189
PEMANFAATAN SOLVER PADA OMPTIMISASI DISTRIBUSI
ALIRAN TIGA TURBIN PEMBANGKIT LISTRIK
Andreas Setiawan
Program Studi Fisika dan Pendidikan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Email : andre_fsm@yahoo.com
ABSTRAK
Perusahaan The Great Northern Paper Company di Milinocket, Maine, bergerak dalam bidang percetakan dan berbagai produk kertas. Guna memenuhi kebutuhan energi maka perusahaan mengoperasikan enam turbin pembangkit listrik hydro, dimana kurva tenaga masing-masing turbin memiliki kerakteristik yang berbeda. Dengan persamaan Bernoulli dilakukan modeling untuk setiap turbin dan didapatkan persamaan KW1 = (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6), KW2 = (-4.69x10-5Q22 + 0.1358Q2 –
24.51) x (170- QT2x 6.10-6), KW3 = (-3.84x10-5Q32 + 0.1380Q3 – 27.02) x (170- QT2x 6.10-6).
Karena debit air bisa bernilai dibawah minimal debit maka ada kemungkinan tidak semua turbin beroperasi, oleh sebab itu dalam penyelesaian optimisasi digunakan optimisasi mixed integer yaitu ditambahkan parameter kendala on/off turbin yang bernilai 0 atau 1. Programing diselesaikan menggunakan Solver Excel yang hasilnya pada debit 250cfs sampai 750cfs optimal jika dioperasikan turbine #1, untuk 750cfs sampai 1225cfs optimal untuk turbin #3 dan diatas 2000cfs akan optimal jika semua turbin beroperasi dengan proporsi pembagian debit mengikuti fungsi tertentu.
Kata kunci: Optimisasi, Pembangkit listrik hydro, Kurva tenaga, Concavity
PENDAHULUAN
Perusahaan The Great Northern Paper Company di Milinocket, Maine, bergerak dalam bidang percetakan dan berbagai produk kertas. Guna memenuhi kebutuhan energi maka perusahan mengoperasikan enam turbin pembangkit listrik hydro yang berada di sungai Penoboscot. Kasus optimisasi yang diselesaikan berada pada percabangan sebelah barat dari sungai Penoboscot, yang mendapat suplai air dari dam danau Ripogenus.
Gambar 1. Kota Milinocket dengan latar belakang Gunung Katahdin.
Guna menyalurkan air digunakan pipa dengan diameter 16 kaki dan panjang ¾ mile membentang sepanjang dam hingga stasiun pembangkit listrik, dengan perbedaan ketinggian/elevasi 170 kaki. Debit air yang mengalir melalui pipa bervariasi tergantung dari kondisi air dalam penampungan.
190
Pengaturan katup dan pintu air distribusi dilakukan secara manual menuju ke 3 turbin pembangkit listrik. Karakteristik 3 turbin ini sudah diketahui dan memiliki “power curves” yang berbeda-beda dalam menghasilkan tenaga listrik sebagai fungsi debit air yang melewatinya. Masalah yang dihadapi adalah mengatur distribusi air untuk setiap turbin pembangkit listrik agar menghasilkan energi yang maksimum untuk berbagai skenario debit air yang ada.
MODELING MASALAH
Untuk melakukan pemecahan masalah maka langkah pertama adalah melakukan formulasi matematika dan membangun model matematis dari kasus diatas. Pembangkit listrik hydro ini memanfaatkan turbin dan generator untuk mengubah tenaga mekanis menjadi arus listrik. Perubahan ini didapat dengan memanfaatkan perubahan energi potensial akibat perbedaan ketinggian/elevasi suatu tempat. Persamaan dasar yang menghubungkan antara suatu aliran cairan dan energi yang dihasilkan diberikan oleh Daniel Bernoulli pada tahun 1738 yang disebut sebagai persamaan Bernoulli. Persamaan ini dihasilkan dengan menerapkan prinsip konservasi energi dan mekanika aliran. Dalam kasus ini persamaan Bernoulli berbentuk
Dari pengukuran debit aliran dan tenaga listrik masing-masing turbin pembangkit listrik didapatkan data seperti Tabel 1. Dalam kasus ini perbedaan elevasi Zh dan Zt adalah 170 kaki. Faktor yang
utama dalam f adalah jumlah energi hilang selama mengalir dalam pipa. Para teknisi menggunakan estimasi hasil eksperimen f =QT2x 6.10-6 dimana QT adalah debit total yang mengalir dalam kubik
kaki per detik (cfs). Efisiensi η masing-masing turbin berbeda, yang merupakan fungsi debit Q. Dari data Tabel 1 untuk Turbin 1 dapat digambarkan power curve-nya seperti gambar 2.
Tabel 1. Data debit dan power generator.
