Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:VMJ:

2009, Том 11, выпуск 1, С. 43–53

УДК517.9

ОБA-ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ. I

Ю. Ф. Коробейник

В работе изучаются некоторые свойстваA_{-представляющих систем, введенных автором в 1975 г. в}

одной из его статей и с тех пор нигде не рассматривавшихся.

Ключевые слова:A-представляющие системы, оператор представления и правый обратный к нему, линейные преобразования представляющих систем.

1. Пусть H — полное отделимое локально выпуклое пространство (ПОЛВП) над полем скаляровΦ, гдеΦ =C_{илиΦ =}R_{, с топологией}P_{, определяемой набором}

(непре-рывных) преднормp:P_={p}.

Пусть, далее, Ω — некоторое счетное множество индексов и (ωk)∞_k=1 — неубываю-щая последовательность его конечных (т. е., состоящих из конечного числа индексов) подмножеств, исчерпывающаяΩи такая, что:

∀n>1 ωn⊂ωn+1 ⊂Ω =

∞

[

k=1

ω1

[ Ã _∞

[

k=1

(ω_k+1\ωk)

!

.

Возьмем какое-либо счетное множество X ненулевых элементов xα из H таких, что любая (конечная) система элементов (xα : α ∈ ωm),m = 1,2, . . . линейно независима в

H. Если c = (cα)α∈Ω — произвольное числовое семейство (cα ∈ Φ,∀α ∈ Ω), то ∀m > 1 положим Sm(c) := P

α∈ωmcαxα. Образуем векторное пространство A1(X, H) числовых

семейств c = (cα), cα ∈ Φ (∀α ∈ Ω), для которых в H существует предел lim

m→∞Sm(c).

Очевидно, чтоA1(X, H) содержит все «орты» e_(β)= (eγ,β)γ∈Ω, где β ∈Ω иeγ,β = 0 при

γ 6=β,e_β,β=1.

Пусть теперь A— (векторное) подпространствоA1(X, H). НазовемX A -представля-ющей системой в H (A-ПС в H), если любой элементy из H допускает представление

y= lim

m→∞Sm(c), (1)

в котором предел берется вH и c= (cα)α∈Ω ∈A.

В дальнейшем для краткости A1(X, H) — ПС в H называется представляющей си-стемой (ПС) вH.

Введем в пространстве A1(X, H) топологию τ1 набором преднорм QP ={qXp }p∈P,

где q_pX(c) := sup m>1

p(Sm(c)). Заметим, что из отделимости пространства H следует, что

(A1(X, H), τ1)также отделимо. Действительно, еслиd∈A1(X, H)иqpX(d) = 0 (∀p∈P), то

(∀p∈P_{) (∀m}>1) p(Sm(d)) = 0.

c

Но тогда при любом фиксированном m > 1 и всех p ∈ P _{p(Sm(d)) = 0, и в силу}

отделимости H,Sm(d) = 0,m= 1,2, . . .

Так как по исходному предположению система (xα)α∈ωm линейно независима и

P

α∈ωmdαxα= 0, то dα= 0,∀α∈ωm,∀m>1. Окончательно,d= 0.

Предположим, что в подпространстве A пространства A₁(X, H) введена локально-выпуклая топология τ такая, что (A, τ) ֒→ (A1(X, H), τ1). Тогда (A, τ) — ОЛВП (над полем скаляровΦ).

Наиболее важными представителями А-ПС являются, пожалуй, представляющие си-стемы (ПС) и абсолютно представляющие сиси-стемы (АПС) в ОЛВП H. Для первых

A=A1(X, H), а для вторыхA=A2(X, H), где

A2(X, H) :=

(

c= (cα)α∈Ω : (∀p∈P)q(2)p (c) :=

X

α∈Ω

|cα|p(xα)<∞

)

.

Если в A₂(X, H) ввести топологию τ₂ набором преднорм Q_P(2) ={q(2)p :p∈P}, то (A2(X, H), τ2)֒→(A1(X, H), τ1).

Из этих определений следует, что любая А-ПС, где (A, τ)֒→(A1(X, H), τ1) (в част-ности, любая АПС) в H подавно будет ПС вH. Заметим еще, что если H — ОЛВП, то

A2(X, H),τ2 — ПОЛВП; если жеH — ПОЛВП, то A1(X, H)— также ПОЛВП.

