TRANSPOR POLUTAN. April 14. Pollutan Transport

TRANSPOR POLUTAN

Pollutan Transport

April 14

Persamaan Konveksi-Difusi

Penyelesaian Analitis

Transpor Polutan

Rerensi

Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics, Chapter 8, pp. 517-609, J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England

Transpor Polutan di Sungai

3

¨ 

Sungai tercemar polutan

¤ 

Sungai Songhua, China, November 2005

q More stories on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005

§ 

http://www.gov.cn/english/2005-11/25/content_108891.htm

§ 

webarchive on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005

Penampungan limbah di sebuah pabrik kimia di Ajka, Hungary, jebol pada awal Oktober 2010

q More stories on Danube River pollution in October 2010

§ 

http://www.bbc.co.uk/news/world-europe-11495540

§ 

webarchive file

§ 

http://www.guardian.co.uk/world/2010/oct/12/danube-toxic-soviet-hungary-sludge

§ 

webarchive file

9

Transpor Polutan

10

¨ 

Mekanisme penyebaran polutan di sungai

¤ 

Difusi

n 

penyebaran yang dipicu oleh perbedaan konsentrasi

n 

bergantung pula pada sifat polutan (koefisien difusi)

¤ 

Konveksi

Difusi

15

¨ 

Dalam bahasa matematika, difusi dituliskan sbb.

¤ 

k = konstanta = koefisien difusi = diffusivity

n 

k  merupakan parameter karakteristika fluida (polutan)

n 

k bergantung pada temperatur dan tekanan

q

_f



= −k∇



c

_f

q

f



= −k

∂c

f

∂x

_i

q

f



= −k grad

 



c

_f

Difusi

16

¨ 

Sifat proses difusi

¤ 

tidak dapat kembali (irreversible)

¤ 

mengakibatkan kehilangan/peredaman energi

¨ 

Contoh difusi

¤ 

difusi massa

¤ 

difusi panas/thermal

¤ 

difusi momentum

Difusi

17

¨ 

Difusi massa à Fick’s law

¨ 

Difusi panas à Fourier’s law

¨ 

Difusi momentum à Newton’s law

q

_m,i

= −

ε

_m

∂c

f

∂x

_i

q

_h,i

_{= −ρ}

a

_h

C

_p

∂T

∂x

_i

(

ρ

C

p

= konstan

)

q

_{mt ,ij}

_{= −ρ ν}

∂V

i

∂x

_j

(

ρ

= konstan

)

Konveksi-Difusi

18

¨ 

Pada kuliah ini yang dibahas hanya transpor massa

¨ 

Apabila air sungai mengalir, maka terjadi proses konveksi

¨ 

Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh:

¤ 

beda konsentrasi (gradien) à difusi

¤ 

aliran à konveksi

∂c

∂t

+ V



⋅ grad

 



c

konveksi

 

 

 =

div

ε

m

grad

 



c

(

)

difusi











Konveksi-Difusi

19

¨ 

Dituliskan dalam sistem koordinat cartesius

¨ 

Dalam medium

air diam

, tidak ada aliran, maka kecepatan

nol, sehingga tidak ada konveksi

∂c

∂t

+ ∂

uc

∂x

+ ∂

vc

∂y

+ ∂

wc

∂z

=

ε

m

∂

2

_c

∂x

2

+ ∂

2

_c

∂y

2

+ ∂

2

_c

∂z

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

←

ε

m

konstan

∂c

∂t

=

ε

m

∂

2

_c

∂x

2

+ ∂

2

_c

∂y

2

+ ∂

2

_c

∂z

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

←

ε

m

konstan

difusi murni

Konveksi-Difusi (Turbulen)

20

§  Aliran di sungai hampir pasti berupa aliran turbulen

§  Salah satu sifat aliran turbulen

adalah bahwa kecepatan aliran berubah-ubah

§  Konsentrasi polutan dengan

demikian berubah-ubah pula 0.56 0.60 0.64 0.68 0.72 0 50 100 150 200 kec ep a ta n [m/ s] waktu [detik] kecepatan rata-rata

u = u + ′

u

u

′

u

′

u

v

= v + ′

v

w

= w + ′

w

c = c + ′

c

Konveksi-Difusi (Turbulen)

21

q 

Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen

∂c

∂t

+ V

!"

