Smart Solution Barisan Dan Deret

Written By :

MR.BIG METHOD

Distributed by:

Pakgurufisika

1. Uan 2004/P-7/No.13

Nilai dari

(

2

n

10

)

....

10

1 n

=

+

å

= A. 180 B. 190 C. 200 D. 210 E. 220

Keterangan : n = banyaknya suku a = suku pertama (awal) b. = beda

Un = suku ke-n (terakhir)

akhir

Gunakan info smart :

1

å

=

+

10

1 n

) 10 n 2 (

(2.1+10)+2.2+10)+...+(2.10+10) 12 + 14 + ....+30

n =1 n =2 n =10

= =

1Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a = 12

b = 14 – 12 = 2 n = 10

1 (2a (n 1)b)

2 n

Sn = +

-1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

) b ) 1 n ( a 2 ( 2 n

S_n = +

-Atau ) U a ( 2 n

2. Nilai dari 2k (3k 2) ... 100 1 k 100 1 k = + +

å

å

= = A. 25450 B. 25520 C. 25700 D. 50500 E. 50750 Keterangan : n = banyaknya suku a = suku pertama (awal) b. = beda

Un = suku ke-n (terakhir)

)

502

7

(

2

100

)

2

k

5

(

100 1 k

+

=

+

å

= awal akhir angka tetap = 50(509)=25450 Awal = ganti n dengan 1

Akhir = ganti n dengan 100

Gunakan info smart :

1

å

å

å

= = = + = + + 100 1 k 100 1 k 100 1 k ) 2 k 5 ( ) 2 k 3 ( k 2

= (5.1+2) + (5.2 +2) + ... +(5.100 +2) = 7 + 12 + ... + 502

n = 1 n = 2 n = 100

1Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a = 7

b = 12 – 7 = 5

n = 100 (k=1 sampai 100)

1 (2a (n 1)b)

2 n

Sn = +

-25450 ) 509 ( 50 ) 495 14 ( 50 ) 5 . 99 14 ( 50 ) 5 ). 1 100 ( 7 . 2 ( 2 100 = = + = + = -+ =

Jawaban : A

1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

) b ) 1 n ( a 2 ( 2 n

S_n = +

-Atau ) U a ( 2 n

3. Nilai dari (k 1) k ... 100 1 k 2 100 1 k

2 _{- =}

+

å

å

= = A. 5050 B. 10100 C. 10200 D. 100100 E. 100200 Keterangan : n = banyaknya suku a = suku pertama (awal) b. = beda

Un = suku ke-n (terakhir)

akhir

Gunakan info smart :

1

å

å

= = -+ 100 1 k 2 100 1 k 2 k ) 1 k (

å

å

= = + = -+ + = 100 1 k 100 1 k 2 2 ) 1 k 2 ( ) k 1 k 2 k (

= (2.1+1) + (2.2 +1) + ... +(2.100 +1) = 3 + 5 + ... + 201

n = 1 n = 2 n = 100

1Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a = 3

b = 5 – 3 = 2

1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

) b ) 1 n ( a 2 ( 2 n

S_n = +

-) U a ( 2 n

4. Ebtanas 2000

Diketahui

ki

25

35 5 i

=

å

=

.Nilai

(

4

ki

)

....

35 5 i

=

+

å

= A. 190 B. 180 C. 150 D. 149 E. 145 Keterangan : k = bilangan asli n = bilangan asli > 1 p = penambahan dari bil. 1

Gunakan info smart :

1

å

å

å

= = =

+

=

+

35 5 i 35 5 i 35 5 i

ki

4

)

ki

4

(

= 4.35-4.4+25 = 140-16+25 = 140+9 = 149

Jawaban : D

1 Jumlah dari suatu

bilangan asli k

1 k kn

n 1 i =

å

=

1 k kn kp

5. Uan 2004/P-1/No.13 ... a 3 ) 2 i 2 ( 4 ) 2 k ( ) 1 k 3 ( n 1 a 2 n 1 i n 1 k = -+ + -+

å

å

å

= = =

A. n(n 3) 2

1 ₊

B. n(n 3) 2

1 ₊

D. n(n 3) 2

1 ₊

C. n(n 3) 2

1 ₊

E. n(n 3) 2

1 ₊

D. 149

1

Batas atas sigma semuanya n, berarti batas bawah sigma dapat kita anggap k atau i = a = k, sehingga :

6. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah n 2 5 n

Sn = 2 + . Beda dari deret aritmetika terseut adalah...

