Sifat Relasi dan Konsep Fungsi

(1)

SIFAT RELASI DAN KONSEP FUNGSI

Oleh

M ZULFIKAR M (1003095)

(2)

KOMPETENSI INTI

(3)

KOMPETENSI INTI



Memahami,

menerapkan,

dan

menganalisis

pengetahuan

faktual,

konseptual, dan prosedural dalam ilmu

pengetahuan, teknologi, seni, budaya,

dan

humaniora

dengan

wawasan

kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan,

dan peradaban terkait fenomena dan

kejadian,

serta

menerapkan

pengetahuan prosedural pada bidang

kajian yang spesifk sesuai dengan bakat

dan

minatnya

untuk

memecahkan

(4)

KOMPETENSI DASAR



Memahami daerah asal, daerah kawan,

dan daerah hasil suatu relasi antara dua

himpunan yang disajikan dalam berbagai

bentuk

(grafk,

himpunan

pasangan

terurut, atau ekspresi simbolik).

(5)

INDIKATOR



Mengidentifkasi sifat-sifat dari suatu

relasi.



Mengidentifkasi relasi yang disajikan

dalam

berbagai

bentuk

yang

merupakan fungsi.

(6)

SIFAT RELASI

Sifat

Simetris

Sifat

Antisimet

ris

Sifat

Refeksif

Sifat

Transitif

Sifat

Ekuivalen

(7)

Relasi R bersifat Refeksif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

Sifat Refeksif

Misalkan R sebuah relasi yang didefnisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat Refeksif jika untuk setiap p ∈ P erlaku (p,p) ∈ P

Contoh 1

(8)

Relasi R tidak bersifat refeksif sebab

ada anggota himpunan C, yaitu 5

tidak berelasi dengan dirinya sendiri

atau (5, 5) bukan anggota R

Diperoleh R = {(2,2), (2,4), (2,5),

(4,2), (4,4), (5,2)}

Contoh 2

(9)

Sifat Simetris

Misalkan R sebuah relasi yang didefnisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris jika untuk setiap (x,y) ∈ R berlaku (y,x) ∈ R.

Contoh 3

Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefnisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Apakah relasi R bersifat simetris?

(10)

Relasi R tersebut tidak bersifat

simetris karena (4,2) anggota R tetapi

(2,4) bukan anggota R.

Contoh 4

Diberikan himpunan A = {2, 4, 5}.

Didefnisikan relasi R pada himpunan

A dengan R = {(x,y) │ x kelipatan y, x,

y ∈ A}, Apakah relasi R bersifat

simetris?

(11)

Sifat Transitif

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat transitif,apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R

Contoh 5

Diberikan himpuan P = {1, 2, 3}. Didefnisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakah relasi R bersifat Transitif?

Relasi R tersebut bersifat transitif sebab

(12)

Contoh 6

Diberikan himpunan C = {1, 2, 3}.

Didefnisikan relasi R dengan R =

{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3),

(3,2)}. Apakah relasi R bersifat

transitif?

(13)

Sifat Antisimetris

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,x) ∈ R berlaku x = y.

Contoh 7

Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}. Didefnisikan relasi R pada himpunan C dengan R = { (a,b) ∈ a kelipatan b, a,b ∈ C}. Apakah relasi R bersifat antisimetris?

(14)

Contoh 8

Diberikan S = {1, 2, 3}. Didefnisikan

relasi R pada himpunan S dengan R

= {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}.

Apakah relasi R bersifat antisimetris?

(15)

Sifat Ekuivalensi

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refeksif, simetris, dan transitif.

Contoh 9

Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefnisikan relasi pada himpunan P dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakah relasi R bersifat ekuivalensi?

(16)

KONSEP FUNGSI

(1) (2)

• Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q?

• Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q?

• Apakah semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P?

(17)

(3 )

(4)

•_{Apakah semua anggota himpunan P memiliki}

pasangan dengan anggota himpunan Q?

pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q?

•_{Apakah semua anggota himpunan Q memiliki}

pasangan dengan anggota himpunan P?

(18)

(5 )

(6)

pasangan dengan anggota himpunan Q?

pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q?

•_{Apakah semua anggota himpunan Q memiliki}

pasangan dengan anggota himpunan P?

(19)

Relasi 1

•_{Semua anggota himpunan P memiliki pasangan}

dengan anggota himpunan Q.

yang tunggal dengan anggota himpunan Q.

•_{Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan}

dengan anggota himpunan P.

Relasi 2

yang tunggal dengan anggota himpunan Q.

•_{Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki}

(20)

Relasi 3

•_{Semua anggota himpunan} _{P memiliki pasangan}

dengan anggota himpunan Q.

•_{Ada anggota himpunan} _{P yang berpasangan}

dengan dua buah anggota himpunan Q.

•_{Semua anggota himpunan} _{Q memiliki pasangan}

dengan anggota himpunan P.

Relasi 4

dengan anggota himpunan Q

•_{Semua anggota himpunan} _{P memiliki pasangan}

yang tunggal dengan anggota himpunan Q.

