A NA LISIS G ETA RA N NO N LINIER DA N FENO MENA C HA O S PA DA SO LUSI PERSA MA A N DIFERENSIA L DUFFING
Anwa r Do lu* d a n Burha n Ta to ng*
Abstrac t
Duffing Eq ua tio n is mo d e ls vib ra tio n e q ua tio n with stiffne ss no n line a r d e g re e thre e (3). In this stud y b y e va lua tio n o f vib ra tio n c a se no n line a r a nd sp e c ia l c a se line a r vib ra tio n. So lutio n o f d iffe re ntia l e q ua tio n Duffing use s nume ric a l me tho d Rung e – Kutta with so ftwa re a p p lic a tio n MAPLE ve r. 14. Amp litud e tha t e va lua te d fo r c a se ha rd e ning sp ring a nd so fte ning sp ring , whe re g e tting sma lle r lo a d e xc ita tio n a nd e ve r g re a te r d a mp ing va lue the n wid e jump ing mo ve m e nt a re a /unsta b le o n the d e c re a se . At vib ra tio n c a se no n line a r with p he no me no n c ha o s the n with o ve rvie w o f time histo ry ve ry se nsitive to initia l c o nd itio n with sma ll c ha ng e to its initia l c o nd itio n the n will ha p p e n b ig c ha ng e in syste m with time inc re a se . Fo r p ha se p la ne sho w irre g ula r p a th a nd no n sta tio na ry, this c o nd itio n a re se e n a lso with a t ma p p ing Po inc a re tha t sho w ra nd o m a ttra c tio n p a tte rn a nd sho w p a tte rn fra c ta l.
Ke y wo rds : Vib ra tio n No nline a r, Duffing Eq ua tio n, Rung e -Kutta , C ha o s
A b stra k
Pe rsa m a a n Duffing m e rup a ka n m o d e l p e rsa m a a n g e ta ra n d e ng a n ke ka kua n no n linie r d e ra ja t tig a (3). Da la m ka jia n ini d e ng a n m e ninja u ka sus g e ta ra n no n linie r se rta ka sus khusus g e ta ra n linie r. Pe nye le sa ia n p e rsa m a a n d ife re nsia l Duffing m e ng g una ka n m e to d e num e rik Rung e – Kutta d e ng a n a p lika si so ftwa re MAPLE ve r. 14. Am p litud o ya ng d itinja u untuk ka sus p e g a s ya ng d ike ra ska n (ha rd sp ring) d a n p e g a s ya ng d iluna kka n (so ft sp ring) d im a na se m a kin ke c il e ksita si g a ya d a n se m a kin b e sa r nila i re d a m a n m a ka le b a r d a e ra h lo m p a ta n/ tid a k sta b il se m a kin b e rkura ng . Pa d a ka sus g e ta ra n no n linie r d e ng a n fe no m e na c ha o s m a ka d e ng a n tinja ua n se ja ra h wa ktu (time histo ry) sa ng a t se nsitif te rha d a p sya ra t a wa l d e ng a n p e rub a ha n ya ng ke c il te rha d a p sya ra t a wa lnya m a ka a ka n te rja d i p e rub a ha n b e sa r d a la m siste m d a la m ha l ini p e rp ind a ha n x(t) d e ng a n p e rta m b a ha n wa ktu (t). Untuk Bid a ng Fa se (p ha se p la ne) m e nunjuka n m e nunjuka n linta sa n ya ng tid a k b e ra tura n d a n no n sta sio ne r, ha l ini te rliha t jug a d e ng a n p a d a p e m e ta a n Po inc a re (Po inc a re ma p) ya ng m e nunjuka n p o la ta rika n ya ng a c a k (stra ng e a ttra c to r) d a n m e m p e rliha tka n p o la fra kta l.
Ka ta Kunc i :G e ta ra n No n Linie r, Pe rsa ma a n Duffing , Rung e -Kutta , C ha o s.
1. Pe nd a hulua n
Da la m ko nd isi nya ta se b a g a ia n b e sa r siste m struktur b e rsifa t no n linie r sa m p a i ta ra f te rte ntu, d a n d a la m ka sus khusus d ise d e rha na ka n m e nja d i siste m ya ng linie r. Ke ta klinie ra n d a p a t d ise b a b ka n o le h sua tu fa kto r, a ta u ko m b ina si d a ri b e b e ra p a fa kto r-fa kto r
a kib a t ini tid a k se b a nd ing la g i. Misa lnya ya ng te rja d i p a d a te kuk ko lo m , d a n g e ta ra n siste m m e ka nis d e ng a n g a ya p e m ulih (re sto ring) no nlinie r. Pe rsa m a a n se m a c a m ini d ib e d a ka n d a ri p e rsa m a a n linie r p a d a p rinsip sup e rp o sisi ya ng tid a k b e rla ku untuk so lusinya . Pro se d ur a na litik untuk m e nye le sa ika n p e rsa m a a n d ife re nsia l no n linie r re la tif sulit, so lusi e ksa k ya ng d ike ta hui re la tif se d ikit jum la hnya d a n se b a g ia n b e sa r ke m a jua n d a la m p e ng e ta hua n siste m no nlinie r ini a d a la h d a ri p e nd e ka ta n (m e to d e num e rik) d a n so lusi g ra fik d e ng a n m e ng g una ka n a p lika si ko m p ute r.