A. -5 2 1 B. -2 C. 2 D. 2 2 1 E. 5 2 1 1 n 2 5 n S_n = 2+

n

2

5

n

.

1

S

_n

=

2

+

b = 2.1 = 2

Sangat mudeh ....ya...

Jawaban : C

Gunakan info smart :

1 n

2 5 n S_n = 2+

2 3 n 2 1 n 2 5 n 2 5 1 n 2 n ) 1 n ( 2 5 ) 1 n ( S 2 2 2 1 n -+ = -+ + -= -+ -=

-1 Un =Sn -Sn-1

= n

2 5

n2 +

-2 3 n 2 1

n2 - +

= 2n + 2 3

U2 = 2.2 + 2 3

= 2 11

U1 = 2.1 + 2 3

= 2 7

b = U2 –U1 = 2 11 -2 7 = 2

1 S_n = pn2 +qnsuatu

7. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalahSn =3n2 -4n. Suku ke-n dari deret aritmetika terseut adalah...

A. 6n +2 B. 6n -2 C. 6n -5 D. 6n -7 E. 3n -8

1 Sn =3n2 -4n Jumlah koefisien : 3+(-4) = -1

1Pada pilihan dicari jumlah koefisiennya

Gunakan info smart :

1 Sn =3n2 -4n

7 n 10 n 3 4 n 4 3 n 6 n 3 4 n 4 ) 1 n 2 n ( 3 ) 1 n ( 4 ) 1 n ( 3 S 2 2 2 2 1 n + -= + -+ -= + -+ -= -= -7 n 6 7 n 10 n 4 7 n 10 n 3 n 4 n 3 S S U 2 2 1 n n n -= -+ -= -+ -= -=

8.. UAN 2003/P-1/No.10

Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usai anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah...

A. 48,5 tahun B. 49,0 tahun C. 49,5 tahun D. 50,0 tahun E. 50,5 tahun

@

U3 = 7 …….. a +2b = 7 U5 = 12 …….. a +4b = 12 –

-2b = -5 → b = ₂5

a + 2. 2

5_{= 7 , berarti a = 2}

@

S6 = 1₂

.

6

(

2

.

2

+

(

6

-

1

).

5₂

)

=

3

(

4

+

12

,

5

)

=

49

,

5

@

Suku ke-n deret aritika : Un = a +(n-a)b

9. SPMB 2002/Reg-II/No.19

Suku ke-n suatu deret adalah Un = 4n +1. Jumlah sepuluh suku pertama adalah....

A. 250 B. 240 C. 230 D. 220 E. 210

1 Un = 4n +1

230 30 200

10 ). 2 1 ( 100 . 2

10 ). 2 4 1 ( 10 . 2 4

S10 2

= + =

+ + =

+ + =

p

p Jika Un = an +b, maka n a b an

10. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 20 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah....

A. 120 m B. 140 m C. 160 m D. 180 m E. 200 m

1 J = .20 140

3 4

3 4 t a b

a

b ₌

-+ = -+

1 Bola jatuh di ketinggian t, dan memantul sebesar

b a

kali tinggi sebelumnya, dst….maka Jumlah seluruh lintasan bola sampai berhenti adalah :

J = t

a b

a b

11. SMPB 2002/No. 17

Agar deret geometri ,....

) 1 x ( x

1 , x 1 , x

1 x

jumlahnya mempunyai limit,

nilai x harus memenuhi.... A. x > 0

B. x < 1 C. 0 < x < 1 D. x > 2

E. x < 0 atau x > 2

1 ,....

