BAB VI Persamaan dan kuadrat

(1)

Persamaan Kuadrat Kompetensi Inti :

K I 1

: Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya

K I 2

: Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi, gotongroyong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya

K I 3

: Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata K

I 4

: Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori

Kompetensi Dasar

1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya

2.1 Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta

memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar.

1.2 Memiliki sikap terbuka, santun, objektif, menghargai pendapat dan karya teman dalam interaksi kelompok maupun aktivitas sehari-hari.

3.3 Menentukan nilai persamaan kuadrat dengan satu variabel yang tidak diketahui

Tujuan pembelajaran

1. Siswa dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan 2. Siswa dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan

kuadrat sempurna

3. Siswa dapat menurunkan rumus penyelesaian persamaan kuadrat dengan rumus abc

(2)

GERBANG ILMU Apersepsi

Pak Adi bermaksud menjadikan tanah pekarangan yang berbentuk empat persegi panjang berukuran 60 m  80 m sebuah taman. Dia merencanakan sebuah jalan setapak dengan lebar sama, yang mengelilingi taman tersebut. Setelah taman tersebut jadi, ternyata luas tamannya tinggal seperenam luas tanah pekarangan semula. Berapa lebar jalan setapak yang dibuat Pak Edi? Dengan memisalkan lebar jalan setapak x m, diperoleh:

(80 - 2x)(60 - 2x) = 1/6 x 60 x 80

BAB 6

PERSAMAAN KUADRAT

A. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Sesuai dengan model matematika yang didesain dari contoh masalah diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0, dengan a≠ 0 dan a,b,c ∈ R. Setiap konstanta pengganti x yang menjadikan pernyataannya bernilai benar disebut penyelesaian persamaan kuadrat atau akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Dari persoalan nomor 1 di atas, diperoleh model matematika bahwa lebar jalan setapak Pak Adi memenuhi persamaan x2 _{-70x +1000 = 0 .}

Aturan pokok yang dijadikan dasar penyelesaian kuadrat adalah sifat dalam bilangan real yang kita lampirkan dalam modul ini, adalah bahwa:

Aturan pokok untuk menyelesaikan persamaan aljabar:

untuk setiap a, b R jika dipenuhi a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0

Dari persoalan nomor 1 di atas, x 2_{- 70 x +1000 0}

( x -20 )( x -50 ) 0 x= 20 0 atau x=50

Jawaban ini jika direfleksikan kembali ke persoalannya, maka lebar jalan setapak yang mungkin adalah 20 m (pembaca dapat mencari jawaban mengapa tidak 50 m).

Cara yang pembaca lakukan di atas dikenal sebagai menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan. Secara umum, penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara:

a. memfaktorkan, cara ini akan sangat efektif bila diskriminannya merupakan kuadrat sempurna;

(3)

c. menggunakan rumus, yang biasa kita sebut sebagai rumus abc. Adapun contoh-contoh penyelesaiannya sebagai berikut.

1) Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan Pada prinsipnya pemfaktoran merupakan kebalikan dari penjabaran, langkah selanjutnya adalah digunakannya Teorema II dari Hukum Dasar Aljabar yang penulis sertakan dalam lampiran ini.

Contoh 1.

Selesaikan persamaan kuadrat x2_{- 5x + 6 = 0} Jawab :

x2_{-5x + 6 = 0}

dikalikan : ( -2)x (- 3) = 6 (= c) (x -2)(x-3) = 0

dijumlah : ( -2)+( -3) = -5 (= b)

x -2 = 0 atau x-3 = 0 (Teorema II) x = 2 atau x = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya { 2, 3}

2) Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Penyelesaian kuadrat sempurna dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna pada dasarnya menggunakan sifat-sifat:

a) Jika x2_{= p untuk p≥0, maka x = ±} p_{(artinya x =} p_{atau x =} - p )

b) (a + b)2_{= a}2_{+ 2ab + b}2

Jika dalam persamaan kuadrat diskriminan (D = b2_{4ac) bukan kuadrat} sempurna, maka cara ini adalah sangat efektif, demikian juga cara ini justru dapat digunakan sebagai dasar penyelesaian umum persamaan kuadrat, dan dalam pengembangannya dapat untuk menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi kuadrat, mencari sumbu simetrinya dan sebagainya.

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat x2_{+ 4x 5 = 0}

Jawab : x2_{+ 4x 5 = 0}

x2_{+ 4x = 5}

x2_{+ 4x + 4 = 5 + 4 (kedua ruas ditambah kuadrat dari}1

2 b atau ( 1

2 (4))2 4 ) (x + 2)2_{= 9} x + 2 = 9 3

(4)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1, 5}

3) Menurunkan Rumus Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc

Menurunkan rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat dipercayakan kepada siswa, tetapi syaratnya penyelesaian

dengan melengkapkan kuadrat telah dikuasai dengan baik. Dengan pengarahan yang baik maka siswa dapat diarahkan menurunkan rumus mencari akar persamaan kuadrat. Cara menurunkan rumus penyelesaian kuadrat di bawah ini dapat dijadikan referensi tambahan guru pada saat memfasilitasi siswa me-reinvent rumus ini, di samping cara menurunkan rumus yang sudah sering kita kenal.

