step ……….. 50
Perhitungan forward exchange rate contract five-step ………... 51
I PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangInvestasi di sektor keuangan semakin berkembang saat ini. Investor tidak hanya berinvestasi pada aset riil seperti logam mulia, atau minyak, tetapi investor saat ini sudah mulai tertarik berinvestasi pada aset keuangan seperti saham, obligasi, dan mata uang. Saham dan obligasi saat ini sudah menjadi populer sebagai salah satu alternatif investasi bagi para investor.
Dalam berinvestasi, investor pasti berharap memperoleh return dengan biaya awal yang minimum. Namun, untuk memperoleh return, investor harus berani menanggung risiko tertentu yang membuat investor harus berhati-hati dalam menanamkan uangnya. Oleh sebab itu, berkembanglah produk-produk yang digunakan untuk memperkecil risiko yang sering disebut produk derivatif. Terdapat berbagai macam bentuk produk derivatif diantaranya adalah forward contract, future
contract, dan option.
Terdapat banyak model yang dapat digunakan untuk menentukan harga dari produk derivatif. Dalam karya ilmiah ini akan dikaji cara menentukan harga dari produk derivatif pada waktu dan keadaan diskret menggunakan struktur model binomial menurut Van der Hoek & Elliott dalam buku yang berjudul Binomial Models in Finance tahun 2006.
Model binomial adalah model sederhana yang memodelkan pergerakan harga aset dengan mengasumsikan bahwa terdapat dua kemungkinan pergerakan harga aset di masa mendatang yaitu harga akan naik atau harga akan turun. Model binomial yang mendasari ini adalah one-step binomial model (model binomial satu langkah) di mana harga yang diketahui hari ini dapat menjadi dua kemungkinan nilai di masa depan yaitu besok, atau minggu yang akan datang atau tahun yang akan datang.
Dengan menggunakan one-step binomial
model dapat ditentukan harga rasional suatu
aset hari ini. Struktur dalam one-step binomial
model dapat diperluas menjadi multi-step binomial model.
Dalam karya ilmiah ini model one-step
binomial dan multi-step binomial akan
digunakan untuk menentukan harga forward
contract, dan forward exchange rate contract.
Hasil penentuan harga forward contract dan forward exchange rate contract
diaplikasikan pada suatu studi kasus yaitu pada data transaksi luar negeri yang dilakukan oleh PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1. Mengkaji model binomial dalam
menentukan harga dari produk derivatif pada waktu dan keadaan diskret.
2. Mengkaji rumus untuk menentukan harga dari forward contract, dan forward
exchange rate contract menggunakan one-step binomial dan multi-step binomial model.
3. Mengaplikasikan rumus yang diperoleh pada data transaksi luar negeri yang dilakukan oleh PT Bina Pertiwi.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas enam bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan, dan sistematika penulisan. Bab kedua merupakan landasan teori yang berisi definisi dan teorema dasar. Bab ketiga menjelaskan model binomial baik model binomial satu langkah dan model binomial dengan periode lebih dari satu. Bab keempat merupakan pembahasan yang berisi penentuan rumus untuk harga dari
forward contract, dan exchange rate
menggunakan one-step binomial model dan
multi-step binomial. Bab lima berisi aplikasi
rumus yang telah ditentukan pada studi kasus. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dan saran dari keseluruhan penulisan.
II LANDASAN TEORI
2.1 Pengantar Teori PeluangDefinisi 1 (Percobaan acak)
Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui tetapi hasil pada percobaan selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak.
[Grimmett & Stirzaker 1992] Definisi 2 (Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω.
[Grimmett & Stirzaker 1992] Definisi 3 (Medan-𝝈)
Medan-𝜎 adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut: 1. ∅ ∈ ℱ. 2. Jika 𝐴1, 𝐴2, … ∈ ℱ , maka 1 i i A
∈ ℱ. 3. Jika 𝐴 ∈ ℱ, maka 𝐴𝑐∈ ℱ. [Hogg et al. 2005] Definisi 4 (Peubah acak)Misalkan ℱ adalah medan-𝜎 dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak 𝑋 adalah suatu fungsi 𝑋: Ω → ℝ dengan sifat bahwa 𝜔 ∈ Ω: 𝑋(𝜔) ≤ 𝑥 ∈ ℱ untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ.
[Grimmett & Stirzaker 1992] Definisi 5 (Peubah acak diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah atau berhingga. [Grimmett & Stirzaker 1992] Definisi 6 (Fungsi massa peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi 𝑝: Ω ⟶ [0,1] yang diberikan oleh
𝑝𝑋 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥
[Hogg et al. 2005] Definisi 7 (Percobaan binom)
Percobaan binom adalah percobaan yang memiliki ciri – ciri berikut:
1. Percobaan terdiri dari n ulangan.
2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan dengan berhasil atau gagal. 3. Peluang berhasil, yang dilambangkan p
untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah-ubah.
4. Ulangan-ulangan ini bersifat bebas satu sama lain.
[Walpole 1992] Definisi 8 (Peubah acak binom)
Peubah acak binom adalah peubah X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas dalam suatu percobaan binom.
[Walpole 1992] Definisi 9 (Sebaran binom)
Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan 𝑞 = 1 − 𝑝, maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X untuk mendapatkan keberhasilan x kali dalam n kali ulangan yang bebas adalah
𝑏 𝑥; 𝑛, 𝑝 = 𝑛𝑥 𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥
untuk 𝑥 = 0, 1, 2, … , 𝑛 dan 0 ≤ 𝑝, 𝑞 ≤ 1. [Walpole 1992] Definisi 10 (Nilai harapan)
Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋(𝑥), maka nilai
harapan dari X dinotasikan dengan E(X) adalah
𝐸 𝑋 = 𝑥
𝑥
𝑝X 𝑥 ,
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. [Hogg et al. 2005] Definisi 11 (Ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋(𝑥) dan nilai
harapan E(𝑋). Ragam dari X, dinotasikan dengan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) atau 𝜎𝑋2, adalah
𝜎𝑋2= E((𝑋 − E 𝑋 )2)
= 𝑥 − E 𝑋 2
𝑥
𝑝𝑋 𝑥 .
Definisi 12 (Kovarian)
Kovarian dari dua peubah acak X dan Y, ditulis 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 , didefinisikan sebagai berikut
𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝜇𝑋 𝑌 − 𝜇𝑌
di mana 𝜇𝑋 dan 𝜇𝑌 adalah nilai harapan dari X
dan Y.
[Ross 2009] Persamaan 𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 dapat diuraikan menjadi 𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝜇𝑋𝑌 − 𝜇𝑌𝑋 + 𝜇𝑋𝜇𝑌
= 𝐸 𝑋𝑌 − 𝜇𝑋𝐸 𝑌 − 𝜇𝑌𝐸 𝑋 + 𝜇𝑋𝜇𝑌
= 𝐸 𝑋𝑌 − 𝜇𝑋𝜇𝑌− 𝜇𝑌𝜇𝑋+ 𝜇𝑋𝜇𝑌
= 𝐸 𝑋𝑌 − 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 . (1.1)
2.2 Matematika keuangan Definisi 13 (Aset berisiko)
Aset berisiko adalah aset di mana nilai di masa yang akan datang tidak dapat diprediksi. [Capinski & Zastawniak 2003] Definisi 14 (Aset tidak berisiko)
Aset tidak berisiko adalah aset di mana nilai di masa mendatang sudah ditentukan. Aset tidak berisiko dapat diartikan sebagai banyaknya aset yang disimpan di bank.
[Capinski & Zastawniak 2003] Definisi 15 (Obligasi)
Obligasi adalah sertifikat atau surat berharga yang berisi kontrak antara investor sebagai pemberi dana dengan penerbitnya sebagai peminjam dana. Penerbit obligasi mempunyai kewajiban kepada pemegangnya untuk membayar bunga secara regular sesuai jadwal yang telah ditetapkan serta melunasi kembali pokok pinjaman pada saat jatuh tempo.
[Tandelilin. 2010] Definisi 16 (Underlying assets)
Underlying asset adalah aset yang dijadikan
sebagai objek atau dasar transaksi. Aset yang dijadikan sebagai underlying dapat berupa barang berwujud maupun tidak berwujud, seperti tanah, bangunan, berbagai jenis proyek pembangunan, serta aset non fisik lainnya seperti jasa. Yang termasuk underlying assets antara lain adalah komoditas (minyak, gas, emas), saham, mata uang, obligasi.
[Van der Hoek & Elliott 2006]
Definisi 17 (Produk derivatif)
Produk derivatif adalah investasi keuangan (atau kontrak) di mana harganya tergantung pada underlying assets.
[Van der Hoek & Elliott 2006] Definisi 18 (Contingent claim)
Contingent Claim adalah sekuritas yang
memberikan return yang tergantung pada nilai aset lain seperti harga komoditas, harga saham dan obligasi, atau nilai indeks pasar.