Pe rsa m a a n no n linie r ya ng m e ng g a m b a rka n o sila to r d e ng a n ke ta klinie ra n p a ng ka t tig a d ise b ut Pe rsa m a a n Duffing (G e o rg Duffing , 1918). Pe rsa m a a n Duffing , d ig una ka n o le h b a nya k p e ne liti se b a g a i sua tu p e nd e ka ta n m o d e l b a nya k siste m fisik, p e rsa m a a n ini m e m p e rliha tka n sa tu ja ng ka ua n sa ng a t lua s d a ri p e rila ku d a la m siste m d ina m ika no n linie r. Se ja k ta hun 1970-a n, se m a kin p o p ule r d e ng a n p e ne litia n d a la m b id a ng c ha o s (ka c a u), ha l ini m ung kin ka re na m e rup a ka n sa la h sa tu d a ri p e rsa m a a n se d e rha na ya ng m e ng g a m b a rka n p e rila ku c ha o s d a ri sua tu siste m g e ta ra n no n linie r.
2. Pe rsa m a a n De fe re nsia l G e ra k
Pe rsa m a a n g e ra ka n d a ri siste m se d e rha na se p e rti g a m b a r (1) d a p a t d irum uska n d e ng a n ke se tim b a ng a n g a ya m e ng g una ka n p rinsip d ’ Ale m b e rt. Aksi d a ri g a ya d a la m a ra h p e rp ind a ha n d e ng a n g a ya ya ng d ite ra p ka n F(t) d a n tig a g a ya p e rla wa na n ya itu g a ya ine rsia FI(t), g a ya re d a m a n FD(t) d a n g a ya
p e g a s FS(t). p e rsa m a a n g e ra ka n
te rse b ut d a la m b e ntuk ke se tim b a ng a n g a ya a d a la h:
( )
I D S
F (t)+F (t) F (t)+ =F t ...(1)
Untuk g a ya Ine rsia
F (t)
I=
mx
&&
, g a ya re d a m a nD
F (t)
=
cx
&
d a n g a ya p e g a sS
F (t)
=
kx
, ke m ud ia n d isub titusi ke Pe rs. (1), hing g a d ip e ro le h p e rsa m a a n d ife re nsia l ya ng m e nya ta ka n siste m g e ta ra n linie r ya itu:
mx
&&
+ + =
cx kx
&
F t
( )
...(2)Untuk sim b o l 2 2
x
=
d x dt
&&
d a nx
&
=
dx dt
, d a la m b e ntuk no n d im e nsio na l p e rs. (1) m e nja d i:
&&
x
+ ζ + α =
2 x
&
x
F t
( )
...(3)(a ) ko m p o ne n d a sa r (b ) ke se tim b a ng a n g a ya
Se d a ng untuk Pe rsa m a a n d ife re nsia l g e ta ra n no n linie r d e ng a n re d a m a n line a r d a n ke ka kua n no n-linie r d ise b ut p e rsa m a a n Duffing (Duffing ’ s
e q ua tio n):
3
( )
x
+ ζ +α ±β =
2 x
x
x
F cos
Ω
t
&&
&
...(4)Untuk ta nd a
±
m e nya ta ka n p e g a s ya ng d ike ra ska n (ha rd sp ring) d a n p e g a s ya ng d iluna kka n (so ft sp ring). Se d a ng ka n p e rsa m a a n g e ra ka n d e ng a n re d a m a n no nlinie r ya ng d ike na l se b a g a i p e rsa m a a n Va n d e r Po l:
x
&&
− μ
x (1 x )
&
−
2+α =
x
0
...(5)2.1 So lusi Pe rsa m a a n Dife re nsia l G e ra k De ng a n p e nye le sa ia n la ng sung ya itu untuk so lusi ha rm o nis ko nd isi te ta p
(ste a d y-sta te) d a ri p e g a s ya ng
d ike ra ska n (ha rd sp ring) se sua i d e ng a n p e rs. (4):
x
=
X cos
(
Ω −θ
t
)
...(6)De ng a n m e nye le sa ika n p e rs.(6) untuk turuna n p e rta m a