(5)

a adalah b, sedemikian hingga dipenuhi b2 _{= a. Dan merujuk} konsistensi dari matematika, maka akar kuadrat dari bilangan non negatif, didefinisikan bernilai non negatif pula. Sebagai

misal 9 3, sebab 9 positif dan 32_{= 9.}

Berikut contoh penerapan persamaan kuadrat dari persoalan yang kita jadikan konteks menuju ke persamaan kuadrat di depan.

Suatu kotak tanpa tutup untuk penyerahan kenang-kenangan teman yang berulang tahun, dibuat dari kertas karton berbentuk empat persegi panjang, ukuran 10 cm 20 cm dengan jalan menggunting suatu persegi pada keempat sudutnya. Luas alasnya adalah 96 cm2_{. Hitunglah panjang} sisi dari keempat persegi yang digunting pada sudut karton tersebut!

(6)

x 20 2 x

x x

10 2 10 2

x x

x 20 2 x

Misalkan dipotong persegi di keempat sudutnya dengan panjang sisinya x cm. Maka kotak karton tanpa tutup yang terbentuk mempunyai alas yang berbentuk empat persegi panjang dengan ukuran (20 2x) cm (10 2x) cm. Dari sini kita hasilkan persamaan :

(20 2x)(10 2x) = 96

Dengan menggunakan sifat distributif untuk menjabarkan ruas kiri kita hasilkan

200 -60x + 4x2_{= 96} 4x2_{- 60x + 104 = 0}

x2_{- 15x + 26 = 0} _{(kedua ruas dibagi dengan 4)} (x - 2)(x -13) = 0

x -2 = 0 atau x - 13 = 0 (Teorema II) x = 2 atau x = 13

Dari hasil ini dapat ditarik kesimpulan bahwa harus dipotong persegi dengan ukuran sisi 2 cm agar diperoleh kotak dengan ukuran itu, dan tidak mungkin dipotong 13 cm (mengapa ?)

2. Persamaan Irasional

Persamaan irasional adalah persamaan yang peubahnya terletak di bawah tanda akar. Untuk menyelesaikannya, pada prinsipnya adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas. Tetapi dengan mengkuadratkan kedua ruas, ada kemungkinan kita menyelundupkan akar, sehingga hasil solusi harus diperiksa kembali.

Contoh 1

Tentukan nilai x yang memenuhi identitas (x 5) 2  x 5 Jawab:

Agar berlaku identitas (x 5) 2  x 5, harus dipenuhi syaratnya, yaitu: (x – 5) ≥ 0, sebab hasil pengakaran adalah non negatif. Sehingga x ≥ 5

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari x 2₄ _{x 2} Jawab:

Uji prasyarat:

(7)

x + 2 ≥ 0 jadi x ≥ -2

Dari x24  x 2 _{, kedua ruas dikuadratkan, akan diperoleh}

x2_{– 4 = x + 2} x2_{– x – 6 = 0} (x-3)(x + 2) = 0 x = 3 atau x = 2

Dengan memperhatikan uji prasyarat tadi, maka himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah { 2, 3 }

BELAJAR MANDIRI

1. Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya 1 4 dan –3 2. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2_{– 2x + k – 3 = 0 adalah}

20, maka tentukan nilai k!

Diketahui x1, x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 2x + 6 = 0, tentukan nilai dari:

3. x1 + x2 4. x1 . x2 5. x12 + x22 BELAJAR KELOMPOK

Buatlah soal dan Kerjakanlah dengan kelompok anda tentang permasalahan persamaan kuadrat 10 soal.

UJI KOMPETENSI

A.pilihlah jawaban yang benar

1. Himpunan penyelesaian 5(x – 6) + 15 – 3 (x + 5) = 4(x –1) adalah ....

a. –11 d. –14 b. –12 e. –15 c. –13

2. Harga 1 kg beras adalah tiga kali harga 1 kg tepung terigu. Harga 6 kg beras dan 4 kg tepung terigu adalah Rp46.200,00. Jika Putri membeli 3 kg beras

dan 3 kg tepung terigu, berapa rupiahkah Putri harus membayar? a. Rp22.500,00 d. Rp23.000,00

b. Rp25.200,00 e. Rp23.100,00 c. Rp52.500,00

3. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 2/5 adalah .... a. 5x2 - 17x + 6 = 0

b. 4x2 - 10x + 3 = 0 c. 5x2 - 5x + 4 = 0 d. 5x2 – 12x + 2 = 0 e. 5x2 - 12x = 0

4. Agar persamaan x2 + (k + 2)x + (k + 3) = 0 mempunyai akar kembar maka nilai k = ....

(8)

b.  4 e.  1 c. 2 2

5. Jika persamaan ax – 4x + 10 = 0 mempunyai akar-akar dandengan・= 5 maka += ....

a. –8 d. 2 b. –4 e. 8 c. –2

6. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya lebih 3 dari akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5x – 2 = 0 adalah ....