[Bodie et al. 2002] Definisi 19 (Short sell)
Short sell adalah menjual aset yang bukan
miliknya, investor meminjam aset dari pialang dan kemudian investor tersebut menjualnya. Di waktu tertentu di masa mendatang, investor tersebut akan mengembalikan dalam jumlah lembar yang sama.
[Tandelilin 2010] Definisi 20 (Peluang arbitrase)
Peluang arbitrase adalah peluang di mana sebuah aset atau portofolio aset yang nilainya hari ini adalah nol dan nilainya di semua kemungkinan keadaan waktu di masa depan tidak pernah negatif. Lebih mudah dikatakan bahwa peluang arbitrase adalah peluang untuk memulai hari ini dengan nol yang pada akhirnya mendapatkan keuntungan di waktu yang akan datang.
[Van der Hoek & Elliott 2006] Sebagai contoh diambil dari Capinski & Zastawniak (2003), kemungkinan mendapatkan keuntungan bebas risiko tanpa investasi awal dapat muncul ketika partisipan pasar membuat kesalahan. Misalkan dealer A di New York menawarkan untuk membeli
British pounds pada tingkat dA = 1.62 dollar
ke pound saat dealer B di London menjualnya pada tingkat dB = 1.60 dollar ke pound. Jika terdapat kasus demikian, investor tanpa modal awal dapat memiliki keuntungan dengan memperjualbelikan dA − dB = 0.02 dollar/pound. Solusi yang harus dilakukan adalah secara cepat mengharuskan dealer untuk menyesuaikan exchange rate sehingga kemungkinan keuntungan dapat hilang.
Misalkan 𝑊(𝑡) adalah peubah acak yang menunjukkan nilai aset (atau portofolio) pada waktu t maka 𝑊(0) adalah nilai aset hari ini. 𝑊 (𝑇, 𝜔) adalah nilai pada waktu T (masa yang akan datang) ketika keadaan di dunia adalah 𝜔, maka peluang arbitrase bagi beberapa aset keuangan W sedemikian rupa sehingga
∀𝜔 ∈ Ω, 𝑊 0, 𝜔 = 0 ∀𝜔 ∈ Ω, 𝑊 𝑇, 𝜔 ≥ 0 ∃𝜔 ∈ Ω, 𝑊 𝑇, 𝜔 > 0.
[Van der Hoek & Elliott 2006] Aksioma dasar yang digunakan adalah sebagai berikut.
Aksioma 1 (No arbitrage axiom)
Jika nilai awal portofolio adalah nol, yaitu
W (0) = 0, maka W(1) = 0 dengan peluang 1,
berarti bahwa tidak ada investor yang pasti mendapatkan uang tanpa risiko dan tanpa modal awal.
[Capinski & Zastawniak 2003] Menurut Capinski & Zastawniak (2003), jika portofolio melanggar aksioma ini, dapat dikatakan bahwa peluang arbitrase bisa terjadi. Pengecualian arbitrase dalam model matematika cukup mendekati kenyataan dan menjadi asumsi yang sangat penting dan menguntungkan, sehingga argumentasi berdasarkan no arbitrage axiom merupakan dasar dari financial mathematics.
Konsekuensi dari aksioma ini adalah sebagai berikut.
Teorema 1 (Law of One Price).
Misalkan terdapat dua aset A dan B dengan harga pada waktu 𝑡 = 0, 𝑃0 𝐴 ≥ 0, 𝑃0 𝐵 ≥
0. Seandainya ada waktu 𝑇 ≥ 0 sehingga harga A dan B sama di semua keadaan di dunia:
𝑃𝑇 𝐴 = 𝑃𝑇(𝐵)
maka
𝑃0 𝐴 = 𝑃0(𝐵).
[Van der Hoek & Elliott 2006] Bukti
Misalkan 𝑃0 𝐴 > 𝑃0(𝐵). Bentuklah
portofolio berikut pada waktu 𝑡 = 0, dimulai dengan $0.
Meminjam dan menjual A, berarti 𝑃0 𝐴 .
Membeli B, berarti −𝑃0(𝐵)
Sehingga 𝑃0 𝐴 − 𝑃0 𝐵 > 0, yang bisa
dipegang atau diinvestasikan. Catatan strategi ini memerlukan tidak adanya investasi awal. Pada waktu T, maka
Membeli dan mengembalikan A , berarti −𝑃𝑇 𝐴 .
Menjual B , berarti 𝑃𝑇 𝐵 .
Karena 𝑃𝑇 𝐴 = 𝑃𝑇 𝐵 , maka hasil yang
diperoleh adalah $0. Tetapi, masih mempunyai hasil yang positif sebesar 𝑃0 𝐴 − 𝑃0(𝐵), sehingga telah menunjukkan
adanya peluang arbitrase. Kontradiksi dengan aksioma dasar, sehingga haruslah 𝑃0 𝐴 =
𝑃0(𝐵). Untuk pembuktian 𝑃0 𝐴 < 𝑃0(𝐵)
argumen yang sama dapat digunakan.
Pada pembuktian ini diasumsikan tidak ada biaya transaksi dalam melaksanakan perdagangan, dan aset yang terlibat dapat dibeli dan dijual setiap saat. ∎ 2.3 Jenis-jenis Contract
Definisi 21 (Forward contact)
Forward contract adalah perjanjian di mana
investor diwajibkan untuk menjual atau membeli sebuah aset pada waktu yang telah ditentukan di waktu yang akan datang, disebut
delivery time, dengan harga yang telah
disepakati yang disebut forward price. [Van der Hoek & Elliott 2006] Menurut Capinski & Zastawniak (2003), dalam forward contract, investor yang setuju untuk untuk menjual suatu aset disebut mengambil short forward position dan investor yang setuju untuk untuk membeli suatu aset disebut mengambil long forward
position.
Definisi 22 (Exchange rate)
Exchange rates adalah nilai suatu mata
uang dalam bentuk mata uang lain.
III MODEL BINOMIAL UNTUK CONTINGENT CLAIM
Dalam tugas akhir ini akan dibahas modelbinomial untuk menentukan harga contingent
claim yang dijelaskan oleh Van der Hoek &
Elliott (2006). Model ini dapat dikerjakan dengan mudah karena berisi sedikit parameter dan struktur setiap node dalam tree
diasumsikan sederhana.
3.1 Model Binomial satu langkah
Model binomial sederhana satu langkah dapat digunakan untuk menentukan harga untuk contingent claim hari ini. Dalam model ini terdapat dua waktu, untuk memudahkan akan disebut 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 1. Waktu pada 𝑡 = 0 menunjukkan waktu sekarang, dan waktu pada 𝑡 = 1 menunjukkan waktu mendatang. Dilihat dari 𝑡 = 0, terdapat dua keadaan di saat 𝑡 = 1 yaitu upstate () dan
downstate ().
Tradeable asset dapat diartikan bahwa
aset dapat dibeli atau dijual berapapun banyaknya dan kapanpun permintaannya. Diasumsikan untuk setiap aset bahwa harga membeli dan menjual adalah sama pada waktu yang sama.
Dalam model yang digunakan terdapat dua
tradeable asset, yaitu:
1. Aset berisiko 2. Aset tidak berisiko. Aset berisiko
Pada waktu 𝑡 = 0, aset berisiko S mempunyai nilai yang diketahui 𝑆 0 > 0. Pada 𝑡 = 1, aset berisiko memiliki dua kemungkinan nilai yang berbeda (karena nilainya tidak pasti atau berisiko), yang dilambangkan 𝑆(1, ↑) dan 𝑆(1, ↓). Diasumsikan bahwa 𝑆 1, ↑ > 𝑆 1, ↓ . Contoh aset berisiko adalah saham, logam mulia, valuta asing.
Gambar 3.1 Binomial tree satu langkah.
Aset tidak berisiko
Pada waktu 𝑡 = 0, aset tidak berisiko B mempunyai nilai 𝐵 0 = 1. Pada waktu 𝑡 = 1, aset tidak berisiko mempunyai nilai yang sama di kedua keadaan pada 𝑡 = 1 (karena tidak berisiko), sehingga ditulis 𝐵 1, ↑ = 𝐵 1, ↓ = 𝑅 = 1 + 𝑟. Biasanya 𝑅 ≥ 1 dan 𝑟 ≥ 0, di mana 𝑟 adalah bunga bank. Biasanya diasumsikan bahwa
𝑆 1, ↓ < 𝑅𝑆 0 < 𝑆 1, ↑ . (3.1) Contoh aset tidak berisiko adalah obligasi dan deposito.
Relative pricing
Misalkan 𝑋(1) adalah portofolio yang akan dibayar pada waktu 𝑡 = 1. Pada model, 𝑋(1) dapat mempunyai dua nilai yaitu 𝑋(1, ↑) dan 𝑋(1, ↓). Akan ditentukan 𝑋(0), harga X pada waktu 𝑡 = 0. Nilai 𝑋(1) tidak pasti karena 𝑋 1 adalah fungsi dari 𝑆(1) yang tidak pasti, sehingga X adalah aset yang nilainya tergantung nilai S, X merupakan
derivative atau contingent claim.
