OUTLINE
Himpunan
Operasi Biner
Himpunan
Himpunan
: suatu kumpulan obyek (kongkrit
maupun abstrak) yang didefnisikan dengan
jelas.
Obyek-obyek dalam himpunan tersebut
dinamakan
anggota
himpunan.
Contoh I.1 :
1. Himpunan bilangan 0, 1, 2 dan 3.
2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus,
penggaris.
Notasi Himpunan
Secara matematik, himpunan dapat dinyatakan
dengan tanda
kurung kurawal
dan digunakan
notasi
huruf besar.
Hal itu berarti, himpunan di atas ditulis secara
matematik yaitu :
1.
A
= { 0, 1, 2, 3 }.
2.
B
= { pena, pensil, buku, penghapus,
penggaris }.
Untuk membentuk himpunan, salah satu
metode yang dapat digunakan adalah
metode
Roster
(tabelaris) yaitu dengan menyebut atau
mendaftar semua anggota, seperti pada
himpunan
A
dan
B
sedangkan metode lainnya
adalah
metode Rule
yaitu dengan menyebut
syarat keanggotaannya.
Sebagai contoh, penggunaan metode Rule
adalah
C
= {
x
|
x
negara-negara ASEAN }.
Kalimat di belakang garis tegak ( | )
Apabila suatu obyek merupakan anggota dari suatu
himpunan maka obyek itu dinamakan elemen dan notasi yang digunakan adalah .
Sebaliknya apabila bukan merupakan anggota
dinamakan bukan elemen, dan notasi yang digunakan adalah .
Sebagai contoh, jika himpunan A = {0, 1, 2, 3 }
maka 2 A sedangkan 4 A.
Banyaknya elemen dari himpunan A dikenal dengan
nama bilangan cardinal dan disimbolkan dengan n(A).
Himpunan
A
dikatakan
ekuivalen
dengan
himpunan
B
jika
n
(
A
) =
n
(
B
), dan biasa
disimbolkan dengan
A
B
.
Berarti jika
A
dan
B
ekuivalen maka dapat
dibuat perkawanan satu-satu dari
himpunan
A
ke himpunan
B
dan
sebaliknya.
Pada contoh di atas himpunan
A
= {0,
Himpunan semesta (universal set) adalah himpunan
semua obyek yang dibicarakan.
Himpunan semesta dinotasikan S atau U. Sebagai
contoh jika A ={0, 1, 2, 3} maka dapat diambil
himpunan semestanya U = { bilangan bulat } atau U = { himpunan bilangan cacah }, dll.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak
mempunyai anggota, dalam hal ini digunakan notasi atau { }.
Sebagai contoh jika
Diagram Venn
: diagram untuk
menggambarkan suatu himpunan atau
relasi antar himpunan.
Himpunan yang digambarkannya biasanya
dalam bentuk lingkaran dan anggotanya
berupa titik dalam lingkaran dan himpunan
semestanya dalam bentuk persegi panjang.
Sebagai contoh jika diketahui himpunan
Misalkan diketahui himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) jika dan
hanya jika setiap elemen dari A merupakan elemen dari B.
Notasi yang biasa digunakan adalah A B atau
B A.
Notasi A B dibaca A himpunan bagian dari B
atau A termuat dalam B, sedangkan notasi B A
dibaca B memuat A.
Contoh I.2 :
Dua himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya mengandung elemen yang tepat sama.
Hal itu berarti bahwa A = B jika dan hanya jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan
sebaliknya setiap anggota B juga menjadi anggota
A.
Untuk membuktikan A = B maka haruslah dibuktikan bahwa A B dan B A.
Jika
A
dan
B
himpunan maka A dikatakan
himpunan bagian sejati (
proper subset
)
B
jika dan hanya jika
A
B
dan
A
≠
B
.
Notasi yang biasa digunakan adalah
A
B
. Sebagai contoh {1, 2, 4 }
{ 1, 2, 3,
4, 5 }.
Himpunan
A
= { 0, 1, 2, 3 } bukan
himpunan bagian himpunan
G
= {1, 3,
6, 8} atau
A
G
karena ada anggota
A
Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan
kuasa (power set) yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan bagian dari
himpunan A dan notasi yang digunakan adalah 2A.
Sebagai contoh, himpunan H = { 1, 2 } maka
2H = { , {1}, {2}, {1,2} }.
Dalam hal ini n(2H) =2n(H) = 22 = 4.
Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing
jika masing-masing tidak kosong dan A B =
Komplemen
himpunan
A
adalah semua
anggota dalam semesta yang bukan anggota
A
. Notasi komplemen
A
adalah
A
C.
