5
Teori antrian pertama kali dikemukakan oleh A.K.Erlang, yang menggambarkan model antrian untuk menentukan jumlah optimal dari fasilitas telepon switching yang digunakan untuk melayani permintaan yang ada.
2.1 Komponen Proses Antrian
Proses antrian yang terjadi sangat sederhana atau sangat kompleks. Komponen dasar proses antrian adalah kedatangan dan pelayanan. Komponen komponen ini disajikan pada gambar 2.1.
Sumber Kedatangan
Antrian fasilitas pelayanan keluar Gambar 2.1 Komponen Proses Antrian
Inti dari analisa adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian tergantung bersifat kedatangan dan proses pelayanan. Penentuan antrian yang penting adalah disiplin antri. Disiplin antri adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantrian. Misalnya datang awal dilayani lebih dahulu yang dikenal First Come First Serve (FCFS) atau datang terakhir dilayani terlebih dahulu Last Come First Serve (LCFS), berdasarkan prioritas dan secara random. Jika tidak ada antrian berarti terdapat pelayanan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan.
Mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih fasilitas pelayanan. Contohnya pelayanan pada jalan tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan hanya terdiri dari satu pelayanan dalam satu fasilitas pelayanan yang biasa di temui pada loket seperti penjualan tiket di gedung theater. Disamping itu perlu diketahui cara pelayanan dirampungkan yang kadang – kadang merupakan proses random.
2.2 Karakteristik Antrian
Sumber Populasi
Pekerjaan atau pengantri yang datang kesuatu sistem dapat berasal dari suatu populasi yang terbatas atau tidak terbatas. Bila jumlah pekerjaan tidak mempunyai limit 90 diperbolehkan menunggu dalam suatu antrian, maka ini disebut sebagai antrian tidak terbatas sebaliknya antrian mempunyai limit disebut antrian yang terbatas.
Pola Kedatangan
Cara yang umum dipakai untuk menggambarkan pola kedatangan adalah dengan menggunakan antar waktu kedatangan yang didefinisikan sebagai interval antara kedatangan yang berurutan. Bila kedatangan berubah – ubah secara stokastik, dibutuhkan pendefinisian fungsi probabilitas antar waktu kedatangan. Untuk membahas pola kedatangan, digunakan notasi sebagai berikut :
tk adalah rata – rata waktu antar kedatangan adalah tingkat kedatangan
Besaran – besaran tersebut dihubungkan oleh persamaan = 1/ tk ... (2.1)
sebagai distribusi kedatangan, maka Ao adalah probabilitas yang waktu antar kedatangannya lebih besar dari t.
Ao(t) = 1 – F(t)...(2.2)
Pola Kedatangan Poisson
Kedatangan biasanya dikatakan terjadi secara acak. Artinya kedatangan dapat terjadi setiap saat dan hanya dipengaruhi oleh kendala bahwa tingkat kedatangan memiliki suatu nilai tertentu. Dengan kata lain, diasumsikan bahwa waktu kedatangan berikutnya tidak bergantung pada kedatangan sebelumnya dan distribusi dalam interval t. Jika merupakan jumlah kedatangan rata – rata persatu waktu, maka probabilitas kedatangan dalam t adalah t. Fungsi
rapat probabilitas waktu antar kedatangan diberikan oleh f(t) = e-t
(t>0)...(2.3) Dan distribusi kedatangan adalah
Ao(t) = e-ta ...(2.4)
P(r) = (t)r
e-t (n = 0,1,2,3,...)...(2.5) r!
Dimana :
r = Banyaknya kedatangan
P(r) = Probabilitas r kedatangan = Tingkat kedatangan rata – rata
e = Kedatangan natural 2,7/828
r! = r(r-1)(r-2)...!(dibaca r faktorial)
Distribusi seperti ini disebut Poisson dan merupakan distribusi diskrit. Sedangkan distribusi eksponensial (pers 2.3) adalah kontinyu karena waktu antar kedatangan tidak dapat bernilai negatif karena hubungan antar kedua distribusi ini, pola kedatangan acak sering disebut pola kedatangan Poisson.
Distribusi Eksponensial
Dengan mendefinisikan F(t) = y maka pers 2.3 yang dihitung dengan intregal diperoleh fungsi komulatif yang diberikan oleh
y = ot e-t = y = 1 – e-ta...(2.6)
Karena y menunjukkan distribusi komulatif, suku 1 – y bernilai antara 0 dan 1. Dalam rentang nilai ini logaritma berharga negatif. Tanda negatif dalam rumus diatas akan menghasilkan nilai positif.