) 1 (

1 , 1 , 1

-x x x x x

r = 1 1 -x

1 Konvergen, maksudnya : -1 < r < 1

-1 <

1 1

-x < 1

-1 > x -1 > 1 , berarti : x – 1 < -1 atau

x -1 > 1

Jadi : x < 0 atau x > 2

12. Jika suku pertama dari deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 10,maka....

A. -10 < a < 0 B. -16 < a < 0 C. 0 < a < 0 D. 0 < a < 20 E. -8 < a < 20

1 0 < a < 2S 0 < a < 2.10 0 < a < 20

13. UMPTN 1996

Dalam suatu barisan geometri,U1 +U3 = p, dan U2 +U4 = q, maka U4 =.... A. 2 2 3 q p p +

B. _{2 2}

3

q p

q

+ D. 2 2

2

q p

q +

C. _{2 2}

3 3 q p q p + +

E. _{2 2}

3 2 q p q p + +

1 U1 +U3 = p

U2 +U4 = q à _{2 2}

3 4

q

p

q

U

+

=

1 Deret Geometri :

Jumlah 2 suku ganjil : U1 +U3 = x Jumlah 2 suku genap : U2 +U4 =y

1 Maka :

14. UMPTN 1996

Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmetik. Jika a adalah suku pertama dan b beda deret itu, maka nilai Sn+2 –Sn adalah...

A. 2(a +nb) +1 B. 2a +nb +1 C. 2a +b(2n +1) D. a +b(n +1) E. a +nb +1

1 Sn+2 = ½ (n +2)(2a +(n +1)b) Sn = ½ n(2a +(n -1)b) - Sn+2-Sn = 2a +(2n +1)b

Mudeh….aja !

15. UMPTN 1996

Diketahui barisan aritmetik log 2, log 4, log 8,... Jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah.... A. 8log 2

B. 20 log 2 C. 28 log 2 D. 36 log 2 E. 40 log 2

1 S8 = ½ 8(2log2 +(8 -1)log2) = 4 (9 log 2) = 36 log 2

16. UMPTN 1997

Suku ke n barisan aritmetika adalah Un = 6n +4 disetiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku yang baru, sehingga terbentuk deret aritmetika. Jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah.... A. Sn = n2 +9n

B. Sn = n2 -9n C. Sn = n2 +8n D. Sn = n2 -6n E. Sn = n2 +6n

1 Un = 6n +4 à b = 6

2 1 2

6 ' =

+ = b

Sn = ½ n(2.10+(n -1).2) = n2 +9n

1 Jika Un = pn +q à beda b = p

1 Beda setelah deret disisipi dengan k suku

,adalah :

1 k

b ' b

17. UMPTN 1997

Antara dua suku yang berurutan pada barisan :

3 ,18 ,33,....disisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah....

A. 78 B. 81 C. 84 D. 87 E. 91

1 3 ,18 ,33 ,…. b = 18 -3 = 15

3 1 4

15 ' =

+ = b

S7 = ½ 7(2.3+(7 -1).3) = 7(3 +9) = 84

1 Jika Un = pn +q à beda b = p

1 Beda setelah deret disisipi dengan k suku

,adalah :

1 k

b ' b

18. UMPTN 1997

Diberikan deret geometri tak hingga dengan U1 = 1 dan rasio r = x2 –x. Jika deret tersebut konvergen,maka x memenuhi.... A. ( ½ -Å2) < x < ( ½ +Å2)

B. ½ (1 -Å3) < x < ½ (1 +Å3) C. ( ½ -Å3) < x < (1 +Å3) D. ½ (1 -Å5) < x < ½ (1 +Å3) E. ( ½ -Å5) < x < (1 +Å5)

1 Konvergen : -1 < x2-x < 1 x2 –x < 1 à x2 –x -1 < 0

Pemb.Nol : x2-x +(- ½ )2 = 1 +( ½ )2 (x – ½ )2 =

4 5

di dapat : x = ½ (1+Ö5) atau x = ½ (1 -Ö5) 1 Jadi ½ (1-Ö5) < x < ½ (1+Å5)

