Mekanika Statistik FISIKA MODERN pptx

MEKANIKA

STATISTIK

_{Disusun oleh :}

Annisa Putri

Dessy Ramadhianti Junita Eka Heryanti Kang Helen Dian L

Mekanika

Statistik

Statistik Maxwell-Boltzmann

Energi Molekuler Dalam Gas Ideal

Laser

Statistika Kuantum

Radiasi Benda-Hitam

Rumus Rayleigh-Jeans

Hukum Radiasi Plank

Kalor Jenis Zat Padat

Elektron Bebas Dalam Logam

 Mekanika Statistik ialah menentukan peluang

terbesar bagaimana sejumlah energi tertentu terdistribusi diantara anggota sistem partikel

dalam kesetimbangan termal pada

temperatur mutlak T.

 Berarti berapa banyak partikel berpeluang

berenergi є1 , є2 , dan seterusnya.

 Anggapan dasar mekanika statistika ialah

terdapatnya banyak cara W partikel dapat diatur diantara keadaan yang bisa diperoleh sehingga menghasilkan distribusi energi tertentu untuk distribusi yang berpeluang besar.

 Prosedurnya ialah mendapatkan rumusan umum

untuk W untuk jenis partikel yang sedang ditinjau, kemudian memaksimumkan W dengan syarat bahwa sistem itu terdiri dari sejumlah partikel tertentu (kecuali dalam sistem foton atau ekuivalen akustiknya fonon) dan bahwa sistem itu berenergi total tertentu.

 Hasil dalam setiap kasus ialah rumusan n(є), jumlah

partikel berenergi є yang bentuknya :

9.1

dengan ;

g(є) = banyaknya keadaan berenergi є

= bobot statistik yg bersesuaian dgn energi є

f(є) = fungsi distribusi

= banyaknya partikel rata-rata untuk setiap keadaan berenergi є

= peluang terisinya setiap keadaan berenergi є. n(є) =

 Jika distribusi malar (kontinue), alih-alih

distribusi diskrit dari energi, g(є) diganti dengan g(є) dє yang menyatakan banyaknya keadaan dengan energi antara є dan є + dє .

 Mula-mula kita akan meninjau sistem partikel

identik yang jaraknya cukup berjauhan

sehingga satu sama lainnya dapat

dibedakan.

 Menurut istilah kuantum, fungsi gelombang

partikel yang saling bertumpangan dapat diabaikan.

 Partikel-partikel ini berkelakuan klasik, dan

 Molekul gas merupakan partikel sejenis ini,

dan fungsi distribusi Maxwell-Boltxmann

berlaku :

9.2

 Harga A tersebut bergantung dari jumlah

partikel dalam sistem dan disini memegang peranan yang serupa dengan konstanta normalisasi suatu fungsi gelombang. Dengan

k ialah konstanta Boltzmann ;

F_MB{є} = Ae-є/kT

k = 1,381 x 10-23 _J/K

 Misalnya, jika terdapat lima cara partikel itu dapat membagi energi є, maka peluang P(Є1 , Є2)

bahwa terjadi pembagian energi tertentu Є1 , Є2

terjadi ialah 1/5 P’(_Є). Karena P’(_Є) merupakan

fungsi dari є, P(Є1 , Є2) juga, sehingga ;

 P(_{Є1 + Є2}) untuk kedua keadaan terisi ialah perkalian f(Є1) dan f(Є2) ;

Yang merupakan fungsi dari Є1 + Є2 seperti yg

diperlukan.

P(_Є1 , _Є2) = P’(

Є) = P’’(Є1 + Є2)

P(_Є1 , _Є2) = f(_Є1)f(_Є2) f(_Є1)f(_Є2) = P’’₍

Є1 + Є2)

 Membuktikan cara f(є) berubah terhadap T.

dengan persamaan 9.2 dapat menghitung energi internal total E dari sebuah sistem partikel,

 Sistem partikel nya ialah sampel gas ideal

yang terdiri dari N molekul. Sehingga energi molekuler total haruslah E = NkT .

 Jika n(є) dє menyatakan banyaknya molekul

yang energinya terletak antara є dan є + dє’ persamaan 9.1 dapat ditulis ;

9.3

ENERGI MOLEKULER DALAM GAS

IDEAL

 Banyaknya keadaan yang mempunyai energi

antara є dan є + dє. Sebuah molekul berenergi є memiliki momentum p yang besarnya ialah ;

9.4

 Setiap kumpulan komponen momentum

px,py,pz memberi ciri suatu keadaan gerak.