(
dx dt
)
d a n ke d ua(
2 2)
d x dt se rta sub titusi ke p e rsa m a a n (4)
d a n m e nye le sa ika nnya d a la m fung si a m p litud o (X), m a ka d ip e ro le h p e rsa m a a n no n linie r b e rikut:
2 2
2
2 2 2 2
F X 3 4 X 4 = ⎡ ζ Ω + Ω − α − β⎛ ⎞ ⎤ ⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ...(7)
De ng a n no rm a lisa si m a ka d ip e ro le h:
2 2 2 2 2
3
, , A X , f F
Ω ζ β β ω = ξ = =α =α α α 2 2 2
2 2 2 2
f A
3
4 1 A
4 = ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ξ ω + ω − − ⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ...(8)
Untuk kurva tula ng p ung g ung
(b a c kb o ne c urve) p a d a p e g a s ya ng
d ike ra ska n (ha rd sp ring) ya ng d id e finisika n o le h p e rsa m a a n b e rikut:
2 3 2
1 A
4
ω = + ...(9)
Pa d a ka sus p e g a s ya ng d iluna kka n (so ft
sp ring) d e ng a n
α >
0
d a n β <0 d a rip e rsa m a a n (4), m a ka a m p litud o no rm a lisa si se sua i p e rs (8) d ip e ro le h:
2 2
2
2 2 2 2
f A
3
4 1 A
4 = ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ξ ω + ω − + ⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦...(10)
Dim a na :
2 2 2 2
3
A = −βX , f = − β F
α α
Untuk kurva tula ng p ung g ung
(b a c kb o ne c urve) p a d a p e g a s ya ng
d iluna kka n (so ft sp ring) ya ng d id e finisika n o le h p e rsa m a a n b e rikut:
2
3
21
A
4
ω = −
...(11)2.2 Re sp o n Fre kue nsi
• G e ja la lo mp a ta n
Da la m ka sus ini se b a g a i ko nse kwe nsi so lusi p e rsa m a a n (8 & 10), d ip e ro le h b a hwa a m p litud o A m e ng a la m i lo m p a ta n d isko ntinu ya ng m e nd a d a k d i d e ka t re so na nsi. G e ja la lo mp a ta n
ini d a p a t d ije la ska n se b a g a i b e rikut, untuk p e g a s ya ng d iluna kka n (so ft
sp ring) d e ng a n b e rta m b a hnya
fre kue nsi e ksita si, m a ka a m p litud o b e rta m b a h hing g a titik ‘ a ’ d a la m G a m b a r 2a te rc a p a i. Am p litud o tib a -tib a m e lo m p a t ke sua tu nila i ya ng le b ih ting g i ya ng d ita nd a i o le h titik ‘b ’ ,
d a ri sua tu titik ‘c ’, a m p litud o a ka n b e rta m b a h m e la lui titik ‘b ’ m e nuju titik
‘d ’ , d a n tib a -tib a turun ke sua tu nila i
ya ng le b ih ke c il ‘e ’ . Da e ra h ya ng d ia rsir d a la m g a m b a ra n a m p litud o fre kue nsi a d a la h tidak stabil ; lua s ke tid a ksta b ila n te rg a ntung p a d a fa kto r-fa kto r se p e rti jum la h re d a m a n ya ng a d a , la ju p e rub a ha n fre kue nsi ra ng sa ng a n d a n la in-la in. Untuk p e g a s ya ng d ike ra ska n se b a g a i g a nti p e g a s ya ng d iluna kka n, m a ka d a p a t d ig una ka n a na lisis ya ng sa m a d a n ha silnya a d a la h se b ua h kurva ya ng je nis-nya se p e rti te rliha t d a la m G a m b a r 2b .