Понятие представляющей системы впервые введено, по-видимому, А. А. Талаля-ном [1] для пространств Фреше вещественнозначных функций, определенных на неко-тором промежутке вещественной оси. Класс АПС в произвольном ПОЛВП H был рас-смотрен автором в его статье [2], а общее определение А-ПС было дано в его работе [3]. Следует заметить, что к настоящему моменту имеется довольно большое число журналь-ных публикаций, в которых изучаются свойства ПС и (особенно) АПС и их приложения в анализе и дифференциальных уравнениях. Однако работ (кроме исходной статьи [3]), посвященных общим А-ПС, в литературе обнаружить не удалось. В настоящей статье этот пробел частично восполняется.

2.Введем оператор представления

LX_A :∀c= (cα)α∈Ω ∈A→L

X

A(c) = lim_m

→∞

à X

α∈ωm

cαxα

!

∈H.

Очевидно, что LX_A — линейный оператор из A в H. Кроме того, в силу того, что (A, τ)֒→A1(X, H), для любой преднормыp изP найдутся конечная постояннаяb <∞ и преднормаt из набора преднорм, определяющих топологиюτ в A, такие, что

(∀c∈A) q_pX(c)6bt(c).

Но

∀c∈A p(LX_Ac)6 sup m>1

p Ã

X

α∈ωm

cαxα

!

=q_pX(c),

и LX_A — линейный непрерывный оператор из(A, τ) в H. Очевидно, что X — А-ПС в H

тогда и только тогда, когда H — эпиморфизм ((A, τ) на H).

A-базисом (при A = A2(X, H) — абсолютным базисом, а при A = A1(X, H) — просто базисом вH).

Очевидно, что любой A-базис в H (соответственно, абсолютный базис или (просто) базис) будет А-ПС (соответственно, АПС или ПС) в H. Обратное заключение, вообще говоря, неверно, в чем можно убедиться на, возможно, не самом общем, но довольно простом примере (пример подобного рода приводился автором в его лекции, прочитанной на Зимней Саратовской математической школе в 1971 г.).

Пусть H — ПОЛВП функций, определенных на каком-либо множествеQ из Bp, где

p>1и Bp =Cp или Bp =Rp. Будем считать, что пространство H инвариантно относи-тельно дифференцирования в том смысле, что все операторы частного дифференциро-вания _∂t∂v

j,j= 1,2, . . . p, гдеt= (t1, t2, . . . tp)∈Bp, действуют непрерывно из H в H.

Обозначим, далее, символом Λ множество всех точек λ из Cp _{таких, что eλ(t) :=} exp < λ, t >p∈ H, и предположим, что множество Λ бесконечно. Допустим еще, что для некоторого собственного счетного подмножестваΛ1 множестваΛсистема экспонент

{eλ:λ∈Λ1}={eλn :n= 1,2, . . .} является А-ПС вH. Тогда, еслиλ0 ∈Λ\Λ1, то

eλ0(t) = lim

m→∞



 X

λα∈ω˜m

βαeλα



, где Λ1 =

∞

[

j=1 ˜

ωj, ω˜1⊂ω˜2⊂. . .⊂Λ1.

При этом{βα}λα∈Λ1 ∈Aи∃k1,∃m0:k1 ∈ω˜m0 иβk1 6= 0(здесь (∀k>1)ω˜k := Λ1∩ωk).

Так какλ0 6=λk1, то ∃j6p:λ0,j 6=λk1,j.

Продифференцировав равенство

eλ0(t) = lim

m→∞



 X

λk∈ω˜m

βkeλk



 (2)

поtj, получим

λ_0,jeλ0(t) = lim

m→∞



 X

λk∈ω˜m

βkeλk·λk,j



. (3)

Умножив обе части равенства (2) на λ0,j и вычтя полученное соотношение из (3), найдем:

0 = lim m→∞



 X

λk∈ωem

(λk,j−λ0,j)βkeλk



.

Так как предел справа существует, то n(λk,j−λ0,j)βk}λk∈Λ1 ∈A, причем приk=k1

(λk1,j−λ0,j)βk1 6= 0, и мы получили нетривиальное представление нуля в H по системе E_Λ1 := (eλ_k :λk∈Λ1). Отсюда следует, что единственность представления вHпо системе EΛ1 не имеет места, иEΛ1 — не А-базис в H.