Secara matematik dapat ditulis sebagai
A
C={
x
|
x
U
dan
x
A
}.
Sebagai contoh jika
U
= { 1, 2, 3,…, 10 } dan
A
= { 3, 5, 7 } maka
A
C=
{1, 2, 4, 6, 8, 9,10}.
Relasi antara himpunan
A
dan komplemennya
yaitu
A
Cdapat dinyatakan dalam diagram
Venn.
Gabungan
(
union
)
dua himpunan
A
dan
B
adalah suatu himpunan yang
anggota-anggotanya terdiri atas semua anggota
dari himpunan
A
atau
B
. Notasi yang
digunakan adalah
A
B
.
Secara matematika
A
B
= {
x
|
x
A
atau
x
B
}. Sebagai contoh jika A = {
a
,
i
,
e
} dan
B
= {
i
,
e
,
o
,
u
} maka
A
B
=
{
a
,
i
,
e
,
o
,
u
}.
Dalam hal ini berlaku sifat bahwa
A
(
A
B
} dan
Irisan (
intersection
) dari dua himpunan
A
dan
B
adalah suatu himpunan yang anggotanya
terdiri atas anggota himpunan
A
yang juga
merupakan anggota himpunan
B
.
Dalam hal ini digunakan notasi
A
B
.
Secara matematik
A
B
= {
x
|
x
A
dan
x
B
}. Sebagai contoh jika
A
= { 2, 3, 5, 7}
dan
B
={ 2, 4, 6, 8 } maka
A
B
={ 2 }.
Dalam operasi irisan berlaku bahwa (
A
B
)
Selisih antara himpunan
A
dan
himpunan
B
adalah anggota
A
yang
bukan
B
.
Notasi yang digunakan adalah
A
-
B
.
Secara matematik
A
-
B
= {
x
|
x
A
dan
x
B
}.
Sebagai contoh jika A = {0, 1, 2,
3} dan
B
= { 3, 4, 5 } maka
A
-
B
= { 0, 1,
2 }.
Jumlahan himpunan A dan B adalah himpunan A saja
atau himpunan B saja tetapi bukan anggota A dan B. Dalam hal ini digunakan notasi A + B.
Secara matematik dapat dinyatakan sebagai
A + B = { x | x (A B) tetapi x (A B) }.
Sebagai contoh jika A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B ={ 2, 4, 6 } maka A + B = { 1, 3, 5, 6 }.
Diagram Venn dari operasi penjumlahan dapat digambarkan.
Catatan bahwa :
A + B = (A B) - (A B) atau A + B = (A - B) (B -
Hukum komutatif :
A
B
=
B
A
,
A
B
=
B
A
.
Bukti
:
Karena
A
B
= {
x
|
x
A
dan
x
B
}
maka
A
B
= {
x
|
x
B
dan
x
A
}
=
B
A
.
Karena
A
B
= {
x
|
x
A
atau
x
B
}
maka
Hukum assosiatif:
A
(
B
C
) = (
A
B
)
C
,
A
(
B
C
) = (
A
B
)
C
.
Hukum idempoten:
A
A
=
A
,
Hukum distributif :
A
(
B
C
) = (
A
B
)
(
A
C
),
A
(
B
C
) = (
A
B
)
(
A
C
).
Hukum de Morgan :
(
A
B
)
c=
A
c
B
c,
(
A
B
)
c=
A
c
B
c.
Jika
A
B
maka
A
B
=
A
dan
A
Himpunan bilangan
Himpunan bilangan asli (natural number)
N = { 1, 2, 3, 4, 5, …. }.
Himpunan bilangan prima (prime number)
P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. }.
Himpunan bilangan cacah C = { 0, 1, 2, 3, 4, …. }. Himpunan bilangan bulat (integer)
Z = {…., -3, -2, -1, 0, 1,2, 3, …. }.
Himpunan bilangan real (real number) R adalah
himpunan yang memuat semua bilangan anggota garis bilangan.
Himpunan bilangan rasional (rational number)
Q = { a/b | a, b Z dan b 0 }
Himpunan bilangan irrasional R – Q = Qc = { x R | x
Operasi Biner
Defnisi I.1
Misalkan A himpunan tidak kosong.
Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap
pasangan berurutan x, y dalam A dengan tepat satu anggota x * y dalam A.
Himpunan bilangan bulat Z mempunyai dua operasi
biner yang dikenakan padanya yaitu penjumlahan (+) dan pergandaan (.).
Dalam hal ini untuk setiap pasangan x dan y dalam
Operasi biner mempunyai dua bagian dari
defnisi yaitu:
terdefnisikan dengan baik (
well-defned
)
yaitu untuk setiap pasangan berurutan
x
,
y
dalam
A
dikawankan dengan tepat satu nilai
x
*
y
.
