B A B I I I
K E T I I N G G A L A N S O L U S I P E R I O D I K P E R S A M A A N D I F F E R E N S I A L T U N D A A N
3.1 P E R S A M A A N D I F F E R E N S J A L T I N D A A N
Suatu persamaan differensial disebut Persamaan D i f f e r e n s i a l T u n d a a n ( D i f f e r e n t i a l D e l a y E q u a t i o n s ) , j i k a pada persamaan terdapat hubungan
ketergantungan dari w a k t u sebelum dan w a k t u sekarang.
Sebagai contob persamaan : v " ( t ) = y (t - / T ) m e i i q ) a k a n Persamaan T u n d a a n
dengan I" > 0.
Suatu contoh dari Persamaan D i f f e r e n s i a l T u n d a a n dapat d i a m a t i dapat d i a m a t i
dari fenomena b e r i k u t :
Suatu larutan air garam y a n g m e n g a l i r kedalam sebuali t a n k i dengan
j u n d a l i 6 liter / menit dan m e n g a l i i keluar dengan j u n d a l i 5 liter / menit.
T e n t u k a n l a l i konsentrasi dari larutan garam tersebut sebagai fungsi dari w a k t u .
S o l u s i : Karena perbedaan antara larutan yang m e n g a l i r k e d a l a m dan keluar t a n k i
sebesar ( 6 - 5 ) liter / m e n i t . niaka v o l u m e d i dalani t a n k i setelali t menit
adalah : 5.v(/) (5 I / m e n i t ) iOOO + t ki^l iiieilit 1000 + /
O u t p u t perubahan dari masalah a w a l y a n g d i b e r i k a n pada fenomena ter.sebut dapat
d i m i s a l k a n dalani persamaan : .
— = 6 - . . \ ( 0 ) = 0 ( 3 , 1 . 1 )
Persamaan D i f f e r e n s i a l L i n i e r ( 3 . 1 . 1 ) dapat diselesaikan dengan perluasan t a k t o r Integra si : H ( t ) = ( 1 0 0 0 + t ) \ sehingga diperoleh ; dt ( 1 0 0 0 + t ) \ v J = 6 ( 1 0 0 0 + t ) ' (1000 + t ) \ v = ( 1 0 0 0 + t ) " + c x ( t ) = ( 1 0 0 0 + t ) + c ( 1 0 0 0 + t ) - '
Dengan m e n g g u n a k a n m e n g g u n a k a n syarat awal \ ( 0 ) 0 diperoleh c = - (1000)^' Jadi solusi ( 3 . 1 . 1 ) adalah :
X ( t ) = ( 1 0 0 0 + t ) - ( 1 0 0 0 ) ' ' ( 1 0 0 0 + I )
Sehingga konsentrasi larutan g a r a m dalam t a n k i |)ada w a k t u t adalah ;
-j
^^l^
=
/-f/00n/'(\000
+ t/' kg/I ( 3 . 1 . 2 )Konsentrasi y a n g d i b e r i k a n dari persamaan ( 3 . 1 . 2 ) m e n d e k a t i I k g / 1 i n i t u k t - > o o .
B e n t u k Persamaan :
. v ' ( t ) = 6 - ^ ^ x ( t - t „ ) , dengan x ( t ) = 0 u n t u k t e [-to. „]
disebut Differensial Persamaan Tundaan dengan p o s i t i p to konstanta
Suatu Persamaan Differensial L i n i e r Tundaan sederhana :
/ / ' ( t ) = a u ( t - b ) ( 3 . 1 . 3 )
Persamaan ( 3 . 1 . 3 ) m e m p u n y a i solusi :
// = c e" , u n t u k c konstanta .
dan s m e m e n u h i Persamaan Transendental:
s = a e-''
Solusi ( 3 . 1 . 3 ) u n t u k t > 0 dapat digunakan metode l a n g k a h - l a n g k a h ( M e t h o d o f
Steps) dengan asumsi u ( t ) = f ( t ) u n t u k ~b < t < 0.
