Vol.2No.1Hal. 42 – 51 ISSN : 2303–2910
c
Jurusan Matematika FMIPA UNAND
KEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT
PADA PEMETAAN TIPE-
NONSPREADING
DAN
NONEXPANSIVE
DEBI OKTIA HARYENI
Program Studi Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,
debby [email protected]
Abstract. We obtained some fundamental properties for k-strictly pseudononspread-ing mapppseudononspread-ings in Hilbert space. Furthermore, we studied the approximation of common fixed points of k-strictly pseudononspreading mappings and nonexpansive mappings in a Hilbert space using the iterative scheme.
Kata Kunci: Fixed point, Hilbert space, Banach Space, nonexpansive mappings, non-spreading mappings.
1. Pendahuluan
Misalkan X adalah suatu himpunan tak kosong dan T : X → X. Titik x ∈ X
dinamakan suatu titik tetap dari T jika berlakuT(x) =x. Himpunan semua titik tetap dariT dinotasikan denganF(T).
Pada ruang Hilbert dapat didefinisikan beberapa jenis pemetaan, seperti pemetaan nonexpansive dan pemetaan nonspreading. Titik tetap dari pemetaan tertentu pada ruang Hilbert tidak mudah untuk ditentukan secara langsung. Oleh karena itu, diperlukan prosedur iterasi sehingga titik tetap sesungguhnya dapat dihampiri. Nilai hampiran ini dinamakan aproksimasi titik tetap.
Dalam tulisan ini penulis akan mengkaji kembali paper [5] yang membahas ten-tang aproksimasi titik tetap dari pemetaankpseudononspreading sejatiS :C→C
dan pemetaannonexpansiveT :C→Cdalam ruang Hilbert dengan menggunakan iterasi sebagai berikut:
x1∈C,
xn+1= (1−αn)(βnxn+ (1−βn)Sxn) +αn(γnxn+ (1−γn)T xn).
(1.1)
Selanjutnya iterasi di atas akan dipandang sebagai suatu barisan (xn) diC.
1.1. Norm dan Hasil Kali Dalam
Definisi 1.1. [4]Suatu fungsik·kdari suatu ruang vektorX keRdikatakan suatu
norm jika memenuhi kondisi berikut:
(N1)kxk= 0 jika dan hanya jikax= 0,
(N2)kαxk=|α|kxk, untuk setiapx∈X danα∈R, (N3)kx+yk ≤ kxk+kyk, untuk setiap x, y∈X.
Pasangan (X,k.k) dinamakanruang norm.
Definisi 1.2. [4] Misalkan X adalah suatu ruang vektor kompleks. Suatu fungsi
h., .i:X×X→Cdinamakan hasil kali dalam diX jika untuk sebarang x, y, z∈X
danα, β∈C, berlaku:
(H1)hx, xi>0, danhx, xi= 0jika dan hanya jikax= 0,
(H2)hx, y+zi=hx, yi+hx, zi,
(H3)hαx, yi=αhx, yi,
(H4)hx, yi=hy, xi(tanda bar menunjukkan konjugat kompleks).
Pasangan (X,h., .i) dinamakanruang hasil kali dalam (ruang pre-Hilbert).
Definisi 1.3. [4] Suatu barisan dari vektor-vektor (xn) dalam ruang norm X
dikatakan Cauchy jika limm,n→∞kxm−xnk = 0, yaitu untuk setiap ǫ > 0, ada
suatuM(ǫ)∈N sedemikian sehinggakxm−xnk< ǫ, untuk setiap m, n≥M(ǫ).
Suatu ruang hasil kali dalam lengkap, yakni bilamana memenuhi definisi ru-ang hasil kali dalam dan setiap barisan Cauchy di X konvergen ke suatu elemen di X, dinamakan ruang Hilbert, sedangkan ruang bernorm lengkap dinamakan dinamakanruang Banach.