Dengan menggunakan rumus logaritma natural dan menggantikan nilai y dengan sederet bilangan acak yang terdistribusi serba sama antara 0 dan 1, akan menghasilkan keluaran berupa sederet bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial. Jika nilai – nilai dari y terdistribusi secara serba sama, maka nilai - nilai 1 – y juga demikian, sehingga dimungkinkan untuk menggunakan rumus yang lebih sederhana :
Ta = -ln(y) / = -tk ln (y)...(2.8)
Dengan tk adalah nilai rata – rata waktu antar kedatangan yang muncul sebagai pengganti dalam rumus untuk menghasilkan bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial.
Kepanjangan Antrian
Disipilin Antrian
Istilah disiplin antrian menyatakan metode suatu set aturan yang digunakan untuk menentukan urutan pekerjaan yang akan dilayani, dalam antrian diasumsikan bahwa pekerjaan akan dilayani menurut “First Come First Serve”, yaitu menurut urutan yang sama sebagaimana mereka datang dalam antrian.
Pola Pelayanan
Waktu pelayanan dalam proses antrian dapat juga sesuai dengan salah satu bentuk distribusi probabilitas. Asumsi yang biasa digunakan bagi distribusi waktu pelayanan adalah distribusi eksponensial negatif. Rumus umum fungsi kepadatan probabilitas eksponensial negatif adalah :
E(t) = e-tc
...(2.9) Dimana :
tc = waktu pelayanan
E(t) = Probabilitas kepadatan yang berhubungan dengan t = Tingkat pelayanan rata – rata
i/ = waktu pelayanan rata – rata
F(t) = 0t e-tc dt = 1 – e-tc...(2.10)
Dengan cara yang sama seperti beda waktu antar kedatangan (ta) pada (pers 2.6), didapatkan rumus yang lebih sederhana sebagai berikut :
tc = -ln(y) / = -tp ln(y)...(2.11)
Dengan tp adalah rata – rata waktu pelayanan yang muncul sebagai pengali dalam rumus untuk menghasilkan bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial.
Keluar
[image:8.595.103.518.524.719.2]Bila seorang individu telah selesai dilayani dia akan keluar dari sistem. Sesudah keluar ia mungkin bergabung pada satu diantara populasi. Ringkasan dari karakteristik antrian tersebut dapat dilihat dalam tabel 2.1
Tabel 2.1 Karakteristik Antrian
Karakter Antrian Asumsi Umum
Sumber Populasi Terbatas / tidak terbatas
Pola kedatangan Distribusi Poisson
Kepanjangan antrian Terbatas / tidak terbatas
Disiplin antrian FCFS
Pola Pelayanan Distribusi eksponensial
2.3 Struktur Dasar Proses Antrian
Proses antrian pada umumnya dikelompokan kedalam empat struktur dasar menurut sifat – sifat dan pelayanan, yaitu :
1. Satu saluran satu tahap
Satu saluran dan satu tahap (single channel single phase) adalah model antrian yang sangat sederhana dimana terdapat satu sisi masuk dan satu sisi keluar. Contoh model antrian ini misalnya : pembelian ticket pada salah satu loket penjualan ticket theater.
2. Banyak saluran satu tahap
Banyak saluran dan satu tahap (multi channel single phase) adalah model antrian yang mempunyai banyak barisan serta hanya satu pelayanan. Contoh model antrian ini misalnya pelayanan potong rambut dimana terdapat lebih dari satu tukang potong rambut.
3. Satu saluran banyak tahap
pekerjaan, mengurus izin usaha melalui beberapa orang pejabat pemerintah.
4. Banyak saluran banyak tahap
Banyak saluran banyak tahap (multi channel multi phase) adalah antrian yang mempunyai banyak barisan dan banyak pelayanan. Contoh model ini adalah pelayanan kepada pasien rumah sakit tersebut beberapa perawat akan mendatangi pasien secara teratur dan memberikan palayanan secara kontinue (sebagai urutan suatu pekerjaan).
Keempat kelompok ini ditunjukan pada gambar 2.2 sebagai berikut :
(1)
ANTRIAN PELAYANAN
(2)
ANTRIAN
(3)
ANTRIAN PELAYANAN
(4)
ANTRIAN
[image:11.595.145.479.169.352.2]PELAYANAN Gambar 2.2 Struktur Dasar Proses Antrian (1). Satu saluran satu tahap
(2). Banyak saluran satu tahap (3). Satu saluran banyak tahap (4). Banyak saluran banyak tahap
Banyak saluran dalam proses antrian adalah jumlah pelayanan pararel yang tersedia. Sedangkan banyaknya tahap menunjukan jumlah pelayanan berurutan yang harus dilalui adalah setiap kedatangan kategori yang disajikan diatas merupakan kategori dasar.