Diasumsikan bahwa dengan memiliki model S, dapat ditentukan 𝑋(0) menggunakan
relative pricing.
Terdapat 2 tahap dalam relative pricing 1. Tentukan 𝐻0 dan 𝐻1 sehingga
𝑋 1 = 𝐻0𝐵 1 + 𝐻1𝑆 1 . (3.2)
Interpretasi sebagai berikut:
Didefinisikan bahwa 𝐻0 mewakili banyaknya
aset tidak berisiko pada 𝑡 = 0 dan 𝐻1
mewakili banyaknya aset berisiko pada 𝑡 = 0. Pada 𝑡 = 1, tingkat kepemilikan tidak berubah, tetapi underlying assets mengubah nilai menjadi 𝐻0𝐵 1 + 𝐻1𝑆(1). Kedua sisi
adalah suatu besaran yang acak dan persamaan (3.2) berarti
𝑋 1, ↑ = 𝐻0𝑅 + 𝐻1𝑆(1, ↑) (3.3)
𝑋 1, ↓ = 𝐻0𝑅 + 𝐻1𝑆 1, ↓ . (3.4)
𝐻1= 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ (3.5) dan 𝐻0= 𝑋 1, ↑ − 𝐻1𝑆 1, ↑ 𝑅 = 𝑋 1, ↑ −𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑆(1, ↓)𝑆 1, ↑ 𝑅 = 𝑆 1, ↑ 𝑋 1, ↓ − 𝑆 1, ↓ 𝑋 1, ↑ 𝑅 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ (3.6)
2. Menggunakan one price theorem , yang merupakan akibat dari no arbitrage
axiom harus diperoleh
𝑋 0 = 𝐻0+ 𝐻1𝑆 0 . (3.7)
Dengan mensubtitusikan nilai 𝐻0 dan 𝐻1
persamaan (3.5) dan (3.6), maka nilai 𝑋 0 pada persamaan (3.7) akan menjadi sebagai berikut 𝑋 0 = 𝐻0+ 𝐻1𝑆(0) 𝑋 0 = 𝑆 1, ↑ 𝑋 1, ↓ − 𝑆 1, ↓ 𝑋 1, ↑ 𝑅 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ + 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑆 0 =𝑋 1, ↑ 𝑅𝑆 0 − 𝑆 1, ↓ + 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 𝑅 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ = 1 𝑅 𝜋 𝑋 1, ↑ + 1 − 𝜋 𝑋 1, ↓ di mana 𝜋 = 𝑅𝑆 0 − 𝑆 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ > 0 (3.8) 1 − 𝜋 = 𝑆 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ > 0 sehingga 𝑋 0 = 1 𝑅 𝜋 𝑋 1, ↑ + 1 − 𝜋 𝑋 1, ↓ . (3.9) 𝑹isk neutral probability
Untuk semua nilai 0 ≤ 𝑝 ≤ 1, didefinisikan 𝐸𝑝 𝑋(1) sebagai berikut:
𝐸𝑝 𝑋(1) = 𝑝 𝑋 1, ↑ + 1 − 𝑝 𝑋 1, ↓ ,
(3.10) di mana 𝑝 adalah peluang (dilihat pada 𝑡 = 0) akan terjadi upsate (↑) pada 𝑡 = 1. Misalkan 𝑋 adalah tradeable asset di mana nilai pada 𝑡 = 0 adalah 𝑋(0) dan nilai pada 𝑡 = 1 adalah 𝑋 1, ↑ atau 𝑋 1, ↓ tergantung apakah terjadi
upstate atau downstate. Berdasarkan rumus
umum harga dalam model binomial satu langkah 𝑋 0 = 1 𝑅 𝜋 𝑋 1, ↑ + 1 − 𝜋 𝑋 1, ↓ = 1 𝑅 𝐸 𝜋 𝑋 1 . (3.11)
Didefinisikan return 𝑟𝑋 untuk aset X
𝑟𝑋 =
𝑋 1 − 𝑋(0) 𝑋(0) ,
(3.12) di mana dapat ditulis
𝑟𝑋 ↑ = 𝑋 1, ↑ − 𝑋(0) 𝑋(0) 𝑟𝑋 ↓ = 𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) 𝑋(0) .
Lema 1. Untuk semua 0 ≤ 𝑝, 𝑞 ≤ 1, berlaku 𝐸𝑝 𝑟 𝑋 − 𝐸𝑞 𝑟𝑋 = 𝑝 − 𝑞 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0 . (3.13) 𝐸𝜋 𝑟 𝑋 = 𝑟 = 𝑅 − 1. (3.14) Bukti: (Lampiran 1)
Akibat 1 𝐸𝑝 𝑟 𝑋 − 𝑟 = 𝑝 − 𝜋 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0 . (3.15) 𝐸𝑝 𝑟 𝑋 − 𝑟𝑋 ↑ = 𝑝 − 1 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0 . (3.16) 𝐸𝑝 𝑟 𝑋 − 𝑟𝑋 ↓ = 𝑝 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0 . (3.17) Bukti: (Lampiran 2) Definisi 22
Diberikan 0 ≤ 𝑝 ≤ 1 dan 𝑋, 𝑌 adalah dua
tradeable asset. Nilai kedua aset tersebut pada
waktu 𝑡 = 0 adalah 𝑋(0) dan 𝑌(0). Pada waktu 𝑡 = 1 pada keadaan ↑ (atau ↓) nilai kedua aset tersebut adalah 𝑋 1, ↑ , 𝑌 1, ↑ (atau 𝑋 1, ↓ , 𝑌 1, ↓ ). Kemudian didefinisikan 𝑉𝑋,𝑌𝑝 sebagai
𝑉𝑋 ,𝑌𝑝 = 𝐶𝑜𝑣𝑝(𝑟 𝑋, 𝑟𝑌)
Dari persamaan (1.1) diperoleh 𝑉𝑋,𝑌𝑝 = 𝐸𝑝 𝐸𝑃 𝑟 𝑋 − 𝑟𝑋 𝐸𝑃 𝑟𝑌 − 𝑟𝑌 (3.18) = 𝐸𝑝 𝑟 𝑋𝑟𝑌 − 𝐸𝑝 𝑟𝑋 𝐸𝑝 𝑟𝑌 (3.19) Lema 2 𝑉𝑋 ,𝑌𝑝 = 𝑝 1 − 𝑝 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0 𝑌 1, ↑ − 𝑌 1, ↓ 𝑌 0 . (3.20) Bukti: (Lampiran 3) Akibat 2
Ragam dari 𝑋 adalah 𝜎𝑋2 ≡ 𝑉𝑋,𝑋 𝑝 = 𝑝 1 − 𝑝 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0 2 . (3.21) Asumsikan bahwa 𝐸𝑝 𝑟 𝑋 ≥ 𝑟. Dengan
asumsi ini diperoleh lema berikut. Lema 3 Diberikan 0 < 𝑝 < 1, maka 𝐸𝑝 𝑟 𝑋 − 𝑟 = 𝑝 − 𝜋 𝑝 (1 − 𝑝)𝜎𝑋. (3.22) Bukti: (Lampiran 4)
Persamaan (3.22) menjelaskan tentang return yang diharapkan yang berasal dari aset 𝑋 berdasarkan volatilitas (ragam). Dikatakan bahwa aset tersebut dikatakan berisiko jika nilai volatilitasnya (𝜎𝑋) besar. Berdasarkan
persamaan (3.22) jika nilai volatilitasnya adalah nol, maka return yang diharapkan hanya 𝑟 (bunga bebas risiko), tetapi ketika volatilitasnya tidak sama dengan nol akan diperoleh return yang lebih besar. Hasil ini sesuai dengan kenyataan bahwa jika ingin
mendapatkan return yang tinggi maka harus menanggung lebih banyak risiko. Akan tetapi, terdapat satu situasi di mana hasil tersebut tidak berjalan, yaitu ketika 𝑝 = 𝜋. Pada keadaan ini return yang diharapkan akan selalu bernilai 𝑟 apapun risiko yang diperoleh. Jika investor (secara subjektif) berpikir peluang besar terjadi pada waktu 𝑡 = 1 sama dengan 𝜋, maka investor tersebut tidak peka terhadap risiko sehingga investor tersebut termasuk risk-neutral.