1.2. Pemetaan nonexpansive dan nonspreading
Misalkan H adalah suatu ruang Hilbert riil dan C adalah subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari H. PemetaanT :C →C dikatakannonexpansive
apabila memenuhi
kT x−T yk ≤ kx−yk,∀x, y ∈C. (1.2)
PemetaanT :C→C dikatakannonspreading jika memenuhi
2kT x−T yk2≤ kT x−yk2+kx−T yk2,∀x, y ∈C. (1.3)
Berdasarkan terminologi Browdwer-Petryshyn [5], T : C → H dikatakan k
pseudononspreading sejatijika ada k∈[0,1), sedemikian sehingga
kT x−T yk2≤ kx−yk2+ 2hx−T x, y−T yi+kkx−T x−(y−T y)k2,∀x, y ∈C.
(1.4) Dengan demikian jelas bahwa setiap pemetaannonspreading merupakan pemetaan
kpseudononspreading sejati.
Definisi 1.4. [3] Misalkan E adalah suatu ruang Banach riil. Suatu pemetaan T dengan domain D(T) dan range R(T) di E disebut demiclosed di suatu titik p ∈ D(T) jika setiap (xn) yang merupakan barisan di D(T) konvergen lemah ke
suatu titik x∈D(T)dan(T xn) konvergen kuat kep, makaT x=p.
(1) ktx+ (1−t)yk2=tkxk2+ (1−t)kyk2−t(1−t)kx−yk2, dengant∈[0,1],
(2) 2hx−y, z−wi=kx−wk2+ky−zk2− kx−zk2− ky−wk2.
Lema 1.6. [5]MisalkanC suatu subhimpunan konveks tertutup dariH. Pemetaan S:C→Cadalah pemetaan kpseudononspreading sejati jika dan hanya jika untuk setiapx, y∈C, berlaku
2kSx−Syk2≤ kSx−yk2+kx−Syk2+kk(1−S)x−(1−S)yk2. (1.5)
Lema 1.7. [5] Misalkan C adalah suatu subhimpunan konveks tertutup dan tak kosong dari H,S :C→C suatu pemetaan kpseudononspreading sejati, dan A=
I−S, sehingga untuk setiapx, y∈C diperoleh
(2−k)kAx−Ayk2
≤2hx−y, Ax−Ayi+kAxk2
+kAyk2
. (1.6)
Lema 1.8. [5] Misalkan C subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari suatu ruang HilbertHdanS:C→Cadalah suatu pemetaankpseudononspreading sejati, maka I−S demiclosed di0.
2. Kekonvergenan Barisan di Ruang Hilbert pada Pemetaan Tipe-nonspreading dan nonexpansive
2.1. Teorema Utama
Teorema 2.1. [5] Misalkan C adalah subhimpunan konveks tertutup tak kosong dari suatu ruang Hilbert riil H, S :C →C adalah suatu pemetaan k pseudonon-spreading sejati, dan T : C →C adalah suatu pemetaan nonexpansive sedemikian sehingga F(S)∩F(T)6=∅. Misalkan (αn),(βn),(γn)adalah barisan-barisan dalam
selang [0,1] sedemikian sehingga βn ∈ (k,1]. Definisi barisan (xn) adalah sebagai
berikut:
x1∈C,
xn+1= (1−αn)(βnxn+ (1−βn)Sxn) +αn(γnxn+ (1−γn)T xn),
(2.1)
untuk setiap n∈N.
(T1) Jika lim infn→∞αn(βn−γn) > 0,
P∞
n=1αn(1−γn) < ∞, dan 1 +k <
(2−αn)βn+αnγn, maka(xn)konvergen lemah keq∈F(S).
(T2) Jika βn > γn,P
∞
n=1(1 −βn) < ∞,2βn −1 −αn(βn −γn) > 0, dan
lim infn→∞αn(βn−γn)(2βn−1−αn(βn−γn))>0, maka(xn)konvergen
lemah ke q∈F(T).