Debit(cfs) Turbine (Killowatt)
QT Qi 1 2 3 2000 250 11771155..334466 11006644..88332 2 883311..008888 2000 300 22557766..337733 11996644..667722 11778877..116666 2000 350 33440044..002255 22882266..114499 22771111..883344 2000 400 44119988..330033 33664499..226622 36360055..0099 2000 450 44995599..220077 44443344..0011 44446666..993344 2000 500 55668866..773366 55118800..339944 55229977..336688 2000 550 66338800..889911 55888888..441144 60609966..3399 2000 600 77004411..667711 66555588..0077 68686644..000022 2000 650 77666699..007777 77118899..336611 77660000..220022 2000 700 88226633..110099 77778822..228888 83830044..9999 2000 750 88882233..776666 88333366..885522 88997788..336688 2000 800 99335511..004499 88885533..0055 96962200..333344 2000 850 99884444..995577 99333300..888855 1100223300..8899 2000 900 1100330055..4499 99777700..335566 1100881100..0033 2000 950 1100773322..6655 1100117711..4466 1111335577..7777 2000 1000 1111112266..4444 1100553344..22 1111887744..0099 2000 1050 1111448866..8855 1100885588..5588 1122335599 2000 1100 1111881133..8888 1111114444..6 6 1212881122..55 2000 1150 1313223344..5599 2000 1200 1133662255..2266
191
Gambar 2. Power Curves – Turbine 1
Dari persamaan estimasi y = -0.0067x2 + 20.892x - 3090.4 karena sumbu y adalah power KW1 dan
sumbu x adalah debit Q1 maka persamaan menjadi KW1= -0.0067Q12 + 20.892Q1 - 3090.4, atau
konstanta polynomial p2=-0.0067, p1=20.892, p0= -3090.4
Persamaan estimasi tersebut sudah mengandung suku (Zh-Zt-f) dimana Zh-Zt=170 kaki dan nilai
estimasi f=QT2x 6.10-6. Dari Tabel 1 didapatkan QT=2000cfs maka nilai
(Zh-Zt-f)=(170-20002x 6.10-6)= 163.6.
Sehingga untuk memunculkan suku (Zh-Zt-f) maka nilai konstanta polinomial harus dibagi dengan
163.6. Nilai konstanta polinomial yang baru : p2= -0.0067 / 163.6 = -4.08x10-5
p1= 20.892 / 163.6 = 0.1277
p0= -3090.4 / 163.6 = -18.89
Persamaan yang baru menjadi : KW1= (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6).
Hal yang sama dapat dilakukan untuk turbin 2 dan 3. Secara lengkap persamaan masing-masing turbin adalah:
(2) KW1 = (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6), 250 ≤ Q1 ≤ 1110
(3) KW2 = (-4.69x10-5Q22 + 0.1358Q2 – 24.51) x (170- QT2x 6.10-6), 250 ≤ Q1 ≤ 1110
(4) KW3 = (-3.84x10-5Q32 + 0.1380Q3 – 27.02) x (170- QT2x 6.10-6), 250 ≤ Q1 ≤ 1225
dimana :
Qi = aliran air yang mengalir melalui turbin i (cfs) KWi = tenaga listrik yang dihasilkan turbin i (kilowatt)
QT = total debit yang melalui pembangkit listrik (cfs).
Koefisien polynomial dalam persamaan (2),(3) dan (4) sudah termasuk faktor skala yang mentransformasi energi mekanis menjadi tenaga listrik dalam kilowatt. Batasan Qi menampilkan
kenyataan bahwa batas debit minimal yang masih mampu menggerakan turbin adalah 250cfs. Terlihat juga bahwa batas maksimal debit generator ke 3 lebih tinggi dari generator 1 dan 2. Jika semua generator beroperasi maka masalah yang dihadapi adalah proporsi distribusi debit agar mendapatkan tenaga listrik yang paling maksimum, atau secara matematis dapat dinyatakan:
(5) Maximize KW1 + KW2 + KW3 subject to Q1 + Q2 + Q3 = QT 250 ≤ Q1 ≤ 1110, 250 ≤ Q2 ≤1110, 250 ≤ Q3 ≤ 1225. y = -0.0067x2 + 20.892x - 3090.4 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 0 200 400 600 800 1000 1200 Debit Q(cfs) Po w e r( K w ) Turbine 1 Poly. (Turbine 1)
192
Selain skenario tiga generator beroperasi semuanya akan diperhitungkan juga skenario lain jika debit mengalami penurunan drastis sehingga tidak mungkin mengoperasikan semua generator.