Таким образом, B2 — ЛНПО для ОПLT XA , иT X — ПА-ПС вH2.

Заметим еще, что если ЛНПО для T определяется эффективно, а X — ЭПА-ПС в H₁, то оператор B₁, а с ним и B₂ = B₁T˙−1

r также определяется конструктивно, и, следовательно,T X — ЭПА-ПС в H2. Тем самым доказана и теорема 7. ⊲

⊳ Доказательство теоремы 6. По теореме 2 T — эпиморфизмH1 на H2. Далее, по предположению теоремы ОПLT X_A имеет ЛНПО

B2 :LT XA B2x=x(∀x∈H2)

и, кроме того, для любого d из A ⊆ A1(X, H1) ⊆ A1(T X, H2) в H2 существует предел lim

k→∞

³ P

α∈ωk

dαT xα

´

. Но тогда для любого d ∈ A в H1 существует предел x0

последова-тельностиn P

α∈ωk

dαxα

o∞

k=1 такой что

x₀ = lim k→∞

à X

α∈ωk

dαxα

!

=LX_A(d).

В силу непрерывности оператораT имеем

T LX_A(d) =T x0 = lim k→∞

à X

α∈ωk

dαT xα

!

=LT X_A (d) (∀d∈A).

Возьмем теперь любой элемент y из H2 и положим d=B2y. Тогда d∈A иT LXAd=

LT X_A B2y=y, т. е.

T(˜x) =y, гдеx˜=LX_Ad=LX_AB2y∈H1.

Таким образом, LX_AB2 — ЛНПО для эпиморфного оператора T. При этом, если еще ЛНПОB2 для ОП LT XA определяется эффективно (т. е., если T X — ЭПА-ПС в H2), то операторLX_AB2 также определяется эффективно, и справедлива теорема 8. ⊲

Аналогично доказывается и теорема 4. 5.Остановимся отдельно на случаях, когда

A=A1(X, H1)и A=A2(X, H2).

В этих случаях теорема 1 принимает следующий вид

Теорема 9. Если X —A1(X, H1)-ПС илиA2(X, H1)-ПС в H1 и T — эпиморфизмH1 наH₂, то T X —A₁(X, H₁)-ПС (соответственно,A₂(X, H₁)-ПС) вH₂.

Утверждение X — A1(X, H1)-ПС вH1 (X — A2(X, H1)-ПС вH1) равносильно тому, чтоX— ПС вH1(соответственно,X— АПС вH1). Но по лемме 1, еслиT X —A1(X, H 1)-ПС или A₂(X, H₁)-ПС вH₂, то T X — ПС (соответственно, АПС) вH₂. Таким образом, из теоремы 9 вытекает более грубое утверждение:

Теорема 10. Если T — эпиморфизм H1 наH2 и X — ПС или АПС вH1, тоT X — ПС (соответственно, АПС) вH2.

Точно так же формулируются аналоги теорем 2–8. Приведем в качестве примера формулировки теорем, соответствующих теоремам 7 и 8.

Теорема 11. Если T — эпиморфизм H1 на H2, имеющий конструктивно определя-емый ЛНПО, и если X — ЭП A1(X, H1)-ПС или ЭПA2(X, H1)-ПС в H1, то T X — ЭП

Теорема 12. ЕслиT — эпиморфизмH1 наH2, имеющий эффективно определяемый ЛНПО, и еслиX— ЭППС или ЭПАПС аH1, тоT X — ЭППС(соответственно, ЭПАПС) в H₂.

Теорема 13. Если T — линейный непрерывный оператор из H1 в H2, система X (A1(X, H1), T)-инвариантна(или(A2(X, H1), T)-инвариантна)относительно парыH1,H2 и если T X — ЭП A1(X, H1)-ПС (соответственно, ЭП A2(X, H1)-ПС) в H2, то T — эпи-морфизмH1 на H2, имеющий эффективно определяемый ЛНПО.

Теорема 14. Если T — линейный непрерывный оператор из H₁ в H₂, A₁(X, H₁) =

A1(T X, H2) илиA2(X, H1) =A2(T X, H2)и если T X — ЭППС(соответственно, ЭПАПС) в H2, то T — эпиморфизмH1 на H2, имеющий конструктивно определяемый ЛНПО.