 Karena setiap besar momentum p

bersesuaian dengan energi tunggal є, sehingga ;

9.6

Karena p2 = 2mє and dp =

Maka persamaan 9.6 menjadi ;

9.7

Dan untuk jumlah molekul dengan energi antara є dan dє

9.8

Dengan C (= 2m3/2 AB) merupakan konstanta

yg harus dicari.

g(є) dє = Bp2

dp

g(є) dє = 2m3/2B dє

 Untuk mencari C kita pakai syarat normalisasi

bahwa jumlah molekulnya N, sehingga ;

9.9

dari tabel untuk integral tertentu kita dapatkan ;

disini α = 1/kT, dan hasilnya ialah ;

9.10

N = = C ℮-є/kT dє

℮-αx dx =

N = (kT)3/2

C =

DISTRIBUSI ENERGI MOLEKULAR

 Pendistribusian energi Maxwell-Boltzmann

untuk molekul gas ideal dengan langkah terakhir yaitu energi internal total sistem. Yang didapatkan hasil ; (energi total N

 Untuk sejumlah molekul dengan kelajuan

 Kelajuan sebuah molekul dengan energi

rata-rata 3/2kT ialah ; (kelajuan Rms)

9.15

hubungan antara dan vrms bergantung dari

hukum distribusi yang berlaku untuk kelajuan molekular dalam sistem tertentu. Untuk distribusi Maxwell-Boltzmann ;

 Kelajuan berpeluang terbesar dengan

bertambahnya temperatur dan berkurangnya massa molekular ; (Kelajuan berpeluang terbesar)

9.16

v

_rms

= =

V

_rms

=

RADIASI BENDA HITAM

Setiap zat memancarkan radiasi elektro-magnetik yang sifatnya bergantung dari sifat dan temperatur zat itu sendiri.Kita telah membahas spektrum diskirit gas tereksitasi yang timbul dari transisi elektronik dalam atom terisolasi.

MAXWELL-BOLTZMANN BOSE-EINSTEIN FERMI-DIRAC

Kategori partikel Klasik Boson Fermion

Sifat partikel Setiap spin, partikel

berjarak cukup berjauhan

Contoh Molekul gas Foton dalam rongga; foton dalam zat padat; helium cair pada temperatur

keadaan berenergi E pada temperatur T

f_MB (ɛ) = Ae-ɛ/kT fBE (ɛ) = 1

eα_eɛ/kT _{- 1}

f_FD (ɛ) = 1

e(ɛ-ɛf)/kT + 1

Sifat distribusi Tidak ada batas pada

jumlah partikel perkeadaan Tidak ada batas pada jumlah partikel perkeadaan;lebih banyak partikel perkeadaan dari

f_MB pada energi rendah ; mendekati f_MB pada energi tinggi

Tidak lebih dari satu

partikel perkeadaan ; lebih sedikit jumlah partikel perkeadaan dari f_MB pada energi rendah ; mendekati

Kemampuan sebuah benda untuk meradiasi

sangat berdekatan dengan kemampuannya untuk mengabsorpsi (menyerap) radiasi.

Benda pada temperatur konstan berada dalam kesetimbangan termal dengan sekelilingnya dan harus mengabsorpsi energi dari sekelilingnya

dengan laju yang sama seperti benda itu memancarkan (mengemisi energi).

Suatu benda yang mengabsorpsi semua radiasi yang jatuh padanya, tak bergantung dari

Benda hitam merupakan pemancar (emitter) radiasi yang terbaik. Eksperimen yang ditunjukun pada gambar disamping menggambarkan tidak ada perbedaan temperatur yang teramati antara permukaan I’ dan permukaan II’. Pada temperatur tertentu permukaan I’ dan I’ meradiasikan dengan laju e₁ W/m2_.