(a ) Pe g a s Luna k
(b ) Pe g a s ke ra s
G a m b a r 2. Ka ra kte ristik Pe g a s Luna k
(So ft Sp ring) d a n Pe g a s
Ke ra s (Ha rd Sp ring)
• Pe ng a ruh re d a m a n
Da la m ka sus ta np a re d a m a n kurva a m p litud o fre kwe nsi m e nd e ka ti kurva tula ng p ung g ung (b a c kb o ne c urve) se c a ra a sim p to tis. Ha l ini jug a te rja d i d a la m ka sus line a r d im a na kurva tula ng p ung g ung a d a la h g a ris ve rtika l p a d a
ω
/
ω
n=
1
. De ng a n jum la h re d a m a n ya ng ke c il, m a ka sifa t siste m tid a k b e rb e d a b a nya k d e ng a n siste m ta np a re d a m a n. Ba g ia n a ta s kurva tid a k a ka n m e nd e ka ti kurva tula ng p ung g ung se c a ra a sim p to tis te ta p i a ka n m e m o to ng kurva ko ntinu. G e ja la lo m p a ta n p un te rja d i d a la m ka sus ini te ta p i re d a m a n p a d a um um nya c e nd e rung untuk m e ng ura ng i ukura n lua s d a e ra h ya ng tid a k sta b il.3. Pe rila ku Siste m Dina m is
Pa d a siste m d ina m is d ip e rluka n sua tu d ia g no sa ka re na a d a nya o sila si ya ng ta k d ike he nd a ki d a la m siste m fisik te rse b ut. Ke m a m p ua n untuk m e ng kla sifika sika n sifa t a la m i o sila si b isa m e nye d ia ka n sua tu p e tunjuk hing g a b a g a im a na untuk m e ng e nd a lika nnya . Se b a g a i c o nto h, jika siste m a d a la h linie r, o sila si p e rio d ik ya ng b e sa r m ung kin sa ja d ila c a k p a d a e fe k re so na nsi. Jika siste m a d a la h no nlinie r, sa tu siklus b a ta s m ung kin sa ja sum b e r g e ta ra n p e rio d ik, ya ng p a d a g ilira nnya d a p a t d ila c a k p a d a b e b e ra p a ke tid a ksta b ila n d ina m is d a la m siste m .
G a m b a r 3. Inp ut – o utp ut siste m line a r d a n no nlinie r
3.1. Pe rila ku C ha o tic
Pa d a siste m no n linie r, d e ng a n o utp ut g e ja la c ha o tic m e rup a ka n b id a ng ya ng b a nya k d ika ji sa a t ini (sta te
o f the a rt). C ha o s a d a la h sua tu
fe no m e na d ina m is. Pro b le m c ha o s p e rta m a ka li d ip e la ja ri o le h H. Po inc a re (1854 – 1912). C o nto h ya ng te rke na l a d a la h p e rila ku c ua c a d a ri E. Lo re nz d e ng a n e fe k kup u-kup u (b utte rfly
e ffe c t), d e ng a n ko nse kwe nsi
p e ne m ua nnya “d ua ke a d a a n ya ng jumla h p e rb e d a a nnya tid a k sig nifika n p a d a sa a t a wa l a ka n b e re vo lusi me nja d i d ua ke a d a a n ya ng sa ng a t b e sa r p e rb e d a a nnya d iwa ktu ya ng
a ka n d a ta ng” . Ue d a m e ng g a m b a rka n
fe no m e na c ha o tic d a la m siste m d ina m is d ia tur o le h p e rsa m a a n Duffing p a d a a khir ta hun1970-a n (Ue d a , 1979). Pe ne litia n ino va tif m a sa la h re so na nsi sub ha rm o nic d a n g e ra ka n a c a k (c ha o s) d a ri struktur le p a s p a nta i (o ffsho re ) d ite rb itka n o le h Tho m p so n d a n Ste wa rt (1986), se rta ka jia n d a ri Pa tric k d e Le e uw (1989).
Da la m ra ng ka untuk id e ntifika si g e ra ka n no np e rio d ik m a up un g e ra ka n c ha o tic (c ha o tic mo tio ns) , b e rikut b e b e ra p a la ng ka h a nta ra la in :
(a ) Se ja ra h wa ktu (time histo ry) d a ri siste m b e rup a p e rp ind a ha n, ke c e p a ta n & p e rc e p a ta n.
(b ) Se ja ra h b id a ng fa se (p ha se p la ne
histo ry).
(c ) Pe m e ta a n Po inc a re (Po inc a re ma p). (d ) Me nc a ri p e nc a b a ng a n
(b ifurc a tio ns) d a n rute ke a ra h
c ha o tic (ro ute s to c ha o s).
3.2 Bid a ng Fa se
Da la m siste m o to no m i wa ktu ‘ t’ tid a k m unc ul se c a ra e ksp lisit d a la m p e rsa m a a n d ife re nsia l g e ra k. Ja d i ha nya d ife re nsia l d t ya ng m unc ul d a la m p e rsa m a a n te rse b ut. Sua tu p e rsa m a a n d ife re nsia l g e ra k se b a g a i b e rikut:
x
&&
+
f x, x
( )
&
=
0
………….……(12)Dim a na f(x,x’ )d a p a t d ia ng g a p sua tu fung si no nlinie r x d a n x’ . Da la m Bid a ng Fa se p e rsa m a a n te rse b ut d ia ta s d a p a t d inya ta ka n d a la m d ua p e rsa m a a o rd e p e rta m a b e rikut:
( )
x
y
y
x
f x, y
=
= = −
&
&
&&
...(13)Jika x d a n y a d a la h ko o rd ina t ka rte sia n, m a ka b id a ng xy d ise b ut b id a ng fa se
(p ha se p la ne). Ke a d a a n sua tu siste m
b id a ng fa se , jika ke a d a a n b e rub a h, m a ka titik p a d a b id a ng fa se a ka n b e rg e ra k d a n a ka n m e ng ha silka n sua tu kurva ya ng d ise b ut linta sa n.