⋅ grad

! "

!!!

c = div ε

$

_%

(

_m

+ ε

_t

)

grad

! "

!!!

c

&

_'

§

 

Pada umumnya koefisien difusi turbulen jauh lebih besar daripada

koefisien difusi molekuler, ε

_t

>> ε

_m

§

 

Pada bahasan mengenai konveksi-difusi turbulen, difusi molekuler

diabaikan

Konveksi-Difusi (Turbulen)

22

q 

Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen

∂c

∂t

+ ∂

uc

∂x

+ ∂

vc

∂y

+ ∂

wc

∂z

= ∂

∂x

ε

tx

∂c

∂x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂y

ε

ty

∂c

∂y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂z

ε

tz

∂c

∂z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

§

 

dituliskan dalam koordinat cartesius

Penyelesaian analitis persamaan difusi

Difusi

Persamaan Difusi

24

q 

Persamaan transpor difusi (air tidak bergerak, tidak ada aliran)

∂c ∂t + ∂uc ∂x + ∂vc ∂y + ∂wc ∂z = ∂ ∂x εm + εtx ∂c ∂x # $ % & ' ( + ∂ ∂y εm + εty ∂c ∂y # $ % & ' ( + ∂ ∂z εm + εtz ∂c ∂z # $ % & ' ( ∂c ∂t = ∂ ∂x εm ∂c ∂x # $ % & ' ( + ∂ ∂y εm ∂c ∂y # $ % & ' ( + ∂ ∂z εm ∂c ∂z # $ % & ' ( ∂c ∂t = εm ∂2c ∂x2 + εm ∂2c ∂y2 + εm ∂2c ∂z2 u = v = w = 0 ⇒ u = 0 ⇒ εtx = 0 v = 0 ⇒ εty = 0 w = 0 ⇒ εtz = 0 εm = konstan ⇒

Difusi 1-Dimensi

25 ∂c ∂t = εm ∂2c ∂x2

q 

Persamaan transpor difusi satu dimensi

§  Difusi satu dimensi, arah x saja

§  Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

c ±∞, t

(

)

= 0 c x, 0

( )

= M1δ x

( )

•  M₁ adalah massa per satuan luas [kg/m2_{] yang dimasukkan secara sekaligus} dan tiba-tiba (instantaneous source)

M0 = M1S •  _{secara tiba-tiba} M0 adalah seluruh massa yang dimasukkan di suatu titik

Difusi 1-Dimensi

26 δ x

( )

dx −∞ +∞

∫

= 1

•  δ(x) adalah fungsi delta Dirac, bernilai sama dengan nol kecuali di x = 0)

•  Ingat bahwa massa total M₀ harus konstan sepanjang waktu yang ditinjau

c x, t

_{( )}

dx −∞ +∞

∫

= c x, 0

( )

dx −∞ +∞

∫

= M₁ δ x

( )

dx −∞ +∞

∫

= M₁

Difusi 1-Dimensi

27 c x, t

_{( )}

= M1 4 π ε_m t exp − x2 4 ε_m t $ % & & ' ( ) )

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut adalah:

§  Penyelesaian tersebut menunjukkan difusi suatu massa M₀

•  yang dimasukkan secara tiba-tiba di suatu titik

•  menyebar menurut distribusi Gauss Normal dan simetris ke arah sumbu x

•  konsentrasi maksimum, yang berada di titik x = 0, berkurang seiring dengan waktu

Difusi 1-Dimensi

Difusi 1-Dimensi

29 c x, t

_{( )}

₌ M1 σ_x 2 π exp − x2 2 σ_x2 $ % & & ' ( ) )

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut dapat pula dituliskan sbb:

§  Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah:

σx

2 _t

( )

= 2 ε_m t

§  95% luas daerah di bawah kurva pdf distribusi normal adalah:

W = 2×1.96

(

)

σx ≈ 4 σx

W

−1.96 _+1.96

Difusi 1-Dimensi

30 ε_m = 1 2 dσ_x2 dt = 1 2 σ_x2

( )

t₂ − σ_x2

( )

t₁ t₂ − t₁

(

)

§  Koefisien difusi dapat dihitung dengan:

