BAB 3 Interpolasi. 1. Beda Hingga

BAB 3

Interpolasi

1. Beda Hingga

2. Interpolasi Linear dan Kuadrat

2. Interpolasi Linear dan Kuadrat

3. Interpolasi Beda-Maju dan Beda-Mundur

Newton

4. Polinom Interpolasi Beda Terbagi Newton

5. Polinom Interpolasi Lagrange

1. Beda Hingga

Misalkan diberikan suatu tabel nilai-nilai numeris f_j = f(x_j) dari suatu fungsi f pada titik-titik yang berjarak sama,

x₀, x₁ = x₀ + h, x₂ = x₀ + 2h, x₃ = x₀ + 3h, … dengan h > 0 tetap.

Fungsi f(x_i) bisa berupa hasil suatu rumus atau nilai yang diperoleh secara empiris dari percobaan.

Beda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap Beda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap nilai fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalam tabel.

Beda-beda kedua dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap nilai beda pertama dari fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalam tabel.

Seterusnya sehingga dalam tabel beda, setiap beda dimasukan ke dalam kolom yang sesuai, ditengah-tengah antara elemen-elemen kolom

sebelumnya dari mana beda itu dibangun. Titik (koma) desimal dan nol pemula dari beda-beda itu boleh dihilangkan.

Terdapat tiga notasi untuk beda-beda yang terjadi dalam suatu tabel beda. A. Beda-beda Pusat

Bentuk tabel beda-beda pusat sebagai berikut:

0 1 2

x

x

x

− − 0 1 2

f

f

f

− − 2 1 2 3 f f δ δ − − 2 1 2 f f

δ

δ

₋ 2 1 3 f δ ₋ x f(x) Beda Pertama Beda Kedua Beda Ketiga 2 1 0

x

x

x

2 1 0

f

f

f

2 3 2 1 2 f f δ δ 1 2 0 f f

δ

δ

2 1 3 2 f δ m m m

f

f

f

=

₊

−

+ 1 2 1

δ

Secara umum diperoleh,

Indeks beda di kiri adalah rataan indeks beda di kanan

2 1 2 1 2 − +

−

=

m m m

f

f

f

δ

δ

δ

B. Beda-beda Maju

Bentuk tabel beda-beda maju sebagai berikut:

1 0 1 2

x

x

x

x

− − 1 0 1 2

f

f

f

f

− − 0 1 2

f

f

f

f

∆

∆

∆

∆

− − 2 1 2 2 2

f

f

f

∆

∆

∆

− − 1 3 2 3 − −

∆

∆

f

f

x f(x) Beda Pertama Beda Kedua Beda Ketiga 2 1

x

x

2 1

f

f

1

f

∆

0 2

f

∆

∆ f

−1 m m m

f

f

f

=

−

∆

₊₁

Secara umum diperoleh,

Beda-beda dengan indeks yang sama terletak pada garis yang miring ke bawah atau maju pada tabel m m m

f

f

f

=

∆

−

∆

∆

2 ₊₁

Algoritma Beda-beda maju Diberikan x_j, Untuk k = 1, 2, …, n lakukan untuk m = 0, 1, …, n – k, lakukan

n

j

x

f

f

f

_{j j}

(

_j

),

0

,

1

,

2

,

...,

0

₌

₌

₌

∆

m k m k m k

f

f

f

=

∆

−1 ₊₁

−

∆

−1

∆

C. Beda-beda Mundur

Bentuk tabel beda-beda mundur sebagai berikut: Bentuk tabel beda-beda mundur sebagai berikut:

2 1 0 1 2

x

x

x

x

x

− − 2 1 0 1 2

f

f

f

f

f

− − 2 1 0 1

f

f

f

f

∇

∇

∇

∇

₋ 2 2 1 2 0 2 f f f ∇ ∇ ∇ 2 3 1 3

f

f

∇

∇

m m

m

f

f

f

=

−

∇

₋₁

Secara umum diperoleh,

Beda-beda dengan indeks yang sama terletak pada garis yang miring ke atas atau mundur pada tabel

m m

m

f

f

f

=

∇

−

∇

∇

2 ₋₁

Kaitan dari ke tiga notasi beda-beda di atas adalah :