4. Me to d e Num e rik Rung e – Kutta
Pe nye le sa ia n p e rsa m a a n (4) d ig una ka n m e to d e Rung r – Kutta . Da la m m e to d e ini p e rsa m a a n d ife re nsia l o rd e d ua m ula -m ula d ire d uksi m e nja d i d ua p e rsa m a a n o rd e p e rta m a . Da ri p e rsa m a a n o rd e d ua b e rikut d e ng a n 1 d e ra ja t ke b e b a sa n se sua i p e rs. (4), ya ng d a p a t d itulis se b a g a i b e rikut:
( )
3x=⎡⎣Fcos Ω − ζ −α −βt 2 x x x ⎤⎦
&& & ....(14)
De ng a n m e ng a m b il
x
&
=
y
, p e rsa m a a n te rse b ut d ire d uksi m e nja d i d ua p e rsa m a a n o rd e p e rta m a :x
y
y
x
f (x, y, t)
=
= =
&
&
&&
...(15)
x d a n y d ise kita r xi d a n yi d a p a t
d inya ta ka n d a la m d e re t Ta ylo r. De ng a n m e ng a m b il p e rta m b a ha n wa ktu h = Δt
2 2 i 2 i i 2 2 i 2 i i
dx d x h
x x h ...
dt dt 2
dy d y h
y y h ...
dt dt 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ...(16)
Turuna n p e rta m a d a p a t d ig a nti d e ng a n ke m iring a n (slo p e ) ra ta -ra ta d a n m e ng a b a ika n turuna n d e ng a n o rd e le b ih ting g i.
2 2 i 2 i i 2 2 i 2 i i
dx
d x
h
x
x
h
...
dt
dt
2
dy
d y
h
y
y
h
...
dt
dt
2
⎛
⎞
⎛ ⎞
= +
⎜ ⎟
+
⎜
⎟
+
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛ ⎞
= +
⎜ ⎟
+
⎜
⎟
+
⎝ ⎠
⎝
⎠
...(17)Bila d ig una ka n a tura n Sim p so n, m a ka ke m iring a n ra ta -ra ta d a la m se la ng h m e nja d i:
i rata rata ti ti h/2 ti h
dy
1
dy
dy
dy
4
dt
−6
dt
dt
+dt
+⎡
⎤
⎛ ⎞
=
⎛ ⎞
+
⎛ ⎞
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎢
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎥
⎝ ⎠
⎣
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎦
...(18)Be sa ra n-b e sa ra n te rse b ut se la njutnya d ig una ka n d a la m fo rm ula p e ng ula ng a n (ite ra si) b e rikut:
[
]
[
]
i 1 i 1 2 3 4
i 1 i 1 2 3 4
h
x x Y 2 Y 2 Y Y
6 h
y y F 2 F 2 F F
6 + + = + + + + = + + + + ...(19)
Untuk a p lika si m e to d e num e rik Rung e -Kutta m e ng g una ka n so ftwa re MATLAB ya itu d e ng a n ko d e o d e 45 d a n MAPLE d e ng a n ko d e rkf45. Da la m ka jia n ini d ig una ka n so ftwa re MAPLE.
Ta b e l 1. La ng ka h p e rhitung a n Me to d e Rung e – Kutta
t x y=x& f= =y& &&x
1 i
h
2 i 2
h
3 i 2
4 i
T t T t
T t
T t h
= = + = + = + 1 i h
2 i 1 2
h
3 i 2 2
4 i 3
X x
X x Y
X x Y
X x Y h
= = + = + = + 1 i h
2 i 1 2
h
3 i 2 2
4 i 3
Y y
Y y F
Y y F
Y y F h
= = + = + = +
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
F f (T , X , Y )
F f (T , X , Y ) F f (T , X , Y ) F f (T , X , Y )
5. Stud i Ka sus
5.1. Am p litud o d a n G e ja la Lo m p a ta n Da ri p e rs. (8) d ise le sa ika n a ka r d a ri p e rsa m a a n no n linie r ya ng m e ng ha silka n 3 a ka r p e rsa m a a n (g a m b a r 4 untuk
ξ
= 0.1 d a n f = 0.75). Kurva re sp o n fre kwe nsi p a d a g a m b a r 5 d e ng a n m e ng a m b il nila iξ
te ta p (ξ
= 0,1) d a n va ria si f (0.2 , 0.3, 0.5, 0.75).Be rd a sa rka n g a m b a r 4 d a n 5, kurva re sp o ns fre kue nsi m e m p unya i ke m iring a n (ta ng e n) ve rtika l d i titik U d a n L : titik ini a d a la h titik lo m p a ta n
(jum p p o ints) . Ba g ia n d a ri kurva re sp o ns
fre kue nsi a nta ra titik lo m p a ta n a d a la h
tid a k sta b il. Jika fre kue nsi d a ri e ksita si a d a la h se c a ra g ra d ua l d iting ka tka n d a ri sua tu nila i re nd a h, ke m ud ia n d i titik U (titik m e lo m p a t ke b a wa h), lo m p a ta n re sp o n d a ri re so na nsi ke c a b a ng no n re so na nsi m e ng a la m i sa tu lo m p a ta n a ta u p e nc a b a ng a n d ua titik-p e la na
(sa d d le -no d e b ifurc a tio n).