5. Изложенные общие результаты используются далее в частном случае, когда при

j = 1,2 Hj — ПОЛВП функций, определенных на некотором компакте Qj из Cp (или из Rp_{), p > 1, причем Q2 ⊂ Q1 и H1 ֒→ H2. В качестве оператора T берется вначале} операторT1,2 «сужения» сQ1 на Q2:

∀y∈H₁ →T_1,2y:=y ¯ ¯ ¯

Q2

и предполагается, что этот оператор (очевидно, линейный) непрерывен и действует из

H1 в H2. Допустим, что Q— правый обратный для T1,2. Тогда

T1,2(Qx) =x (∀x∈H2) или(Qx)

¯ ¯ ¯

Q2

=x(∀x∈H2).

Таким образом, оператор Q всегда совпадает с оператором «подъема» из Q2 в Q1, т. е. с оператором, который каждую (определенную наQ2) функциюyизH2продолжает (изQ₂ в Q₁) до некоторой функции y₁ изH₁ такой, что

y1

¯ ¯ ¯

Q2

=T1,2y1 =y.

Такой оператор назовем оператором продолжения изH2 вH1.

Очевидно, что ЛПО(T1,2)−np1для оператора «сужения»T1,2существует тогда и только тогда, когда имеется оператор M_2,1 продолжения из H₂ в H₁, причем всегда оператор (T1,2)−np1 (если он существует) совпадает с M2,1.

Ясно также, чтоT1,2— эпиморфизмH1наH2, имеющий ЛНПО, тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный оператор продолжения M_2,1.

Выясним еще, что означает в данной конкретной ситуации (A, T1,2)-инвариантность системы X относительно пары H1,H2. Нетрудно убедиться (в предположении о непре-рывности оператора T_1,2), что система X (A, T_1,2)-инвариантна относительно пары H₁,

H2 в том и том случае, если любая последовательность

n P

α∈ωk

cαxα

o∞

k=1, в которой (cα)α∈Ω ∈ A, сходится (т. е. имеет конечный предел) в H1 тогда и только тогда, когда последовательность n P

α∈ωk

cαxα

¯ ¯ ¯

Q2 o∞

k=1 сходится вH2.

Легко переформулировать теоремы 1–8 для рассматриваемой частной ситуации. Мы ограничимся здесь только формулировками двух из этих результатов, предоставив чи-тателю сформулировать остальные.

Теорема 15. Пусть оператор «сужения» T1,2 непрерывен из H1 в H2 и существует конструктивно определяемый линейный непрерывный оператор M1,2 «подъема из Q2 в

Теорема 16. Пусть

(1)оператор T1,2 непрерывен из H1 вH2; (2)A⊆A1(X, H1);

(3)любая последовательность n P

α∈ωk

cαxα

o∞

k=1, в которой(cα)α∈ω ∈A, сходится вH1 тогда только тогда, когда последовательностьn P

α∈ωk

cαxα

¯ ¯ ¯_Q

2 o∞

k=1 сходится вH2; (4){xl}l∈Ω — ЭПА-ПС в H2.

Тогда T1,2 — эпиморфизм H1 на H2, имеющий эффективно определяемый ЛНПО (совпадающий сM1,2).

Следствие.Пусть выполнены предположения(1)–(3)теоремы16и, кроме того,X— ЭПА-ПС вH₁. Тогда равносильны такие утверждения:

(1) Существует и конструктивно определяется линейный непрерывный(изH2 в H1) операторM1,2 «подъема изQ2 вQ1».

(2)T_1,2X={xα

¯ ¯

Q2}α∈Ω — ЭПА-ПС в H2.

Заметим, что изложенный в этом пункте материал обобщает результаты из более ранних работ автора (см., например, [4, 6]).

6.Приведем один довольно общий пример, в котором имеет место предположение в), сформулированное в начале п. 4.

Пусть выполнено условие а) из п. 4 и пустьT — линейный оператор, действующий из

H1 в H2 (в отличие от б) непрерывность T изH1 вH2 не предполагается). Пусть, далее,

X = (xα)α∈Ω — некоторое счетное множество собственных элементов xα оператора T с попарно различными собственными значениями:

T xα =λαxα, λα 6=λβ при α6=β

(ясно, что еслиλα 6= 0, то xα ∈H1∩H2).