2.4 Kerangka Keputusan Masalah Antrian
sistem dalam bentuk ukuran – ukuran. Misalnya rata – rata waktu menunggu, waktu menganggur pelayanan dan lain – lain. Namun ukuran prestasi sistem sesungguhnya banyak input dalam suatu kerangka konsep yang lebih luas.
Ciri – ciri operasi sistem yang akan dipelajari adalah : 1. Wq adalah rata – rata waktu antri untuk setiap orang
2. W adalah rata – rata lamanya seseorang diproses dalam sistem 3. Lq adalah rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian 4. L adalah rata – rata banyaknya pengantri dalam sistem
Kebanyakan analisa masalah antrian akhirnya sampai pada pertanyaan bagaimana merancang fasilitas pelayanan atau berupa tingkat pelayanan yang seharusnya disediakan.
2.5 Formulasi Antrian Single Channel
Suatu model antrian sederhana mempunyai karakteristik sebagai berikut : 1. Waktu datangnya pekerjaan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi
Poisson.
2. Waktu pelayanan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi eksponensial.
3. Single fasilitas pelayanan.
Untuk memecahkan masalah antrian yang sederhana formula – formula yang digunakan berdasarkan pada asumsi bahwa , yaitu tingkat
pelayanan harus dapat melebihi tingkat kedatangan pengantri , dengan demikian semua pengantri akan dapat dilayani jika tidak maka antrian akan semakin panjang sehingga tidak ada solusi keseimbangan.
Rumus dasar model antriannya adalah : 1. Wq = (2.12)
( - )
2. W = 1 (2.13) -
3. Lq = 2 (2.14) ( - )
4. L = (2.15)
-
2.6 Bilangan Acak
2.6.1 Pengetian Bilangan Acak
pendekatan modern menggunakan komputer agar menghasilkan bilangan acak. Jadi bilangan acak adalah barisan angka Ui (0 Ui 1), yang dihasilkan
dari suatu algoritma tertentu (algoritma ini disebut dengan pembangkit bilangan acak atau random number generator).
2.6.2 Pembangkit Bilangan Acak
Pembangkit bilangan acak adalah suatu algoritma untuk dapat menghasilkan urutan - urutan bilangan – bilangan atau barisan bilangan sehingga hasil dari perhitungan menggunakan komputer dengan diketahui distribusinya, yaitu distribusi probabilitas serba sama (uniform) sehingga pemunculan angka – angka dikomputer tersebut secara acak dengan aturan bahwa setiap angka yang muncul dapat digunakan untuk pemunculan angka berikutnya. Maksudnya suatu angka yang diperoleh merupakan angka penentu bagi bilangan acak berikutnya dan angka – angka yang muncul tersebut harus berlainan.
Yang dimaksud dengan probabilitas uniform adalah probabilitas untuk setiap penarikan atau pemunculan bilangan acak harus sama. Beberapa pendekatan untuk menghasilkan bilangan acak antara lain adalah :
1. Pembangkit Bilangan Acak ADDTIVE Zi + 1 = (a * Zi + C)
bilangan acak Ui = Zi / m
2. Pembangkit Bilangan Acak MULTIPLICATE Zi + 1 = (a * Zi) mod m
a,m : bilangan bulat positif bilangan acak Ui = Zi / m
2.7 Teknik Simulasi
Problem
Sistem
Model
Matematika Fisika
Dinamik Statistik Dinamik Statistik
Numerik Analisis Numerik
[image:16.595.141.498.215.548.2]Simulasi
Gambar 2.3 Bagan Klasifikasi Model
Metode analisis menghasilkan solusi yang umum (general), sedangkan metode numerik berdasarkan hasil untuk setiap satu langkah perhitungan dan kalkulasi akan terus diulang untuk memperluas rentang (range) solusi. Kadang kadang istilah simulasi dipakai untuk menjelaskan prosedur pembuatan model suatu sistem dan perolehan solusinya dikerjakan secara numerik.
Menurut Shannon, simulasi adalah proses perancangan model dari suatu sistem nyata (rill) dan pelaksanaan eksperimen pada model ini bertujuan untuk memahami tingkah laku sistem atau untuk menyusun strategi sehubungan dengan operasi sistem tersebut. Dalam kasus model statistik tidak ada perbedaan antara metode – metode “komputasi simulasi” dan “komputasi numerik” (perbedaan dapat dilakukan untuk kasus model dinamik).