3.2 Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Model CRR adalah model untuk menentukan rumus umum harga contingent
claim di mana harga aset di masa mendatang
(T) akan naik atau turun dengan konstan yaitu sebesar 𝑢 atau 𝑑 pada setiap step waktu. Untuk menentukan rumus umum harga
contingent claim dengan binomial satu
langkah menggunakan model CRR, notasi-notasi yang dipakai adalah:
𝑆 0 = 𝑆 > 0
𝑆 1, ↑ = 𝑢𝑆, dengan peluang 𝑝 𝑆 1, ↓ = 𝑑𝑆, dengan peluang 1 − 𝑝
0 j j1 0 j j1 j2 0 t t1
Gambar 3.2 Binomial tree satu langkah dalam
model CRR. diperoleh 𝜋 = 𝑅𝑆 0 − 𝑆 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ = 𝑅 − 𝑑 𝑢 − 𝑑 (3.23) 1 − 𝜋 = 𝑆 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ = 𝑢 − 𝑅 𝑢 − 𝑑 (3.24) sehingga rumus umum harga untuk contingent
claim dalam model binomial satu langkah
menggunakan model CRR adalah 𝑋 0 = 1 𝑅 𝑅 − 𝑑 𝑢 − 𝑑 𝑋 1, ↑ + 𝑢 − 𝑅 𝑢 − 𝑑 𝑋 1, ↓ . (3.25) [Van der Hoek & Elliott 2006]
Return untuk aset 𝑆 dalam model binomial satu langkah, dapat ditulis
𝑟𝑆 1 = 𝑢 − 1𝑑 − 1 dengan peluang 𝑝 dengan peluang 1 − 𝑝 . (3.26) Bukti: (Lampiran 5)
3.3 Model Binomial Multiperiode 3.3.1 Binomial tree dua langkah
Dalam model binomial dua langkah terdapat 3 keadaan pada 𝑡 = 1.
Gambar 3.3 Binomial tree dua langkah.
Pada 𝑗 = 0 yaitu node 0,0 harga aset bernilai 𝑆 0,0 = 𝑆(0).
Pada 𝑗 = 1, harga aset akan bernilai 𝑆 1, ↑ ( di mana dapat ditulis 𝑆 1,1 ) dengan peluang 𝑝 dan 𝑆 1, ↓ ( di mana dapat di tulis 𝑆 1,0 ) dengan peluang 1 − 𝑝.
Pada 𝑗 = 2, harga aset akan menjadi 3 keadaan yaitu 𝑆 2, ↑, ↑ = 𝑆 2,2 , 𝑆 2, ↑, ↓ = 𝑆 2,1 , dan 𝑆 2, ↓, ↓ = 𝑆 2,0 dengan peluang masing-masing adalah 𝑝2, 2𝑝 1 − 𝑝 , dan (1 − 𝑝)2.
Model binomial dua langkah dapat dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi – notasi yang digunakan adalah:
𝑆 0,0 = 𝑆 0 𝑆 1,1 = 𝑢𝑆 0 𝑆 1,0 = 𝑑𝑆 0 𝑆 2,2 = 𝑢2𝑆(0) 𝑆 2,1 = 𝑢𝑑𝑆(0) 𝑆 2,0 = 𝑑2𝑆 0 .
Gambar model binomial dua langkah menggunakan model CRR ditunjukkan dalam Gambar 3.4 di mana nilai 𝑆(0) adalah 1 untuk memudahkan perhitungan.
Gambar 3.4 Binomial tree dua langkah dalam model CRR.
Return 𝑟𝑆(2) untuk aset 𝑆, dapat ditulis
𝑟𝑆 2 = 𝑢 − 1𝑑 − 1
dengan peluang 𝑝 dengan peluang 1 − 𝑝 .
(3.27) Bukti: (Lampiran 6)
Return ini sama dengan return yang
diperoleh pada model binomial satu langkah karena return dihitung berdasarkan pada harga aset sebelumnya.
j=2 j=1
3.3.2 Binomial tree tiga langkah
Dalam model binomial tiga langkah terdapat 4 keadaan pada 𝑡 = 1 .
Gambar 3.5 Binomial tree tiga langkah. Pada 𝑗 = 0 yaitu node 0,0 harga aset
bernilai 𝑆 0,0 = 𝑆(0).
Pada 𝑗 = 1, harga aset akan bernilai 𝑆 1, ↑ ( di mana dapat ditulis 𝑆 1,1 ) dengan peluang 𝑝 dan 𝑆 1, ↓ ( di mana dapat di tulis 𝑆 1,0 ) dengan peluang 1 − 𝑝.
Pada 𝑗 = 2, harga aset akan menjadi 3 keadaan yaitu 𝑆 2, ↑, ↑ = 𝑆 2,2 , [𝑆 2, ↑, ↓ = 𝑆 2, ↓, ↑ = 𝑆 2,1 ], dan 𝑆 2, ↓, ↓ = 𝑆 2,0 dengan peluang masing-masing adalah 𝑝2, 2𝑝 1 − 𝑝 ,
dan (1 − 𝑝)2.
Pada 𝑗 = 3, harga aset akan menjadi 4 keadaan yaitu 𝑆 3, ↑, ↑, ↑ = 𝑆 3,3 , 𝑆 3, ↑, ↑, ↓ = 𝑆 3, ↑, ↓, ↑ = 𝑆 3, ↓, ↑, ↑ = 𝑆 3,2 , 𝑆 3, ↑, ↓, ↓ = 𝑆 3, ↓, ↑, ↓ = 𝑆 3, ↓, ↓, ↑ = 𝑆 3,1 , dan 𝑆 3, ↓, ↓, ↓ = 𝑆 3,0 dengan peluang masing-masing adalah 𝑝2, 3𝑝2 1 − 𝑝 , 3𝑝 1 − 𝑝 2 dan (1 − 𝑝)3.
Model binomial tiga langkah dapat dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi – notasi yang digunakan adalah:
𝑆 0,0 = 𝑆 0 𝑆 1,1 = 𝑢𝑆 0 𝑆 1,0 = 𝑑𝑆 0 𝑆 2,2 = 𝑢2𝑆(0) 𝑆 2,1 = 𝑢𝑑𝑆(0) 𝑆 2,0 = 𝑑2𝑆(0) 𝑆 3,3 = 𝑢3𝑆 0 𝑆 3,2 = 𝑢2𝑑𝑆 0 𝑆 3,1 = 𝑢𝑑2𝑆 0 𝑆 3,0 = 𝑑3𝑆 0 .
Gambar model binomial tiga langkah menggunakan model CRR ditunjukkan dalam Gambar 3.6 di mana nilai 𝑆(0) adalah 1 untuk memudahkan perhitungan.
Gambar 3.6 Binomial tree tiga langkah dalam model CRR.
Return 𝑟𝑆(3) untuk aset 𝑆, dapat ditulis
𝑟𝑆 3 = 𝑢 − 1𝑑 − 1
dengan peluang 𝑝 dengan peluang 1 − 𝑝 .
(3.28) Bukti: (Lampiran 7)
Return ini sama dengan return yang
diperoleh pada model binomial satu langkah dan model binomial dua langkah karena
return dihitung berdasarkan pada harga aset
sebelumnya.
3.3.3 Model binomial n-langkah
Setiap node dalam tree ditulis (𝑘, 𝑗) dimana k melambangkan langkah 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … 𝑛. dan penulisan j dalam node melambangkan keadaan 𝑗 = 0, 1, 2, 3, … , 𝑘. Pada langkah ke k terdapat 𝑘 + 1 keadaan. Jika berada pada node (𝑘, 𝑗), maka node yang mungkin adalah salah satu dari (𝑘 + 1, 𝑗 + 1) atau (𝑘 + 1, 𝑗).
Gambar 3.7 Binomial tree n-langkah. j=1 j=0 j=2 j=3 1 t 0 t t1 0 t
peluang peluang peluang peluang
Untuk setiap 𝑛𝑗 keadaan, peluang masing–masing keadaan sama dengan 𝑝𝑗(1 − 𝑝)𝑛−𝑗.
Model binomial n-langkah dapat dijelaskan menggunakan model CRR. Dalam
n-step tree untuk harga aset setiap keadaan
(atau jalur yang melewati tree) di mana perubahan harga secara tepat j naik ke atas dan n-j turun ke bawah menghasilkan nilai aset 𝑆(0)𝑢𝑗𝑑𝑛−𝑗 pada waktu n. Untuk setiap
𝑛
𝑗 keadaan, peluang masing–masing keadaan sama dengan 𝑝𝑗(1 − 𝑝)𝑛 −𝑗, sehingga
dapat ditulis
𝑆 𝑛, 𝑗 = 𝑆(0)𝑢𝑗𝑑𝑛−𝑗
dengan peluang 𝑛
𝑗 𝑝𝑗(1 − 𝑝)𝑛−𝑗
untuk setiap 𝑗 = 0, 1, 2, … , 𝑛. Nilai aset 𝑆(𝑛) pada waktu 𝑛 adalah variabel acak diskret dengan 𝑛 + 1 nilai aset yang berbeda.
Distribusi nilai 𝑆 𝑛 dapat dilihat dalam gambar 3.8 untuk 𝑛 = 10, 𝑝 = 0.5, 𝑆 0 = 1, 𝑢 = 1.1, dan 𝑑 = 0.9.