•  Persamaan di atas dapat

dipakai untuk menetapkan koefisien difusi

dengan pengukuran simpangan baku di suatu titik x pada dua waktu

yang berbeda t

₁

dan t

₂

Difusi 2-Dimensi

31

q 

Persamaan transpor difusi dua dimensi

∂c ∂t = εm ∂2c ∂x2 + ∂2c ∂y2 # $ % % & ' (

( §  Difusi dua dimensi, arah x dan y (bidang z)

§  Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

Difusi 2-Dimensi

32 c x, y, t

₍

₎

= Mx σ_x 2 π exp − x2 2 σ_x2 $ % & & ' ( ) ) + M_y σ_y 2 π exp − y2 2 σ_y2 $ % & & ' ( ) )

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 2-D tersebut adalah:

§  Jika medium homogen, σ_x = σ_y = σ

c x, y, t

₍

₎

= M2 σ_x 2 π

(

)

2 exp − x2+ y2

(

)

2 σ2 $ % & & & ' ( ) ) ) σ2

( )

t = 2 ε_m t M₂ = M₀ L

Difusi 3-Dimensi

33

q 

Persamaan transpor difusi tiga dimensi

∂c ∂t = εm ∂2c ∂x2 + ∂2c ∂y2 + ∂2c ∂z2 # $ % % & ' (

( §  Difusi dua dimensi, arah x, y, dan y

§  Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

Difusi 3-Dimensi

34 c x, y, z, t

₍

₎

₌ M3 σ 2 π

(

)

3 exp − r2 2 σ2 $ % & & ' ( ) )

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 3-D tersebut adalah:

r2 = x2+ y2+ z2

Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas

35

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D

c x, t

_{( )}

= M1 σ_x 2 π exp − x2 2 σ_x2 $ % & & ' ( ) )

§  Jika medium memiliki batas dinding, tembok à pencerminan source

c x, t

_{( )}

= M1 σ_x 2 π exp − x2 2 σ_x2 $ % & & ' ( ) ) +exp − x − 2L_p

(

)

2 2 σ_x2 * + , , , -. / / / 0 1 2 3 2 4 5 2 6 2

Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas

36 c x, t

_{( )}

= 2M1 σ_x 2 π exp − L_p2 2 σ_x2 $ % & & ' ( ) ) di dinding

Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus

37 c x, t

_{( )}

₌ M1 σ_x 2 π exp − x2 2 σ_x2 $ % & & ' ( ) )

§  Syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

q 

Persamaan transpor difusi satu dimensi, massa M

₀

dimasukkan secara

menerus (kontinu) di x = 0

c x = 0, t ≥ 0

₍

₎

= c₀

c x = ±∞, t ≥ 0

₍

₎

= 0

Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus

38 c x, t

_{( )}

_{= c0} erfc x 4 ε_m t " # $ $ % & ' '

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D dari source kontinu

erfc Y

_{( )}

₌ 2 π e−ξ dξ Y ∞

∫

•  complementary error function

•  dapat dihitung dengan MSExcel: =ERFC(…)

Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus

Penyelesaian analitis persamaan konveksi-difusi

dalam regime turbulen

Konveksi-Difusi

Konveksi-Difusi (Turbulen)

41

q 

Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen

∂c

∂t

+ ∂

uc

∂x

+ ∂

vc

∂y

+ ∂

wc

∂z

= ∂

∂x

ε

tx

∂c

∂x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂y

ε

ty

∂c

∂y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂z

ε

tz

∂c

∂z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

§

 

Koefisien difusi merupakan besaran tensorial

•

 

koefisien difusi vertikal, ε

_tz

•

 

koefisien difusi transversal, ε

_ty

•

 

koefisien difusi longitudinal, ε

_tx

ε

!"

_t

!"