U n t u k 0 < t < b , persamaan ( 3 . 1 . 3 ) men jadi :
/ / ' ( t ) = a u ( t - b ) = a f ( t - b ) .
I
Jadi II (t) = \ a f ( v - h ) c / v + Ki{0) n
Dengan u ( t ) dalam [ 0 , b j . prosedur dapat berulang sehingga.
Sedangkan u n t u k b < t < 2b, maka jirosedur b e i l a n j u t tak terbatas. ...
Dengan menggunakan metode banyak l a n g k a l i , persamaan pada masalah n i l a i
awal : . . ^ .
/ / ' ( t ) = u ( t - l ) , u ( t ) = 1 dalam [ - ! . 0 ] adalah :
! " t - ( k - i ) *
/ / ( t ) = : ^ - ^ ^ L , n - l < l < n dengan n b i l a n g a n bulat non negati]). k=ii k]
3.2 K E T I I N G G A L A N S O L I I S I P E R I O D I K P E R S A M A A N D I F F E R E N S I A L T U N D A A N
Suatu Persamaan D i f f e r e n s i a l T u n d a a n dapat d i t u l i s k a n d a l a m b e n t u k :
T ' ( t ) = - / / x ( t ) - f ( x . t - « ) . ' . . . . (3.2.1) dimana | . i > 0 dan a > 0 merupakan konstanta dan f ; R m e r u p a k a n fungsi
k o n t i n u y a n g m e m e n u h i f ( 0 ) = 0.
K e t u n g g a l a n solusi persamaan ( 3 . 2 . 1 ) da|)at d i t e l i t i dari o r b i t solusi p e r i o d i k
berorintasi lambat pada b i d a n g phase ( x ( t ) . .v' ( l ) ) .
O r b i t - o r b i t ( d a l a m R ' ) sepanjang kurva teitutuj) sederhana n i e n g e l i l i n g i t i t i k O
( l i n g k a r a n ) pada b i d a n g diatas. Dengan m e n g g a n t i x dengan persamaan
( 3 . 2 . 1 ) dapat d i t u l i s k a n sebagai:
. Y ' ( t ) = - / / \ ( t ) - A f [j- \(l-a )] dengan a > 0 (3.2.2)
K e t u n g g a l a n solusi ( 3 . 2 . 2 ) dapat d i t e l u s u r i d a r i variasi o r b i t - o r b i t dari
Solusi P e r i o d i k Berosilasi L a m b a t ( S P O L ) dengan X dan a beitambah / naik
(Inerease).
M i s a l k a n r(a, X) nierupakan orbit SPOL dari (3.2.2) dalam R" yang ditunjukkan dengan a : < a i > 0 dan X2> X]> 0 sedeniikian hingga T(a2, Xj) dan T ( a i . X\) ada, maka T ( a 2 , X2) berada dalam ekstensior T ( a i . X\). .
D e f i n i s i 1 : Suatu solusi p e r i o d i k x dari ( 3 . 2 . 1 ) dengan p e r i o d i k (/ di kat aka n
solusi p e r i o d i k berosilasi lambat ( S P O L ) jika terdapat p > a
sedeniikian hingga 2 - p > a dan x ( t ) > 0 u n t u k t e ( o , p ) dan
3.2 K E T I I N G G A L A N S O L I I S I P E R I O D I K I ' E R S A I V I A A N D I F F E R E N S I A L T U N D A A N
S u a l i i Persamaan D i f f e r e n s i a l Tundaan dapat d i t u l i s k a n d a l a m b e n t u k :
. v ' ( t ) = - / / \ ( t ) - f ( \ . t- a ) (3.2.1)
dimana [.i > 0 dan a > 0 merupakan konstanta dan f : R merupakan fungsi k o n t i n u y a n g m e m e n u h i f ( 0 ) = 0.