19. UMPTN 1997

Jika deret geometri konvergen dengan limit 3

8

-dan suku ke-2 serta

suku ke-4 berturut-turut 2 dan ½ , maka suku pertamanya adalah... A. 4

B. 1 C. ½ D. -4 E. -8

1 2

3

2 4

4 1 r ar

ar U U

= Þ

= , r = - ½

1

2 1

1 3

8 1 = +

-® -=

¥ a

r a S

1 Limit -₃8_{, maksudnya}

S~ = -₃8

1 Deret geometri : Un = arn-1

U4 = ar 3

]

20. UMPTN 1998

Kota Subur setiap tahun penduduknya bertambah dengan 10 % dari tahun sebelumnya, bila pada tahun 1987 penduduk kota tersebut berjumlah 4 juta, maka pada tahun 1990 jumlah penduduknya adalah....

A. 4,551 juta B. 5,269 juta C. 5,324 juta D. 5,610 juta E. 5,936 juta

1 Periode 1987 – 1990 à n = 4 Mn = 4(1 + 10 %)4

= 4(1 + 0,1)4 = 5,324

14. UMPTN 1998

Jika r rasio (pembanding) suatu deret geometrik tak hingga yang konvergen dan S jumlah deret geometrik tak hingga :

....

)

3

(

1

)

3

(

1

3

1

2

2

+

+

+

+

+

+

r

r

r

,maka...

A. ¼ < S < ½

B. ₄3

8

3_{<S< D.}

5 4 4 3_<S<

C. S 1

3

1_{< < E.}

5 4 5 1_<S<

1 r = -1 à 1

2 / 1 1 2 / 1 ₌ -= ¥ S

r = 1 à 1/3

4 / 1 1 4 / 1 = -= ¥ S

Jsdi : 1/3 < S < 1

1 Syarat Konvergen : -1 < r < 1

1 Jumlah deret tak hingga

15. EBTANAS 1999

Sebuah deret hitung diketahui U3 = 9, dan

U5 +U7 = 36, maka beda deret tersebut ....

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

@

3

) 7 5 ( 3 . 2

36 9 . 2 2

2

2 1

2

1 ₌

+

-=

-=

m m

k k b

1 Jika :

Um1 = k1 , dan

Um2 = k2 , maka :

2 1

2 1

2

2

m

m

k

k

b

16. UMPTN 1992

Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40, maka siku-siku terpendek sama dengan....

A. 8 B. 20 C. 22 D. 24 E. 32

1 Sisi siku-siku yang membentuk

deret aritmetika kelipatan : 3 ,4 ,5

1 Sisi miring 5x = 40 à x = 8

1 Sisi terpendek : 3x = 3.8 = 24

@

Tripel utama Pythagoras : 3 ,4 ,5 dan 5, 12, 13 kelipatannya :

17. UMPTN 1999

Jika u1 + u3 +u5 +u7 +u9 +u11 = 72, maka

u1 + u6 +u11 =....

A. 12 B. 18 C. 36 D. 48 E. 54

1 u1 + u3 +u5 +u7 +u9 +u11 = 72

6a +30b = 72 à 3a +15b = 36

18. UMPTN 1999

Dari deret geometri diketahui U4 : U6 = p dan U2 X U8 =

p 1

,maka U1 = ....

A. p B.

p 1

D.

p 1

C. Å_{p E. p}Å_p

1 U4 :U6 = p à

p r2 = 1

U2 x U8 =

p 1

à

p r a2 8 = 1

1 3

) (

1 1 2 1 1 2

4 2

8 .

. a p

a

r p r

p Þ = =

=

19. UMPTN 1999

Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x2

+x –a =0. Jika p ,q dan 2 pq

merupakan deret geometri,maka

a sama dengan... A. 2

B. 1 C. 0 D. -1 E. -2

1 Syarat : deret geometri D > 0

1-8a > 0 à dipenuhi jika a negative terlihat hanya option D atau E di cek nilai a = -1

2x2 +x -1 = 0 à (2x -1)(x +1) = 0 p = -1 atau q = ½

20. UMPTN 1999

Jika dari suatu deret geometri diketahui u1 = 2 dan S10 = 33

S5 , maka U6 =....