ε

_tx

,ε

_ty

,ε

_tz

Konveksi-Difusi (Turbulen)

42

ε

_tz

= κ u

_∗

z

h

(

h − z

)

§

 

Koefisien difusi vertikal

ε

tz

= 0.067 h u

(

∗

)

§

 

Koefisien difusi vertikal rerata

kedalaman aliran

ε

_tz

=

1

h

κ u

∗

z

h

(

h − z

)

dz

0 h

∫

kedalaman aliran kecepatan geser z h U

ε

tz

ε

tz

Konveksi-Difusi (Turbulen)

43 L_z

Jarak L

_z

= ξ

_z

U

h

2

ε

_tz

ditempuh dalam waktu t

z

= ξ

z

h

2

ε

_tz ξz = 0.1 h/2 U h/2 U h L_z ξz = 0.4 U kecepatan rerata kedalaman aliran

Konveksi-Difusi (Turbulen)

44

§

 

Koefisien difusi transversal

ε

ty

= 0.6 h u

(

∗

)

B U

ε

ty

= 0.15 h u

(

∗

)

•  di flume •  di sungai tepi, tebing tepi, tebing

Konveksi-Difusi (Turbulen)

45 L_y

Jarak L

_y

= ξ

_y

U

B

2

ε

_ty

ditempuh dalam waktu t

y

= ξ

y

B

2

ε

_ty ξy = 0.1 B/2 U B/2 U B L_y ξy = 0.5 U kecepatan rerata kedalaman aliran

Konveksi-Difusi (Turbulen)

46

§

 

Koefisien difusi longitudinal, searah aliran

B U

ε

tx

= 0.23 h u

(

∗

)

•  Difusi longitudinal (searah aliran) yang ditimbulkan oleh turbulensi aliran

umumnya diabaikan karena pengaruh

dispersi lebih dominan.

•  Parameter dispersi adalah koefisien dispersi K_x.

tepi, tebing tepi, tebing

•  Dispersi terjadi karena adanya variasi besaran kecepatan aliran (distribusi kecepatan) à beda antara kecepatan rerata dan kecepatan di suatu titik.

U = U + !U U !U

47 near-field zone of mixing mid-field zone of mixing far-field zone of mixing

Konveksi dan Difusi Transversal

48

q 

Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen

∂c

∂t

+ ∂

uc

∂x

+ ∂

vc

∂y

+ ∂

wc

∂z

= ∂

∂x

ε

tx

∂c

∂x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂y

ε

ty

∂c

∂y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂z

ε

tz

∂c

∂z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

§

 

Jika kondisi berikut ini diterapkan

•

 

aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0

•

 

sumber polutan kontinu dan transpor polutan dianggap permanen

•

 

difusi longitudinal diabaikan

•

 

difusi vertikal telah dicapai, polutan telah menyebar di

seluruh kedalaman aliran

Konveksi dan Difusi Transversal

49

∂c

∂t

+ ∂

uc

∂x

+ ∂

vc

∂y

+ ∂

wc

∂z

= ∂

∂x

ε

tx

∂c

∂x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂y

ε

ty

∂c

∂y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂z

ε

tz

∂c

∂z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

transpor permanen v = w = 0 difusi longitudinal diabaikan difusi vertikal telah dicapai

∂uc

∂x

=

∂

∂y

ε

ty

∂c

∂y

#

$

%

&

'

( ⇒ U

∂C

∂x

= ε

ty

∂

2

C

∂y

2

U kecepatan aliran rerata kedalaman

(depth-averaged velocity)

C konsentrasi polutan rerata

kedalaman (depth-averaged

concentration) karena polutan telah menyebar di seluruh kedalaman

Konveksi dan Difusi Transversal

50

C

_u

_{( )}

x, y

=

G

0

h 4 π ε

_ty

x U

exp −

y

2

U

4 ε

_ty

x

$

%

&

&

'

(

)

)

§

 

Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai

lebar

G

0

= M

0

t [kg/s]

debit polutan, merata di seluruh kedalaman aliran h

§

 

Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai

berbatas

C x, y

_{( )}

= C

_u

(

x, y + y

₀

)

+

C

_u

(

x, 2nB ± y ± y

₀

)

n=1 N

∑

Konveksi dan Difusi Longitudinal

52

q 

Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen

∂c

∂t

+ ∂

uc

∂x

+ ∂

vc

∂y

+ ∂

wc

∂z

= ∂

∂x

ε

tx

∂c

∂x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂y

ε

ty

∂c

∂y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂z

ε

tz

∂c

∂z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

§

 