Sedangkan II dan II’ meradiasikan dengan laju e₂. Permukaan I dan I’ mengabsorpsifraksi a₁ dan radiasi

yang datang padanya, sedangkan II dan II’ mengabsorpsi fraksi a₂. Jadi I’ mengabsorpsi energi dari II dengan laju yang berbanding lurus dengan a₁e₂. Karena I’ dan II’ tetap berada pada temperatur yang sama, haruslah berlaku bahwa :

Kemampuan sebuah benda untuk memancarkan radiasi

berbanding lurus dengan kemampuannya untuk mengabsorpsi radiasi. Marilah kita anggap bahwa I dan I’ benda hitam,

sehingga a₁ = 1 dan II dan II’ bukan, sehingga a₂ < 1.

Jadi :

e

₁

= e

₂

/a

₂

Dan,karena a₂ <1,e₁> e₂ . Sebuah benda hitam pada

Dalam laboratorium, sebuah benda dapat di aproksimasi dengan benda berongga berlubang sangat kecil yang menembus kedalam. Setiap radiasi yang jatuh pada lubang itu, masuk ke dalam rongga dimana radiasi itu

terperangkap oleh pemantulan bolak balik sehingga akhirnya terabsorpsi semuanya. Dinding rongga terus menerus memancarkan dan

RUMUS RAYLEIGH-JEANS



Mereka meninjau radiasi dalam rongga

bertemperatur T yang dindingnya merupakan

pemantul sempurna sebagai sederetan

gelombang elektromagnetik berdiri pada

9.30 jx = 2L = 1, 2, 3, …

Untuk gelombang berdiri arah sembarang , harus dipenuhi :



Untuk menghitung banyaknya

gelombang berdiri g(λ) dan dλ dalam

rongga yang panjang gelombangnya

diantara λ dan λ + dλ yang harus kita

hitung ialah banyaknya kelompok

harga

jx, jy, jz

yang diijinkan yang

menghasilkan panjang

gelombang-gelombang dalam selang tersebut.

Marlah kita bayangkan ruang-j yang

sumbu

koordinatnya jx, jy, jz .

Gambar 9-14 menunjukkan sebagian bidang jx-jy seperti itu. Setiap titik dalam ruang-j bersesuaian dengan kelompok harga jx, jy, jz

yang diijinkan, jadi bersesuaian dengan suatu gelombang berdiri. Jika j merupakan vektor dari titik asal ke titik tertentu jx, jy, jz , besar

vektor itu ialah

 Banyaknya panjang gelombang antara λ dan λ + dλ sama dengan banyaknya titik dalam ruang-j yang jaraknya dari titik asal terletak diantara j dan j + dj.

Volume kulit bola berjejari j daan tebal dj ialah 4 ∏j2 dj,

tetapi kita hanye memerlukan oktan (seperdelapan) dari kulit ini yang berkaitan dengan harga positif jx, jy, dan jz. Juga untuk setiap gelombang berdiri yang

dicacah dengan cara seperti itu, terdapat dua arah tegal lurus dari polarisasinya. Jadi banyakya

gelombang berdiri yang bebas dalam rongga itu ialah

 Dari persamaan 9.31 dan 9.32

9.33 j = 2L = 2Lv λ c dj = 2L dv c

dan kita dapat menyatakan Persamaan 9.33 dalam v alih-alih j sebgai berikut :

 9.34 g(v) dv = ∏(2Lv)2

c

Volume rongganya ialah L3, ini berarti banyaknya gelombang

berdiri yang bebas per satuan volume ialah

9.35 G(v) dv = 1 g(v) dv = 8 ∏v2dv

L3 c3

 Langkah selanjutnya ialah mencari energi pergelombang

berdiri. Disinilah timbul perbedaan antara fisika klasik dan fisika kuantum. Menurut teorem klasik mengenai ekuipartisi energi, seperti yang telah disebutkan, energy rata-rata

perderajat kebebasan dari kesatuan yang merupakan bagian dari system kesatuan tersebut dalam

kesetimbangan bertemperatur T ialah 1/₂ kT.

Masing-masing gelombang berdiri dalam ongga berisi radiasi bersesuaian dengan dua derajat kebebasan yang energy total rata-ratanya Ē sama dengan kT. Kesimpulan ini timbul dari pengamatan bahwa masing-masing gelombang berasal dari sebuah osilator dalam dinding rongga, dan osilator

seperti itu memiliki dua derajat kebebasan, satu yang

menyatakan energi kinetic, dan yang lainnya menyatakan energy otensial. Energi u(v)dv per satuan volume dalam rongga dalam selang frekuensi v dan v + dv menurut fisika klasik menjadi :

Walaupun dalam sekejap kita sudah melihat bahwa terdapat kesalahan rumus Rayleigh-Jeans. Ketika v bertambah besar, bersesuaian dengan daerah ultra-ungu dari spektrum Persamaan 9.36 menyatakan bahwa laju radiasi energy bertambah menurut v2_{; dalam}

batas energy sangat tinggi, u(v) dv menuju tak-berhingga. Pada kenyatannya seperti kita lihat dari Gambar 9-13, u(v) dv →0 ketika v → ꚙ.