Pa d a ka sus d e ng a n fre kue nsi a wa l ya ng ting g i, d e ng a n fre kue nsi d a ri e ksita si a d a la h se c a ra g ra d ua l d ikura ng i, m a ka lo m p a ta n a m p litud o ke re so na nsi d i titik lo m p a ta n le b ih re nd a h L (titik m e lo m p a t ke a ta s). Se te la h sa tu lo m p a ta n te rja d i, siste m m e m b utuhka n le b ih b a nya k wa ktu untuk m e nuju ke p o sisi te ta p (ste a d y sta te). Wa ktu p e nye le sa ia n te rg a ntung p a d a ting ka t e ksita si fre kue nsi d a n b e sa ra n re d a m a n
(d a m p ing). Ha l itu d e ng a n je la s d iliha t
b a hwa le b a r d a ri d a e ra h lo m p a ta n b e rkura ng d e ng a n p e ning ka ta n re d a m a n (g a m b a r 6). De ng a n se jum la h va ria si f (0.2 , 0.3, 0.5, 0.75) te rse b ut m a ka d a ri g a m b a r 5 te rse b ut te rliha t b a hwa so lusi tid a k sta b il a d a la h d a e ra h ya ng d ia rsir, se d a ng ka n g a ris te ng a h a d a la h kurva tula ng p ung g ung
(b a c kb o ne c urve), ya ng m e nunjuka n
ke te rg a ntung a n d a ri fre kwe nsi a la m i no nlinie r te rha d a p a m p litud o d a ri g e ra ka n.
G a m b a r 4. Re sp o ns Fre kwe nsi untuk
ξ
= 0.1, f = 0.75 Aka r 1Aka r 2
Aka r 3
U
L
G a m b a r 5. Re sp o ns Fre kwe nsi untuk ξ = 0.1, f = 0.2 , 0.3, 0.5, 0.75
G a m b a r 6. Re sp o ns Fre kw e nsi (Ha rd Sp ring) untuk f= 1, d a n va ria si
ξ
= 0.05 , 0.15, 0.25, 0.35Tid a k sta b il
U
L
f = 0.20 f = 0.30 f = 0.50 f = 0.75
ξ
= 0.35ξ
= 0.25ξ
= 0.15
G a m b a r 7. Re sp o ns Fre kwe nsi (so ft sp ring) untuk f = 0.2,
ξ
= 0.1 , 0.2, 0.25, 0.35G a m b a r 8. Se ja ra h Wa ktu (ka sus a ). )
Da ri g a m b a r 5 d a n 6 d a p a t d iliha t, b a hw a d e ng a n a d a nya va ria si e ksita si g a ya (f) d a n va ria si re d a m a n (
ξ
) ya ng m a sing – m a sing d a p a t d ije la ska n se b a g a i b e rikut ; d e ng a n m e nurunnya nila i f m a ka le b a r d a e ra h lo m p a ta n (d a e ra h tid a k sta b il) b e rkura ng d a n jug a se m a kin b e sa r nila iξ
m a ka le b a r d a e ra h lo m p a ta n (d a e ra h tid a k sta b il) b e rkura ng . Untuk ka sus p e g a s ya ng d iluna kka n (so ftsp ring) d e ng a n so lusi p e rsa m a a n (10)
m a ka p e rila kunya sa m a d e ng a n ka sus p e g a s ya ng d ike ra ska n (ha rd sp ring) ha nya b e rb e d a a ra h kurva re sp o n fre kwe nsinya (g a m b a r 7).