(T3) Jika lim infn→∞αn >0,lim infn→∞(1−αn)>0,lim infn→∞(1−βn)>0,
danlim infn→∞γn(1−γn)>0, maka(xn)konvergen lemah keq∈F(S)∩
F(T).
Bukti. Misalkan Un = βnI+ (1−βn)S dan Vn = γnI+ (1−γn)T.
Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa barisan (xn) terbatas. Berdasarkan Lema 1.5(1) dan
x, y∈Cdiperoleh
kUnx−Unyk2=kβn(x−y) + (1−βn)(Sx−Sy)k2
≤βnkx−yk2+ (1−βn)(kx−yk2+ 2hx−Sx, y−Syi
+kkx−Sx−(y−Sy)k2
)−βn(1−βn)kx−Sx−(y−Sy)k 2
≤ kx−yk2
+ 2(1−βn)hx−Sx, y−Syi.
Karena Un =βnI+ (1−βn)S maka (1−βn)Sy=Uny−βny untuk setiapy∈C,
sehingga diperoleh
kUnx−Unyk2≤ kx−yk2+ 2hx−Sx, y−Unyi. (2.2)
Misalkanp∈F(S)∩F(T), dengan demikianp=Spsehingga
Unp=βnp+ (1−βn)Sp=p. (2.3)
Dari persamaan (2.2) dan persamaan (2.3), diperoleh
kUnxn−pk2=kUnxn−Unpk2≤ kxn−pk2.
Karena T merupakan pemetaan nonexpansive dan F(T) 6= ∅, maka untuk setiap
p∈F(S)∩F(T) diperoleh
kVnxn−pk=kγnxn+ (1−γn)T xn−pk
≤ kγn(xn−p)k+k(1−γn)(T xn−p)k
≤ kxn−pk. (2.4)
Dari persamaan (2.2) – persamaan (2.4), untuk setiapn∈Ndiperoleh
kxn+1−pk2 =k(1−αn)Unxn+αnVnxn−pk2
≤(1−αn)kUnxn−pk2+αnkVnxn−pk2
≤ kxn−pk2. (2.5)
Dengan demikian (kxn−pk) bukan barisan naik, mengakibatkan limn→∞kxn−pk
ada dan karena itu (xn) terbatas. Misalkan
lim
n→∞kxn−pk=c. (2.6)
Untuk membuktikan (T1), misalkan
zn+1= (1−αn)Unxn+αn(γnxn+ (1−γn)Sxn), (2.7)
danA=I−S, maka
kxn+1−zn+1k=αnkγnxn+ (1−γn)T xn−γnxn−(1−γn)Sxnk
=αn(1−γn)kT xn−Sxnk. (2.8)
Karena P∞n=1αn(1−γn) < ∞ maka dari [2,7],
P∞
n=1αn(1−γn) konvergen dan
limn→∞αn(1−γn) = 0. Oleh karena itu limn→∞kxn−znk= 0 dan diperoleh
lim
n→∞kzn−pk= limn→∞kxn−pk=c. (2.9)
Karena Un=βnI+ (1−βn)S, diperoleh
Dari Lema 1.7, Lema 1.8,Ap= 0, dan persamaan di atas, maka diperoleh
kzn+1−pk2=k(1−αn)Unxn+αn(γnxn+ (1−γn)Sxn)−pk2
≤ kxn−pk2−αn(βn−γn){(1−k)−2(1−βn)−αn(βn−γn)}kAxnk2.
Oleh karena itu,
αn(βn−γn){(1−k)−2(1−βn)−αn(βn−γn)}kAxnk2≤ kxn−pk2− kzn+1−pk2.
(2.10) Karena lim infn→∞αn(βn−γn)>0 dan (1−k−2(1−βn)−αn(βn−γn))>0,
akibatnya
lim
n→∞kxn−Sxnk= limn→∞kAxnk= 0. (2.11)
Karena (xn) barisan terbatas, maka ada suatu subbarisan (xni)⊂(xn) sedemikian
sehingga (xni) konvergen lemah ke q. Dari Lema 1.8 diperoleh q ∈ F(S). Untuk
menunjukkan kesimpulan perlu ditunjukkan bahwa untuk subbarisan lain (xnj)⊂
(xn), sedemikian sehingga jika (xnj) konvergen lemah ke v ∈ F(S), maka q = v.