PENGUJIAN CONCAVITY
Untuk mengetahui apakah fungsi(5) memiliki nilai optimum maka dilakukan pengujian concavity menggunakan matrik Hessian yang akan menghitung nilai eigen dari fungsi tersebut. Persamaan (2),(3) dan (4) dapat disederhanakan menjadi persamaan (5),(6) dan (7) dimana a,b,c adalah konstanta-positif pada fungsi tersebut. Suku (170- QT2x 6.10-6) dapat dihilangkan karena merupakan
konstanta dengan nilai positif. (5) KW1=c1+b1Q1-a1Q12 (6) KW2=c2+b2Q2-a2Q22 (7) KW3=c3+b3Q3-a3Q32 (8) f=KW1+KW2+KW3= c1+b1Q1-a1Q12+ c2+b2Q2-a2Q22+ c3+b3Q3-a3Q32 1 1 1 1 2 Qa b Q f 1 2 1 2 2 a Q f 0 2 1 2 Q Q f 0 3 1 2 Q Q f 2 2 2 2 2 Qa b Q f 2 2 2 2 2 a Q f 0 1 2 2 Q Q f 0 3 2 2 Q Q f 3 3 3 3 2 Qa b Q f 3 2 3 2 2a Q f 0 1 3 2 Q Q f 0 2 3 2 Q Q f 3 2 1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 a a a H
Hasil perhitungan matrik Hessian dari fungsi(5) didapatkan matrik H yang ternyata merupakan matrik diagonal maka nilai eigen H adalah e12a1, e22a2 dan e32a3. Karena nilai a1, a2 dan
a3 adalah positif bukan nol maka keseluruhan nilai eigen adalah negative-definite. Dengan H
memiliki keseluruhan nilai eigen negative-definite maka dapat disimpulkan fungsi f adalah
strictly-concave yang dapat dilakukan optimisasi.
PROGRAMMING DENGAN SOLVER
Untuk menyelesaikan kasus tersebut digunakan Solver yang merupakan tool dalam Excel. Tiga hal yang perlu ditentukan dalam penggunaan Solver:
a. Menentukan target yang ingin dicapai b. Menentukan kendala yang harus dipenuhi
c. Menentukan sel yang akan diubah agar target dipenuhi
Dari table fungsi KW1,KW2,KW3 dan kendala yang telah disiapkan maka parameter-parameter Solver dapat dilengkapi sepeti pada gambar 3 dan 4.
Setelah dilakukan solving maka detil dari hasil yang didapatkan dapat diperiksa pada lembaran Answer Report, Limits Reports dan Sensitivity Reports. Salah satu tampilan Answer report untuk debit total 2100cfs seperti pada gambar 5.
193
Gambar 3. Tabel fungsi dan kendala
Gambar 4. Pengisian parameter Solver
194
Untuk mencari kombinasi turbin yang optimum maka dipasang sebuah parameter kendala on/off berupa constrain biner 0 atau 1 yang berguna untuk mematikan atau menghidupkan turbin. Teknik ini perlu digunakan jika jumlah debit tidak cukup untuk mengoperasikan keseluruhan turbin. Hasil pengujian berbagai debit disusun pada table 2.
Tabel 2. Distribusi debit turbin untuk berbagai debit total.
DEBIT(cfs) POWER
(kilowatt) Total Turbin1 Turbin2 Turbin3
250 250 0 0 1781.4015 300 300 0 0 2674.8922 330 330 0 0 3194.0625 350 350 0 0 3533.1118 400 400 0 0 4355.9705 450 450 0 0 5143.3886 500 500 0 0 5895.2960 530 530 0 0 6329.3699 550 550 0 0 6611.6325 600 600 0 0 7292.3478 630 630 0 0 7683.6614 650 650 0 0 7937.4012 750 0 0 750 9280.2080 800 0 0 800 9936.4647 900 0 0 900 11147.2855 1000 0 0 1000 12222.4720 1200 0 0 1200 13966.3937 1225 0 0 1225 14146.3612 1500 662 0 838 18208.3001 1600 711 0 889 19343.2654 1800 808 0 992 21383.6726 2000 607 614 779 23224.7507 2500 777 763 960 28411.6805 3000 948 911 1141 32089.1942 3445 1110 1110 1225 34043.3262 3500 1110 1110 1225 34043.3262 4000 1110 1110 1225 34043.3262
Gambar 6. Kurva debit masing-masing turbin.
Secara umum keseluruhan pola proporsi debit untuk masing-masing turbin dan tenaga total yang dihasilkan dapat dilihat pada grafik 6.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 1000 2000 3000 4000 5000 DEBIT TOTAL(cfs) DEBI T (c fs )
195 KESIMPULAN
Dari pengujian concavity terbukti fungsi adalah strictly-concave sehingga dapat dilakukan optimasi dalam hal ini dengan bantuan tool Solver Excel. Adapun untuk scenario dengan debit minimal atau antara 250cfs hingga 750cfs maka cukup turbin #1 yang dioperasikan, kemudian diikuti dengan turbin #3 untuk debit antara 750cfs sampai 1225cfs. Pengoperasian keseluruhan turbin baru akan optimal jika debit berada diatas 2000cfs. Pada debit maksimal diatas 3000cfs maka power listrik akan konstan pada 34043 Kilowatt. Pada debit maksimal ini perlu dibuat pintu buangan air untuk mecegah kerusakan turbin karena debit maksimal untuk masing-masing turbin adalah 1110cfs dan 1225cfs.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Thomas F.Edgar, David M. Himmelblau, Optimization of Chemical Processes,Mac.Graw Hill, 2001
[2] A. Fauzi, Analisis Data dengan Excel 2007, Elex Media Komputindo, 2007 [3] Hydro-Turbine Optimization, Math 237, Project B, Spring 2005