A. 12 B. 16 C. 32 D. 64 E. 66

1 S10 = 33 S5 à

1 ) 1 ( 33 1

) 1

( 10 5

-=

-r r a r

r a

(r5_-1)(r5 _{+1) = r}5 _-1

r5 _{= 32 , r = 2}

21. UMPTN 1999

Jumlah deret tak hingga :

1–tan230o+tan430o–tan630o+.... +(-1)n tan2n30o+... A. 1

B. ½ C. ¾ D. 3/2 E. 2

1 1–tan230o+tan430o–tan630o+....

a = 1 , r = -tan2₃₀o _=-

3 1

4 3 3 / 4

1 1

1 1

3

1 = =

+ = -=

¥

22. Prediksi SPMB

Jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 6 sama dengan....

A. 668 B. 736 C. 768 D. 868 E. 1200

1 Habis dibagi 4:

4 ,8 ,12,....96à n = 24

4 96 ₌

J1 = 24₂ (4+96)=1200

1 Habis dibagi 4 dan 6 :

12 ,24 ,36 ,..96à n = 8

12 96 ₌

J2 = ₂8(12+96)=432

23. Prediksi SPMB

Sebuah bola pingpong dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 2 meter. Setiap kali setelah bola itu memantul ia mencapai ketinggian tiga per empat dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut dari pantulan ketiga sampai ia berhenti adalah....

A. 3,38 meter B. 3,75 meter C. 4,25 meter D. 6,75 meter E. 7,75 meter

1 6,75

1 . 2

r 1

a 2 S

4 3 32 27

= -= -=

24. Prediksi UAN/SPMB

Suku tengah barisan aritmetika adalah 25. Jika beda dan suku ke-5 adalah 4 dan 21,maka jumlah semua suku barisan tersebut sama dengan....

A. 175 B. 225 C. 275 D. 295 E. 375

1 U5 = a +4b à 21 = a +4.4 didapat a = 5

Sn = n.Ut à ½ n(2a +(n-1)b) = n.Ut

2.5 +(n-1).4 = 2.25 4n -4 = 50 -10 n = 9 Sn = 9.25 = 225

25. Prediksi SPMB

Ditentukan rasio deret geometri tak hingga adalah 7log(4x -1). Jika deret ini mempunyai jumlah (konvergen),maka nilai x yang memenuhi adalah....

A. ₂3

7 2_<x<

B. x 2

2 3 _{< <}

C. x 2

7 2 _{< <}

D. ¼ < x < ½ E. ¼ < x < 2

1 r = 7log(4x -1) ,Konvergen à -1 < r < 1 -1 < 7_{log(4x -1) < 1}

7-1 _{< 4x -1 < 7}1

7

1_{+1 < 4x < 7 +1 à} 7

26. Prediksi SPMB

Jika (a +2) ,(a -1),(a -7),... membentuk barisan geometri, maka rasionya sama dengan....

A. -5 B. -2 C. – ½ D. ½ E. 2

1 (a -1)2 = (a +2)(a -7) karena geometri

a2 _{-2a +1 = a}2 _{-5a -14}

3a = -15 à a = -5

rasio = 2

3 6 2 1

= -= +

27.Ebtanas 2002 /No.9

1 n

2

Sn= + adalah jumlah n buah suku pertama dari suatu deret,

dan Un adalah suku ke-n deret tersebut.Jadi Un =....

A. 2n B. 2n-1 C. 3n D. 3n-1 E. 3n-2

1

U

n

S

n

S

n

2

n

2

n

2

n

1

1

=

-

=

-=

_- +

28. Ebtanas 2002 /No.10

Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap dua titik yang berbeda dibuat sebuah garis lurus. Jumlah garis lurus yang dapat dibuat adalah...

A. 210 B. 105 C. 90 D. 75 E. 65

1 2 titik 1 garis

3 titik 3 garis

4 titik 6 garis dst... Un = ½ n(n-1)