2 2 n m n n m n m n

f

f

f

+ −

∇

=

∆

=

δ

Contoh 3.1 Contoh 3.1

Nilai dan beda dari f(x) = 1/x, x = 1 (0.2) 2, 4D

x f(x) Beda Pertama Beda Kedua Beda Ketiga Beda Keempat 0 . 2 8 . 1 6 . 1 4 . 1 2 . 1 0 . 1 5000 . 0 5556 . 0 6250 . 0 7143 . 0 8333 . 0 0000 . 1 556 694 893 1190 1667 − − − − − 138 199 297 477 61 98 180 − − − 37 82

Catatan, bila

ditetap-kan x₀ = 1.6, maka

di-peroleh -0.0893 2 1 − = f

δ

1 −

∆

= f

0

f

∇

=

2. Interpolasi linear dan Kuadrat

Diberikan tabel nilai suatu fungsi f(x), seringkali untuk mencari nilai-nilai f(x) untuk nilai x diantara nilai-nilai x yang muncul dalam tabel tersebut. Masalah untuk memperoleh nilai f(x) demikian disebut Interpolasi.

Nilai-nilai f(x) yang ditabulasikan dan digunakan dalam proses ini disebut nilai-nilai pivotal.

Metode interpolasi biasanya didasarkan pada asumsi bahwa disekitar nilai x yang dipertanyakan, fungsi f(x) dapat dihampiri oleh polinom p(x), yang x yang dipertanyakan, fungsi f(x) dapat dihampiri oleh polinom p(x), yang nilainya pada x tersebut merupakan hampiran dari nilai fungsi f(x).

Interpolasi linear

Iterpolasi linear adalah metode interpolasi yang paling

sederhana. Kurva fungsi f dihampiri dengan suatu tali

busur pada dua nilai tabulasi yang berdekatan x₀ dan x₁.

Hampiran f pada x = x₀ + rh adalah

x₀ x₁ f(x) f₀ f₁ h x rh f (x) ≈ p1(x) = f0 + r( f1 − f0)

=

f

0

+

r

∆

f

0 Dimana :

=

−

0

,

0

≤

r

≤

1

h

x

x

r

p₁(x)

Interpolasi linear sering digunakan untuk menghitung tabel logaritma dan fungsi trigonometri.

Interpolasi linear akan memberikan hasil yang baik selama nilai-nilai x dalam tabel sedemikian dekatnya sehingga talibusur-talibusur

menyimpang dari kurva f(x) cukup kecil, katakanlah kurang dari ½ satuan angka terakhir dalam tabel untuk setiap x diantara x₀ dan x₁.

Galat untuk iterpolasi linear adalah Taksiran galat tersebut adalah :

) ( ) ( ) ( ) ( ) (x = p₁ x − f x = f₀ + r f₁ − f₀ − f x

ε

2 2 8 1 ) (x ≤ h M

ε

Dimana f(x) mempunyai turunan kedua pada dan f’’(x) terbatas dengan Interpolasi kuadrat 1 0 x x x ≤ ≤ 2 ) ( ' ' x M f ≤

Pada interpolasi kuadrat, kurva fungsi f diantara x₀ dan x₂ = x₀ + 2h dengan parabola kuadrat yang melalui titik-titik (x₀, f₀), (x₁, f₁), (x₂, f₂) sehingga mendapatkan rumus yang lebih teliti.

dimana, ) 2 ( 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) (x p₂ x f₀ r f₁ f₀ r r f₂ f₁ f₀ f ≈ = + − + − − + 0 2 0 0 2 ) 1 ( f r r f r f + ∆ + − ∆ = 2 0 , 0 _{≤ ≤} − = _r h x x r

Contoh 3.2

Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972 dan nilai ln 9.5 = 2.2513. Tentukan nilai ln 9.2.