Gambar 3.8 distribusi nilai dari 𝑆 10 . Nilai dari 𝑗 yang merupakan pergerakan nilai ke atas adalah variabel acak yang menyebar binomial. Hal yang sama juga berlaku untuk nilai dari 𝑛 − 𝑗 yang merupakan pergerakan nilai ke bawah. Kemudian dapat dikatakan bahwa proses perubahan harga aset mengikuti binomial tree. Dalam n-langkah, binomial dilakukan dalam semua keadaan. Setiap jalur dalam n-langkah bergerak naik dan turun dan setiap step memiliki 2𝑛 elemen
nilai.
Return 𝑟𝑆(𝑛) untuk aset 𝑆 dapat ditulis
𝑟𝑆 𝑛 = 𝑢 − 1𝑑 − 1
dengan peluang 𝑝 dengan peluang 1 − 𝑝.
(3.29) Bukti: (Lampiran 8)
Return ini sama dengan return yang
diperoleh pada model binomial satu langkah dan model binomial dua langkah karena
return dihitung berdasarkan pada harga aset
sebelumnya.
S(10) S(10) S(10) S(10)
imbal hasil
imbal hasil
harga
harga
F
IV APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM CONTRACT
Pada bagian ini akan dibahas aplikasimodel binomial dalam menentukan harga
contingent claim yaitu harga forward contract dan forward exchange rate contract.
4.1 Forward Contract
Forward contract adalah sebuah perjanjian untuk membeli atau menjual aset (S) di masa mendatang (T) untuk harga yang telah disepakati (F). Tidak ada pembayaran yang dilakukan di awal (pada saat 𝑡 = 0) dan harga F disebut forward price. Lebih jauh, long forward contract adalah kesepakatan yang mengikat untuk membeli, sementara short forward contract adalah kesepakatan yang mengikat untuk menjual. Kata “mengikat” membedakan kontrak ini dengan option contract.
Misalkan 𝑆(0) adalah harga underlying
asset hari ini dan 𝑆(𝑇) adalah harga
underlying asset pada waktu T dan F adalah
harga yang disepakati. Imbal hasil dari long
forward contract adalah 𝑆 𝑇 – 𝐹 (membeli dengan harga F dan menjual dengan harga
S(T)). Hasil ini mungkin positif, negatif atau
nol tergantung pada keadaan pada waktu T. Tidak ada pembayaran di awal yaitu pada saat 𝑡 = 0, sehingga nilai sekarang dari
forward contract adalah nol (diasumsikan
bahwa tidak ada biaya transaksi). Diagram imbal hasil dari long forward contract ditunjukkan pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 Imbal hasil dari long forward
contract.
Imbal hasil untuk long forward contract akan bernilai negatif apabila nilai F lebih besar dibandingkan S(T), bernilai nol apabila nilai F sama dengan S(T), dan bernilai positif apabila nilai F lebih kecil dibandingkan dengan S(T).
Hasil dari short forward contract adalah 𝐹 − 𝑆(𝑇) (Menjual dengan harga F dan membeli dengan harga S(T)). Hasil ini dapat bernilai positif, negatif atau nol tergantung pada keadaan pada waktu T. Tidak ada pembayaran di awal dan tidak ada biaya transaksi. Diagram ditunjukkan pada Gambar 4.2
Gambar 4.2 Imbal hasil dari short forward
contract.
Imbal hasil untuk short forward contract akan bernilai negatif apabila nilai F lebih besar dibandingkan S(T), bernilai nol apabila nilai F sama dengan S(T), dan bernilai positif apabila nilai F lebih kecil dibandingkan dengan S(T).
Aplikasi model binomial dalam forward
contract dalam tugas akhir ini adalah untuk
menentukan nilai forward contract (F). Model Binomial satu langkah
Dalam model binomial satu langkah, terdapat dua waktu yaitu 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 𝑇. Akan dicoba dirumuskan forward contract menggunakan model binomial satu langkah. Nilai long forward contract pada waktu 𝑡 = 𝑇 adalah
𝑋 𝑇 = 𝑆 𝑇 − 𝐹. Nilai di atas akan menjadi
𝑋 𝑇, ↑ = 𝑆 𝑇, ↑ − 𝐹 𝑋 𝑇, ↓ = 𝑆 𝑇, ↓ − 𝐹
dan nilai F disetujui pada waktu 𝑡 = 0, sehingga F dapat ditulis F(0) atau F(0,0). Nilai F dalam model binomial satu langkah dirumuskan berdasarkan teorema berikut
S(T)-F
S(T)
F-S(T)
S(T)
Teorema 4.1
Misalkan terdapat sebuah aset S dengan harga pada waktu t = 0 adalah S(0) ≥ 0 dan harga pada waktu T adalah S(T). Dengan tidak ada pembayaran di awal maka nilai
forward contract berdasarkan model binomial satu langkah pada waktu t = 0 adalah
𝐹 = 𝑆 0 𝑅.
Bukti:
Model dependent
Berdasarkan one-step binomial asset
pricing model. Misalkan pada waktu T, 𝑆(𝑇) sama dengan 𝑆(𝑇, ↑) atau 𝑆(𝑇, ↓). Pada waktu 𝑡 = 0 nilai forward contract adalah nol, sehingga berdasarkan persamaan (3.9) diperoleh 0 = 1 𝑅 𝜋 𝑆 𝑇, ↑ − 𝐹 + 1 − 𝜋 𝑆 𝑇, ↓ − 𝐹 0 = 1 𝑅 𝜋 𝑆 𝑇, ↑ + 1 − 𝜋 𝑆 𝑇, ↓ − 𝐹 𝑅 0 = 𝑆 0 − 𝐹 𝑅 𝐹 = 𝑆 0 𝑅. ∎ Model independent Asumsikan bahwa 𝐹 − 𝑆 0 𝑅 > 0.
Pada waktu 𝑡 = 0, pinjam 𝑆(0) dalam bentuk tunai, beli satu aset, lakukan (short)
forward contract untuk menjual aset dengan
harga F pada waktu T, maka diperoleh biaya bersih sebesar $0 pada waktu 𝑡 = 0. Pada waktu akhir T, jual aset dengan harga F dan membayar kembali pinjaman dengan bunga yaitu 𝑆(0)𝑅. Posisi bersih adalah 𝐹 − 𝑆 0 𝑅 > 0, yang jelas merupakan suatu keuntungan. Jadi, dengan tidak ada pengeluaran bersih di 𝑡 = 0, bisa menghasilkan keuntungan yang positif pada waktu T. Ini adalah sebuah arbitrase, yang melanggar aksioma dasar kita.
Asumsikan sekarang
𝑆 0 𝑅 − 𝐹 > 0
argumen yang sama bekerja. Pada waktu 𝑡 = 0, short sell satu aset, menginvestasikan jumlah tersebut 𝑆(0) di bank sehingga dapat meningkat karena memperoleh bunga
sebesar R, lakukan long forward contract untuk membeli aset pada waktu t dengan harga F dan diperoleh biaya bersih sebesar $0 pada waktu 𝑡 = 0. Pada waktu akhir T, beli aset dengan harga F dan mengembalikannya. Pembelian aset didanai dari investasi 𝑆(0)𝑅. posisi bersih adalah 𝑆 0 𝑅 − 𝐹 > 0, yang jelas merupakan suatu keuntungan. Jadi, dengan tidak ada pengeluaran bersih di 𝑡 = 0, bisa menghasilkan keuntungan yang positif pada saat T. Ini adalah sebuah arbitrase yang melanggar aksioma dasar. ∎ Model binomial dua langkah
Dijelsakan sebelumnya bahwa F(0,0) ditulis untuk menegaskan bahwa F disetujui pada waktu t=0, nilai long forward contract pada waktu t=2 adalah sebagai berikut
𝑋 2,2 = 𝑆 2,2 − 𝐹 0,0 𝑋 2,1 = 𝑆 2,1 − 𝐹(0,0) 𝑋 2,0 = 𝑆 2,0 − 𝐹(0,0) Nilai F(0,0) dapat dihitung sebagai berikut
𝑋 1,0 = 1 𝑅 1,0 𝜋 𝑋 2,1 − 1 − 𝜋 𝑋 2,0 = 1 𝑅 1,0 [𝜋 𝑆(2,1) − 𝐹(0,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(2,0) − 𝐹(0,0) ] = 1 𝑅 1,0 𝜋 𝑆 2,1 − 1 − 𝜋 𝑆 2,0 − 𝐹(0,0) 𝑅(1,0) = 𝑆 1,0 −𝐹 0,0 𝑅 1,0 .