5.2. Se ja ra h w a ktu d a n Bid a ng Fa se
Se sua i d e ng a n p e rsa m a a n (4) d e ng a n m e ng ka ji b e b e ra p a ko nd isi ya itu:
ξ
= 0.10ξ
= 0.20ξ
= 0.25a ). G e ta ra n linie r d e ng a n p a ra m e te r se b a g a i b e rikut :
( )
( )
0, 025 ; 1 ; 0 ; F 5, 50 ; 1, 00
x 0 0 ; x 0 0
ζ = α = β = = Ω =
= & =
b ). G e ta ra n no n linie r d e ng a n p a ra m e te r se b a g a i b e rikut:
( )
( )
( )
1 2
0, 025 ; 1; 1; F 5, 50 ; 1, 00
x 0 0 ; x 0 0, 01 ; x 0 0
ζ = α = − β = = Ω =
= = & =
Pa d a ka sus linie r (ka sus a ), m a ka re sp o ns p e rp ind a ha n te rha d a p wa ktu te rliha t d e ng a n p o la p e rula ng a n se c a ra p e rio d ik (g a m b a r 8). Se d a ng ka n p a d a ka sus no n linie r (ka sus b ) d e ng a n p o la p e rp ind a ha n ya ng a c a k, d a n jug a d a la m ka sus ini d e ng a n se d ikit p e rub a ha n p a d a ko nd isi a wa l x1(0) = 0
m e nja d i x2(0) = 0.01, m a ka ke d ua siste m
te rse b ut (d a la m ha l ini p e rp ind a ha n) te rja d i p e rb e d a a n ya ng b e sa r d e ng a n b e rta m b a hnya wa ktu (g a m b a r 9).
G a m b a r 9. Se ja ra h Wa ktu (ka sus b ). )
G a m b a r 11. Bid a ng Fa se (ka sus b ). )
G a m b a r 12. Pe m e ta a n Po inc a re (ka sus a ). )
Untuk Bid a ng Fa se (p ha se p la ne) d e ng a n hub ung a n p e rp ind a ha n d a n ke c e p a ta n, m a ka p a d a ka sus (a ) g e ra ka n siste m a ka n m e nc a p a i sta sio ne r (d itunjuka n d e ng a n linta sa n ya ng te ra tur d a n ko nve rg e nsi d i te p i lua r
ling ka ra n p a d a g a m b a r 10), sa ng a t b e rb e d a d e ng a n ko nd isi no n linie r (ka sus b ) m a ka Bid a ng Fa se nya m e m p unya i linta sa n ya ng tid a k te ra tur d a n tid a k sta sio ne r (g a m b a r 11).
x1=0.00
Be rd a sa rka n Bid a ng Fa se (g a m b a r 11 jug a te rliha t d e ng a n p e rub a ha n ya ng ke c il te rha d a p ko nd isi a wa l x1(0) = 0
m e nja d i x2(0) = 0.01, m a ka ke d ua siste m
te rse b ut (d a la m ha l ini linta sa n) te rja d i p e rb e d a a n ya ng b e sa r d e ng a n b e rta m b a hnya wa ktu.
5.3. Pe m e ta a n Po inc a re d a n Bifurka si
De ng a n p e m e ta a n Po inc a re p a d a ka sus linie r (ka sus a ) ya ng m e nunjuka n titik-titik d e ng a n jum la h p e rio d e p a d a siste m te rse b ut (g a m b a r 12). Pa d a ka sus no n linie r (ka sus b ) d e ng a n p lo t 10.000 titik ya ng m e m p e rliha tka n p o la ta rika n ya ng a c a k
(stra ng e a ttra c to r / a ttra c to r c ha o tic).
Po la ini jug a d ike na l p o la fra kta l (fra c ta l) d im a na sua tu b a g ia n lo ka l jug a
m e ng g a m b a rka n b a g ia n g lo b a lnya (g a m b a r 13).
Untuk m e ninja u krite ria b ifurka si, b e rd a sa rka n ka sus no n linie r (ka sus b ), se sua i d e ng a n p a ra m e te r se b e lum nya ya itu :
( )
( )
0,025 ; 1 ; 1 ; 1,00 ; x 0 0 ; x 0 0
ζ= α=− β= Ω= = & =
Se d a ng ka n untuk nila i F d ija d ika n va ria b e l. De ng a n m e ng hitung nila i r se b a g a i fung si F {r=f(F)}, m a ka d a p a t d ip lo t se sua i d e ng a n g a m b a r (14). Da ri g a m b a r te rse b ut d a p a t d iliha t se b a g a i c o nto h, b a hwa untuk nila i F b e rkisa r a nta ra 0.5 – 2.0 d a n 3.5 – 4.0 te rm a suk d a e ra h sta b il d e ng a n p e rio d e te rte ntu, se d a ng ka n F b e rkisa r a nta ra 2.5 – 3.0 , 5.0 – 5.5, 5.9 – 6.3 te rm a suk d a la m d a e ra h c ha o tic .