2.8 Simulasi Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Pengantri
[image:19.595.276.375.203.447.2]Sistem pelayanan
Gambar 2.4 Diagram aktivitas untuk sistem antrian pelayan tunggal
Diagram diatas merupakan diagram aktivitas yang menggambarkan proses distribusi sistem antrian pelayanan tunggal, dimana pengantri akan memasuki sebuah antrian untuk mendapatkan pelayanan yang akan diberikan oleh satu fasilitas pelayanan pada sistem pelayanan dan akan meningkatkan sistem pelayanan setelah diproses dalam sistem.
Dari permodelan sistem yang dapat dilakukan suatu simulasi sistem untuk menentukan kuantitas dari ciri – ciri operasi sistem antrian yang meliputi :
1. Rata – rata waktu antrian untuk setiap pengantri.
2. Rata – rata lamanya seseorang pengantri diproses dalam sistem. 3. Rata – rata banyaknya seseorang pengantri dalam antrian. 4. Rata – rata banyaknya pengantri dalam sistem.
untuk mengerjakan suatu simulasi dari sistem diatas akan digunakan daftar variabel berikut ini :
1. Rata – rata antar waktu kedatangan (tk) 2. Rata – rata waktu pelayanan (tp) 3. Bilangan acak (Ui)
4. Beda waktu antar kedatangan (A) 5. Waktu datang (B)
6. Lama waktu pelayanan (C) 7. Waktu mulai dilayani (D) 8. Waktu selesai dilayani (E) 9. Lama waktu antri (F)
10.Waktu senggang pelayanan (G) 11.Lama proses dalam sistem (H)
12.Jumlah orang yang akan diestimasi (n)
setiap pengantri secara satu persatu sampai data yang cukup telah terkumpul. Berikut ini adalah langkah – langkah yang akan dilaksanakan untuk mendapatkan solusi perkiraan dalam menetukan ciri – ciri operasi sistem antrian :
1. Melalui sebuah observasi, tentukanlah rata – rata waktu kedatangan (tk) 2. Melalui sebuah observasi, tentukanlah rata – rata waktu pelayanan (tp) 3. Bangkitkan suatu variabel acak Xo, (Xo adalah waktu kedatangan
pelanggan pertama) yang akan menghasilkan bilangan acak Ui sebanyak n 4. Tentukanlah suatu variabel bilangan acak Yo, (Yo adalah lama pelayanan
pelanggan pertama) yang akan menghasilkan bilangan acak Ui sebanyak n 5. Tentukanlah “beda waktu antara kedatangan” (A) setiap pengantri dengan
menggunakan persamaan berikut : Ai = (-tk ln Ui)...(2.16)
Dengan Ui adalah bilangan acak yang dihasilkan dari pembangkitan variabel acak Xo dan tanda () menyatakan pembulatan
6. Tentukanlah “lama waktu pelayanan” (C) setiap pengantri dengan menggunakan persamaan berikut :
Ci = (-tp ln Ui)...(2.17)
Dengan Ui adalah bilangan acak yang dihasilkan dari pembangkitan variabel acak Yo dan tanda () menyatakan pembulatan
Pelangan ke I Beda waktu antar kedatangan tA(i) Waktu datang tB(i) Lama pelayanan tC(i) Waktu mulai dilayani tD(i) Waktu selesai dilayani tE(i) Lama waktu antri tF(i) Waktu senggang pelayan tG(i) Lama proses dalam sistem tH(i) 1 2 3 ... Total
Tabel 2.2 Tabel perhitungan data – data pengantri
Lakukanlah perhitungan data setiap pengantri satu persatu dimulai dari pengantri pertama lalu diteruskan dengan pengantri berikutnya sampai dipenuhi kondisi tertentu.