𝑋 1,1 = 1 𝑅 1,1 𝜋 𝑋 2,2 − 1 − 𝜋 𝑋 2,1 = 1 𝑅 1,1 [𝜋 𝑆(2,2) − 𝐹(0,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(2,1) − 𝐹(0,0) ] = 1 𝑅 1,1 𝜋 𝑆 2,2 − 1 − 𝜋 𝑆 2,1 − 𝐹(0,0) 𝑅(1,1) = 𝑆 1,1 −𝐹 0,0 𝑅 1,1 . 𝑋 0,0 = 1 𝑅 0,0 𝜋 𝑋 1,1 − 1 − 𝜋 𝑋 1,0 = 1 𝑅 0,0 𝜋 𝑆(1,1) − 𝐹(0,0) 𝑅(1,1) − 1 − 𝜋 𝑆(1,0) − 𝐹(0,0) 𝑅(1,0) = 1 𝑅(0,0) 𝜋 𝑆 1,1 − 1 − 𝜋 𝑆(1,0) − 𝜋 𝐹(0,0) 𝑅(0,0)𝑅(1,1)− 1 − 𝜋 𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1,0 . Diasumsikan 𝑅 1,1 = 𝑅 1,0 = 𝑅(1), maka 𝑋 0,0 = 1 𝑅 0,0 𝜋 𝑆 1,1 − 1 − 𝜋 𝑆 1,0 − 𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 = 𝑆 0,0 − 𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 .
Diketahui bahwa nilai forward contract pada waktu t = 0 adalah nol, maka
0 = 𝑆(0,0) − 𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑆 0,0 = 𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝐹 0,0 = 𝑆 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 dengan 𝑃 0,2 = 1 𝑅 0,0 𝑅 1
Maka nilai F(0,0) dapat ditulis sebagai berikut
𝐹 0,0 =𝑆 0,0 𝑃 0,2 .
Nilai X pada (1,0) dan (1,1) dari long
forward contract yang dimulai pada waktu t = 0 sampai waktu t = 2 adalah
𝑋 1,0 = 𝑆(1,0) −𝐹(0,0) 𝑅(1,0) 𝑋 1,1 = 𝑆(1,1) −𝐹(0,0) 𝑅(1,1) 𝑅 1,0 = 𝑅 1 = 1 𝑃01 1 𝑅 1,1 = 𝑅 1 = 1 𝑃11 1
di mana 𝑃01 1 nilai IDR pada waktu 𝑡 =
1 dengan keadaan 0 jika pada 𝑡 = 2 terdapat 1 IDR dan 𝑃11 1 nilai IDR pada waktu
𝑡 = 1 dengan keadaan 1 jika pada 𝑡 = 2 terdapat 1 IDR. Maka nilai X(1,0) dan X(1,1) akan menjadi 𝑋 1,0 = 𝑆(1,0) −𝑆 0,0 𝑃 0,2 𝑃0 1 1 𝑋 1,1 = 𝑆 1,1 −𝑆 0,0 𝑃 0,2 𝑃1 1 1 .
Dapat dihitung F(1,1) yaitu nilai forward
contract dari S pada waktu t = 1 yang
dimulai pada waktu t = 0. Nilai F(1,1) dipengaruhi nilai S(2,2) dan S(2,1), maka nilai forward contract pada (1,1) dapat dihitung sebagai berikut
𝑋 2,2 = 𝑆 2,2 − 𝐹 1,1 𝑋 2,1 = 𝑆 2,1 − 𝐹 1,1 . 𝑋 1,1 = 1 𝑅 1,1 𝜋 𝑋 2,2 − 1 − 𝜋 𝑋 2,1 = 1 𝑅 1,1 [𝜋 𝑆(2,2) − 𝐹(1,1) − (1 − 𝜋) 𝑆(2,1) − 𝐹(1,1) ] = 1 𝑅 1,1 𝜋 𝑆 2,2 − 1 − 𝜋 𝑆 2,1 − 𝐹(1,1) 𝑅(1,1)
𝑋 1,1 = 𝑆 1,1 −𝐹 1,1 𝑅 1,1 . Dengan nilai 𝑋 1,1 = 0, maka
𝐹 1,1 = 𝑆 1,1 𝑅 1,1 =𝑆(1,1) 𝑃11 1
.
Selain itu nilai F(1,0) juga dapat dihitung. Nilai F(1,0) dipengaruhi nilai S(2,0) dan S(2,1) sehingga perhitungan F(1,0) adalah sebagai berikut
𝑋 2,1 = 𝑆 2,1 − 𝐹(1,0) 𝑋 2,0 = 𝑆 2,0 − 𝐹 1,0 . 𝑋 1,0 = 1 𝑅 1,0 𝜋 𝑋 2,1 − 1 − 𝜋 𝑋 2,0 = 1 𝑅 1,0 [𝜋 𝑆(2,1) − 𝐹(1,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(2,0) − 𝐹(1,0) ] = 1 𝑅 1,0 𝜋 𝑆 2,1 − 1 − 𝜋 𝑆 2,0 − 𝐹(1,0) 𝑅(1,0) = 𝑆 1,0 −𝐹 1,0 𝑅 1,0 . Dengan nilai 𝑋 1,0 = 0, Maka
𝐹 1,0 = 𝑆 1,0 𝑅 1,0 =𝑆(1,0) 𝑃01 1
.
Model binomial tiga langkah
Perhitungan untuk menentukan nilai
F(0,0) pada long forward contract dalam
model binomial tiga langkah adalah sebagai berikut.
Nilai long forward contract pada 𝑡 = 3 adalah 𝑋 3,3 = 𝑆 3,3 − 𝐹 0,0 𝑋 3,2 = 𝑆 3,2 − 𝐹 0,0 𝑋 3,1 = 𝑆 3,1 − 𝐹(0,0) 𝑋 3,0 = 𝑆 3,0 − 𝐹(0,0) 𝑋 2,0 = 1 𝑅 2,0 𝜋 𝑋 3,1 − 1 − 𝜋 𝑋 3,0 = 1 𝑅 2,0 [𝜋 𝑆(3,1) − 𝐹(0,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,0) − 𝐹(0,0) ] = 1 𝑅 2,0 𝜋 𝑆 3,1 − 1 − 𝜋 𝑆 3,0 − 𝐹(0,0) 𝑅(2,0) = 𝑆 2,0 −𝐹 0,0 𝑅 2,0 . 𝑋 2,1 = 1 𝑅 2,1 𝜋 𝑋 3,2 − 1 − 𝜋 𝑋 3,1 = 1 𝑅 2,1 [𝜋 𝑆(3,2) − 𝐹(0,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,1) − 𝐹(0,0) ] = 1 𝑅 2,1 𝜋 𝑆 3,2 − 1 − 𝜋 𝑆 3,1 − 𝐹(0,0) 𝑅(2,1) = 𝑆 2,1 −𝐹 0,0 𝑅 2,1 . 𝑋 2,2 = 1 𝑅 2,2 𝜋 𝑋 3,3 − 1 − 𝜋 𝑋 3,2 = 1 𝑅 2,2 [𝜋 𝑆(3,3) − 𝐹(0,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,2) − 𝐹(0,0) ]
= 1 𝑅 2,2 𝜋 𝑆 3,3 − 1 − 𝜋 𝑆 3,2 − 𝐹(0,0) 𝑅(2,2) = 𝑆 2,2 −𝐹 0,0 𝑅 2,2 . 𝑋 1,0 = 1 𝑅 1,0 𝜋 𝑋 2,1 − 1 − 𝜋 𝑋 2,0 = 1 𝑅 1,0 𝜋 𝑆(2,1) − 𝐹(0,0) 𝑅(2,1) − 1 − 𝜋 𝑆(2,0) − 𝐹(0,0) 𝑅(2,0) = 1 𝑅(1,0) 𝜋 𝑆 2,1 − 1 − 𝜋 𝑆(2,0) − 𝜋 𝐹(0,0) 𝑅(1,0)𝑅(2,1)− 1 − 𝜋 𝐹 0,0 𝑅 1,0 𝑅 2,0 . Diasumsikan 𝑅 2,2 = 𝑅 2,1 = 𝑅 2,0 = 𝑅(2) maka 𝑋 1,0 = 1 𝑅(1,0) 𝜋 𝑆 2,1 − 1 − 𝜋 𝑆(2,0) − 𝐹(0,0) 𝑅(1,0)𝑅(2) = 𝑆 1,0 − 𝐹 0,0 𝑅 1,0 𝑅 2 . 𝑋 1,1 = 1 𝑅 1,1 𝜋 𝑋 2,2 − 1 − 𝜋 𝑋 2,1 = 1 𝑅 1,1 𝜋 𝑆(2,2) − 𝐹(0,0) 𝑅(2,2) − 1 − 𝜋 𝑆(2,1) − 𝐹(0,0) 𝑅(2,1) = 1 𝑅(1,1) 𝜋 𝑆 2,2 − 1 − 𝜋 𝑆(2,1) − 𝜋 𝐹(0,0) 𝑅(1,1)𝑅(2,2)− 1 − 𝜋 𝐹 0,0 𝑅 1,1 𝑅 2,1 . Diasumsikan 𝑅 2,2 = 𝑅 2,1 = 𝑅 2,0 = 𝑅(2) maka 𝑋 1,1 = 1 𝑅(1,1) 𝜋 𝑆 2,2 − 1 − 𝜋 𝑆(2,1) − 𝐹(0,0) 𝑅(1,1)𝑅(2) = 𝑆 1,1 − 𝐹 0,0 𝑅 1,1 𝑅 2 . 𝑋 0,0 = 1 𝑅 0,0 𝜋 𝑋 1,1 − 1 − 𝜋 𝑋 1,0 = 1 𝑅 0,0 𝜋 𝑆 1,1 − 𝐹 0,0 𝑅 1,1 𝑅 2 − 1 − 𝜋 𝑆 1,0 − 𝐹 0,0 𝑅 1,0 𝑅 2 = 1 𝑅(0,0) 𝜋 𝑆 1,1 − 1 − 𝜋 𝑆(1,0) − 𝜋 𝐹(0,0) 𝑅(0,0)𝑅 1,1 𝑅 2 − 1 − 𝜋 𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1,0 𝑅 2 . Diasumsikan 𝑅 1,1 = 𝑅 1,0 = 𝑅(1) maka 𝑋 0,0 = 1 𝑅 0,0 𝜋 𝑆 1,1 − 1 − 𝜋 𝑆 1,0 − 𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅(2) = 𝑆 0,0 − 𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅 2 .