Jawab Diperoleh r = 0.2 / 0.5 = 0.4, sehingga ln 9.2 = ln 9.0 + 0.4 ( ln 9.5 – ln 9.0) = 2.1972 + 0.4 ( 2.2513 – 2,1972) = 2.2188 (eksak sampai 3D) Contoh 3.3 Contoh 3.3

Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972, ln 9.5 = 2.2513 dan nilai ln 10.0 = 2.3026. Tentukan nilai ln 9.2. Jawab Diperoleh r = 0.2 / 0.5 = 0.4, sehingga ln 9.2 = ln 9.0 + 0.4 ( ln 9.5 – ln 9.0)+ (1/2)(0.4)(-0,6)(ln 10.0-(2)(ln 9.5)+ln 9.0) = 2.197 + 0.4 ( 2.251 – 2,197) +(-0.12)(2.3026 – (2)2.2513 + 2.1972) = 2.2192 (eksak sampai 4D)

3. Interpolasi Beda Maju dan Beda Mundur Newton

Hampiran lebih teliti diperoleh bila menggunakan polinom yang derajatnya lebih tinggi.

Polinom p_n(x) berderajat n ditentukan secara tunggal oleh n+1 nilai x_i, i = 0, 1, 2, …, n, yang berlainan, sedemikian sehingga diperoleh,

p_n(x₀) = f₀ , p_n(x₁) = f₁, …, p_n(x_n) = f_n

dengan f(x₀) = f₀ , f(x₁) = f₁, …, f(x_n) = f_n

Polinom ini diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju Newton: Polinom ini diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju Newton:

Dimana : _{r n} h x x r = − 0 , 0 ≤ ≤ 0 0 2 0 0 ! ) 1 )...( 1 ( ... ! 2 ) 1 ( ) ( ) ( f n n r r r f r r f r f x p x f ≈ _n = + ∆ + − ∆ + + − − + ∆n 0 0 f s r _s n s ∆       =

∑

= ! ) 1 )...( 2 )( 1 ( s s r r r r s r − − − + =      

Bukti.

Akan ditunjukkan bahwa p_n(x_k) = f_k untuk k = 0, 1, 2, …, n.

Tetapkan terlebih dahulu r = k, sehingga diperoleh x = x₀ + rh = x₀ + kh = x_k. dan

Pembuktian secara induksi,

(i). Untuk k = 0 maka f = f , sehingga rumus benar untuk k = 0.

0 0 2 0 0 ... 2 k f k f k f k f f_{k }∆k      + + ∆       + ∆ + = 0 0 f s k _s k s ∆       =

∑

= ) ( _k n k p x f =

(i). Untuk k = 0 maka f₀ = f₀, sehingga rumus benar untuk k = 0.

(ii). Misalkan rumus benar untuk k = q, yaitu

maka akan ditunjukkan benar untuk k = q +1.

      + =       − +       s q s q s q 1 1

Pada rumus ini, mempunyai koefisien sehingga

0 0 2 0 0 ... 2 1 0 q f q f q f q f q f_{q }∆q      + + ∆       + ∆       +       = q q q f f f ₊₁ = +∆ 0 0 2 0 0 ... 2 1 0 q f q f q f q f q _q ∆       + + ∆       + ∆       +       = 0 1 0 3 0 2 0 ... 2 1 0 q f q f q f q f q _q+ ∆       + + ∆       + ∆       + ∆       + 0 f s ∆ 0 1 0 2 0 0 1 1 1 ... 2 1 1 1 0 1 f q q f q f q f q f_q+ ∆q+      + + + + ∆       + + ∆       + +       + =

Galat yang terlibat dalam interpolasi maju Newton adalah

Dengan adalah turunan ke-(n+1) dari fungsi f dan t terletak dalam

interval yang titik-titik ujungnya adalah nilai terkecil dan terbesar dari nilai-nilai x₀, x₁, …, x_n, x. ) 1 ( +n

f

) ( ) )...( ( )! 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( x x₀ x x f ( 1) t n x f x p x _n − − _n n+ + = − =