K e t m i g g a l a n solusi persamaan ( 3 . 2 . 1 ) dapat d i t e l i t i dari o r b i t solusi p e r i o d i k
b e r o r i n t a s i lambat pada b i d a n g phase ( \ ( t ) . .v' ( t ) ) .
O r b i t - o r b i t ( d a l a m R ' ) sepanjang kurva l e r l u t u p sederhana n i e n g e l i l i n g i t i t i k O
( l i n g k a r a n ) pada b i d a n g diatas. Dengan m e n g g a n t i \ dengan , persamaan
( 3 . 2 . 1 ) dapat d i t u l i s k a n sebagai:
. Y ' ( t ) = - / / X (t)-A f [ | \ ( t- o ' )] dengan a > 0 (3.2.2)
K e t u n g g a l a n solusi ( 3 . 2 . 2 ) dapat d i t e l u s i u i d a r i variasi o r b i t - o r b i t dari
Solusi P e r i o d i k Berosilasi L a m b a t ( S P O L ) dengan X dan o beitambah / naik
(Inerease).
M i s a l k a n r(a, X) merupakan orbit SPOL dari (3.2.2) dalani R'^ yang ditunjukkan
dengan a ; < a i > 0 dan X2> X]> 0 sedeniikian hingga T(a2, X2) dan ' f ( a i , A.|) ada, maka T ( a 2 , A,2) berada dalam ekstensior T ( a i , X\). . D e f i n i s i 1 : Suatu solusi p e r i o d i k \ dari ( 3 . 2 . 1 ) dengan p e r i o d i k <y d i k a t a k a n
solusi p e r i o d i k berosilasi lanibal ( S P O L ) Jika terdapat p > a sedeniikian hingga 2 - p > a dan .\ ( t ) > 0 untuk t e (o, p) dan
Suatu statement ( H ) : m i s a l k a n f | 0 ) = 0 clan asumsikan terclajiat a > 0, l i > 0
( b e r l i i n g g a atau tak hingga ) sedeniikian hingga :
( i ) f ( x ) adalah c' dan / ' ( x ) > 0 u n t u k setiap N g ( - a . b ) . / ' > n ^ 0
( i i ) / ; ( x ) = ^ ^ < I , m o n o t o n t u r u n dalani x e (a, b) dan monoton naik dalam f ( x )
X e (-a. 0).
T c o r e m a 1 : A s u m s i k a n ( H ) d i p e n u h i oleh a 0 dan b - 0 dan d e f i n i s i k a n
cos p = - ( / ' ( O )
In)"',
p e[f
. / r ] dan« „ = / ' , ' / " ' ( ( / ' ( 0 ) | , / / ) ' - I) ' ( 3 . 2 . 4 )
" •' dengan n > 0. maka u n t u k setiap a > a,, terdapat satu S P O L dari • ' • ( 3 . 2 . 1 ) yang m e m e n u h i - a < x ( t ) < b u n t u k .setiap (. U n t u k a > O o
r - ; t i d a k terdapat S P O L dari ( 3 . 2 . 1 ) . Selanjutnya Jika \ m e r u p a k a n
S P O L dari ( 3 . 2 . 1 ) y a n g m e m e n u h i - a < x ( t ) < b u n t u k .setiap t dan r ( a ) = { . Y ( / ) , . Y ' ( t ) ; t e R ) merupakan orbit dari x dalam R^. maka
T adalah kurva teitutup sederhana niengelilingi lingkaran dan T{a^) adalah ])enutup (closure) dari extenor orbit /"(a.,) dengan
a 2> a i sedeniikian hingga r ( 6 C | ) d a n T{a^) ada.