A
tertutup
di bawah operasi * yaitu untuk
Contoh I.3:
Diketahui
N
himpunan semua
bilangan bulat positif.
Didefnisikan * dengan aturan
x
*
y
=
x
-
y
.
Karena 3, 5 dalam
N
dan 3*5 = 3-5 =
-2 tidak berada dalam
N
maka
N
tidak tertutup di bawah operasi *
sehingga * bukan operasi biner pada
Contoh I.4:
Didefnisikan operasi # dengan aturan x # y = x +2y dengan x, y dalam
N = {1, 2, 3, … }.
Akan ditunjukkan bahwa # merupakan operasi biner.
Jelas bahwa # terdefnisikan dengan baik karena rumus x+2y memberikan hasil tunggal untuk
setiap x, y dalam N.
Untuk sebarang x, y dalam N maka jelas bahwa
x+2y masih merupakan bilangan bulat positif. Lebih jauh 2y + x > 0 jika x > 0 dan y > 0.
Hukum-hukum Aljabar
Suatu sistim aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan
satu atau lebih operasi yang didefnisikan padanya. Bersama dengan hukum-hukum yang dibutuhkan dalam operasi.
Defnisi I.2
Misalkan * operasi biner pada himpunan A.
(1) operasi * assosiatif jika (a*b)*c = a*(b*c) untuk semua a,
b, c dalam A.
(2) operasi * komutatif jika a*b = b*a untuk semua a, b
dalam A.
Dalam pembahasan selanjutnya hukum-hukum dasar aljabar untuk penjumlahan dan pergandaan yang didefnisikan pada bilangan bulat Z dan bilangan real R sebagai aksioma
Contoh I.5:
Operasi * didefnisikan pada
himpunan bilangan real R dengan
a
*
b
= (1/2)
ab
.
Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif
Untuk selanjutnya dalam tulisan ini R2 dimaksudkan
himpunan semua pasangan berurutan dari bilangan real R2 = { (a,b) | a, b dalam R }.
Contoh I.7:
Misalkan mempunyai aturan (a,b) (c,d) = (a+c, b+d).
Akan ditunjukkan bahwa R2 tertutup di bawah
operasi .
Untuk sebarang (a,b) dan (c,d) dalam R2 berlaku
(a,b) (c,d) = (a+c,b+d)
dengan a+c dan b+d dalam R sehingga (a+c,b+d) dalam R2.
Defnisi I.3:
< A,* > memenuhi hukum identitas asalkan A mengandung suatu anggota e sehingga e*a = a*e = a untuk semua a dalam A. Anggota A yang
mempunyai sifat demikian dinamakan identitas
untuk < A,* >.
< A, * > memenuhi hukum invers asalkan A
mengandung suatu identitas e untuk operasi * dan untuk sebarang a dalam A terdapat suatu anggota a dalam A yang memenuhi a*a =
a*a = e.
Sebagai contoh,
Z
mengandung identitas 0
untuk operasi penjumlahan dan untuk setiap
a
dalam
Z
, anggota –
a
memenuhi
a
+(-
a
) = (-
a
)+
a
= 0 sehingga
a
mempunyai invers terhadap
operasi penjumlahan dan <
Z
, + > memenuhi
hukum invers.
Di samping itu
Z
mengandung identitas 1
Untuk membuktikan hukum identitas
dilakukan dengan menduga anggota
tertentu e dalam himpunan yang berlaku
sebagai identitas dan kemudian menguji
apakah e*a = a dan a*e = a untuk
sebarang a dalam himpunan.
Untuk membuktikan hukum invers
dilakukan dengan sebarang anggota x
dalam himpunan yang mempunyai
identitas e dan menduga invers dari x
yaitu x
dalam himpunan dan kemudian
Contoh I.8:
Bila operasi didefnisikan seperti pada Contoh I.6 maka
akan dibuktikan bahwa hukum invers dan hukum identitas berlaku.
Diduga bahwa (0,0) merupakan anggota identitas. Karena untuk sebarang (a,b) dalam R2 berlaku
(0,0)+(a,b) = (0+a, 0+b) = (a,b)
dan (a,b) + (0,0) = (a+0, b+0) = (a,b) maka (0,0) identitas dalam R2.
Bila diberikan sebarang (a,b) dalam R2 maka akan
ditunjukkan (-a,-b) dalam R2 merupakan inversnya.
Karena –a dan –b dalam R maka (-a,-b) dalam R2. Lebih
jauh lagi,
(a,b) (-a,-b) = (a-a,b-b) = (0,0) dan
(-a,-b) (a,b) = (-a+a,-b+b) = (0,0)