ε

Algoritma Rumus Interpolasi Beda-maju Newton

Diberikan x_jj = x₀₀ + jh, j = 0, 1, 2, … dan nilai-nilai fungsi yang berpadanan yaitu . Juga diberikan nilai

Tetapkan Hitung

Untuk k = 0, 1, 2, …, sampai penghentian, lakukan

Periksa untuk penghentian

) ( 0 j j j f f x f = = ∆ _xˆ 0 0

(

x

ˆ

)

f

p

=

h x x r = ˆ − 0 0 1 1 1 ) ˆ ( ) ˆ ( f k r x p x p_{k+ k }∆k+      + + =

Contoh 3.4

Memakai nilai-nilai dari tabel berikut

x_i 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

f(x_i) 1.414214 1.449138 1.483240 1.516575 1.549193

Terapkan rumus interpolasi beda maju Newton untuk mencari f(2.05) dan f(2.15).

Jawab

a. Untuk x = 2.05, tetapkan x₀ = 2.0 sehingga r = 0.05 / 0.1 = 0.5

) 3 3 ( ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 05 . 2 ( ) 05 . 2 ( ≈ p = f +r f − f + r r − f − f + f + r r − r − f − f + f − f f

b. Untuk x = 2.15, tetapkan x₀ = 2.1 sehingga r = 0.05 / 0.1 = 0.5

431782 . 1 ) 4 6 4 ( ! 4 ) 3 )( 2 )( 1 ( ) 3 3 ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ! 2 ) 1 ( ) ( ) 05 . 2 ( ) 05 . 2 ( 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 0 1 0 4 = + − + − − − − + − + − − − + + − − + − + = ≈ f f f f f r r r r f f f f r r r f f f r r f f r f p f 466268 . 1 ) 3 3 ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ! 2 ) 1 ( ) ( ) 15 . 2 ( ) 15 . 2 ( _{3 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0} = − + − − − + + − − + − + = ≈ p f r f f r r f f f r r r f f f f f

Sedangkan rumus untuk interpolasi beda mundur Newton adalah: Dimana : _{r n} h x x r = − 0 , 0 ≤ ≤ 0 0 2 0 0 ! ) 1 )...( 1 ( ... ! 2 ) 1 ( ) ( ) ( f n n r r r f r r f r f x p x f ≈ _n = + ∇ + − ∇ + + − − + ∇n 0 0 f s r _s n s ∇       =

∑

= ) 1 )...( 2 )( 1 (r r r s r r − − − + =    

adalah koefisien-koefisien binomial dari p_n(x)

!

s s_ =



 adalah koefisien-koefisien binomial dari pn(x)

Rumus interpolasi lain yang menggunakan beda hingga adalah rumus Everett Rumus ini melibatkan beda-beda hingga tingkat genap. Rumus Everett yang paling sederhana adalah:

1 2 0 2 1 0 ! 3 ) 1 ( ) 1 ( ! 3 ) )( 1 )( 2 ( ) 1 ( ) (x r f rf r r r f r r r f f ≈ − + + − − − δ + + − δ Dimana : ₌ − 0 _{, 0 ≤ ≤1} r h x x r

Untuk membuat penerapannya mudah, tabel-tabel fungsi biasanya menyerta-kan beda-beda kedua yang diperlumenyerta-kan. Galatnya adalah

dimana x₀ – h < t < x₀ + 2h Contoh 3.5

Memakai nilai-nilai dari tabel berikut x_i f(x_i) 1.2 3.3201 333 1.3 3.6693 367 i f 2 δ ) ( 4 1 ) ( ) ( ) (x p_n x f x h4 r _ f (4) t      + − = − =

ε

1.3 3.6693 367

Terapkan rumus Everett untuk mencari f(1.24).