B u k t i K e t u n g g a l a n T c o r e m a 1 :
Jika u n t u k beberapa a > 0. tersapat dua S P O L yang berbeda X | dan x : dari
( 3 . 2 . 1 ) dan m i s a l k a n 7", dan 7", m e m p a k a n o r b i t dari X | dan X2 d a l a m R ' , sedangkan dan merupakan k u i v a t e i t u t u p sederhana n i e n g e l i l i n g i t i t i k a w a l
d i d a l a m e x t e r i o r orbit X2 atau orbit dari v : = p x : t i d a k d i d a l a m e x t e r i o r xi (atau keduaiiya).
Jadi y i dan x ; atau y^ dan X | merujiakan S P O I , dari ( 3 , 2 , 2 ) untuk ( a , X) = ( a , p )
dan ( a . 1).
U n t u k k e t i d a k t u n g g a l a n dari ( H ) terdapat suatu biperkasi H o p f dari S P O L pada
( 3 . 2 . 1 ) pada a = ao.
Jadi terdapat suatu barisan | a „ | denaan - > c f „ p a d a //—>oodan S P O L y„
II = \
dari ( 3 , 2 . 1 ) u n t u k a = a „ dengan su]) v„ |/| —> 0 pada / / ^ o o .
M i s a l k a n terdapat S P O L x dari ( 3 . 2 . 1 ) u n t u k a e ( 0 , . v „ ) . sedangkan orbit x
dalam K" merujiakan kui"va t e i t u t u p sederhana m e n g e l i l i n g i l i n g k a r a n . maka
terdapat suatu bilangan positip m sedeniikian hingga a , „ > a dan orbit dari y,„
adalah d i d a l a m i n t e r i o r dari orbit .Y .
Jadi t i d a k terdapat S P O L dari ( 3 . 2 . 1 ) u n t u k a e (O.ai)). A k i b a t Teorema 1
dengan ( H ) y a n g m e m e n u h i u n t u k suatu a > 0 dan b > 0, dengan asumsi n = i , dan
d i d e f m i s i k a n F ( x ) = - f ( x ) u n t u k - b < x < a, dan asumsikan terdapat suatu sub
i n t e r v a l -ajj dari (-a, b ) sedeniikian hingga
l i m sup F"{J)^[-a.h
u n t u k suatu sub i n t e i v a l k o m p a k I dari (-a.b) dengan F" merupakan i l e i a s i
dari F.
a > Q d dan j i k a a ( a ) ( a > a ; ) , merupakan orhit dari ( 3 . 2 . i ) dahuii R ' maka T ( a i ) adalali p e n u t u p ( c l o s u r e ) dari e x t e r i o r o r b i t T ( a : ) dimana 02 > a i > cxo.
M i s a l k a n ( H ) d i p e n u b i oleh a = b = + co dan f m e m p u n y a i batas b a w a h dan u n t u k
|.i = 0 dan a,) = - r / {2 f (0)) maka tidak terdapat SPOL dari (3.2.1) dengan
a d a l a m ( 0 . a n ) dan terdapat S i ' O L yang tunggal dari ( 3 . 2 . 1 ) u n t u k setiap a > 0, sehingga j i k a T ( a ) ( a > 0) merupakan orbit dari SPOL (3.2.1) dalam R \ maka T ( a i ) berada dalam exterioi' dari orbit T(a2) dengan az > a\ > 0. ,t i ; . . ; J i. ;.• Suatu ( H ) y a n g d i p e n u h i oleh a dan b, j i k a x S P O L dari ( 3 . 2 . 1 ) dengan p e r i o d e q
dengan x ( t ) e (-a, b) u n t u k semua t. maka y ( t ) . v ' ( 0 berosilasi lambat dengan
t 2 - t | > a dan t i + q + t2 > a.
T e o r e m a 2 : M i s a l k a n m e m n u h i ( H ) u n t u k beberapa a > 0. b > 0 dan m i s a l k a n x
merupakan SPOL, dari 93.2.20 untuk ( a , X) yang memenuhi -X<\ < x
( t ) <Xb untuk semua t dan misalkan T ( a | . X]) merupakan orbit dari x
d a l a m R ' , j i k a 02 ^ O i >0 dan X2 > X\ > 0, T ( o i . X\) dan T(a2, ^2) ada maka T(a2, X2) berada dalam exterior dari T ( a i , X\).