a. x2 - x - 30 = 0 d. x2 + 5x - 21 = 0 b. x2 - x + 30 = 0 e. x2 + 8x - 24 = 0 c. x2 + x + 30 = 0

7.Jika p dan q adalah akar-akar persamaan 2x2 - 3x + 2 = 0 maka p3q2 + p2q3 = ....

a. 1 4

b. 3 4

c. 3 2

d. 9 4

e. 7 2

8. Persamaan kuadrat : x2_{– 6x + 5 = 0 akar-akarnya adalah a} dan b . Nilai (a - b)2_{= …}

A. 9 B. 16 C. 21 D. 25 E. 31

9. Fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (0,0) ; (2,0) dan melalui titik (1, -1) mempunyai persamaan ….

(9)

10.Persamaan 2 2x_{– 2}x + 3_{+ 4 = 0 , maka nilai x yang}

memenuhi adalah ….

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0

11.

Jumlah kuadrat akar-akar dari persamaan

x2px p 0

adalah ....

(A) Minimum 1

(B) Maksimum 1

(C) Minimum 8

(D) Maksimum 8

(E) Minimum -1

12. Jika dua sisi yang sama pada segitiga sama kaki

masing-masing ditambah 11 cm, hasil perubahannya

menjadi segitiga sama sisi. Jika keliling segitiga sama kaki

tersebut adalah 50 cm, maka luasnya sama dengan ....

(A) 60 cm²

(B) 90 cm²

(C) 93 cm²

(D) 108 cm²

(E) 180 cm²

13. Dari sehelai karton persegi panjang akan dibuat

sebuah kotak tanpa tutup dengan cara memotong

ujung-ujung karton tersebut dengan potongan berbentuk bujur

sangkar seluas 2 x 2 cm². Jika panjang bidang alas kotak 4

cm lebih besar dari lebarnya dan isi kotak itu 42 cm³, lebar

alas kotak tersebut adalah ....

(A) 3 cm

(B) 4 cm

(C) 5 cm

(D) 6 cm

(E) 7 cm

14. Suatu lapangan berbentuk empat persegi panjang

dengan keliling 42 m dan luas 80 m². Selisih antara

panjang dan lebar lapangan tersebut adalah?

(10)

15.

Salah satu akar persamaan

x2ax4 0

_{adalah lima}

lebihnya dari akar yang lain. Nilai a adalah ....

(A) -1 atau 1

(B) -3 atau 7

(C) -3 atau 3

(D) -4 atau 4

(E) -5 atau 5

16.

Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan

2 2 2

berkebalikan, nilai m = ....

a. 1

18. α dan β adalah akar-akar persamaan

2 ₃ ₍ _{13) 0.} 2 2 ₂₉

sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan

(11)

20 Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan

23. Himpunan penyelesaian dari persamaan

3 ₄

adalah x =2, maka akar yang lainnya adalah ....

(A) 2

(12)

1. Tentukan nilai x dari persamaan berikut: a. x24x 4 _{= x - 2}

b. 4x212x 9 = 2x + 3 2. Tentukan x dari persamaan berikut:

a. 6x - 4x 42  = x +2 b. 4x 1 - 3x 2  =1 c. 2x 1  + 3x 4  =7

Tentukan nilai x yang memenuhi: 3. 5x 1  2x  10x 5

4. 2x 8  3x 4  x 5

5. x 1  2x 3  10x 6

6.

1 2 2 1

x x

x  x

7. Jika persamaan kuadrat kx2_{+ kx + 3 = 0 mempunyai akar kembar,} tentukan nilai k dan tentukan akar-akar kembar tersebut!

8. Persamaan kuadrat mx2_{+ (2 – 2m)x + m = 0 mempunyai 2 akar riil} yang berbeda. Tentukan nilai m!

Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut, tanpa terlebih dahulu menentukan akar-akarnya.

9. x2_{+ 5x + 2 = 0} 10. x2_{– 10x + 25 = 0} Jawablah dengan singkat

1. Tentukan nilai p agar (4 – p) x2_{+ 11 x + p + 6 = 0 mempunyai akar} berkebalikan !

2. Persamaan x2_{+ (2 m – 1) x + m}2_{– 3 m – 4 = 0 mempunyai akar} berlawanan. Tentukan nilai m !

Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai dua akar yang sama !