Jawab

Untuk x = 1.24, tetapkan x₀ = 1.2 sehingga r = 0.04 / 0.1 = 0.4

4556 . 3 0021 . 0 0021 . 0 4598 . 3 ) 0367 . 0 ( 6 ) 6 . 0 )( 4 . 0 )( 4 . 1 ( ) 0333 . 0 ( 6 ) 4 . 0 )( 6 . 0 )( 6 . 1 ( ) 6693 . 3 )( 4 . 0 ( ) 3201 . 3 )( 6 . 0 ( ) 24 . 1 ( = − − = − + − + + ≈ f

4. Polinom Interpolasi Beda terbagi Newton

Misalkan diberikan x₀, x₁, x₂ ,…, x_n dengan jarak sembarang.

Polinom p_n(x) berderajat n melalui titik-titik (x₀, f₀), (x₁, f₁), …, (x_n, f_n) dengan f_j = f(x_j) diberikan oleh rumus interpolasi beda terbagi Newton:

Melibatkan beda-beda terbagi, yang secara iteratif didefinisikan sebagai,

]

,...,

,

[

)

)...(

(

...

]

,

,

[

)

)(

(

]

,

[

)

(

)

(

)

(

1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 n n n

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

f

x

x

f

x

p

x

f

−

−

−

+

+

−

−

+

−

+

=

≈

Melibatkan beda-beda terbagi, yang secara iteratif didefinisikan sebagai,

0 1 0 1 1 0 ) ( ) ( ] , [ x x x f x f x x f − − = 0 2 1 0 2 1 2 1 0 ] , [ ] , [ ] , , [ x x x x f x x f x x x f − − = 0 1 1 0 2 1 1 0 ] ,..., , [ ] ,..., , [ ] ,..., , [ x x x x x f x x x f x x x f k k k k − − = − ... ...

Jika x_k = x₀ + kh berjarak sama,

maka bentuk rumus di atas sama dengan rumus interpolasi beda maju Newton.

Algoritma Polinom Beda terbagi Newton. Masukan : n, x_i, i = 0, 1, .., n ; f(x_i), i = 0, 1, .., n x, Epsilon Langkah-langkah : ) ( ₀ 0 f x b ← 1 ; 0 ← ←_{b faktor} p_bagi lakukan n i Untuk ←1, 2, ..., , ) (x f b ← Catatan: b₀, b₁, b₂,… menyatakan f(x₀), f[x₀,x₁], f[x₀,x₁,x₂] ) ( _i i f x b ← lakukan i i j Untuk ← −1, −2, ..., 0, j i j j j x x b b b − − ← +1 ) .( − ₋₁ ← _{faktor x xi} faktor faktor b suku ← ₀. suku p p_bagi ← _bagi + Selesai maka Epsilon suku Jika ≤

Contoh 3.6

Diberikan pasangan nilai x₀ = 1, f(x₀) = 0; x₁ = 4, f(x₁) = 1.3862944; x₂ = 6, f(x₂) = 1.7917595; x₃ = 5, f(x₃) = 1.6094379;

a. Buat tabel beda terbagi dari data tersebut.

b. Gunakan tabel beda terbagi di atas dalam menerapkan rumus interpolasi beda terbagi Newton dengan x = 2

Jawab

a. Tabel beda terbaginya adalah

i x_i f(x_i) f[ , ] f[, ,] f[, , ,] b. i x_i f(x_i) f[ , ] f[, ,] f[, , ,] 3 2 1 0 5 6 4 1 6094379 . 1 7917595 . 1 3862944 . 1 0 1823216 . 0 2027326 . 0 4620981 . 0 0204109 . 0 0518731 . 0 − − 007865 . 0 5658444 . 0 ) 0518731 . 0 )( 4 2 )( 1 2 ( ) 4620981 . 0 )( 1 2 ( 0 ) 2 ( ) 2 ( ≈ p₂ = + − + − − − = f 6287687 . 0 ) 007865 . 0 )( 6 2 )( 4 2 )( 1 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ≈ p₃ = p₂ + − − − = f

5. Polinom Interpolasi Lagrange

Metode interpolasi lain dalam kasus nilai pivotal x₀ini didasarkan kepada

rumus interpolasi Lagrange n + 1 titik,

dengan, i n i _{i i} i n

f

x

l

x

l

x

L

x

f

∑

=

=

≈

0

(

)

)

(

)

(

)

(

) )...( )( ( ) ( _{1 2} 0 x x x x x x xn l = − − − ) )...( )( ( ) ( _{0 2} 1 x x x x x x xn l = − − − ) )...( )( )...( )( ( ) (x x x x x x x x x x x l = − − − − − ... ...