Sebelum membuktikan ini terlebih dahulu akan dibuktikan bahwa untuk sebarang
z∈F(S),limn→∞kxn−zk ada. Perhatikan bahwa
Unz=βnz+ (1−βn)Sz=z, (2.12)
dan untuk setiap z∈F(S) diperoleh
kUnxn−zk 2
=kUnxn−Unzk 2
≤ kxn−zk 2
. (2.13)
Dengan demikian
kzn+1−zk=k(1−αn)Unxn+αn(γnxn+ (1−γn)Sxn)−zk
≤ kzn−zk+kxn−znk+αn(1−γn)kSxn−zk. (2.14)
KarenaP∞
n=1αn(1−γn)<∞, limn→∞kxn−znk= 0, dan dari [3] limn→∞kzn−zk
ada, mengakibatkan limn→∞kxn−zkjuga ada. Misalkanq6=v, dari [3] diperoleh
lim
n→∞kxn−qk= limi→∞kxni−qk<ilim→∞kxni−vk
= lim
n→∞kxn−vk= limj→∞k
xnj−vk
< lim
j→∞kxnj −qk= limn→∞kxn−qk, (2.15)
yang merupakan suatu kontradiksi. Oleh karena itu mestilah q=v dan (xn)
kon-vergen lemah ke q∈F(S).
Untuk membuktikan (T2), misalkan
zn+1= (1−αn)(βnxn+ (1−βn)T xn) +αnVnxn, (2.16)
maka diperoleh
kxn+1−zn+1k ≤(1−βn)kSxn−T xnk. (2.17)
Karena P∞n=1(1 − βn) < ∞, maka limn→∞(1 − βn) = 0. Oleh karena itu
terbatas. Misalkan B = I−T dan untuk setiap p∈ F(S)∩F(T), maka Bp= 0
dari [5] denganB=I−T adalah1/2 invers monoton kuat, maka diperoleh
kzn+1−pk2≤ kxn−pk2−αn(βn−γn)kBxn−Bpk2+ 2αn(1−βn)
Dengan menjumlahkan persamaan (2.19) darin= 1 hinggaN, diperoleh ΣN
Karena T merupakan pemetaan nonexpansive, dari [7] diperoleh
Karena (xn) adalah barisan terbatas, maka ada suatu subbarisan (xni) ⊂ (xn)
sedemikian sehingga (xni) konvergen lemah ke q. Suatu pemetaan nonexpansive T merupakandemiclosed dengan q∈ F(T). Berdasarkan bukti bagian (T1), (xn)
konvergen lemah ke q∈F(T).
(T3). Dari persamaan (2.5) dan persamaan (2.6), untuk sebarang p∈ F(S)∩
F(T) diperoleh
0≤ kxn−pk2− kxn+1−pk2→c2−c2= 0. (2.25)
Karena n → ∞, pertama akan ditunjukkan bahwa (xn) konvergen lemah untuk
beberapa titik diF(S). Dari persamaan (2.2) – persamaan (2.4) diperoleh
kxn+1−pk
Karena Sadalah suatu pemetaan kpseudononspreading sejati,p∈F(S), dan dari persamaan (1.4) diperoleh
Sebagaimana pada pembuktian (T1), dari Lema 1.8 jika (xni) konvergen lemah ke v, maka v ∈ F(S). Akan ditunjukkan bahwa v ∈ F(T). Dari persamaan (2.2) – persamaan (2.4), untuk p∈F(S)∩F(T), maka
kxn+1−pk2≤(1−αn)kxn−pk2+αnkγnxn+ (1−γn)T xn−pk2
Oleh karena itu diperoleh
0≤ kxn−pk2−(1−αn)kxn−pk2−αnkγnxn+ (1−γn)T xn−pk2
=αn(kxn−pk2− kγnxn+ (1−γn)T xn−pk2)
≤ kxn−pk2− kxn+1−pk2. (2.34)
Karena lim infn→∞αn>0, dari persamaan (2.25) diperoleh
lim
n→∞(kxn−pk
2
− kγnxn+ (1−γn)T xn−pk2) = 0. (2.35)
Karena T merupakan pemetaan nonexpansivedanp=T p, maka
kγnxn+ (1−γn)T xn−pk2=kγn(xn−p) + (1−γn)(T xn−p)k2
subbarisan lain dari (xn) sedemikian sehingga (xnj) konvergen lemah ke v. Oleh
karena itu diperolehq=v. Sebaliknya, jika q6=v diperoleh
lim
Hal ini merupakan suatu kontradiksi, maka dari itu mestilahq=v. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa (xn) konvergen lemah keq∈F(S)∩F(T).