Jika kondisi berikut ini diterapkan

•

 

aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0

•

 

difusi vertikal dan transversal telah dicapai, polutan telah

menyebar di seluruh kedalaman dan lebar aliran à polutan

telah menyebar di tampang lintang aliran

Konveksi dan Difusi Longitudinal

53

∂c

∂t

+ ∂

uc

∂x

+ ∂

vc

∂y

+ ∂

wc

∂z

= ∂

∂x

ε

tx

∂c

∂x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂y

ε

ty

∂c

∂y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ ∂

∂z

ε

tz

∂c

∂z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

difusi transversal telah dicapai v = w = 0 difusi vertikal telah dicapai

∂c

∂t

+

∂uc

∂x

=

∂

∂x

ε

tx

∂c

∂x

#

$

%

&

'

( ⇒

∂C

∂t

+ U

∂C

∂x

=

∂

∂x

(

ε

tx

+ *

K

x

)

∂C

∂x

+

,

-

.

/

0

karena polutan telah menyebar di seluruh tampang lintang aliran, maka

Konveksi dan Difusi Longitudinal

54

∂C

∂t

+ U

∂C

∂x

=

∂

∂x

(

ε

tx

+ #

K

x

)

∂C

∂x

$

%

&

'

(

) ⇒

∂C

∂t

+ U

∂C

∂x

=

∂

∂x

K

x

∂C

∂x

+

,

-

.

/

0

koefisien dispersi

§

 

Pada aliran permanen dan seragam, K

_x

konstan

∂C

∂t

+ U

∂C

∂x

= K

x

∂

2

C

∂x

2

§

 

berlaku setelah:

•  difusi vertikal di seluruh kedalaman aliran dicapai

•  difusi transversal di seluruh lebar aliran dicapai

Dispersi Longitudinal

55

∂C

∂t

+ U

∂C

∂x

= K

x

∂

2

C

∂x

2

à di far-field mixing zone Berlaku setelah L_{y = ξy} U B2 ε_ty atau setelah ty = ξy B2 ε_ty

§

 

Koefisien dispersi, K

_x K_x = 6 h u

(

_∗

)

K_{x = 0.011}B2U2 h u_∗ 140 < K_x < 500

à saluran tampang segi-empat à sungai

à  saluran atau sungai yang memiliki distribusi kecepatan aliran ke arah vertikal maupuan ke arah transversal

Dispersi Longitudinal

56

§

 

Jika polutan M

₀

dimasukkan secara merata di tampang dan secara tiba-tiba,

maka penyelesaian analitis persamaan dispersi longitudinal tersebut adalah:

luas tampang aliran C x, t

_{( )}

₌ M1 4 π K_x t exp − x − U t

(

)

2 4 K_x t # $ % % & ' ( ( C_max

_{( )}

t ₌ M1 4 π K_x t ×1= M₁ 4 π K_x x U M1= M0 S [kg/m2]

konsentrasi maksimum, bergerak dengan kecepatan U dan berkurang seiring dengan waktu t

Dispersi Longitudinal

57

§

 

Jika polutan M

₀

dimasukkan secara merata di tampang dan selama waktu T

•  dapat dibaca sebagai satu seri polutan yang dimasukkan secara berurutan, masing-masing dalam waktu Δτ yang sangat kecil

ΔC_i

( )

x, t = mi S 4 π K_x

₍

t − τ_i

₎

exp − x − U t − τ

₍

_i

₎

% & '( 2 4 K_x

₍

t − τ_i

₎

) * + , + -. + / + m_i = M

(

₀ T

)

Δτ C x, t

_{( )}

_{= ΔCi}

_{( )}

x, t i=1 n

∑

= mi S 4 π K_x m_i t − τ_i

(

)

exp − x − U t − τ

₍

_i

₎

& ' () 2 4 K_x

₍

t − τ_i

₎

* + , -, . / , 0 , i=1 n

∑

Dispersi Longitudinal

58

§

 

Jika polutan M

₀

dimasukkan secara merata di tampang dan menerus (kontinu)

secara konstan

C x, t

_{( )}

₌ C0 2 exp U x K_x ! " # $ % & erfc x + U t 4 K_x t ! " # # $ % & &+ erfc x − U t 4 K_x t ! " # # $ % & & ( ) * * + , C C₀ = 1 U x

_{( )}

> 0 e xp −U x K_x " # $ % & ' U x

( )

< 0 ( ) ** + * * C₀ konstanta

•  Pada kondisi transpor permanen (steady state condition), t ! ∞

•  erfc(+∞) = 0