Diketahui bahwa nilai forward contract pada waktu t = 0 adalah nol, maka
0 = 𝑆(0,0) − 𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅(2) 𝑆 0,0 = 𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅(2) 𝐹 0,0 = 𝑆 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅(2) dapat ditulis 𝐹 0,0 =𝑆 0,0 𝑃 0,3 dengan 𝑃 0,3 = 1 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅(2). Dengan nilai 𝑅 2,0 = 𝑅 2 = 1 𝑃02 1 , 𝑅 2,1 = 𝑅 2 = 1 𝑃12 1 , 𝑅 2,2 = 𝑅 2 = 1 𝑃22 1
Di mana 𝑃02 1 adalah nilai IDR pada
waktu 𝑡 = 2 dengan keadaan 0 jika pada 𝑡 = 3 terdapat 1 IDR, 𝑃12 1 adalah nilai
IDR pada waktu 𝑡 = 2 dengan keadaan 1 jika pada 𝑡 = 3 terdapat 1 IDR dan 𝑃22 1
adalah nilai IDR pada waktu 𝑡 = 2 dengan keadaan 2 jika pada 𝑡 = 3 terdapat 1 IDR maka nilai 𝑋 2,0 = 𝑆(2,0) −𝐹(0,0) 𝑅(2,0) akan menjadi 𝑋 2,0 = 𝑆(2,0) −𝑆 0,0 𝑃 0,3 𝑃0 2 1 nilai 𝑋 2,1 = 𝑆 2,1 −𝐹 0,0 𝑅 2,1 akan menjadi 𝑋 2,1 = 𝑆 2,1 −𝑆 0,0 𝑃 0,3 𝑃1 2 1 nilai 𝑋 2,2 = 𝑆 2,2 −𝐹 0,0 𝑅 2,2 akan menjadi 𝑋 2,2 = 𝑆 2,2 −𝑆 0,0 𝑃 0,3 𝑃2 2 1 . Dengan nilai 𝑅 1,1 𝑅 2 = 𝑅 1 𝑅 2 = 1 𝑃11 2 , 𝑅 1,0 𝑅 2 = 𝑅 1 𝑅 2 = 1 𝑃01 2 nilai 𝑋 1,0 = 𝑆 1,0 − 𝐹 0,0 𝑅 1,0 𝑅 2 akan menjadi 𝑋 1,0 = 𝑆 1,0 −𝑆 0,0 𝑃 0,3 𝑃0 1 2 nilai 𝑋 1,1 = 𝑆 1,1 − 𝐹 0,0 𝑅 1,1 𝑅 2 akan menjadi 𝑋 1,1 = 𝑆 1,1 −𝑆 0,0 𝑃 0,3 𝑃1 1 2 .
Nilai forward contract pada setiap node dalam model binomial tiga langkah dapat dihitung. Nilai forward contract pada node (2,0) dipengaruhi nilai S pada (3,1) dan (3,0), maka nilai forward contract pada (2,0) dapat dihitung sebagai berikut
𝑋 3,1 = 𝑆 3,1 − 𝐹 2,0 𝑋 3,0 = 𝑆 3,0 − 𝐹(2,0) 𝑋 2,0 = 1 𝑅 2,0 𝜋 𝑋 3,1 − 1 − 𝜋 𝑋 3,0 = 1 𝑅 2,0 [𝜋 𝑆(3,1) − 𝐹(2,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,0) − 𝐹(2,0) ] = 1 𝑅 2,0 𝜋 𝑆 3,1 − 1 − 𝜋 𝑆 3,0 − 𝐹(2,0) 𝑅(2,0) = 𝑆 2,0 −𝐹 2,0 𝑅 2,0 . Dengan nilai 𝑋 2,0 = 0, maka
𝐹 2,0 = 𝑆 2,0 𝑅 2,0 =𝑆(2,0) 𝑃02 1
.
Nilai forward contract pada node (2,1) dipengaruhi nilai S pada (3,1) dan (3,2), maka nilai forward
contract pada (2,1) adalah
𝑋 3,1 = 𝑆 3,1 − 𝐹 2,1 𝑋 3,2 = 𝑆 3,2 − 𝐹(2,1)
𝑋 2,1 = 1 𝑅 2,1 𝜋 𝑋 3,2 − 1 − 𝜋 𝑋 3,1 = 1 𝑅 2,1 [𝜋 𝑆(3,2) − 𝐹(2,1) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,1) − 𝐹(2,1) ] = 1 𝑅 2,1 𝜋 𝑆 3,2 − 1 − 𝜋 𝑆 3,1 − 𝐹(2,1) 𝑅(2,1) = 𝑆 2,1 −𝐹 2,1 𝑅 2,1 . Dengan nilai 𝑋 2,1 = 0, maka
𝐹 2,1 = 𝑆 2,1 𝑅 2,1 =𝑆(2,1) 𝑃12 1
.
Nilai forward contract pada node (2,2) dipengaruhi nilai S pada (3,3) dan (3,2), Maka nilai
forward contract pada (2,2) adalah
𝑋 3,3 = 𝑆 3,3 − 𝐹 2,2 𝑋 3,2 = 𝑆 3,2 − 𝐹(2,2) 𝑋 2,2 = 1 𝑅 2,2 𝜋 𝑋 3,3 − 1 − 𝜋 𝑋 3,2 = 1 𝑅 2,2 [𝜋 𝑆(3,3) − 𝐹(2,2) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,2) − 𝐹(2,2) ] = 1 𝑅 2,2 𝜋 𝑆 3,3 − 1 − 𝜋 𝑆 3,2 − 𝐹(2,2) 𝑅(2,2) = 𝑆 2,2 −𝐹 2,2 𝑅 2,2 . Dengan nilai 𝑋 2,2 = 0, maka
𝐹 2,2 = 𝑆 2,2 𝑅 2,2 =𝑆(2,2) 𝑃22 1
. Perhitungan nilai forward contract pada node (1,0) adalah sebagai berikut
𝑋 3,2 = 𝑆 3,2 − 𝐹 1,0 𝑋 3,1 = 𝑆 3,1 − 𝐹(1,0) 𝑋 3,0 = 𝑆 3,0 − 𝐹 1,0 . 𝑋 2,0 = 1 𝑅 2,0 𝜋 𝑋 3,1 − 1 − 𝜋 𝑋 3,0 = 1 𝑅 2,0 [𝜋 𝑆(3,1) − 𝐹(1,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,0) − 𝐹(1,0) ] = 1 𝑅 2,0 𝜋 𝑆 3,1 − 1 − 𝜋 𝑆 3,0 − 𝐹(1,0) 𝑅(2,0) = 𝑆 2,0 −𝐹 1,0 𝑅 2,0 . 𝑋 2,1 = 1 𝑅 2,1 𝜋 𝑋 3,2 − 1 − 𝜋 𝑋 3,1 = 1 𝑅 2,1 [𝜋 𝑆(3,2) − 𝐹(1,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,1) − 𝐹(1,0) ] = 1 𝑅 2,1 𝜋 𝑆 3,2 − 1 − 𝜋 𝑆 3,1 − 𝐹(1,0) 𝑅(2,1) = 𝑆 2,1 −𝐹 1,0 𝑅 2,1 .