Penyimpangan antara teori dan pengamatan segera diketahui menyangkut hal yang sangat pokok, dan dikenal sebagai “ bencana ultra-ungu”. Kegagalan fisika klasik ini

menggugah Max Planck dalam tahun 1900 untuk mengajukan hipotesis bahwa pemacaran cahaya merupakan gejala kuantum dan atas dasar ini beliau memperoleh rumus yang

HUKUM RADIASI

PLANK

Rumus Rayleight dan Jeans menyimpang karena teoreni ekuipartisi hanya berlaku untuk distribusi energi

yang malar. Sedangkan energi gelombang

 Hargaα dalam persamaan 9.26 bergantung dari

banyaknya partikel dalam sistem yang sedang ditinjau.

 Akan tetapi banyaknya foton dalam rongga tidak perlu

tetap : berlainan dengan molekul gas atau elektron, proton terciptakan dan termusnahkan setiap waktu.

 Walaupun energi radiasi total dalam rongga harus tetap

konstan, banyaknya foton yang mengambil energi ini bisa berubah. Karena karena cara α didefinisikan dalam

penurunan persamaan 9.26, ketakekalan foton berarti bahwa α=0. Jadi, fungsi distribusi Bose-Einstein untuk foton ialah

 9.37 f(v) = (rumus distribusi foton)

 Persamaan 9.35 yang menyatakan banyaknya

gelombang berdiri berfrekuensi v per satuan volume dalam rongga berlaku juga untuk banyaknya keadaan kuantum berfrekuensi v, karena foton juga mempunyai dua arah polarisasi yang bersesuain dengan orientasi spin relatif tethadap arah geraknya. Jadi, rumus kerapatan dalam rongga ialah

9.38 U(v) dv = hvG(v)f(v)dv

=

 dua hasil yang menarik dapat diambil dari rumus radiasi

Planck. Untuk mendapatkan panjang-gelombang yang kerapatan energinya terbesar, dinyatakan dengan persamaan 9.38 dalam panjang gelombang dan pecahkan du(λ)dλ = 0 untuk λ=λmax. Kita peroleh

 = 4,965

atau dinyatakan dalam bentuk

9.39 λmax T =

= 2,898 x 10-3 m . K

 persamaan 9.39 dikenal sebagai Hukum Pergeseran

Wen. Persamaan itu secara kuantitatif menyatakan fakta empiris bahwa puncak spektrum benda hitam bergeser terus ke arah panjang gelombang lebih kecil (frekuensi lebih tinggi) ketika temperaturnya bertambah.

 Hasil lain yang didapat dari persamaan 9.38 ialah

kerapatan energi total u di dalam rongga merupakan integral kerapatan energi terhadap semua frekuensi,

U = T4 = αT4

 Dengan α menyatakan konstan universal. Kerapatan

energi total berbanding lurus dengan pangkat empat dari temperatur mutlak dari dinding rongga. Jadi kita mengharapkan energi R yang diradiasikan oleh benda tiap detik per satuan luas berbanding lurus dengan T4,

suatu kesimpulan dalam Hukum Stefan-Boltzman :

 Harga konstan Stefan ialah

σ= = 5,670 X 10-8 W/m2 . K4

 Emisivitas e bergantung pada sifat permukaan radiasi

dan berkisar antara 0, untuk pemantulan sempurna yang tidak meradiasi hingga 1 untuk benda hitam.

KALOR JENIS ZAT

PADAT

 Radiasi benda hitam bukanlah satu-satunya gejala yang

dikenal yang penjelasannya memerlukan mekanika-statistik kuantum. Hal lainnya ialah cara perubahan energi internal zat padat, terhadap temperatur.