B u k t i : U n t u k m e m b u k t i k a n Teorema 2 di atas d i t u n j u k k a n dengan
k o n t r a d i k s i . • ' •c.l.--.:-}i^nl\.ulhw-i-A
M i s a l k a n x, ( i = 1,2) merupakan S P O L d a r i , ( 3 . 2 . 2 ) y a n g berkoresponden dengan T | = r(a. X). sedangkan orbit dari S P O L ( 3 . 2 . 2 ) dalam R" adalah k u r \ a t e i t u t u p sederhana m e n g e l i l i n g i l i n g k a r a n , j i k a T2 tidak .semuanya didalam exterior T i . maka terdapat b i l a n g a n p > 1.
Sehingga To = { ( p \ 2 (t). p ; (t) : t e R ) adalah tidak didalam exterior T u dan misalkan Xi, pXz. a,, a. dan
X o ( t ) = p t e R ( 3 . 2 . 5 )
.ladi X() adalah S P O L dari ( 3 . 2 . 2 ) u n t u k ( a . X) = ( a „ . X,,) dan orbit dari x„ adalah To dan To mempunyai suatu titik tangen (xo (t"). x'(t")) = ( x i (t'). x' (t')) (3.2.6) K l a i m : x„'(t") = x , " ( t ' ) dalam ( 3 . 2 . 6 ) t i d a k n o l .
B u k t i : A s u m s i k a n x,,' ( t " ) = X | ' ( t ' ) = 0. maka x„ ( t ' ) = (xi ( t ) ^ 0. dan dapat d i t u l i s
x „ ( t " ) = x, ( t ' ) = c > 0 ( 3 . 2 . 7 )
dengan x' ( t ) > 0 u n t u k t e [ t ' - a . t ' ] ; i - 0, 1 . . . .
D a r i persamaan ( 3 . 2 . 2 ) . ( 3 . 2 . 6 ) dan ( 3 . 2 . 7 ) diperoleh :
x i ( f - a i ) = d | < x ( I ' - a „ ) = d„ < 0 ( 3 . 2 . 8 )
u n t u k d„. d i e R.
Mi.satkan bcsar Q = { x , ( t ) . x , ' ( t ) ) ; t e [t' - o,. t ' ] } ; i = 0.1 . . .
dalam b i d a n g phase R ^
M i s a l k a n H , , dan D.] merupakan setengah busur bahagian bawali dari
D. di R^ dan n „ di bawah Q\ sedangkan T., di luar Ti, maka Cl] dapat
dinyatakan sebagai :
n , - { ( x . ( p ) ( x ) ; x e | d . c l } : i 0.1 ( 3 . 2 . 9 )
dan t, (x) nierupakan in\ers dari x = x, ( t ) untuk t e [ t ' - a „ t']
dan (p„(x) > (p,(x) > 0 V... (3.3.0) u n t u k semua t e [ d i . c ] .
Karena Xj ( t ) d i p e n u h i oleh persamaan d i f f e r e n s i a l x' = (p(x) u n t u k t e [ t ' - Q J , t'J.
D a r i persamaan ( 3 . 2 . 1 0 ) :
xi(t' -I-1) = x.,(t" + t) untuk semua t e [- a, OJ.
Dengan ketunggalan solusi persamaan ( 3 . 2 . 2 ) dan d e f i n i s i S P O L , maka d i p e r o l e h :
xi(t) = x.,(t) untuk setiap t .
K o n s e k w e n s i n y a ( a i , X\) = (a„. ?t,,) dan f non linier, maka hal ini k o n t r a d i k s i dengan asumsi X,o> X2> X\_