G a m b a r 14. Po la Pe nc a b a ng a n (b ifurc a tio ns) p a d a ka sus no n linie r
6. Ke sim p ula n
a . Am p litud o p a d a siste m no n linie r m e ng a la m i fe no m e na lo m p a ta n d e ng a n le b a r d a e ra h lo m p a ta n/ tid a k sta b il se m a kin b e rkura ng d e ng a n se m a kin ke c il g a ya e ksita si (f) d a n se m a kin b e sa r nila i re d a m a n (
ξ
).b . Pe rila ku c ha o tic m e rup a ka n siste m d e ng a n ke te rg a ntung a n se nsitif te rha d a p sya ra t a wa l, d im a na p e rub a ha n ke c il te rha d a p sya ra t a wa l a ka n b e rp e ng a ruh b e sa r te rha d a p siste m d e ng a n b e rta m b a hnya wa ktu, ha l ini te rliha t p a d a riwa ya t wa ktu m a up un rua ng fa se .
c . Da ri d ia g ra m b ifurka si, d e ng a n F va ria b e l te rliha t d a e ra h
p e nc a b a ng a n ya ng m e ng g a m b a rka n p e rio d e te rte ntu
a ta up un d a e ra h c ha o s.
d . Pe rsa m a a n Duffing m e ng g a m b a rka n siste m d e te rm inistik ya ng te p a t d a n d a p a t m e ne ntuka n p e rila ku ja ng ka p a nja ng sua tu siste m ka c a u
(c ha o tic) jika kita m e ng e ta hui sya ra t
a wa l d e ng a n te p a t.
7. Da fta r Pusta ka
Tho m p so n, J.M.T. a nd Ste wa rt, H. B. (1986), No nline a r Dyna mic s a nd C ha o s G e o me tric a l Me tho d s o r
Eng ine e rs a nd Sc ie ntists, Jo hn
Wile y & So ns Ne w Yo rk.
Ue d a , Y. (1979), “ Ra nd o m ly tra nsitio na l p he no m e na in the syste m g o ve rne d b y Duffing ’ s e q ua tio n” , Jo urna l o f Sta tistic a l
Physic s, Vo l. 20, No . 2, p p
.181-196.
Fra nc is G . Mo o n, C ha o tic Vib ra tio n, Jo hn wile y & So ns, 1987, Ne w Yo rk.
Zia ud d in Za rd a r, Iwo na Ab ra m s, C ha o s
fo r Be g inne rs, Ic o n Bro o ks,
C a m b rid g e , Ing g ris, 1998.
Sta nle y J. Fa rlo w, Diffe re ntia l e q ua tio n, Mc G ra w Hill 1984
Anil K. C ho p ra , Dyna mic s Struc ture, Pre ntic e Ha ll, 1995.
Fa rza d K. Na e im , Se ismic d e sig n
Ha nd b o o k.
Are a c ha o tic
Are a c ha o tic
Shuic hi Asa ya m a , Ma sa to Aiza wa , (2000), Re sp o nse o f Ba se Iso la te d Struc ture in C ha o tic Dyna m ic Syste m Und e r Ea rthq ua ke Mo tio n with La rg e
Amp litud e.
J. Awre jc e wic z · V. A. Krysko , (2008),
C ha o s in Struc tura l Me c ha nic s,
Sp ring e r-Ve rla g Be rlin He id e lb e rg
Pa ul S Ad d iso n, (1997), Fra c ta ls a nd
C ha o s An Illustra te d C o urse, The
Institute o f Physic s, Lo nd o n
Ste p he n Lync h, (2010), Dyna m ic a l Syste ms with Ap p lic a tio ns using
Ma p le, Sp ring e r Ve rla g .
Pa tric k d e Le e uw, (1989), The Duffing Syste m Ap p lie d To Ja c ke t Typ e
O ffsho re Struc ture s.
Ab d e lha k Fa hsi, Mo ha m e d Be lha q , Fa o uzi La kra d , (2009),
Sup p re ssio n o f hyste re sis in a fo rc e d va n d e r Po l–Duffing
o sc illa to r, C o m m un No nline a r
Sc i Num e r Sim ula t 14 (2009) 1609–1616.
He nk Bro e r & Flo ris Ta ke ns, (2011),
Dyna mic a l Syste ms a nd C ha o s,
Sp ring e r Sc ie nc e +Busine ss Me d ia , Ne the rla nd s
Visa ra th In , Pa tric k Lo ng hini & Anto nio Pa la c io s, (2009)Ap p lic a tio ns o f No nline a r Dyna m ic s Mo d e l a nd De sig n o f C o m p le x Syste m s,
Sp ring e r-Ve rla g Be rlin He id e lb e rg
Ali H. Na yfe h & P. Fra nk Pa i, (2004), Line a r d a n No nline a r Struc tura l Me c ha nic s, Jo hn Wile y & So ns. USA