Dalam hal ini terlihat bahwa untuk x = x_i, maka

Rumus Interpolasi Lagrange dapat juga ditulis dalam bentuk

dengan ) )...( )( )...( )( ( ) ( _{0 1 i 1 i 1 n} i x x x x x x x x x x x l = − − − ₋ − ₊ − ... ... ) )...( )( ( ) ( = − ₀ − ₁ − _n−1 n x x x x x x x l i i n i

L

x

f

x

f

(

)

≈

(

)

=

i n i i n

x

l

x

x

f

L

x

f

∑

=

=

≈

0

)

,

(

)

(

)

(

















−

−

∏

=

≠ j i j i j i

x

x

x

x

x

x

l

(

,

)

Algoritma Polinom Interpolasi Lagrange Masukan : n, x_i, i = 0, 1, .., n ; f(x_i), i = 0, 1, .., n ; x Langkah-langkah : lakukan n i Untuk ←1, 2, ..., , lakukan n j Untuk ← 0, 1, ..., , 0 ← plag 1 ← faktor     − xx

Contoh 3.7

Diberikan pasangan nilai x dan f(x) berikut:

Gunakan Interpolasi Lagrange untuk menghitung f(9.2). ) ( . f x_i faktor plag plag ← +         − − ← ≠ j i j x x x x faktor faktor maka i j Jika . X 9.0 9.5 10.0 11.0 f(x) 2.19722 2.25129 2.30259 2.39790

Jawab

Dalam hal ini diperoleh,

Sehingga ) 0 . 11 )( 0 . 10 )( 5 . 9 ( ) ( 0 x = x− x − x − l ) 0 . 11 )( 0 . 10 )( 0 . 9 ( ) ( 1 x = x− x − x − l ) 0 . 11 )( 5 . 9 )( 0 . 9 ( ) ( 2 x = x − x− x − l ) 0 . 10 )( 5 . 9 )( 0 . 9 ( ) ( 3 x = x− x − x − l i i f x l l L f ≈ =

∑

3 3 ) ( ) 2 . 9 ( ) 2 . 9 ( ) 2 . 9 ( _i i li xi

∑

=0 3 ) ( 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 ) ( ) 2 . 9 ( ) ( ) 2 . 9 ( ) ( ) 2 . 9 ( ) ( ) 2 . 9 ( f x l l f x l l f x l l f x l l + + + = 39790 . 2 00000 . 3 04800 . 0 30259 . 2 50000 . 0 10800 . 0 25129 . 2 37500 . 0 28800 . 0 19722 . 2 0000 . 1 43200 . 0 + − + + − − =

21920

.

2

=

(Eksak sampai 5D)

Masalah pencarian x untuk f(x) yang diberikan dikenal sebagai interpolasi balikan / invers.

Jika fungsi f terdiferensialkan dan df/dx tidak nol dekat titik dimana

interpolasi balikan harus diperhitungkan, balikan x = F(y) dan y = f(x) ada secara lokal didekat nilai f yang diberikan dan mungkin terjadi bahwa F dapat dihampiri dalam lingkungan itu dengan suatu polinom yang

derajatnya agak rendah. Kemudian jalankan interpolasi balikan dengan membuat tabulasi F sebagai suatu fungsi y dan menerapkan metode-metode interpolasi yang langsung pada F.

Jika df/dx = 0 dekat atau pada titik yang diinginkan, kemungkinan berguna untuk memecahkan p(x) = f dengan iterasi. Dalam hal ini, p(x) adalah