(13)

Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai akar akar real yang berlainan !

5. x2_{+ p x + p = 0}

6. x2_{– (p + 3) x + 2 p + 2 = 0} 7. p x2_{+ 3 x + p = 0}

Tentukan nilai m agar x2_{+ 2 m x – m}2_{+ 5 m – 6 = 0 mempunyai :}

8. dua akar berlawanan 9. dua akar berlawanan tanda 10. dua akar positif

Uraikan pertanyaan dibawah ini dengan jelas

1. Konstruksikan beberapa buah persoalan yang dapat dijadikan konteks untuk pendekatan ke persamaan kuadrat

2. Selesaikanlah persamaan- persamaan kuadrat berikut : a. x2_{+ 3x 28 = 0}

b. 1

+ 1

= 5 t-1 t- 4 4 c. 5x2_{- 6x + 5 = 0}

d.

y 3p

2p6y 5p

3. Sebuah bilangan positif lebih besar 5 dari tiga kali bilangan lainnya. Hasil kali kedua bilangan itu adalah sama dengan 68. Carilah bilangan itu! 4. Tentukan ukuran dari empat persegi panjang yang kelilingnya 50 kaki dan

luasnya 150 kaki persegi.

5. Sisi miring sebuah segitiga adalah 34 inci. Carilah panjang dua kaki lainnya, apabila kaki yang satu 14 inci lebih panjang dari kaki lainnya

6.Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus yang akar-akarnya 3

dan 1 2 !

(14)

8.Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x2_{– 8x – 2 = 0 adalah x} 1

dan x2. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1

9.Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya: a. –2 dan 3

b. 5 dan 5

10.Jika salah satu akar persamaan x2_{– 10x + (k – 2) = 10 adalah empat kali} akar yang lain maka tentukan nilai k dan akar-akar tersebut!

Perbaikan

1. Bila ada persamaan kuadrat (2-a)x2_{+ (3+a)x – 8 = 0} dan salah satu akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah 2, coba sobat tentukan berapa nilai a

BAB VI Persamaan dan kuadrat

Jumlah kuadrat akar-akar dari persamaan

adalah ....

(A) Minimum 1

(B) Maksimum 1

(C) Minimum 8

(D) Maksimum 8

(E) Minimum -1

12. Jika dua sisi yang sama pada segitiga sama kaki

masing-masing ditambah 11 cm, hasil perubahannya

menjadi segitiga sama sisi. Jika keliling segitiga sama kaki

tersebut adalah 50 cm, maka luasnya sama dengan ....

(A) 60 cm²

(B) 90 cm²

(C) 93 cm²

(D) 108 cm²

(E) 180 cm²

13. Dari sehelai karton persegi panjang akan dibuat

sebuah kotak tanpa tutup dengan cara memotong

ujung-ujung karton tersebut dengan potongan berbentuk bujur

sangkar seluas 2 x 2 cm². Jika panjang bidang alas kotak 4

cm lebih besar dari lebarnya dan isi kotak itu 42 cm³, lebar

alas kotak tersebut adalah ....

(A) 3 cm

(B) 4 cm

(C) 5 cm

(D) 6 cm

(E) 7 cm

14. Suatu lapangan berbentuk empat persegi panjang

dengan keliling 42 m dan luas 80 m². Selisih antara

panjang dan lebar lapangan tersebut adalah?

Salah satu akar persamaan

adalah lima

lebihnya dari akar yang lain. Nilai a adalah ....

(A) -1 atau 1

(B) -3 atau 7

(C) -3 atau 3

(D) -4 atau 4

(E) -5 atau 5

Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan

berkebalikan, nilai m = ....

a. 1

18. α dan β adalah akar-akar persamaan

sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan

20 Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan

23.

Himpunan penyelesaian dari persamaan

adalah x =2, maka akar yang lainnya adalah ....

(A) 2

kuadrat , nilai dari

1. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 2x

- 4x + 6=

0adalah…..

2. Persamaan kuadrat ( k + 2 )x

- ( 2k - 1) x + k – 1 = 0

mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar

persamaan tersebut adalah….

3. Persamaan kuadrat x

+ (m-2)x + 9 = 0, akar-akar nyata. Nilai m

yang memenuhi adalah….

4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah:

5. Akar-akar persamaan kuadrat

x

- 5

x - 3 = 0 adalah x

dan x

.

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x

-1 dan x

- 1 adalah...

6. Grafik di bawah ini berbentuk parabola dengan persamaan ….

7. Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x

= 2, sedangkan f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah…..

8. Daerah hasil fungsi f(x)= x

-2x - 3 untuk daerah asal {x | -1

≤

x

≤

4, x

∈

_{adalah lima}