Покажем, что в данной ситуации любая конечная подсистемаX линейно независима в H1. Доказательство проведем методом полной математической индукции. Так как по определению собственный элемент оператораT отличен от нулевого, то приn= 1нужное нам утверждение верно. Допустим теперь, что любая совокупность n элементов xαj,

j = 1,2, . . . n, из X линейно независима в H1, и докажем, что произвольная система (xαj)

n+1

α=1 элементов изX, где αn+1 ∈Ω, также линейно независима в H1. Рассуждая от противного, предположим, что некоторая система вида

³

xαj : xαj ∈X, αj ∈Ω, j = 1,2, . . . , n+ 1

´

линейно зависима вH1, т. е., что существует {cj}n+1_j=1:

n+1

X

j=1

|cj|>0, n+1

X

j=1

cjxαj = 0. (4)

Применяя к равенству (4) линейный операторT, получим

n+1

X

j=1

Пусть k0 6k6n+ 1,k0 = min{m : 16m 6n+ 1, cm 6= 0}. Вычитая из равенства (5) предыдущее, предварительно умноженное на λαk0, найдем:

n+1

X

k=k0+1

ck(λαk−λαk0)xαk = 0.

В силу исходного предположения математической индукции система {xαk : 1 6k6

n+ 1, k6=k₀} линейно независима в H₁. Поэтому

ck(λαk −λαk0) = 0, k0+ 16k6n+ 1.

Так как λαk 6=λαk0 при k6=k0, то из последних соотношений следует, что

ck= 0, 16k6n+ 1, k6=k0.

Но тогда равенство (4) примет такой вид:

ck0xαk0 = 0, гдеck0 6= 0.

Следовательно, xαk0 = 0, что невозможно. Этим доказательство по индукции

завер-шается.

Заметим еще, что еслиλα6= 0,α∈Ω, то в предположениях данного пункта любая ко-нечная совокупность элементов изXлинейно независима вH1, а изT X := (λαxα)α∈Ω — в H2. Это означает, что каждая конечная подсистема из X линейно независима и в H1, и вH2.

Пожалуй, наиболее интересным для нас частным случаем только что описанной си-туации является случай, когда приj = 1,2 Hj — ПОЛВП функций отp (вещественных или комплексных) переменных, а T — оператор свертки:

T(exphλ, zip) =a(λ) exphλ, zip; λ, z∈Φ, где Φ =Rp _илиCp_.

Пусть для любого λ∈Ω⊆Φ

exphλ, zip ∈H1∩H2; a(λ1)6=a(λ2), еслиλ1, λ2 ∈Ω иλ16=λ2.

Пусть еще оператор T действует изH₁ вH₂. Тогда по доказанному, любая конечная совокупность элементов системы {exphλ, zip}λ∈Ω линейно независима и в H1, и вH2.

В заключение отметим, что применение общих результатов о линейных преобразо-ваниях А-ПС, изложенных в данной статье, к некоторым конкретным функциональным пространствам в случае, когдаA=A1 или A=A2, дано в работах [4–7].

Литература

1. Талалян А. А. Представление измеримых функций рядами // Успехи мат. наук.—1960.—Т. 15, вып. 5.—С. 77–141.

2. Коробейник Ю. Ф.Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты. Приложения к простран-ствам Фреше // Мат. cб.—1975.—Т. 97, № 2.—С. 193–229.

3. Коробейник Ю. Ф.Об одной двойственной связи // Мат. анализ и его приложения.—1975.—Т. 7.— С. 200–208.

5. Коробейник Ю. Ф.Эффективно представляющиеθ-тригонометрические системы и их приложе-ния. Часть I.—1999.—35 c. Деп. в ВИНИТИ 29.06.99, № 2132; часть II.—1999.—35 c. Деп. в ВИНИТИ 24.11.99, № 3474.

6. Коробейник Ю. Ф.Линейные преобразования представляющих и абсолютно представляющих си-стем // Изв. вузов. Математика.—2005.—№ 9.—С. 19–28.

7. Коробейник Ю. Ф.Аппроксимативные свойстваθ_{-тригонометрических систем // Изв. вузов.}

Сев.-Кавказ. регион. Естественные науки. Спецвыпуск «Математика и механика сплошной среды».— 2004.—С. 150–153.

Статья поступила 10 декабря 2008 г.

Коробейник Юрий Федорович

Южный федеральный университет,

проф. каф. матем. анализа

РОССИЯ, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-А; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А,

гл. научн. сотр. лаб. комплексного анализа