 Kalor jenis molar zat padat pada volume konstan Cv,

 Energi internal zat padat tertampung dalam vibrasi partikel

pembentuknya yang dapat bebentuk atom, ion, atau molekul. Vibrasi ini dapat diuraikan menjadi komponen sepanjang tiga sumbu yang saling tegak lurus. Seperti telah dibahas dahulu, berdasarkan fisika klasik sebuah osilator harmonik dalam sistemnya dalam kesetimbangan termal pada temperatur T mempunyai energi rata-rata kT yang berarti bahwa masing-masing atom dalam zat padat, berdasarkan hal itu, memiliki energi 3kT. Satu kmol zat padat berisi bilangan avogadro NO

atom, dan energi inyernal totalnya pada temperatur T menjadi

9.40 E = 3NO kT = 3RT

Dengan

R = NOk = 8,31 x 103J/Kmol . K= 1,99 kcal/kmol . K

 Kalor jenis pada volume konstan dinyatakan dalam E sebagai berikut

Cv =

Sehingga di sini

9.41 Cv = 3R = 5,97 kcal/kmol . K (Hukum Duloug-Petit)

 Hukum Duloug-Petit gagal untuk unsur ringan seperti

boron, berilium dan karbon, untuk zat tersebut. Cv = 3,34 ; 3,85 ; dan 1,46 kkal/kmol. K, berurutan pada 20o C.

Lebih parahnya, kalor jenis setiap zat padat turun secara tajam pada temperatur rendah dan mendekati 0 ketika T

untuk beberapa unsur.

 Pada tahun 1907 Einstein mendapatkan bahwa cacat

dasar dalam persamaan 9.41 terletak dalam besaran kT

9.42

έ= hvf(v) =

(

Energi rata-rata per osilator)

Dan bukan έ= kT. Energi internal total satu kilo mol zat padat menjadi

9.43 E= 3N_Oέ =

Dan kalor jenis molarnya adalah

9.44 Cv = = 3R()2

Segera kita dapat melihat bahwa pendekatan seperti ini berada pada jejak yang benar. Pada temperatur tinggi, hv<kT, dan

ehv/kT≈1+

Karena

ex=1+ x + + + . . . .

ELEKTRON BEBAS DALAM LOGAM

Dalam logam biasanya masing – masing atom member kontribusi satu electron kepada “gas electron” bersama, sehingga 1 kmol logam mengandung N0 elektron

bebas. Jika electron ini kelakuannya seperti molekul gas ideal, masing – masing akan memiliki energi rata – rata dan logam itu akan mempunyai energi internal

Ee = N0kT =

Per kilomole karena kehadiran electron tersebut. Kalor jenis yang timbul dari elektron itu ialah

( )

Dan kalor jenis total logam harus sama dengan

Fungsi distribusi yang menghasilkan pengisian

rata – rata keadaan kuantum berenergi dalam

ԑ

sistim fermion ialah

=

Banyaknya gelombang berdiri dalam rongga

berbentuk kubus berisi L ialah

g(j) dj =



j = 2L/λ

Elektron dalam logam memiliki kecepatan non relativistik, sehingga dan

Dengan memasukkan rumus untuk j dan dj kita dapatkan

Seperti dalam kasus gelombang berdiri dalam rongga bentuk tepat dari sampel logam itu tidak mempengaruhi, sehingga kita dapat mensubtitusikan V untuk L3

MENGHITUNG ENERGI FERMI

 Kita dapat mengisi keadaan energi dalam sampel logam

dengan N elektron dalam urutan pertambahan energi dimulai dari = 0.ԑ

 Energi tertinggi yang terisi menurut definisi ialah energi

Femi = ԑ ԑf.

 Banyaknya elektron yang dapat memiliki energi yang sama

sama dengan banyaknya keadaan pada energi itu,

ԑ

karena masing – masing terbatasi isinya dengan satu elektron saja.

 Jadi ;

Dan

DISTRIBUSI ENERGI ELEKTRON

Banyakanya elektron dalam gas elektron yang berenergi antara

ialah

KARENA PADA T = 0 K SEMUA ELEKTRON MEMILIKI ENERGI KURANG DARI ATOM SAMA DENGAN ENERGY FERMI , KITA AMBIL

DAN

Beberapa Energi Fermi

 Kegagalan elektron bebas dalam logam untuk memberi

kontribusi yang cukup kepada kalor jenis adalah akibat langsung dari sifat distribusi energi elektron.