(21)

Relasi 5

•_{Ada anggota himpunan P yang tidak memiliki}

pasangan dengan anggota himpunan Q.

•_{Ada anggota himpunan P yang berpasangan}

dengan semua anggota himpunan Q.

•_{Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan}

dengan anggota himpunan P.

Relasi 6

•_{Ada anggota himpunan P yang tidak memiliki}

pasangan dengan anggota himpunan Q.

pasangan dengan anggota himpunan P..

(22)

Dari 6 relasi diatas. Relasi 1, 2, dan 4

adalah fungsi dari himpunan P ke

himpunan Q.

- Semua anggota himpunan P

memiliki pasangan dengan anggota

himpunan Q.

- Semua anggota himpunan P

memiliki pasangan yang tunggal

(23)

KONSEP FUNGSI

Defnisi Fungsi

A dan B himpunan. Fungsi f dari A ke Misalkan B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Secara simbolik f : A → B, dibaca: fungsi f

memetakan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

f : x → y, dibaca: fungsi f memetakan x ke y, sedemikian sehingga y = f(x).

y adalah peta

(24)

Contoh 10:

Perhatikan diagram panah dibawah ini :

(25)

Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang

memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah

asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan

(26)

Contoh 11

Diketahui suatu fungsi f : x  x + 2 dengan

daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x  A} a. Tentukan rumus fungsi !

b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi !

(27)

27

a. Rumus fungsi f(x) = x +2

b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 }

c. Daerah hasil : f(x) = x + 2

untuk x = 2



f(x) = 2 + 2 = 4

x = 3



f(x) = 3 + 2 = 5

x = 4



f(x) = 4 + 2 = 6

x = 5



f(x) = 5 + 2 = 7

Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 }

d. f(x) = 15 x + 2 = 15

x = 15 – 2

x = 13

Jadi nilai x = 13

(28)

Contoh 12

Diketahui fungsi f:x→f(x) degan rumus fungsi f(x)=px-q. Jika f(1)=-3 dan f(4)=3. Tentukanlah nilai p dan q kemudian tentukanlah rumus fungsinya!

Jawab:

f(x)=px-q, f(1)=-3, f(4)=3

Jika f(1)=-3 maka f(x)=px-q → -3=p-q…………(1) Jika f(4)=3 maka f(x)=px-q → 3=4p-q…………(2) Persamaan (1) dikurangi persamaan (2), didapat: -6=-3p → p=2

-3=p-q → -3=2-q → -q=-5 → q=5

(29)

Contoh 13

Diketahui fungsi dengan rumus

Tentukan

domain

fungsi

f

agar

mempunyai pasangan di himpunan

bilangan real.

Jawab

Domain fungsi f memiliki pasangan

dengan anggota himpunan bilangan real

apabila:

2x + 6 ≥ 0,

2x ≥ -6 ↔ x ≥ -3.

6 2

)

(30)

1. Diberikan himpunan P={a,b,c,} dan reasi R adalah pasangan berurutan dari A×A. apakah relasi R bersifat refeksif, simetris, transitif, antisimetris atau bahkan ekuivalen?

2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan

termasuk fungsi atau bukan fungsi ! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }

b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,4), (5,6), (7,8) } d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

(31)

3. Fungsi f : x  x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 } .

a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah .

b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan .

c. Tulis range dari f .

4. Diketahui fungsi f dengan rumus

Tentukanlah daerah asal dari sungsi f

agar memiliki pasangan di angota

himpunan bilangan real

8 2

1 )

(x _ x _

(32)

1.Didapat R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}

Relasi R bersifat refeksif karena setiap anggota himpunan A berpasangan dengan sirinya sendiri Relasi R tersebut bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R.

Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.

Relasi R tidak bersifat antisimetris sebab terdapat (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R, tetapi a ≠ b.

Relasi R bersifat ekuivalen karena memenuhi sifat refelksif, simetri, dan transitif

(33)

2a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }

bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y .

. 2

. 3

. 4

. 5

1 .

2 .

3 .

Bukan fungsi

(34)

2b. { (1,1), (2,2), (3,3) }

1 .

2 .

3 .

. 1

. 2

. 3

Fungsi

B

(35)

2c. { (3,4), (5,6), (7,8) }

. 4

. 6

. 8

3 .

5 .

7 .

Fungsi

(36)

36

2d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

. 3

. 4

. 5

2 .

3 .

4 .

Fungsi

(37)

37

3b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) }

3c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )

4.

Domain

fungsi

f

memiliki

pasangan

dengan

anggota

himpunan bilangan real apabila:

(½) x - 8 ≥ 0,

(38)

38

3a. Fungsi f : x



x + 3 , jadi f(x) = x

+ 3

Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 =

1

x = -1 maka f(-1) = -1 + 3

= 2

x = 0 maka f(0) = 0 + 3 =

3

x = 1 maka f(1) = 1 + 3 =

4

x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5

. 1 . 2 . 3 . 4 . 5 -2 . -1 . 0 . 1 . 2 .

(39)