8. Masukankan hasil perhitungan “beda waktu antar kedatangan “ dan “lama waktu pelayanan” kedalam tabel
a. “waktu datang” (B) pelanggan pertama sama dengan “beda waktu antara kedatangan pelanggan pertama” (A) karena diasumsikan loket dibuka pada saat t = 0, sehingga B1 = A1
b. “waktu datang” (B) pelanggan berikutnya ditentukan dengan menjumlahkan “waktu datang” (B) pelanggan sebelumnya dengan “beda waktu antar kedatangan” (A) pelanggan berikutnya, sehingga Bi + 1 = Bi + Ai + 1 ...(2.18)
10. Tentukanlah “waktu mulai dilayani” (D) masing – masing pelanggan dengan ketentuan sebagai berikut :
a. “waktu mulai dilayani” (D) pelanggan pertama sama dengan “waktu datang” (B) pelanggan pertama sehingga D1 = B1
b. “waktu mulai dilayani” (D) pelanggan berikutnya sama dengan waktu “waktu selesai dilayani” (E) pelanggan sebelumnya jika “waktu datang” (B) pelanggan tersebut kurang dari “waktu selesai dilayani” (E) pelanggan sebelumnya maka
Di + 1 = Ei jika Bi + 1 Ei ...(2.19)
c. “waktu mulai dilayani” (D) pelanggan berikutnya sama dengan “waktu datang” (B) pelanggan tersebut jika “waktu datang” (B) pelanggan tersebut lebih besar dari “waktu selesai dilayani” (E) pelanggan sebelumnya sehingga :
11.Tentukanlah “waktu selesai dilayani” (E) dengan menjumlahkan “lama waktu pelayanan” (C) dengan “waktu mulai dilayani” (D) dari masing – masing pelanggan
Ei = Ci + Di ...(2.21)
12.Tentukanlah “waktu mulai antri” (F) masing – masing pelanggan dengan cara melakukan pengurangan antar “waktu mulai dilayani” (D) dengan “waktu datang” (B), sehingga :
Fi = Di – Bi...(2.22)
13.Hitunglah “waktu senggang pelanggan” (G) dengan melakukan pengurangan antar “waktu mulai dilayani” (D) pelanggan berikutnya dengan “waktu selesai dilayani” (E) pelanggan sebelumnya
Gi + 1 = Di + 1 – Ei ...(2.23)
14.Tentukanlah lama proses dalam sistem (H) masing – masing pelanggan dengan cara menjumlahkan “lama waktu antri” (F) dengan “lama waktu pelayanan” (C), sehingga :
Hi = Ci + Fi ...(2.24)
15.Hitunglah total lama waktu antri (Ftot) dengan menjumlahkan seluruh
“lama waktu antri” (F) masing – masing pelanggan Ftot = F1 + F2 + ... + Fn ...(2.25)
Htot = H1 + H2 + ... + Hn ...(2.26)
17.Tentukanlah waktu selesai dilayani pelanggan terakhir (En)
Setalah data – data semua pelanggan terkumpul dapat dikatakan bahwa pelaksanaan simulasi telah diselesaikan dan untuk menetukan suatu kuantitas dari ciri – ciri operasi sistem antrian diatas dapat dilakukan dengan melakukan perhitungan dengan cara sebagai berikut :
1. perkiraan rata – rata waktu antri setiap pengantri :
total lama waktu antri atau Ftot...(2.27)
jumlah pelanggan n
2. perkiraan rata – rata lamanya pengantri diproses dalam sistem : total lama proses dalam sistem atau Htot...(2.28)
jumlah pelanggan n
3. perkiraan rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian :
total lama waktu antri atau Ftot...(2.29)
waktu selesai dilayani pelanggan terakhir En
4. perkiraan rata – rata banyaknya pengantri dalam sistem :
total lama proses dalam sistem atau Htot...(2.30)
2.9 Simbol Flowchat Program
Flowchart program atau diagram alur adalah suatu diagram yang menggambarkan suatu langkah – langkah dari input, proses dan output suatu program yang digambarkan dalam bentuk simbol – simbol. Untuk memberikan pedoman dalam pembuatan program maka sebelum suatu program dibuat, harus dibuat dulu diagram alurnya. Adapun simbol – simbol yang digunakan dalam diagram alur atau flowchart program adalah sebagai berikut :
a) Simbol Titik Terminal (Awal/Akhir)
Simbol ini digunakan untuk menyatakan mulai (start) ataupun berhenti (stop) atau selesai (end)
b) Simbol Input / Output
Simbol ini digunakan untuk menyatakan masukan atau membaca data. Pada sebagian orang simbol ini juga digunakan untuk menyatakan keluaran
c) Simbol Proses
d) Simbol Garis Alir
Simbol ini digunakan untuk menyatakan arah dari suatu proses dalam suatu diagram alur
e) Simbol Penghubung
Simbol ini digunakan untuk menyatakan konektor atau penyambung suatu diagram alur yang terputus, dimana kelanjutan dari diagram alur tersebut masih digambarkan pada halaman yang sama. Sebagai penanda dari suatu hubungan yang terputus ditambahkan simbol di dalam gambar simbol tersebut
f) Simbol Kondisi atau Keputusan
atau syarat tertentu. Simbol ini terdiri atas 1 masukan dan 2 keluaran yang terdiri dari benar (true) dan salah (false)
g) Simbol cetak
Simbol ini digunakan untuk menyatakan bahwa suatu nilai akan dicetak (baik ke layar ataupun kekertas). Selain itu simbol ini juga digunakan untuk menyatakan penyimpanan suatu data.
h) Simbol penghubung