𝑋 1,0 = 1 𝑅 1,0 𝜋 𝑋 2,1 − 1 − 𝜋 𝑋 2,0 = 1 𝑅 1,0 𝜋 𝑆(2,1) − 𝐹(1,0) 𝑅(2,1) − 1 − 𝜋 𝑆(2,0) − 𝐹(1,0) 𝑅(2,0) = 1 𝑅(1,0) 𝜋 𝑆 2,1 − 1 − 𝜋 𝑆(2,0) − 𝜋 𝐹(1,0) 𝑅(1,0)𝑅(2,1)− (1 − 𝜋) 𝐹(1,0) 𝑅(1,0)𝑅(2,0) = 𝑆 1,0 − 𝐹 1,0 𝑅 1,0 𝑅 2 . Dengan nilai 𝑋 1,0 = 0, maka
𝐹 1,0 = 𝑆 1,0 𝑅 1,0 𝑅 2 =𝑆 1,0 𝑃01 2 .
Perhitungan nilai forward contract pada node (1,1) adalah sebagai berikut 𝑋 3,2 = 𝑆 3,2 − 𝐹 1,1 𝑋 3,1 = 𝑆 3,1 − 𝐹(1,1) 𝑋 3,3 = 𝑆 3,3 − 𝐹 1,1 . 𝑋 2,1 = 1 𝑅 2,1 𝜋 𝑋 3,2 − 1 − 𝜋 𝑋 3,1 = 1 𝑅 2,1 [𝜋 𝑆(3,2) − 𝐹(1,1) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,1) − 𝐹(1,1) ] = 1 𝑅 2,1 𝜋 𝑆 3,2 − 1 − 𝜋 𝑆 3,1 − 𝐹(1,1) 𝑅(2,1) = 𝑆 2,1 −𝐹 1,1 𝑅 2,1 . 𝑋 2,2 = 1 𝑅 2,2 𝜋 𝑋 3,3 − 1 − 𝜋 𝑋 3,2 = 1 𝑅 2,2 [𝜋 𝑆(3,3) − 𝐹(1,1) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,2) − 𝐹(1,1) ] = 1 𝑅 2,2 𝜋 𝑆 3,3 − 1 − 𝜋 𝑆 3,2 − 𝐹(1,1) 𝑅(2,2) = 𝑆 2,2 −𝐹 1,1 𝑅 2,2 . 𝑋 1,1 = 1 𝑅 1,1 𝜋 𝑋 2,2 − 1 − 𝜋 𝑋 2,1 = 1 𝑅 1,1 𝜋 𝑆(2,2) − 𝐹(1,1) 𝑅(2,2) − 1 − 𝜋 𝑆(2,1) − 𝐹(1,1) 𝑅(2,1) = 1 𝑅(1,1) 𝜋 𝑆 2,2 − 1 − 𝜋 𝑆(2,1) − 𝜋 𝐹(1,1) 𝑅(1,1)𝑅(2,2)− (1 − 𝜋) 𝐹(1,1) 𝑅(1,1)𝑅(2,1) = 𝑆 1,1 − 𝐹 1,1 𝑅 1,0 𝑅 2 . Dengan nilai 𝑋 1,1 = 0, maka
𝐹 1,1 = 𝑆 1,1 𝑅 1,0 𝑅 2 =𝑆 1,1 𝑃01 2
Model binomial N-langkah
Sekarang akan digunakan model binomial multiperiode. Pada node 𝑛, 𝑗 harga aset dilambangkan 𝑆 𝑛, 𝑗 . Didefinisikan 𝑃𝑗 𝑛 (𝑇) adalah nilai IDR pada waktu 𝑡 = 𝑛 dengan keadaan 𝑗 jika pada 𝑡 = 𝑇 + 𝑛 (𝑇 setelah periode 𝑡 = 𝑛) terdapat 1 IDR dan 𝑅 𝑛, 𝑗 = 1 + 𝑟(𝑛, 𝑗) adalah nilai IDR pada waktu 𝑡 = 𝑛 + 1 jika investasikan 1 IDR di bank pada 𝑡 = 𝑛. Didefinisikan:
𝑢 𝑛, 𝑗 = 𝑆 𝑛 + 1, 𝑗 + 1 𝑆 𝑛, 𝑗 𝑑 𝑛, 𝑗 = 𝑆 𝑛 + 1, 𝑗 𝑆 𝑛, 𝑗 𝜋 𝑛, 𝑗 = 𝑅 𝑛, 𝑗 − 𝑑 𝑛, 𝑗 𝑢 𝑛, 𝑗 − 𝑑 𝑛, 𝑗 . Untuk menghindari arbitrase, dibutuhkan 0 < 𝜋 𝑛, 𝑗 < 1 untuk semua 𝑛, 𝑗 .
Ditulis 𝐹 = 𝐹(0,0) untuk menegaskan fakta bahwa 𝐹 disetujui pada waktu 𝑡 = 0.
Long forward contract pada 𝑁, 𝑗 bernilai 𝑆 𝑁, 𝑗 − 𝐹(0,0). Dengan 𝑃(0, 𝑁) adalah nilai IDR pada waktu t = 0 jika pada waktu t = N terdapat 1 IDR maka nilai di atas pada
waktu 𝑡 = 0 adalah
𝑆 0,0 − 𝐹 0,0 𝑃(0, 𝑁). Nilai pada waktu 𝑡 = 0 yaitu pada 0,0 haruslah 0, sehingga 𝐹 0,0 = 𝑆 0,0
𝑃 0, 𝑁 . (4.1) Nilai untuk P(0,1) adalah 1 𝑅(0) sehingga persamaan (4.1) terpenuhi untuk model binomial satu langkah. Nilai 𝑉 pada (𝑛, 𝑗) dari long forward contract yang dimulai pada waktu 𝑡 = 0 sampai waktu 𝑡 = 𝑁 adalah
𝑉 𝑛, 𝑗 = 𝑆 𝑛, 𝑗 − 𝑆 0,0 𝑃 0, 𝑁 𝑃𝑗
𝑛 𝑁 − 𝑛 .
Secara umum, jika 𝐹(𝑛, 𝑗) adalah nilai
forward contract dari 𝑆 pada waktu 𝑡 = 𝑁 yang dimulai pada waktu 𝑡 = 0, maka
𝐹 𝑛, 𝑗 = 𝑆(𝑛, 𝑗) 𝑃𝑗𝑛 𝑁 − 𝑛
jika 𝑛 = 𝑁, diperoleh
𝐹 𝑁, 𝑗 = 𝑆 𝑁, 𝑗 .
Berdasarkan model binomial multiperiode diketahui bahwa 𝜋 𝑛, 𝑗 = 𝑆 𝑛, 𝑗 𝑅 𝑛, 𝑗 − 𝑆 𝑛 + 1, 𝑗 𝑆 𝑛 + 1, 𝑗 + 1 − 𝑆 𝑛 + 1, 𝑗 𝑃 𝑛, 𝑗 ≡ 𝑃𝑗𝑛 𝑁 − 𝑛 𝜋 𝑛, 𝑗 𝑅 𝑛, 𝑗 𝑃 𝑛 + 1, 𝑗 + 1 + 1 − 𝜋 𝑛, 𝑗 𝑅 𝑛, 𝑗 𝑃 𝑛 + 1, 𝑗 maka 𝐹 𝑛, 𝑗 = 𝑆 𝑛, 𝑗 𝑃 𝑛, 𝑗 .
Dalam tugas akhir ini nilai forward
contract yang akan dicari adalah nilai forward contract pada waktu t = 0 sehingga
diperoleh teorema sebagai berikut. Teorema 4.2
Misalkan terdapat sebuah aset S dengan harga pada waktu t = 0 adalah S(0,0) ≥ 0 dan harga pada waktu T adalah S(T). Dengan tidak ada pembayaran di awal maka nilai
forward contract model binomial n-langkah
pada waktu t = 0 adalah
𝐹 0,0 = 𝑆 0,0 𝑅 0 𝑅 1 … 𝑅(𝑛 − 1) dengan asumsi 𝑅 𝑛, 𝑗 = 𝑅 𝑛, 𝑗 − 1 = ⋯ = 𝑅 𝑛, 0 = 𝑅 𝑛 . (4.2) (Bukti: Lampiran 9) 4.2 Exchange Rates
Misalkan 𝑋 adalah exchange rate. Dalam tugas akhir ini yang akan dibahas adalah nilai tukar USD terhadap IDR, walaupun dapat digunakan contoh nilai tukar yang lainnya.
Dilambangkan 𝑋(𝑡) adalah nilai 1 USD dapat ditukarkan dengan IDR pada waktu t. Dengan menggunakan rumus umum harga binomial satu langkah. Dimisalkan pada waktu 𝑡 = 1, 𝑋 mempunyai dua kemungkinan, 𝑋 1, ↑ dan 𝑋 1, ↓ di mana 𝑋 1, ↑ > 𝑋 1, ↓ .
Terdapat dua suku bunga, yaitu:
1. domestic (𝑑 = domestic = Indonesia) 𝐵𝑑 0 = 1