2.2. Beberapa Akibat Teorema Utama
Untuk pemetaannonspreading S, misalkank= 0, sehingga diperoleh
Akibat 2.2. [5] Misalkan C subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari suatu ruang Hilbert H, S : C → C adalah suatu pemetaan nonspreading, dan T :C→C adalah pemetaan nonexpansive sedemikian sehingga F(S)∩F(T)6=∅. Definisi barisan (xn) adalah sebagai berikut:
(3) Jika lim infn→∞αn >0,lim infn→∞(1−αn)>0,lim infn→∞(1−βn)>0,
danlim infn→∞γn(1−γn)>0, maka(xn)konvergen lemah keq∈F(S)∩
F(T).
Akibat 2.3. [5] MisalkanC suatu subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari ruang Hilbert H dan S : C → C suatu pemetaan nonspreading sedemikian sehingga F(S)6=∅. Definisi barisan (xn) adalah sebagai berikut:
x1∈C,
xn+1=αnxn+ (1−αn)Sxn,
(2.40)
untuk setiap n∈N, dengan(αn)adalah barisan dalam selang[0,1].
Jika lim infn→∞αn>0, maka (xn)konvergen lemah keq∈F(S).
Bukti. Dengan memisalkanβn = 0, γn = 1 untukn∈Npada Teorema 2.1, maka
diperoleh akibat di atas.
Akibat 2.4. [5] Misalkan C merupakan subhimpunan konveks tertutup yang tak kosong dari suatu ruang HilbertH danT:C→Cmerupakan pemetaan nonexpan-sive sedemikian sehingga F(T)6=∅. Definisi barisan (xn) adalah sebagai berikut:
x1∈C,
xn+1= (1−αn)xn+αnT xn,
(2.41)
untuk setiapn∈N, dengan(αn)adalah barisan dalam selang[0,1]. JikaP∞
n=1αn=
∞, maka (xn)konvergen lemah ke q∈F(T).
Bukti. Dengan memisalkanβn = 1, γn = 0 untukn∈Npada Teorema 2.1, maka
diperoleh akibat tersebut di atas.
3. Ucapan Terima kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Syafrizal Sy, Bapak Admi Nazra, Bapak Muhafzan, Bapak Efendi, dan Bapak Mahdhivan Syafwan yang telah mem-berikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.
Daftar Pustaka
[1] Agarwal, R.P., D. O’Regan dan D.R. Sahu. 2009. Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications. New York: Springer.
[2] Bartle, R.G. dan D.R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis (Third Edition). New York: John Wiley and Sons.
[3] Berinde, V. 2007.Iterative Approxomation of Fixed Point. New York: Springer. [4] Debnath, L. dan P. Mikusi´nski. 2005.Hilbert Space with Applications. California:
Elsevier.
[6] Shigeru, I. dan W. Takahashi. 2009.Approximating common fixed point of non-expansive mappings and nonspreading mappings in a Hilbert space. Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications.71: e2082 – e2089.
